\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[german,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1100

\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother

\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
%\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\renewcommand{\bibname}{\bf Литература}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}

\begin{document}

\noindent УДК 517.53

\medskip

\title[О НАИЛУЧШИХ И ОПТИМАЛЬНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ]{О НАИЛУЧШИХ И ОПТИМАЛЬНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ
НА КЛАССАХ ОГРАНИЧЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ}

\author{К.~Ю.~Осипенко}



\maketitle
\refstepcounter{section}
\section*{\S\arabic{section}. Введение}

Пусть $G$ --- односвязная область в комплексной плоскости, симметричная относительно вещественной оси. Обозначим через $A(G)$ класс аналитических в $G$ функций, ограниченных там по модулю единицей. Рассматривается задача приближенного вычисления интеграла
$$I(f)=\int_a^bf(x)p(x)\,dx,$$
где $f\in A(G)$, $(a,b)\subset G$, a $p$ --- некоторый вещественный неотрицательный вес, по значениям функции $f$ и ее производных в некоторой системе узлов.

Обозначим через
$$Z=\begin{pmatrix}
z_1,\ldots,z_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix}$$
систему различных узлов $z_1,\ldots,z_n\in G$ с кратностями $\nu_1,\ldots,\nu_n$. Положим $\displaystyle N=\sum_{j=1}^N\nu_j$. {\it Погрешностью наилучшего приближения интеграла $I(f)$ на классе $A(G)$ для данной системы $Z$ и веса $p$\/} будем называть величину
\begin{multline}\label{11}
r(G,Z,p)=\infp_S\sup_{f\in A(G)}\left|I(f)\right.\\\left.-S(f(z_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,
f^{(\nu_n-1)}(z_n)\right|,
\end{multline}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам)
$S\colon\mathbb C^N\to\mathbb C$. Метод $S_0$ будем называть {\it наилучшим для данной системы $Z$ и веса р}, если на нем достигается нижняя грань в равенстве \eqref{11}.

Известно \cite{1}, что для величины \eqref{11} имеет место равенство
\begin{equation}\label{12}
r(G,Z,p)=\sup_{\substack{f\in A(G)\\f^{(k)}(z_j)=0,\ j=1,\ldots,n,\ k=0,\ldots,\nu_j-1}}|I(f)|,
\end{equation}
а среди наилучших методов существует линейный. Тем самым задача о построении наилучшего метода сводится к задаче о нахождении наилучшей квадратурной формулы
$$I(f)\approx\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}a_{jk}f^{(k)}(z_j).$$

В рассматриваемой задаче от произвольной области $G$ можно перейти к некоторой фиксированной области $Q$, удовлетворяющей тем же условиям, что и область $G$, например, единичному кругу $D=\{z:|z|<1\}$ или внутренности эллипса $\mbox{Э}_c$ с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c$. Действительно, если $z=\alpha(w)$ --- конформное отображение области $\Omega$ на $G$, переводящее точки вещественной оси в точки вещественной оси, $a=\alpha(a_1)$, $b=\alpha(b_1)$, то исходная задача сведется к задаче построения на классе функций $g\in A(\Omega)$ наилучшей квадратурной формулы
$$\int_{a_1}^{b_1}g(x)q(x)\,dx\approx\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}b_{jk}g^{(k)}(w_j),$$
где $q(x)=p(\alpha(x))\alpha'(x)$ (отображение $\alpha$ может быть выбрано так, что $\alpha'(x)>0$ при $x\in\Omega\cap\mathbb R$), $g(x)=f(\alpha(x))$, а $\widetilde z_j=\alpha(w_j)$.

Положим $A_c=A(\mbox{Э}_c)$, $B=A(D)$. В \S~2 для произвольной системы $Z$ с четными $\nu_j$, $j=1,\ldots,n$, строится наилучшая на классе $B$ квадратурная формула. Построены также наилучшие квадратурные формулы на классе $A_c$ при $\nu_j<2$, $j=1,\ldots,n$, для $p_1(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ по узлам $\displaystyle\left\{\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi\right\}_{j=1}^n$ и для некоторого веса $p_2(x)\to\sqrt{1-x^2}$ при $c\to\infty$ по узлам $\displaystyle\left\{\cos\dfrac{j\pi}{n+1}\right\}_{j=1}^n$. Построенные квадратурные формулы при $c\to\infty$ переходят в квадратурные формулы Гаусса для соответствующих весов.

Обозначим через
\begin{equation}\label{13}
R(G,\nu,p)=\inf_{a\le z_1<\ldots<z_n\le b}r(G,Z,p).
\end{equation}

Если на точках $a\le z_1^0<\ldots<z_n^0\le b$ достигается нижняя грань в равенстве \eqref{13}, то наилучшую квадратурную формулу по этой системе точек с кратностями $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ будем называть {\it оптимальной для данных $p$ и $\nu$}. Задачам оценки величины $R(G,\nu,p)$ и доказательству существования оптимальной квадратурной формулы были посвящены работы \cite{2,3,4}. Особо пристальное внимание уделялось случаю, когда $G=D$ и $(a,b)=(-1,1)$. Соответствующие результаты и ссылки можно найти в работе \cite{5}.

В \S~3 изучается вопрос о единственности оптимальных узлов. Оказывается, что в общем случае единственности нет. Тем не менее, для достаточно больших $c$ на классе $A_c$ доказана единственность оптимальных узлов. Показано также, что квадратурные формулы, построенные в \S~2 и являющиеся оптимальными по порядку, являются оптимальными при достаточно больших $c$.

Построение оптимальных квадратурных формул приводит к необходимости исследования рациональных функций, аналогичных в некотором смысле ортогональным многочленам. В \S~3 построены рациональные функции, являющиеся аналогами многочленов Чебышева первого и второго рода. Отмечена также связь рассматриваемых задач с $n$-поперечниками.

