\documentclass[12pt,a4paper,reqno,draft]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} %\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} %\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr} %\usepackage{srctex} \tolerance 2200 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newtheorem*{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} \newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}} \newcommand*{\wu}{\widehat u} \newcommand*{\wa}{\widetilde a} \newcommand*{\wL}{\widehat {\mathcal L}} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wf}{\widehat f} \newcommand*{\wm}{\widehat\varphi} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\LI}{L_2(I)} \newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)} \newcommand*{\LL}{\mathcal L} \newcommand*{\Wt}{W_2^n(\mathbb T)} \newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)} \newcommand*{\WWt}{\mathcal W_2^n(\mathbb T)} \newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])} \newcommand*{\mL}{\mathcal L} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\wx}{\widetilde x} \newcommand*{\whx}{\widehat x} \newcommand*{\wI}{\widetilde I} \newcommand*{\wy}{\widetilde y} \newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}} \newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\ws}{\widehat\sigma} \newcommand*{\wb}{\widetilde b} \newcommand*{\wnu}{\widehat\nu} \newcommand*{\wN}{\widehat N_\delta} \newcommand*{\ty}{\widetilde y} \newcommand*{\ta}{\widetilde a} \newcommand*{\tb}{\widetilde b} \newcommand*{\wha}{\widehat a} \newcommand*{\whb}{\widehat b} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\mes}{mes} \begin{document} \begin{flushleft} УДК 517.984.64 \end{flushleft} \title[О наилучшем гармоническом синтезе]{О наилучшем гармоническом синтезе периодических функций} \author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No13-01-12447 и \No14-01-92004)} \address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова, Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН} \maketitle Работа посвящена построению наилучших (оптимальных) методов восстановления функций по их приближенно заданным коэффициентам Фурье. Такие методы строятся сразу для целого класса функций, что определят их важную специфику: используются, вообще говоря, не все доступные для измерения (точного или неточного) коэффициенты Фурье, а те, которые используются, подвергаются некоторому ``сглаживанию''. Это полностью согласуется с тем, что происходит в инженерной практике, связанной с цифровой обработкой сигналов: высокие частоты отбрасываются, а низкие тем или иным способом фильтруются. Предлагаемый подход к определению оптимального метода идейно восходит к работам А.~Н.~Колмогорова о нахождении наилучшего подпространства среди всех подпространств фиксированной размерности, аппроксимирующего данный класс функций. Этот подход можно было бы назвать колмогоровской регуляризацией. Он является определенной альтернативой регуляризации по А.~Н.~Тихонову, где рассматриваются индивидуальные объекты и при этом не учитывается конкретное значение погрешности измерения (которое может быть и не близким к нулю) и не обсуждается вопрос о наилучших методах. Структура статьи следующая. Мы начинаем с рассмотрения одного примера тихоновской регуляризации в задаче восстановления функции в точке по ее неточно заданным коэффициентам Фурье. Пример взят из классического университетского учебника по математическому анализу (\cite{IP}). Затем мы даем свой вариант решения данной задачи, основанный на колмогоровской регуляризации. После этого приводятся точные решения ряда задач оптимального восстановления функций и их производных в среднеквадратической метрике по точно или неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье. Отметим, что в работах \cite{MO1}--\cite{MS} изучались задачи близкие к изложенным здесь, а именно, задачи оптимального восстановления функций (периодических и заданных на $\mathbb R^d$) и операторов от них по неточно заданному спектру. %Основная цель работы --- продемонстрировать отмеченный эффект (и ряд других) на %примерах восстановления периодических функций из классического соболевского класса %по их неполно и/или неточно заданным коэффициентам Фурье. Точнее говоря, приводятся %явные выражения для оптимальных методов восстановления, где указаны точные границы, %за пределами которых информация о коэффициентах Фурье оказывается лишней, а также %виды фильтров для низких