Поскольку значения функций, как правило, бывают известны с некоторыми ошибками, то возникает задача нахождения погрешности метода с учетом этих ошибок. Рассмотрим случай, когда $\nu=(1,\ldots,1)$. Будем считать, что для любой функции $f\in A(G)$ известны значения $f_j$,
для которых $|f(z_j)-f_j|\le\delta$, $j=1,\ldots,n$. {\it Погрешностью метода интегрирования $S$\/} назовем величину
\begin{equation}\label{14}
\rho(G,Z,p,\delta,S)=\sup_{f\in A(G)}\sup_{\substack{f_j\\|f(z_j)-f_j|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|I(f)-S(f_1,\ldots,f_n)|.
\end{equation}

Величину
\begin{equation}\label{15}
r(G,Z,p,\delta)=\inf_S\rho(G,Z,p,\delta,S),
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным методам $S\colon\mathbb C^n\to\mathbb C$, будем
называть {\it погрешностью наилучшего приближения интеграла $I(f)$ по значениям в узлах системы $Z$, заданным с ошибкой $\delta$}. Эта величина при $\delta=0$ совпадает с величиной \eqref{11} для $\nu=(1,\ldots,1)$. Метод, на котором достигается нижняя грань в равенстве \eqref{15} будем называть {\it наилучшим для данного $\delta$}.

В задаче \eqref{15} имеет место равенство, аналогичное \eqref{12} (см.\ \cite{6,7}),
\begin{equation}\label{16}
r(G,Z,p,\delta)=\sup_{\substack{f\in A(G)\\f(z_j)\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|I(f)|.
\end{equation}
Кроме того, среди наилучших методов также существует линейный, т.~е. квадратурная формула.

В \S~4 находятся полные погрешности квадратурных формул, построенных в \S~2, при использовании значений функций, заданных с погрешностью $\delta$. Показано также, что найденные погрешности отличаются от погрешностей наилучшего приближения на величину $O(\delta^2)$.

\refstepcounter{section}
\section*{\S\arabic{section}. Наилучшие квадратурные формулы}

Рассмотрим задачу \eqref{11} на классе функций $B$, когда $-1\le a<b\le1$. Пусть $Z$ --- система различных точек $z_1,\ldots,z_n$ из интервала $(-1,1)$ с кратностями $\nu_1,\ldots,\nu_n$. Положим
$$W_j(z)=\frac{z-z_j}{1-z_jz},\quad\Phi(z)=\prod_{j=1}^nW_j^{\nu_j}(z),\quad\Phi_j(z)=\Phi(z)/
W_j^{\nu_j}(z).$$

\begin{theorem}\label{T21}
При четных $\nu_j$, $j=1,\ldots,n$, квадратурная формула
\begin{equation}\label{21}
I(f)\approx\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}a_{jk}f^{(k)}(z_j),
\end{equation}
где
\begin{gather}
a_{jk}=\int_a^bD_{jk}(x)p(x)\,dx,\notag\\
D_{jk}(x)=\frac{\Phi(x)(1-x^2)}{k!(\nu_j-k-1)!}\cdot\frac{\partial^{\nu_j-k-1}}{\partial\xi
^{\nu_j-k-1}}\left[\frac{(1-z_j\xi)^{\nu_j}}{
\Phi_j(\xi)(1-x\xi)(x-\xi)}\right]_{\big|\xi=z_j},\label{22}
\end{gather}
является наилучшим методом в задаче \eqref{11} на классе $B$. Для ее погрешности справедливо равенство
\begin{equation}\label{23}
r(D,Z,p)=\int_a^b\Phi(x)p(x)\,dx.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Для функций $f\in B$ при любом $x\in(-1,1)$ с помощью теоремы о вычетах получаем (см.\ \cite[с.~39]{7}, \cite{8})
\begin{equation}\label{24}
f(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}D_{jk}(x)f^{(k)}(z_j)=\frac1{2\pi i}\int_{|\xi|=1}\frac{
\Phi(x)(1-x^2)f(\xi)}{\Phi(\xi)(1-x\xi)(\xi-x)}\,d\xi,
\end{equation}
где
\begin{multline*}
\sum_{k=0}^{\nu_j-1}D_{jk}(x)f^{(k)}(z_j)\\
=\frac{\Phi(x)(1-x^2)}{(\nu_j-1)!}\cdot\frac{\partial^{\nu_j-1}}{\partial\xi
^{\nu_j-1}}\left[\frac{f(\xi)(1-z_j\xi)^{\nu_j}}
{\Phi_j(\xi)(1-x\xi)(x-\xi)}\right]_{\big|\xi=z_j}\\
=\frac{\Phi(x)(1-x^2)}{(\nu_j-1)!}\sum_{k=0}^{\nu_j-1}C_{\nu_j-1}^kf^{(k)}(z_j)\\
\times\frac{\partial^{\nu_j-k-1}}{\partial\xi^{\nu_j-k-1}}\left[\frac{(1-z_j\xi)^{\nu_j}}{
\Phi_j(\xi)(1-x\xi)(x-\xi)}\right]_{\big|\xi=z_j}.
\end{multline*}
Отсюда следуют равенства \eqref{22}. Из равенства \eqref{24} имеем
$$\biggl|f(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}D_{jk}(x)f^{(k)}(z_j)\biggr|
\le\Phi(x)\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1-x^2}{|\ei-x|^2}\,d\theta=\Phi(x).$$
Таким образом,
$$r(D,Z,p)\le\sup_{f\in B}\biggl|I(f)-\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}D_{jk}(x)f^{(k)}(z_j)\biggr|\le
\int_a^b\Phi(x)p(x)\,dx.$$
С другой стороны, $\Phi(z)\in B$ и из равенства \eqref{12} вытекает
$$r(D,Z,p)\ge\int_a^b\Phi(x)p(x)\,dx.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Отметим, что наилучшая квадратурная формула \eqref{21} может быть получена интегрированием наилучшего метода восстановления на классе $B_0$ --- подмножестве функций из $B$, вещественных на вещественной оси (см.\ \cite{9}).

Обозначим через
$$W(z)=\prod_{j=1}^nW_j(z),\quad\omega_j(z)=W(z)/W_j(z).$$
Используя равенства \eqref{22} и \eqref{23}, получаем

\begin{corollary}\label{C21}
При $\nu_1=\ldots=\nu_n=2$ квадратурная формула \eqref{21}, в которой
\begin{gather*}
a_{j1}=\int_a^b\frac{\omega_j^2(x)W_j(x)}{\omega_j^2(z_j)W_j'(z_j)}[1-W_j^2(x)]p(x)\,dx,\\
a_{j0}=\int_a^b\frac{\omega_j^2(x)}{\omega_j^2(z_j)}[1-W_j^4(x)]p(x)\,dx-
2\frac{\omega_j'(z_j)}{\omega_j(z_j)}a_{j1},
\end{gather*}
является наилучшим методом в задаче \eqref{11} для класса $B$. Для ее погрешности справедливо равенство
\begin{equation}\label{25}
r(D,Z,p)=\int_a^bW^2(x)p(x)\,dx.
\end{equation}
\end{corollary}

Утверждение этого следствия для класса $B_0$ и $p(x)=1$ было доказано в работе \cite{10}.

\begin{lemma}\label{L21}
Пусть $z_1,\ldots,z_n$ --- различные точки интервала $(-1,1)$, а функция $g(\xi)$ аналитична в $\ov{\mathbb C}$ за исключением, быть может, точек $z_j^{-1}$, в которых она может иметь полюсы порядка не выше $\nu_j$. Тогда при всех $x\in(-1,1)$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{26}
g(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}D_{jk}(x)g^{(k)}(z_j)=\Phi^2(x)g(x^{-1}).
\end{equation}
\end{lemma}

Доказательство леммы получается непосредственным применением при фиксированном $x\in(-1,1)$ теоремы о полной сумме вычетов к функции
$$\frac{\Phi(x)(1-x^2)g(\xi)}{\Phi(\xi)(1-x\xi)(\xi-x)}.$$

Применяя лемму~\ref{L21} к функции $g(\xi)=1$, получаем при всех $x\in(-1,1)$
$$\sum_{j=1}^nD_{j0}(x)=1-\Phi^2(x).$$
Отсюда
\begin{equation}\label{27}
\sum_{j=1}^na_{j0}=\int_a^b[1-\Phi^2(x)]p(x)\,dx.
\end{equation}
Рассмотрим теперь функции $g_j(x)=\dfrac{\omega_j(x)}{\omega_j(z_j)}[1-W_j^2(x)]$. При $\nu_1=\ldots=\nu_n=2$ из равенства \eqref{26} имеем
$$g_j(x)-D_{j0}(x)-\sum_{l=1}^nD_{l1}(x)g_j'(z_j)=-W^2(x)g_j(x).$$
Следовательно,
\begin{equation}\label{28}
a_{j0}=\int_a^bg_j(x)[1+W^2(x)]p(x)\,dx-\sum_{l=1}^na_{l1}g_j'(z_l).
\end{equation}

\begin{theorem}\label{T22}
Пусть $-1\le a<b\le1$ и система различных узлов $z_1,\ldots,z_n$ из интервала $(-1,1)$ такова, что
\begin{equation}\label{29}
\int_a^bW^2(x)\frac{1-W_j^2(x)}{W_j(x)}p(x)\,dx=0,\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Тогда квадратурная формула
\begin{equation}\label{210}
I(f)\approx\sum_{j=1}^na_jf(z_j),
\end{equation}
где $a_j$ определены равенствами
\begin{multline}\label{211}
a_j=\int_a^b\frac{\omega_j^2(x)}{\omega_j^2(z_j)}[1-W_j^4(x)]p(x)\,dx\\
=\int_a^b\frac{\omega_j(x)}{\omega_j(z_j)}[1-W_j^2(x)][1+W^2(x)]p(x)\,dx,
\end{multline}
является наилучшим методом на классе $B$ для задачи \eqref{11} при $\nu_j\le2$, $j=1,\ldots,n$. Для погрешности этой квадратурной формулы справедливо равенство \eqref{25}. Имеет место также равенство
\begin{equation}\label{212}
\sum_{j=1}^na_j=\int_a^b[1-W^4(x)]p(x)\,dx.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим $\displaystyle Z_2=\begin{pmatrix}
z_1,\ldots,z_n\\
2,\ldots,2\end{pmatrix}$. Из следствия~\ref{C21}
$$r(D,Z_2,p)=\int_a^bW^2(x)p(x)\,dx,$$
а в силу того, что условия \eqref{29} означают равенство нулю коэффициентов $a_{j1}$, $j=1,\ldots,n$, наилучшим методом является квадратурная формула \eqref{210}, где
$$a_j=\int_a^b\frac{\omega_j^2(x)}{\omega_j^2(z_j)}[1-W_j^4(x)]p(x)\,dx.$$
Равенство \eqref{212} следует из \eqref{27}, а из равенства \eqref{28} получается еще одно представление для коэффициентов $a_j$. Пусть теперь $Z$ --- система узлов $z_1,\ldots,z_n$ с кратностями $\nu_j\le2$, $j=1,\ldots,n$. Тогда имеем
$$r(D,Z_2,p)=\sup_{f\in B}\biggl|I(f)-\sum_{j=1}^na_jf(z_j)\biggr|\ge r(D,Z,p)\ge r(D,Z_2,p).$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Обозначим через $L$, $\Lambda$, $K$ полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $l$, $\lambda$, $k$, соответственно, а через $L'$, $\Lambda'$, $K'$ --- для дополнительных модулей. Для системы точек $t_1,\ldots,t_n$ положим
\begin{equation}\label{213}
\varphi_j(t)=\frac{\sn t_j\cn t_j\dn t_j(1-l^2\sn^4t)}{(\sn^2t_j-\sn^2t)(1-l^2\sn^2t_j\sn^2t)},\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Зависимость эллиптических функций Якоби от модуля будем отмечать лишь в случае, когда он отличен от $l$.