частот. Библиография: 7 названий. \vskip7pt {\bf Ключевые слова:} оптимальное восстановление, периодическая функция, экстремальная задача, коэффициенты Фурье \section[Оптимальное восстановление функций]{Об одной задаче восстановление функции по неточно заданным коэффициентам Фурье} В \cite{IP} рассматривается следующая задача. Пусть $2\pi$-периодичес\-кая функция $x\cd$ такова, что ее ряд Фурье \begin{equation*} x(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kt+ b_k\sin kt), \end{equation*} где \begin{equation}\label{kf} \begin{aligned} a_k= &a_k(x\cd)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)\cos kt\,dt,\quad k=0,1,2,\ldots,\\ b_k= &b_k(x\cd)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)\sin kt\,dt,\quad k=1,2,\ldots, \end{aligned} \end{equation} сходится к $x\cd$ равномерно. Вместо точных значений коэффициентов Фурье функции $x\cd$ известны их приближенные значения $\ta_k$, $\tb_k$ такие, что $$\frac{(a_0-\ta_0)^2}2+\sum_{k=1}^\infty((a_k-\ta_k)^2+(b_k-\tb_k)^2)\le\delta^2,$$ где $\delta>0$. По этой информации требуется восстановить значение функции $x\cd$ в некоторой точке $\tau$. Нетрудно доказать, что как бы быстро не сходился исходный ряд к $x(\tau)$ и как бы не было мало $\delta>0$, можно указать такие числа $\ta_k$, $\tb_k$, что сумма ряда \begin{equation*} \frac{\ta_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\ta_k\cos kt+ \tb_k\sin kt) \end{equation*} будет отличаться от $x(\tau)$ на любое наперед заданное число или даже расходиться. Для решения проблемы восстановления функции $x\cd$ в точке $\tau$ предлагается следующая процедура. В качестве приближенного значения $x(\tau)$ рассматривается ряд $$\frac{\ta_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac1{1+\alpha k^2}(\ta_k\cos k\tau+\tb_k\sin k\tau),$$ где $\alpha$ того же порядка малости, что и $\delta$ (например, можно положить $\alpha=\delta)$. Доказывается, что если $x\cd\in L_2(\mathbb T)$ (здесь и далее под $\mathbb T$ понимается отрезок $[-\pi,\pi]$ с идентифицированными концами) и $x\cd$ непрерывна в $\tau$, то данный ряд сходится к $x(\tau)$ при $\alpha\to0$. \vskip15pt В заключительном замечании авторы учебника пишут: ``{\it ... должны ли мы, желая получить как можно более точное представление об интересующем нас физическом процессе, неограниченно совершенствовать точность прибора или путь к этому лежит через развитие таких математических методов обработки результатов измерений, которые позволяют при {\bf имеющейся точности} измерения частотных характеристик извлечь {\bf максимальную} информацию об изучаемом процессе.}'' (Выделено жирным шрифтом нами.) \vskip15pt Подход, который мы называем колмогоровской регуляризацией, предполагает наличие некоторой априорной информации о функции $x\cd$. Но тогда появляется возможность учитывать имеющуюся фиксированную точность измерения и ставить вопрос о нахождении наилучшего метода среди всех возможных. %Действительно, реально погрешность фиксирована ($\delta$ не стремится к нулю). Кроме %того, нас интересует вопрос существуют ли методы, дающие меньшую погрешность %приближения? Какой самый лучший метод? %Мы отвечаем на эти вопросы, предполагая, что приближаемые функции принадлежат %некоторому классу функций. Перейдем к точной постановке задачи. Обозначим через $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ пространство абсолютно непрерывных $2\pi$-периоди\-ческих функций $x\cd$, у которых производная $\dot x\cd$ принадлежит $L_2(\mathbb T)$. Норма функции $x\cd$ в $L_2(\mathbb T)$ определяется так $$ \|x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}=\left(\frac1{\pi}\int_{-\pi}^\pi|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}. $$ Если $x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то в каждой точке $t\in \mathbb T$ функция $x\cd$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к ней равномерно. В пространстве $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ рассмотрим класс функций $$ W_2^1(\mathbb T)=\{\,x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T) : \|\dot x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1\,\}. $$ Обозначим через $l_2$ пространство суммируемых с квадратом вещественных последовательностей со скалярным произведением $$ \la y,y'\ra=\frac{a_0 a'_0}2+\sum_{k=1}^\infty y_k y'_k, $$ где $y=(y_0,y_1,\ldots)$, $y'=(y'_0,y'_1,\ldots)$ и с соответствующей нормой $$ \|y\|_{l_2}=\left(\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty y_k^2\right)^{1/2}. $$ Если функция $x\cd$ принадлежит $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то ее коэффициенты Фурье принадлежат $l_2$. Пусть $F\colon \mathcal W_2^1(\mathbb T)\to l_2$ --- преобразование Фурье $x\cd$, т.