\begin{lemma}\label{L22}
Пусть функция $f(x)$, определенная на отрезке $[-1,1]$, такова, что функция $x^{-1}f(x)$ интегрируема на этом отрезке. Положим при $l\in[0,1)$
$$I_j=(-1)^{j+1}\int_0^Lf(x(t))\varphi_j(t)\,dt,\quad j=1,\ldots,n.$$
Тогда для всех $\lambda\in[0,1)$ при $x(t)=\sn\left[\left(\dfrac{2nt}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]$, $t_j=\dfrac{2j-1}{2n}L$:
\begin{itemize}
\item[1)] если $f(x)$ --- четная функция, то $I_j=0$, $j=1,\ldots,n$,\\
\item[2)] если $f(x)$ --- нечетная функция, то $I_1=\ldots=I_n$;
\end{itemize}
при $x(t)=\sn\left[\dfrac{2(n+1)t}L\Lambda,\lambda\right]$, $t_j=\dfrac{jL}{n+1}$ имеет место утверждение $1)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Используя известные в теории эллиптических функций тождества (см., например, \cite{11}), получаем
$$\varphi_j(t)=\frac12\left[\frac{\cn(t+t_j)\dn(t+t_j)}{\sn(t+t_j)}-
\frac{\cn(t-t_j)\dn(t-t_j)}{\sn(t-t_j)}\right].$$
Пусть $\lambda\in[0,1)$, $x(t)=\sn\left[\left(\dfrac{2nt}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]$ и $t_j=\dfrac{2j-1}{2n}L$. Если $f(x)$ --- четная функция, то, сделав замены переменных $u=t+t_j$ и $u=t-t_j$ будем иметь
\begin{equation}\label{214}
I_j=\frac{(-1)^{j+1}}2\biggl[\int_{t_j}^{L+t_j}\psi(u)\,du-\int_{-t_j}^{L-t_j}\psi(u)\,du\biggr],
\end{equation}
где
$$\psi(u)=f\left(\sn\left[\frac{2nu}L\Lambda,\lambda\right]\right)\frac{\cn u\dn u}{\sn u}.$$
Поскольку в этом случае для функции $\psi(u)$ будут справедливы равенства
\begin{equation}\label{215}
\psi(-u)=-\psi(u),\quad\psi(L-u)=-\psi(L+u),
\end{equation}
то из \eqref{214} нетрудно получить, что $I_j=0$, $j=1,\ldots,n$. В случае, когда $f(x)$ --- нечетная функция, сделав те же замены переменных, будем иметь
$$I_j=\frac12\biggl[\int_{t_j}^{L+t_j}\psi(u)\,du+\int_{-t_j}^{L-t_j}\psi(u)\,du\biggr].$$
В этом случае функция $\psi(u)$ удовлетворяет равенствам $\psi(-u)=\psi(u)$, $\psi(L-u)=\psi(L+u)$. Отсюда следует, что $\displaystyle I_1=\ldots=I_n=\int_0^L\psi(u)\,du$. В случае, когда $x(t)=\sn\left[\dfrac{2(n+1)t}L\Lambda,\lambda\right]$, $t_j=\dfrac{jL}{n+1}$, a $f(x)$ --- четная функция, аналогичные замены приводят к равенствам \eqref{214}, в которых
$$\psi(u)=f\left(x(u)\right)\frac{\cn u\dn u}{\sn u}.$$
Для этой функции выполнены равенства \eqref{215}, из которых с учетом \eqref{214} вытекает утверждение $1)$. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T23}
На классе функций $A_c$ для веса $p_1(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ и системы
$$T_1=\begin{pmatrix}
x_1,\ldots,x_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix},$$
где $x_j=\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi$, $\nu_j\le2$, квадратурная формула
\begin{equation}\label{216}
\int_{-1}^1f(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\approx\pi\frac{1-d_n(c)}n\sum_{j=1}^n
f\left(\cos\frac{2j-1}{2n}\pi\right)
\end{equation}
является наилучшей; здесь
\begin{equation}\label{217}
d_n(c)=\frac{(\lambda^2+2)\Lambda-2(\lambda^2+1)E}{3\lambda^2\Lambda}=6c^{-4n}+
O\left(c^{-8n}\right),
\end{equation}
$\Lambda$ и $E$ --- полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно, для модуля $\lambda$, определенного равенством
$$\frac{\Lambda'}\Lambda=\frac{4n}\pi\ln c.$$
Для погрешности наилучшей квадратурной формулы \eqref{216} имеют место соотношения
\begin{equation}\label{218}
r(\mbox{Э}_c,T_1,p_1)=\pi\frac{\Lambda-E}{\lambda\Lambda}=2\pi c^{-2n}+
O\left(c^{-6n}\right),\quad r(\mbox{Э}_c,T_1,p_1)<4\pi c^{-2n}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Функция $v=\sqrt k\sn\left(\dfrac{2K}\pi\arcsin w,k\right)$, где $k$ определяется из условия $\dfrac{K'}K=\dfrac4\pi\ln c$, отображает конформно эллипс $\mbox{Э}_c$ на единичный круг так, что отрезок $[-1,1]$ переходит в отрезок $[-\sqrt k,\sqrt k]$. Функция $z=(v-\sqrt k)/(1-\sqrt kv)$ преобразует конформно единичный круг, при этом отрезок $[-\sqrt k,\sqrt k]$ переходит в отрезок $[-l,0]$, где $l=2\sqrt k/(1+k)$. С помощью преобразования Гаусса эллиптических функций \cite[с.~134]{11} можно показать, что
$$\frac{-l\sn^2t-\sqrt k}{1-\sqrt kl\sn^2t}=\sqrt k\sn\left[\left(1-\frac{2t}L\right)K,k\right].$$
Отсюда следует, что функция
\begin{equation}\label{219}
z=-l\sn^2\left(\frac L\pi\arccos w\right)
\end{equation}
отображает конформно эллипс $\mbox{Э}_c$ на единичный круг, а отрезок $[-1,1]$ при этом отображении переходит в отрезок $[-l,0]$, где $l$ удовлетворяет условию $\dfrac{L'}L=\dfrac2\pi\ln c$. Это отображение переводит систему $T_1$ в систему
$\displaystyle Z_1=\begin{pmatrix}
z_1,\ldots,z_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix}$, где $z_j=-l\sn^2\dfrac{2j-1}{2n}L$. Таким образом, исходная задача сводится к построению наилучшей квадратурной формулы на классе $B$ по системе $Z_1$ для интеграла
$$\int_{-l}^0g(x)q_1(x)\,dx,\quad q_1(x)=\frac\pi{2L}[-x(l+x)(1+lx)]^{-1/2}.$$

Покажем, что для точек $z_1,\ldots,z_n$ и веса $q_1(x)$ выполняются условия \eqref{29}. Рассмотрим величины
\begin{multline*}
A_j=\int_{-l}^0W^2(x)\frac{1-W_j^2(x)}{W_j(x)}q_1(x)\,dx\\
=\int_{-l}^0W^2(x)\frac{(1-x^2)(1-z_j^2)}{(x-z_j)(1-z_jx)}q_1(x)\,dx.
\end{multline*}
Делая замену $x=-l\sn^2t$, получаем
$$A_j=\frac{2\pi}{lL\sn2t_j}\int_0^LW^2(-l\sn^2t)\varphi_j(t)\,dt,$$
где $\varphi_j(t)$ определены равенствами \eqref{213} при $t_j=\dfrac{2j-1}{2n}L$. Функцию
\begin{equation}\label{220}
W(-l\sn^2t)=\prod_{j=1}^n\frac{l\sn^2t_j-l\sn^2t}{1-l^2\sn^2t_j\sn^2t}
\end{equation}
с помощью первого главного преобразования $2n$-й степени (см.\ \cite{11}) можно записать в виде
\begin{equation}\label{221}
W(-l\sn^2t)=\sqrt\lambda\sn\left[\left(\dfrac{2nt}L+1\right)\Lambda,\lambda\right];
\end{equation}
здесь $\lambda$ определяется из равенств
$$\frac{\Lambda'}\Lambda=2n\frac{L'}L=\frac{4n}\pi\ln c.$$
Отсюда, используя лемму~\ref{L22}, получаем, что $A_1=\ldots=A_n=0$. Из теоремы~\ref{T22} вытекает, что квадратурная формула \eqref{210} является наилучшей. Для нахождения ее коэффициентов воспользуемся вторым из равенств \eqref{211}. В силу того, что
$$\omega_j(z_j)=\frac{W'(z_j)}{W_j'(z_j)}=(-1)^{j+1}\frac{\sqrt\lambda\Lambda n(1-l^2\sn^4t_j)}
{lL\sn t_j\cn t_j\dn t_j},$$
после замены $x=-l\sn^2t$, получаем
$$a_j=(-1)^{j+1}\frac\pi{\Lambda n}\int_0^Lf(x(t))\varphi_j(t)\,dt,$$
где $f(x)=x(1+\lambda x^2)$, $x(t)=\sn\left[\left(\dfrac{2nt}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]$. Из леммы~\ref{L22} следует, что $a_1=\ldots=a_n$. Таким образом, учитывая равенства \eqref{212}, \eqref{221}, имеем
\begin{multline*}
a_j=\frac1n\int_{-l}^0[1-W^4(x)]q_1(x)\,dx\\=\frac\pi{Ln}\int_0^L\left\{1-\lambda^2
\sn^4\left[\left(\dfrac{2nt}L+1\right)\Lambda,\lambda\right]\right\}\,dt\\
=\frac\pi n\left[1-\frac{\lambda^2}{2n}\int_1^{2n+1}\sn^4(u\Lambda,\lambda)\,du\right].
\end{multline*}
Нетрудно показать, что при любых целых $m$ и $r>0$ справедливо равенство
\begin{equation}\label{222}
\int_m^{m+1}\sn^{2r}(u\Lambda,\lambda)\,du=\int_0^1\sn^{2r}(u\Lambda,\lambda)\,du.
\end{equation}
Тем самым
$$a_j=\frac\pi n[1-d_n(c)],$$
где
$$d_n(c)=\lambda^2\int_0^1\sn^4(u\Lambda,\lambda)\,du=\frac{\lambda^2}\Lambda\int_0^1
\frac{t^4\,dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}.$$
Выражая последний интеграл через полные эллиптические интегралы первого и второго рода (см.\ \cite[с.~47]{12}), получим первое из соотношений \eqref{217}. Разлагая полные эллиптические интегралы $\Lambda$ и $E$ по степеням модуля $\lambda$ \cite[с.~152]{11}, будем иметь $d_n(c)=\dfrac38\lambda^2+O(\lambda^4)$. Из известного в теории эллиптических функций равенства
$$\sqrt k=2h^{1/4}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty h^{m(m+1)}}{\displaystyle1+2\sum_{m=1}^\infty h^{m^2}},\quad h=e^{-\textstyle\frac{\pi \Lambda'}\Lambda},$$
для $\lambda\in(0,1)$ следуют соотношения
\begin{equation}\label{223}
\lambda=4h^{1/2}+O(h^{3/2}),\quad h^{1/4}<\sqrt\lambda<2h^{1/4}.
\end{equation}
Поскольку $h=c^{-4n}$, то
\begin{equation}\label{224}
\lambda=4c^{-2n}+O(c^{-6n}),\quad\lambda<4c^{-2n}.
\end{equation}
Отсюда следует второе из соотношений \eqref{217}. Из теоремы~\ref{T22}, равенств \eqref{221}, \eqref{222} и \eqref{224} имеем
\begin{multline*}
r(\mbox{Э}_c,T_1,p_1)=r(D,Z_1,q_1)=\pi\lambda\int_0^1\sn^2(u\Lambda,\lambda)\,du\\
=\pi\frac{\Lambda-E}{\lambda\Lambda}=\frac\pi2\lambda+O(\lambda^3)=2\pi c^{-2n}+
O\left(c^{-6n}\right).
\end{multline*}
В силу того, что $\sn^2(u\Lambda,\lambda)<1$ при $u\in(0,1)$,
$$r(\mbox{Э}_c,T_1,p_1)<\pi\lambda<4\pi c^{-2n}.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T24}
На классе функций $A_c$ для веса
$$p_2(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\sn^2\left(\frac{2K}\pi\arccos x,k\right),$$
где $k$ определено равенством $\dfrac{K'}K=\dfrac4\pi\ln c$, и системы
$$T_2=\begin{pmatrix}
x_1,\ldots,x_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix},$$
где $x_j=\cos\dfrac{j\pi}{n+1}$, $\nu_j\le2$, квадратурная формула
\begin{equation}\label{225}
\int_{-1}^1f(x)p_2(x)\,dx\approx\sum_{j=1}^na_jf\left(\cos\frac{j\pi}{n+1}\right),
\end{equation}
в которой
\begin{gather*}
a_j=\pi LC_j^2\int_o^L\sn^2\left[\frac{2(n+1)t}L\Lambda,\lambda\right]\frac{1-l^4\sn^4(t-t_j)
\sn^4(t+t_j)}{\sn^2(t-t_j)\sn^2(t+t_j)}\,dt,\\
C_j=\frac{\sn t_j\cn t_j\sn2t_j}{(k+1)(n+1)\Lambda\dn t_j},\quad l=\frac{2\sqrt k}{1+k},\quad
t_j=\frac{jL}{n+1},
\end{gather*}
а $\lambda$ определяется из условия
$$\frac{\Lambda'}\Lambda=\frac{4(n+1)}\pi\ln c,$$
является наилучшей. Для ее погрешности справедливы соотношения
\begin{equation}\label{226}
\begin{gathered}
r(\mbox{Э}_c,T_2,p_2)=\pi\frac{\Lambda-E}{k\lambda\Lambda}=\frac{2\pi}{kc^2}c^{-2n}+
O\left(c^{-6n}\right),\\
r(\mbox{Э}_c,T_2,p_2)<2\pi c^{-2n}.
\end{gathered}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
С помощью отображения \eqref{219} сведем исходную задачу к задаче построения наилучшей квадратурной формулы на классе $B$ по системе $\displaystyle Z_2=\begin{pmatrix}
z_1,\ldots,z_n\\
\nu_1,\ldots,\nu_n\end{pmatrix}$, где $z_j=-l\sn^2\dfrac{jL}{n+1}$, для интеграла $\displaystyle\int_{-l}^0g(x)q_2(x)\,dx$. Найдем весовую функцию $q_2(x)$. В силу того, что при $l=\dfrac{2\sqrt k}{1+k}$
$$k=\frac{1-\sqrt{1-l^2}}{1+\sqrt{1-l^2}},$$
применяя преобразование Ландена \cite[с.~133]{11}, будем иметь
$$p_2(x)=\frac{\sn^2t\cn^2t}{M^2\sqrt{1-x^2}\dn^2t},\quad t=\frac L\pi\arccos x,\quad M=(1+\sqrt{1-l^2})^{-1}.$$
Следовательно,
$$q_2(x)=\frac{\pi\sqrt{-x(l+x)}}{2kL(1+lx)^{3/2}}.$$