~е. $Fx\cd=(a_0(x\cd),a_1(x\cd),b_1(x\cd),\dots)$ --- набор коэффициентов Фурье функции $x\cd$. Предположим, что о каждой функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ нам известны приближенно ее коэффициенты Фурье, а именно, известен вектор $$y=(\ta_0,\ta_1,\tb_1\ldots)\in l_2$$ такой, что $$\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta,$$ где $\delta>0$. Любой метод восстановления $x(\tau)$ должен сопоставлять вектору (наблюдению) $y$ число, которое, согласно данному методу, есть некоторое приближение к $x(\tau)$. Таким образом, любой метод --- это некоторая функция $\varphi\colon l_2\to \mathbb R$. {\it Погрешностью\/} данного метода назовем величину $$e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^1(\mathbb T),\ y\in l_2\\ \|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(y)|.$$ Нас интересует величина $$E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=\inf_{\varphi\colon l_2\to\mathbb R}e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi),$$ называемая {\it погрешностью оптимального восстановления\/} и метод $\widehat\varphi$, на котором достигается нижняя грань, называемый {\it оптимальным методом восстановления}, т.~е.\ такой метод $\widehat\varphi$, что $$E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\widehat\varphi).$$ \begin{theorem}\label{T1} Для любого $\delta>0$ $$ E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=(\widehat a+\delta^2)\biggl(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+\widehat ak^{2})^2}\biggr)^{1/2}, $$ где $\widehat a=\widehat a(\delta)$ --- единственное решение уравнения \begin{equation*} \frac{\dfrac12+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}} {\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}}=\delta^2. \end{equation*} Метод $\widehat \varphi$, действующий по правилу $$\widehat\varphi(y)=\frac{\wa_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac1{1+\widehat ak^{2}}(\wa_k\cos k\tau+ \wb_k\sin k\tau),$$ является оптимальным. \end{theorem} Как видно из формулировки теоремы, для любого $\delta>0$ метод регуляризации, предложенный в \cite{IP}, является оптимальным на классе $W_2^1(\mathbb T)$ при $\alpha=\widehat a(\delta)$. Кроме того, минимальная ошибка оценивания $x(\tau)$ дается величиной $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$, которая стремится к нулю при $\delta\to0$. Заметим еще, что информация о функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$, заключающаяся в том, что известен вектор $y\in l_2$ такой, что $\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta$ равносильна, в силу равенства Парсеваля, тому, что известна функция $y\cd\in L_2(\mathbb T)$ такая, что $\|x\cd-y\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le\delta$. \begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T1}$] Покажем сначала, что погрешность оптимального восстановления $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$ не меньше значения задачи \begin{equation}\label{i1} x(\tau)\to\max,\quad x\cd\in W_2^1(\mathbb T),\quad \|Fx\cd\|_{l_2}\le\delta, \end{equation} т.~е. величины верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях. Действительно, пусть $\varphi\colon l_2\to\mathbb R$ --- произвольный метод восстановления, $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ (тогда и $-x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$) и $\|Fx\cd\|_{l_2}\le\delta$. Имеем \begin{multline*} 2x(\tau)\le|x(\tau)-\varphi(0)-(-x(\tau)-\varphi(0))| \le|x(\tau)-\varphi(0)|\\+|-x(\tau)-\varphi(0)|\le 2\sup_{\substack{x\cd\in W_2^1(\mathbb T)\\\|Fx\cd\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(0)|\\\le2\sup_{\substack{x\cd\in W_2^1(\mathbb T), \ y\in l_2\\\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(y)|=2e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi). \end{multline*} Переходя слева к верхней грани по всем указанным $x\cd$, а затем справа по всем методам $\varphi$, получаем требуемое. Теперь найдем значение задачи \eqref{i1} (и тем самым получим оценку снизу для погрешности оптимального восстановления). Для этого удобно переписать задачу в терминах коэффициентов Фурье. Если $x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то согласно равенству Парсеваля \begin{align*} &\|x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}^2=\|Fx\cd\|_{l_2}^2=\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2), \\[8pt] &\|\dot x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}^2=\|F\dot x\cd\|_{l_2}^2=\sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2), \end{align*} где $a_k=a_k(x\cd)$, $k\in \mathbb Z_+$, и $b_k=b_k(x\cd)$, $k\in \mathbb N$, и тогда задача \eqref{i1} перепишется в виде \begin{multline}\label{i2} \frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\to\max,\quad \sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2)\le1,\\\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\le\delta^2. \end{multline} Заметим, что эта задача как задача на последовательностях $(a_0,a_1,b_1,\ldots)$ (всюду далее такую последовательность обозначаем $\{a_k, b_k\}$) из $l_2$, для которых последовательность $\{ka_k, kb_k\}$ также принадлежат $l_2$ (обозначим пространство таких последовательностей через $l_2^1$), равносильно задаче \eqref{i1} в том смысле, что если $\{a_k, b_k\}\in l^1_2$, то существует единственная функция $x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, для которой $\{a_k, b_k\}$ --- последовательность ее коэффициентов Фурье. Ограничения в \eqref{i2} переходят в ограничения в \eqref{i1}, $x(\tau)$ --- это максимизируемый функционал в \eqref{i2}. Если мы найдем решение задачи \eqref{i2}, то тем самым найдем и ее значение. Эта задача является выпуклой. Воспользуемся достаточными условиями существования решения. Функция Лагранжа задачи \eqref{i2} имеет вид \begin{multline*} \LL(\{a_k,b_k\},\lambda_1,\lambda_2)=-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\\ +\lambda_1\sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2) +\lambda_2\left(\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)\right). \end{multline*} Если найдется допустимая в \eqref{i2} (т.~е. удовлетворяющая ограничениям) последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$ и множители Лагранжа $\wl_1\ge0$, $\wl_2\ge0$ такие, что \begin{align*} (a)&\quad\min_{\{a_k,b_k\}\in l_2^1}\LL(\{a_k,b_k\},\wl_1,\wl_2)=\LL(\{\wha_k,\whb_k\},\wl_1,\wl_2),\\[8pt] (b)&\quad\wl_1\left(\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\widehat a_k^2+\widehat b_k^2)-1\!\right)=0, \,\,\,\, \wl_2\left(\frac{\wha_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)-\delta^2\right)\!=0, \end{align*} то $\{\wha_k,\whb_k\}$ --- решение задачи \eqref{i2}. Проверка этого достаточно проста. Действительно, для любой допустимой последовательности $\{a_k,b_k\}$, используя условия $(a)$ и $(b)$, будем иметь \begin{multline*} -\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\ge-\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\\+\wl_1\left(\sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2)-1\right)+\wl_2\left(\frac{a_0^2}2+ \sum_{k=1}^\infty(a_k^2+b_k^2)-\delta^2\right)\\=\LL(\{a_k,b_k\},\wl_1,\wl_2) -\wl_1-\wl_2\delta^2\ge\LL(\{\wha_k,\whb_k\},\wl_1,\wl_2)-\wl_1-\wl_2\delta^2 \\=\frac{\widehat a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (\wha_k\cos k\tau+\whb_k\sin k\tau)+\wl_1\left(\sum_{k+1}^\infty k^{2} (\widehat a_k^2+\widehat b_k^2)-1\right)\\+\wl_2\left(\frac{\wha_0^2}2+ \sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)-\delta^2\right)=-\frac{\widehat a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (\wha_k\cos k\tau+\whb_k\sin k\tau), \end{multline*} т.~е. $(\{\wha_k,\whb_k\}$ --- решение задачи \eqref{i2}. Далее рассуждаем эвристически, пытаясь понять, какой вид должна иметь последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$ и множители Лагранжа $\wl_1\ge0$, $\wl_2\ge0$, если они удовлетворяют условиям $(a)$ и $(b)$. Функция Лагранжа, как функция последовательности $\{a_k,b_k\}$ является гладкой и из условия $(a)$ следует, что производная этой функции в точке $\{\wha_k,\whb_k\}$ равна нулю. Формально вычисляя эту производную, приходим к тому, что для любой последовательности $\{a_k,b_k\}$ должно выполняться тождество \begin{multline}\label{id} -\frac{a_0}2-\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau) +2\wl_1\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\wha_k a_k+\whb_k b_k)\\ +2\wl_2\left(\frac{\wha_0 a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k a_k+\whb_kb_k)\right)=0. \end{multline} Отсюда, беря последовательности вида $(1,0,\ldots),(0,1,0,\ldots),\ldots$, получаем, что \begin{equation}\label{abc} \wha_0=\frac 1{2\wl_2}\,,\quad \wha_k=\frac{\cos k\tau}{2(\wl_1 k^2+\wl_2)}\,,\quad \whb_k=\frac{\sin k\tau}{2(\wl_1 k^2+\wl_2)}\,,\quad k\in\mathbb N. \end{equation} Если считать, что $\wl_1>0$ и $\wl_2>0$, то для выполнения условия $(b)$ необходимо, чтобы выражения в скобках в этом условии равнялись нулю, т.