Докажем выполнение условий \eqref{29} для точек $z_1,\ldots,z_n$ и веса $q_2(x)$. Аналогично доказательству теоремы~\ref{T23}, делая замену $x=-l\sn^2t$, имеем
\begin{multline*}
A_j=\int_{-l}^0W^2(x)\frac{1-W_j^2(x)}{W_j(x)}q_2(x)\,dx\\
=\frac{2\pi l}{kL\sn2t_j}\int_0^LW^2(-l\sn^2t)\frac{\sn^2t\cn^2t}{\dn^2t}\varphi_j(t)\,dt;
\end{multline*}
здесь $\varphi_j$ и $W$ определяются равенствами \eqref{213} и \eqref{220} при $t_j=jL/(n+1)$. Используя первое главное преобразование эллиптических функций $2(n+1)$-й степени, функцию $W$ можно записать в виде
\begin{equation}\label{227}
W(-l\sn^2t)=\frac{\sqrt\lambda}l\sn\left[\frac{2(n+1)t}L\Lambda,\lambda\right]\frac{\dn t}{\sn t\cn t},
\end{equation}
где
$$\frac{\Lambda'}\Lambda=2(n+1)\frac{L'}L=\frac{4(n+1)}\pi\ln c.$$
В силу леммы~\ref{L22} получаем
$$A_j=\frac{2\pi\lambda}{klL\sn2t_j}\int_0^L\sn^2\left[\dfrac{2(n+1)t}L\Lambda,\lambda\right]
\varphi_j(t)\,dt=0.$$
Из теоремы~\ref{T22} вытекает, что квадратурная формула \eqref{225}, коэффициенты которой могут быть найдены с помощью представления \eqref{227} и, например, первого из равенств \eqref{211}, является наилучшей. Для погрешности этой формулы аналогично доказательству теоремы~\ref{T23} имеем
\begin{multline*}
r(\mbox{Э}_c,T_2,p_2)=r(D,Z_2,q_2)=\frac{\pi\lambda}k\int_0^1\sn^2(u\Lambda,\lambda)\,du\\
=\pi\frac{\Lambda-E}{k\lambda\Lambda}=\frac\pi{2k}\lambda+O(\lambda^3).
\end{multline*}
Поскольку для $\lambda$ справедливы соотношения \eqref{223}, a $h=c^{-4(n+1)}$, то $\lambda=4c^{-2(n+1)}+O(c^{-6n})$ и $\lambda<4c^{-2(n+1)}$. Таким образом,
$$r(\mbox{Э}_c,T_2,p_2)=\frac{2\pi}{kc^2}c^{-2n}+O(c^{-6n}).$$
Из соотношений \eqref{223} при $h=e^{-\pi K'/K}$ имеем $\sqrt k>h^{1/4}=c^{-1}$. Отсюда следует, что $kc^2>1$. Тем самым
$$r(\mbox{Э}_c,T_2,p_2)<\frac{\pi\lambda}k<\frac{4\pi}{kc^2}c^{-2n}<4\pi c^{-2n}.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

Отметим, что при $c\to\infty$ \ $p_2\to\sqrt{1-x^2}$, а квадратурные формулы \eqref{216} и \eqref{225} переходят в квадратурные формулы Гаусса для соответствующих весов.

\refstepcounter{section}
\section*{\S\arabic{section}. Оптимальные квадратурные формулы}

Рассмотрим теперь задачу \eqref{13}. Обозначим через $P_0$ множество весовых функций $p(x)$, для каждой из которых существует многочлен $s(x)$ такой, что почти всюду на $[-1,1]$ \ $p(x)/s(x)\ge C>0$. В работе \cite{2} было доказано, что при $p\in P_0$, $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$, $\nu_j\le2$, имеют место неравенства
\begin{equation}\label{31}
M_1c^{-2n}\le R(\mbox{Э}_c,\nu,p)\le M_2c^{-2n},
\end{equation}
где $M_1$ и $M_2$ зависят только от $c$ и веса $p$.

Функция $p_1(x)=\sqrt{1-x^2}\in P_0$. Покажем, что $p_2(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\break
\times\sn^2\left(\dfrac{2K}\pi\arccos x,k\right)\in P_0$ при всех $k\in(0,1)$. Положим
$$f(t)=\frac1t\int_0^t\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\quad t\in\left(0,\frac\pi2\right].$$
Имеем
$$f'(t)=\frac1{t^2}\biggl(\frac t{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}-\int_0^t\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\biggr)\ge0.$$
Из того что $f(t)$ не убывает, получаем
$$\frac{2K}\pi=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\ge
\frac1t\int_0^t\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.$$
Таким образом, для любого $k\in(0,1)$
$$\sn\left(\frac{2K}\pi t,k\right)\ge\sin t,\quad t\in\left[0,\frac\pi2\right].$$
Отсюда $\sn^2\left(\dfrac{2K}\pi\arccos x,k\right)\ge1-x^2$ и, следовательно, $p_2\in P_0$. В силу неравенств \eqref{31}, оценок \eqref{218} и \eqref{226} квадратурные формулы \eqref{216} и
\eqref{225} являются оптимальными по порядку для всех $c>1$.

В работе \cite{4} при $p(x)=1$ было доказано существование оптимальной квадратурной формулы для произвольных кратностей. Доказательство не меняется в случае произвольного неотрицательного веса.

\begin{theorem}[\hspace{-0,1pt}\cite{4}]\label{T31}
Пусть $-1\le a<b\le1$, $p(x)$ --- неотрицательный на $[a,b]$ вес и $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные натуральные числа. Тогда существуют точки $a<z_1<\ldots<z_n<b$ такие, что квадратурная формула
\begin{equation}\label{32}
I(f)\approx\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^{\nu_j-1}a_{jk}f^{(k)}(z_j)
\end{equation}
$($коэффициенты $a_{jk}$ определены в теореме~$\ref{T21}$$)$ является оптимальной для данных $p$ и $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$. Квадратурная формула \eqref{32} является также оптимальной для всех $\mu=(\mu_1,\ldots,\mu_n)$, $\nu_j-1\le\mu_j\le\nu_j$, $j=1,\ldots,n$, при этом
$$R(D,\mu,p)=\int_a^b\prod_{j=1}^n\left(\frac{x-z_j}{1-z_jx}\right)^{\nu_j}p(x)\,dx.$$
\end{theorem}

Положим для $\ov x=(x_1,\ldots,x_n)$
\begin{gather*}
\Phi(x,\ov x)=\prod_{j=1}^n\left(\frac{x-x_j}{1-x_jx}\right)^{\nu_j},\quad\Phi_j(x,\ov x)=
\Phi(x,\ov x)\left(\frac{1-x_jx}{x-x_j}\right)^{\nu_j},\\
\varphi(\ov x)=\int_a^b\Phi(x,\ov x)p(x)\,dx,\\
\varphi_j(\ov x)=\frac{\partial\varphi(\ov x)}{\partial x_j}=-\nu_j\int_a^b\Phi(x,\ov x)
\frac{1-x^2}{(1-x_jx)(x-x_j)}p(x)\,dx.
\end{gather*}
Оптимальные узлы $\ov z=(z_1,\ldots,z_n)$ должны удовлетворять равенствам
\begin{equation}\label{33}
\varphi_j(\ov z)=0,\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Из теоремы~\ref{T21} следует, что
$$a_{j,\nu_j-1}=-\frac{(1-z_j^2)^{\nu_j}}{\nu_j!\Phi_j(z_j,\ov z)}\varphi_j(\ov z)=0$$
(поэтому эти коэффициенты отсутствуют в оптимальной квадратурной формуле), а
\begin{multline*}
a_{j,\nu_j-2}=\frac{(1-z_j^2)^{\nu_j}}{(\nu_j-2)!\Phi_j(z_j,\ov z)}\\
\times\int_a^b\Phi(x,\ov x)(1-x^2)\frac{(1-xz_j)^2+x^2(1-z_j^2)}{(1-x_jx)^2(x-x_j)^2}p(x)\,dx>0,
\end{multline*}
если вес $p(x)$ неэквивалентен нулю.

Оказывается, что в общем случае система \eqref{33} может иметь неединственное решение. Более того, оптимальные узлы могут быть также неединственными. Тем не менее, будет показано, что для $[a,b]=[-\sqrt k,\sqrt k]$ при некоторых условиях, которые фактически означают достаточную малость $k$ (или, если рассматривать задачу на классе $A_c$, --- достаточно большую область аналитичности), единственность есть. В дальнейшем в качестве весов $p(x)$ будем рассматривать неотрицательные и неэквивалентные нулю весовые функции.

Положим
\begin{gather*}
I(x_1,\ldots,x_n,p,k)=\frac{D(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)}{D(x_1,\ldots,x_n)},\\
\gamma_m(p,k)=\inf_{t_j}\int_{-1}^1\prod_{j=1}^m(t-t_j)^2p^*(\sqrt kt)\,dt,
\end{gather*}
где $p^*(\sqrt kt)$ --- нормированный вес:
$$p^*(\sqrt kt)=\dfrac{p(\sqrt kt)}{\displaystyle\int_{-1}^1p(\sqrt kt)\,dt}.$$