~е. \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty k^{2}(\widehat a_k^2+\widehat b_k^2)=\frac 14\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(\wl_1 k^2+\wl_2)^2}=1 \end{equation*} и \begin{equation*} \frac{\wha_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)=\frac 14\left(\frac 1{2\wl_2^2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(\wl_1 k^2+\wl_2)^2}\right)=\delta^2. \end{equation*} Обозначая $a=\wl_1/\wl_2$ и деля второе уравнение на первое, получаем, что \begin{equation}\label{equ} \frac{\dfrac12+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}} {\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}}=\delta^2. \end{equation} Теперь рассуждаем точно. Выражение в левой части \eqref{equ} определяет функцию $f$ (переменного $a$) на $(0,\infty)$. Покажем, что для любого $\delta>0$ существует единственное $\widehat a=\widehat a(\delta)>0$ такое, что $f(\widehat a)=\delta^2$. Для этого сначала докажем, что $\lim_{a\to0}f(a)=0$ и $\lim_{a\to+\infty}f(a)=+\infty$. Пусть $\varepsilon>0$ и $n\ge6$ таково, что $1/n<\varepsilon$. Так как, очевидно, $$\lim_{a\to0}\biggl(\frac12+\sum_{k=1}^n\frac1{(1+ak^{2})^2}\biggr)=\frac12+n<2n+1$$ и $$\lim_{a\to0}\sum_{k=1}^n\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}=\sum_{k=1}^nk^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}6>n(2n+1)\,,$$ то существует такое $a_0>0$, что для всех $0n(2n+1)\,. $$ Отсюда следует, что $$\frac12+\sum_{k=1}^n\frac1{(1+ak^{2})^2}< \frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\,.$$ Далее, ясно, что $$\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}<\frac1{n^2}\sum_{k=n+1}^\infty \frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}<\frac1{n}\sum_{k=n+1}^\infty \frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\,.$$ Складывая полученные неравенства и затем деля одно на другое, получаем, что для всех $00$ $$f(a)=\dfrac{\dfrac{a^2}2+ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac1{(a^{-1}+k^{2})^2}} {\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{k^{2}}{(a^{-1}+k^{2})^2}}> \dfrac{a^2}{2\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac 1{k^{2}}}\,,$$ откуда сразу следует, что $\lim_{a\to+\infty}f(a)=+\infty$. Для доказательства единственности покажем, что $f$ строго монотонно возрастает на $(0,\infty)$. Для этого достаточно показать, что она строго монотонно возрастает на любом отрезке $[a_0,a_1]$, где $0-\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^3} \sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}\\ +\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2} \sum_{k=1}^\infty\frac{k^{4}}{(1+ak^{2})^3}=-\sum_{j,k=1}^\infty\alpha_{jk}+ \sum_{j,k=1}^\infty\beta_{jk}, \end{multline*} а $$\alpha_{jk}=\frac{j^{2}k^{2}}{(1+aj^{2})^3(1+ak^{2})^2}\,,\quad \beta_{jk}=\frac{k^{4}}{(1+aj^{2})^2(1+ak^{2})^3}\,.$$ Отсюда \begin{gather*} -\alpha_{jk}+\beta_{kj}=\frac{j^{2}(j^{2}-k^{2})}{(1+aj^{2})^3(1+ak^{2})^2}\,, \\-\alpha_{kj}+\beta_{jk}=\frac{k^{2}(k^{2}-j^{2})}{(1+ak^{2})^3(1+aj^{2})^2} \end{gather*} и тогда получаем, что \begin{multline*} -\alpha_{jk}+\beta_{kj}-\alpha_{kj}+\beta_{jk}\\ = \frac{j^{2}-k^{2}}{(1+aj^{2})^2(1+ak^{2})^2}\left(\frac{j^{2}}{1+aj^{2}} -\frac{k^{2}}{1+ak^{2}}\right)\\ =\frac{(j^{2}-k^{2})^2} {(1+aj^{2})^3(1+ak^{2})^3}\ge0\,. \end{multline*} Тем самым $g(a)>0$ и значит, $f'(a)>0$ для любого $a\in(0,\infty)$. Единственность доказана. Пусть $\delta>0$ и $\widehat a=\widehat a(\delta)$ --- единственное решение уравнения $f(a)=\delta^2$. Полагаем \begin{equation*} \wl_2=\wl_2(\widehat a)=\frac 12\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a k^2)^2}\right)^{1/2}, \end{equation*} $\wl_1=\wl_1(\widehat a)=\widehat a\,\wl_2$ и пусть с данными $\wl_1$, $\wl_2$ числа $\wha_0$, $\wha_k$, $\whb_k$, $k\in\mathbb N$, определены формулами \eqref{abc}. Последовательность $\{\wha_k,\whb_k\}$, как легко видеть, принадлежат $l_2^1$ и элементарный подсчет показывает, что \begin{equation}\label{dn} \sum_{k=1}^\infty k^{2}(\widehat a_k^2+\widehat b_k^2)=1, \qquad\frac{\wha_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty(\wha_k^2+\whb_k^2)=\delta^2, \end{equation} так что она допустима в задаче \eqref{i2}. Вторая и третья суммы в выражении \eqref{id} являются скалярными произведениями соответственно последовательностей $\{k\wha_k,k\whb_k\}$, $\{ka_k,kb_k\}$ и $\{\wha_k,\whb_k\}$, $\{a_k,b_k\}$ и поэтому имеют смысл. Подставляя в \eqref{id} выражения для $\wl_1$, $\wl_2$ и $\wha_0$, $\wha_k$, $\whb_k$, $k\in\mathbb N$, после элементарных преобразований видим, что это верное равенство для любой последовательности $\{a_k,b_k\}\in l^1_2$. %\begin{multline}\label{idn} %\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau) %=\widehat a\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{2}}{1+\widehat a k^2}(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)\\ %+\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac 1{1+\widehat a k^2}(a_k\cos k\tau+b_k\sin %k\tau). %\end{multline} Пусть функция $\whx\cd\in\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ такова, что $\{\wha_k,\whb_k\}$ --- последовательность ее коэффициентов Фурье. Тогда \eqref{id}, вместе с равенством Парсеваля, означает, что для любой функции $x\cd\in\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ справедливо равенство \begin{equation}\label{idn} x(\tau)=2\wl_1\la F\dot\whx\cd,F\dot x\cd\ra+2\wl_2\la F\whx\cd,Fx\cd\ra. \end{equation} Если подставить сюда вместо $x\cd$ функцию $\whx\cd$, то получим \begin{equation*} \whx(\tau)=(\widehat a+\delta^2)\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a k^2)^2}\right)^{1/2}. \end{equation*} Величина слева --- значение максимизируемого функционала в задаче \eqref{i1} на функции $\whx\cd$ и поэтому значение самой задачи не меньше этой величины. По доказанному, погрешность оптимального восстановления $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$ не меньше значения задачи \eqref{i1} и значит, \begin{equation}\label{sn} E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)\ge(\widehat a+\delta^2)\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a k^2)^2}\right)^{1/2}. \end{equation} Заметим, что на самом деле, функция $\whx\cd$ являются решением задачи \eqref{i1}, но нам это не нужно и поэтому на этом не будем останавливаемся. Оценим теперь сверху величину $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$ и проверим, что метод $\widehat\varphi$ из формулировки теоремы является оптимальным. Оценим погрешность этого метода. Пусть $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$, $y=(\wa_0,\wa_1,\wb_1,\ldots)\in l_2$ и $\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta$. Нетрудно убедиться, что $\widehat \varphi(y)=2\wl_2\la F\whx\cd,y\ra$. Тогда в силу тождества \eqref{idn}, неравенства Коши--Буняковского, равенства Парсеваля, равенств \eqref{dn} и условий на $x\cd$ и $y$ имеем \begin{multline*} |x(\tau)-\widehat\varphi(y)|=|2\wl_1\la F\dot\whx\cd,F\dot x\cd\ra+2\wl_2\la F\whx\cd,Fx\cd-y\ra|\\\le2\wl_1\|F\dot\whx\cd\|_{l_2}\|F\dot x\cd\|_{l_2}+2\wl_2\|F\whx\cd\|_{l_2}\|Fx\cd-y\|_{l_2}\\\le2\wl_2\widehat a+2\wl_2\delta^2=(\widehat a+\delta^2)\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2}{(1+\widehat a k^2)^2}\right)^{1/2}. \end{multline*} Отсюда и \eqref{sn} следует оптимальность метода $\widehat \varphi$ и нужное выражение для величины $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$. \end{proof} \section[Восстановление функций]{Оптимальное восстановление функций и их производных по конечному набору коэффициентов Фурье} В предыдущем параграфе информация о коэффициентах Фурье состояла в том, что все они приближенно известны в метрике $l_2$. С практической точки зрения более естественной представляется ситуация, когда имеется возможность измерить приближенно каждый из некоторого конечного набора коэффициентов Фурье функции. В данном параграфе рассматривается именно этот случай, причем восстанавливать функцию и ее производные мы будем не в точке, а ``целиком'' в метрике $L_2(\mathbb T)$. При этом возникает интересный эффект, заключающейся в том, что не все приближенно измеренные коэффициенты Фурье используются в оптимальном методе восстановления. Для того, чтобы показать, что этот эффект связан не только с наличием погрешности в исходных данных, мы сначала рассматриваем случай, когда известен конечный набор точно измеренных коэффициентов Фурье. \subsection{Восстановление в среднеквадратической метрике по точным значениям коэффициентов Фурье} Пусть $n$ --- натуральное. Обозначим через $\mathcal W_2^n(\mathbb T)$ пространство $2\pi$-периодических функций $x\cd$, у которых $(n-1)$-ая производная абсолютно непрерывна и $x^{(n)}\cd\in L_2(\mathbb T)$. В пространстве $\mathcal W_2^n(\mathbb T)$ рассмотрим класс функций $$ W_2^n(\mathbb T)=\{\,x\cd\in \mathcal W_2^n(\mathbb T)\mid \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1\,\}. $$ Мы ставим следующую задачу. Пусть $A\subset\mathbb Z_+=\{0,1,2,\ldots\}$ и $B\subset\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$ --- конечные множества (одно из них может быть пустым) и о каждой функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ нам известны ее коэффициенты Фурье $\{a_k\}_{k\in A}$ и $\{b_k\}_{k\in B}$, т.