\begin{lemma}\label{L31}
Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные натуральные числа, $\displaystyle N=\sum_{j=1}^n\nu_j$, $\displaystyle\nu=\min_{1\le j\le n}\nu_j$. Если выполнено условие
\begin{equation}\label{34}
k\le\frac{\nu-1}{9\nu-7+N2^{N-1}\gamma_{\frac N2-1}^{-1}(p,k)},
\end{equation}
то для всех точек $-\sqrt k<z_1<\ldots<z_n<\sqrt k$, удовлетворяющих равенствам \eqref{33}, $I(z_1,\ldots,z_n,p,k)>0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Обозначим элементы якобиана $I(z_1,\ldots,z_n,p,k)$ через $a_{jl}$. Имеем
\begin{multline*}
a_{jj}=\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_j}\bigg|_{\ov x=\ov z}\\=\nu_j\int_{-\sqrt k}
^{\sqrt k}\Phi(x,\ov z)\frac{\nu_j(1-x^2)-1+2z_jx-x^2}{(1-z_jx)^2(x-z_j)^2}(1-x^2)p(x)\,dx.
\end{multline*}
В силу равенств \eqref{33} получаем
\begin{multline*}
a_{jj}=a_{jj}+\frac{2z_j}{1+z_j^2}\varphi_j(\ov z)=\nu_j\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\Phi(x,\ov z)\\
\times\left[\nu_j(1-x^2)-\frac{1-z_j^2}{1+z_j^2}(1+x^2)\right]\frac{(1-x^2)p(x)}{(1-z_jx)^2(x-z_j)^2}\,dx.
\end{multline*}
Поскольку $\nu_j\ge\nu$, то
\begin{equation}\label{35}
\nu_j(1-x^2)-\frac{1-z_j^2}{1+z_j^2}(1+x^2)\ge\nu-1-(\nu+1)x^2.
\end{equation}
Из условия \eqref{34} и очевидного неравенства $\gamma_m(p,k)\le1$ следует, что $k\le(\nu-1)/(9\nu-3)<(\nu-1)/(\nu+1)$. Отсюда вытекает утверждение леммы при $n=1$. Пусть $n>1$. Тогда
$$a_{jj}>\nu_j\frac{[\nu-1-(\nu+1)k](1-k)}{(1+k)^{N+2}}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}(x-z_j)^{\nu_j-2}\prod_{l\ne j}(x-z_l)^{\nu_l}p(x)\,dx.$$
После замены $x=\sqrt kt$ будем иметь
\begin{equation}\label{36}
a_{jj}>\nu_j\frac{[\nu-1-(\nu+1)k](1-k)}{(1+k)^{N+2}}k^{\textstyle\frac{N-1}2}\gamma_{\frac N2-1}(p,k)\int_{-1}^1p(\sqrt kt)\,dt.
\end{equation}
При $l\ne j$
\begin{multline*}
a_{jl}=\frac{\partial\varphi_j}{\partial x_l}\bigg|_{\ov x=\ov z}\\
=\nu_j\nu_l\int_{-\sqrt k}
^{\sqrt k}\Phi(x,\ov z)\frac{(1-x^2)^2p(x)}{(1-z_jx)(x-z_j)(1-z_lx)(x-z_l)}\,dx.
\end{multline*}
В силу равенств \eqref{33}
\begin{multline*}
a_{jl}=a_{jl}+\frac{\nu_l(1+z_j^2)\varphi_j(\ov z)-\nu_j(1+z_l^2)\varphi_l(\ov z)}
{(z_j-z_l)(1-z_lz_j)}\\
=-2\nu_j\nu_l\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\Phi(x,\ov z)\frac{x^2(1-x^2)p(x)}{(1-z_jx)(x-z_j)(1-z_lx)(x-z_l)}\,dx.
\end{multline*}
Нетрудно убедиться, что при всех $x,z\in[-\sqrt k,\sqrt k]$ справедливы неравенства
$$\left|\frac{x-z}{1-zx}\right|\le\frac{2\sqrt k}{1+k},\quad \frac1{1-zx}\le\frac1{1-k},\quad\frac{1-x^2}{(1-zx)^2}\le\frac1{1-k}.$$
Отсюда
$$|a_{jl}|\le2\nu_j\nu_l\left(\frac{2\sqrt k}{1+k}\right)^{N-2}\frac k{(1-k)^3}\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}p(x)\,dx.$$
Поэтому
\begin{equation}\label{37}
\sum_{l\ne j}|a_{jl}|<\nu_jN2^{N-1}\frac{k^{(N+1)/2}}{(1+k)^{N-2}(1-k)^3}\int_{-1}^1p(\sqrt kt)\,dt.
\end{equation}
Для положительности якобиана $I(z_1,\ldots,z_n,p,k)$ достаточно выполнения неравенств
$$a_{jj}>\sum_{l\ne j}|a_{jl}|,\quad j=1,\ldots,n$$
(см., например, \cite[с.~415]{14}). Из \eqref{36}, \eqref{37} вытекает, что для этого достаточно, чтобы было выполнено неравенство
\begin{equation}\label{38}
N2^{N-1}\gamma_{\frac N2-1}^{-1}(p,k)\le f(k),
\end{equation}
где $f(k)=[\nu-1-(\nu+1)k](1-k)^4(1+k)^{-4}$. Можно показать, что при $0\le k\le(\nu-1)(\nu+1)^{-1}$ \ $f''(k)>0$, а поскольку $f'(0)=7-9\nu$, то $f(k)\ge\nu-1-(9\nu-7)k$. Таким образом, неравенство \eqref{38} будет выполнено, если
$$N2^{N-1}\gamma_{\frac N2-1}^{-1}(p,k)k\le\nu-1-(9\nu-7)k,$$
что совпадает с условием \eqref{34}. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L32}
При $n=1$ оптимальный узел с кратностью $\mu$ единственен для любой весовой функции тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{39}
k\le(\nu-1)/(\nu+1),
\end{equation}
где $\nu=2[(\mu+1)/2]$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Из теоремы~\ref{T31} следует существование оптимального узла для любой кратности $\mu$ и совпадение его с оптимальным узлом для кратности $\nu$. Для любого оптимального узла $z_1$ должно выполняться равенство $\varphi_1(z_1)=0$. Из доказательства леммы~\ref{T31} (см.\ неравенство \eqref{35}) следует, что при выполнении условия \eqref{39} для всех точек $z_1$ в которых $\varphi_1(z_1)=0$, $\varphi_1'(z_1)>0$. Отсюда следует единственность оптимального узла для любой весовой функции.

Пусть теперь $(\nu-1)(\nu+1)^{-1}<k\le1$. Положим $p(x)=|x|^\alpha$, $\alpha>0$. Функция
$$\varphi(z)=\int_{-\sqrt k}^{\sqrt k}\left(\frac{x-z}{1-zx}\right)|x|^\alpha\,dx$$
является четной, поэтому оптимальный узел может быть единственным лишь при условии, что он равен нулю. Непосредственным вычислением находим
\begin{multline*}
\varphi''(0)=2\nu k^{\textstyle\frac{\alpha+\nu-1}2}\\
\times\frac{(1-k)[\nu-1-(\nu+1)k]\alpha^2+2[\nu(\nu+1)(1-k)^2-2]\alpha+c(k,\nu)}
{(\alpha+\nu-1)(\alpha+\nu+1)(\alpha+\nu