~е. $x\cd$ соответствует набор $F_{A,B}x\cd=(\{a_k\}_{k\in A},\{b_k\}_{b\in B})$ из $N$ чисел, где $N=\card A+\card B$. Как наилучшим образом восстановить функции из $W_2^n(\mathbb T)$ и их $r$-ые производные, $1\le r\le n-1$, в метрике $L_2(\mathbb T)$, используя данную информацию? Поступаем следующим образом. Любой метод $\varphi$, призванный восстановить $x^{(r)}\cd$ ($0\le r\le n-1$) по набору $F_{A,B}x\cd$, сопоставляет этому набору функцию $\varphi(F_{A,B}x\cd)\cd\in L_2(\mathbb T)$, т.~е. $\varphi$ есть отображение из $\mathbb R^N$ в $L_2(\mathbb T)$. Погрешностью метода $\varphi$ назовем величину \begin{equation*} e(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\varphi)=\sup_{x\cd\in W_2^n(\mathbb T)}\|x^{(r)}\cd-\varphi(F_{A,B}x\cd)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}, \end{equation*} ($D^r$ символизирует оператор $r$-кратного дифференцирования, $D^0$ --- тождественный оператор), представляющую собой максимальное на классе $W_2^n(\mathbb T)$ уклонение функции $x^{(r)}\cd$ от функции, которая ее ``восстанавливает'' согласно данному методу. Нас, как и раньше, интересует тот метод, погрешность которого минимальна. Точнее говоря, нас интересует величина \begin{equation*} E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=\inf_{\varphi\colon \mathbb R^N\to L_2(\mathbb T)}e(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\varphi), \end{equation*} которую мы называем {\it погрешностью оптимального восстановления} и те методы, на которых нижняя грань достигается, т.~е. такие методы $\widehat \varphi$, что \begin{equation*} E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=e(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B},\widehat \varphi). \end{equation*} Подобные методы будем называть {\it оптимальными методами восстановления}. Свяжем со множествами $A$ и $B$ число \begin{equation*} k_0=k_0(A,B)=\min\{\min_{\,k\in\mathbb N\setminus A}k, \ \min_{k\in\mathbb N\setminus B}k\,\}. \end{equation*} Обозначим через $\chi_r$ функцию на $\mathbb Z_+$, равную единице в нуле и нулю в остальных точках. \begin{theorem}\label{T2} Если $0\notin A$, то $$E(D^0,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=+\infty.$$ Если $1\le r\le n-1$ или $r=0$ и $0\in A$, то $$E(D^r,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=\frac 1{k_0^{n-r}}$$ и для любых наборов чисел $\alpha=\{\alpha_k\}_{k\in A}$ и $\beta=\{\beta_k\}_{k\in B}$ таких, что $$|\alpha_k-1|\le\left(\frac{k}{k_0}\right)^{n-r},\ k\in A,\qquad |\beta_k-1|\le\left(\frac{k}{k_0}\right)^{n-r},\ k\in B,$$ метод \begin{multline*} \widehat\varphi_{\alpha,\beta}(F_{A,B}x\cd)(t)=\frac{a_0}2\chi_r+\sum_{k\in A\setminus\{0\}}k^r\alpha_ka_k\cos(kt+\pi r/2)\\ +\sum_{k\in B}k^r\beta_kb_k\sin(kt+\pi r/2) \end{multline*} является оптимальным. \end{theorem} Сделаем несколько замечаний по поводу сформулированной теоремы. 1. Условие $E(D^0,W_2^n(\mathbb T),F_{A,B})=+\infty$, если $0\notin A$ означает, что никаким способом нельзя восстановить функции из класса $W_2^n(\mathbb T)$, и в этом смысле любой метод оптимален. 2. Все оптимальные методы линейны и существует оптимальный метод, который использует коэффициенты Фурье только с номерами до $k_0-1$ (нетрудно проверить, что при $k\ge k_0$ коэффициенты $\alpha_k$ и $\beta_k$ можно положить равными нулю). При этом, если $k_0=1$ и $r\ge1$, то оптимальный метод нулевой. 3. Среди оптимальных методов есть ``естественные'', когда $\alpha_k=\beta_k=1$, т.~е. в ряд Фурье подставляются известные коэффициенты Фурье. \begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T2}$] Пусть $0\le r\le n-1$. Как и при доказательстве предыдущей теоремы, начнем с оценки снизу величины $E(D^r,\Wt,F_{A,B})$. Те же, фактически, рассуждения, что и раньше приводят к соотношению \begin{equation}\label{lb0} E(D^r,\Wt,F_{A,B})\ge\sup_{\substack{x\cd\in\Wt\\F_{A,B}x\cd=0}}\|x^{(r)}\cd\|_{\lT}. \end{equation} Пусть $r=0$. Если $0\notin A$, то любая функция $x\cd$, являющаяся константой, удовлетворяет условиям: $x\cd\in \Wt$ и $F_{A,B}x\cd=0$, а величина $\|x\cd\|_{\lT}$ может быть сделана сколь угодно большой. Тогда из \eqref{lb0} следует, что $E(D^0,\Wt,F_{A,B})=+\infty$. Пусть теперь $0\in A$. Если $k_0=\min\{\,k\in\mathbb N\setminus A\,\}$, то рассмотрим функцию $t\mapsto x_0(t)=k_0^{-n}\cos k_0t$. Легко проверить, что $x_0\cd\in \Wt$, $F_{A,B}x_0\cd=0$ и $\|x_0\cd\|_{\lT}=k_0^{-n}$. Если же $k_0=\min\{\,k\in\mathbb N\setminus B\,\}$, то надо рассмотреть функцию $t\mapsto k_0^{-n}\sin k_0t$, которая обладает теми же свойствами. Таким образом, правая часть \eqref{lb0} не меньше $k_0^{-n}$ и значит, \begin{equation}\label{sn1} E(D^0,\Wt,F_{A,B})\ge\frac 1{k_0^{n}}\,. \end{equation} Оценим теперь сверху величину $E(D^0,\Wt,F_{A,B})$ и проверим оптимальность методов $\widehat\varphi_{\alpha,\beta}$ из формулировки теоремы. Пусть $x\cd\in\Wt$. Используя равенство Парсеваля, будем иметь \begin{multline*} \|x\cd-\varphi_{\alpha,\beta}(F_{A,B}x\cd)\cd\|_{\lT}^2=\sum_{k\in A\setminus\{0\}}(1-\alpha_k)^2a_k^2+\sum_{k\in B}(1-\beta_k)^2b_k^2\\ +\sum_{k\in\mathbb N\setminus A}a_k^2+\sum_{k\in\mathbb N\setminus B}b_k^2\le \max_{k\in A\setminus\{0\}}\frac{(1-\alpha_k)^2}{k^{2n}}\sum_{k\in A\setminus\{0\}}k^{2n}a_k^2\\+\max_{k\in B}\frac{(1-\beta_k)^2}{k^{2n}}\sum_{k\in B}k^{2n}b_k^2 +\frac1{k_0^{2n}}\sum_{k\in\mathbb N\setminus A}k^{2n}a_k^2+\frac1{k_0^{2n}}\sum_{k\in\mathbb N\setminus B}k^{2n}b_k^2. \end{multline*} Учитывая условия на векторы $\alpha$ и $\beta$, получаем, что для любого метода $\widehat\varphi_{\alpha,\beta}$ с такими наборами $\alpha$ и $\beta$ \begin{equation*} \|x\cd-\widehat\varphi_{\alpha,\beta}(F_{A,B}x\cd)\cd\|_{\lT}^2\le\frac1{k_0^{2n}} \sum_{k\in\mathbb N}k^{2n}(a_k^2+b_k^2) \le\frac1{k_0^{2n}}\,, \end{equation*} справедливому для всех $x\cd\in\Wt$. Следовательно, $$ e(D^0,\Wt,F_{A,B},\widehat\varphi_{\alpha,\beta})\le\frac1{k_0^{n}}\,. $$ Сравнивая это с оценкой \eqref{sn1}, получаем утверждения теоремы для случая, когда $r=0$ и $0\in A$. Пусть теперь $1\le r\le n-1$. Беря те же функции $t\mapsto k_0^{-n}\cos k_0t$ и $t\mapsto k_0^{-n}\sin k_0t$, что и выше, получаем, что величина справа в \eqref{lb0} не меньше $k_0^{-(n-r)}$ и значит, \begin{equation}\label{snr} E(D^r,\Wt,F_{A,B})\ge\frac 1{k_0^{n-r}}\,. \end{equation} Оценка погрешности метода $\widehat \varphi_{\alpha,\beta}$ получается совершенно аналогично тому как это сделано выше для $r=0$. \end{proof} %Рассмотрим теперь такую задачу. Пусть имеется возможность измерить любые $N$ %коэффициентов Фурье. Какие коэффициенты лучше всего взять, чтобы погрешность %оптимального восстановления была минимальной. Из теоремы~\ref{T1} вытекает следующий %результат. %\begin{theorem} %Пусть $N\in\mathbb N$. Тогда %$$ %\inf_{\card A+\card B\le N}E(W_2^1(\mathbb T),I_{A,B})=\begin{cases}\dfrac 2N\,,& %\,\,\,\text{N \ четное},\\[12pt] %\dfrac2{N+1}\,,&\,\,\,\text{N \ нечетное}\,. %\end{cases} %$$ %Если $N$ четно, то множества $A_1$ и $B_1$, на которых нижняя грань достигается и %для которых величина $\card A+\card B$ минимальна, таковы %$$ %A_1=\{0,1,\ldots,N/2-1\},\quad B_1=\{1,\ldots,N/2-1\}, %$$ %причем $B_1=\emptyset$, если $N=2$. %Если $N$ нечетно, то множества $A_2$ и $B_2$, на которых достигается нижняя грань %имеют вид %$$ %A_2=\{0,1,\ldots,[N/2]\},\quad B_2=\{1,\ldots,[N/2]\}, %$$ %причем $B_2=\emptyset$, если $N=1$. %\end{theorem} %Заметим, что $\card A_1+\card B_1=N-1$. \subsection[Восстановление функции]{Восстановление в среднеквадратической метрике по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью} Здесь рассматривается задача восстановления функции и ее производных на том же классе $\Wt$, с теми же множествами $A$ и $B$, но вместо точных значений коэффициентов Фурье $a_k=a_k(x\cd)$, $k\in A$ и $b_k=b_k(x\cd)$, $k\in B$, функции $x\cd\in \Wt$ известны их приближенные значения, т.~е. такие числа $\{\wa_k\}_{k\in A}$ и $\{\wb_k\}_{k\in B}$, что \begin{equation*} |a_k-\wa_k|\le\delta,\,\,\, k\in A,\qquad|b_k-\wb_k|\le\delta,\,\, \,k\in B. \end{equation*} Удобно записать это по другому. Обозначим через $l_\infty^N$ пространство $\mathbb R^N$ с нормой $\|y\|_{\infty}=\max_{0\le j\le N-1}|y_j|$, где $y=(y_0,y_1,\ldots,y_{N-1})$. Будем считать, для определенности, что $$F_{A,B}x\cd=(a_{k_0},a_{k_1},\ldots,a_{k_{N_1}},b_{l_1},\ldots,b_{l_{N_2}}),$$ где $k_0<\ldots