\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
\tolerance 890
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother
\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother


%\renewcommand{\thesection}{\bf\S\ \arabic{section}}
%\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newcommand{\LLL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\BL}{BL_\infty}
\newcommand{\hhl}{(\F_\infty,L_\infty)}
\newcommand{\hhm}{(W,L_\infty)}
\newcommand{\hh}{h_\infty^\beta}
\newcommand{\HH}{H_\infty^\beta}
\newcommand{\HQ}{H_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\hQ}{h_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcommand{\BO}{\hbox{\boldmath$\Omega$}}
%\newcommand{\at}[2]{{\substack{#1\\#2}}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb R}
\newcommand{\bbbt}{\mathbb T}
\newcommand{\bbbz}{\mathbb Z}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb N}
\newcommand{\bbbc}{\mathbb C}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\wa}{\widetilde\alpha}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\In}{In}

\begin{document}
\noindent УДК 517.53

\bigskip

\title[Наилучшие методы приближения]{Наилучшие методы приближения аналитических
функций, заданных с погрешностью}
\author[]{\bf Осипенко~К.~Ю.}
\maketitle

\setcounter{section}{0}

\section*{Введение}

Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на вещественном линейном пространстве $X$, $W$ --- множество из $X$. В работах \cite{1}, \cite{2} была поставлена задача о наилучшем приближении функционала $L$ на множестве $W$ по значениям функционалов $l_1,\ldots,l_n$. Погрешностью наилучшего приближения называлась величина
$$r(L,l)=\infp_T\sup_{x\in W}|L(x)-T(lx)|,$$
где $lx=(l_1(x),\ldots,l_n(x))$, a $T\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$. Метод $T_0$ назывался наилучшим методом приближения, если выполнялось равенство
$$\sup_{x\in W}|L(x)-T_0(lx)|=r(L,l).$$

В этих же работах было доказано, что в случае, когда $W$ --- выпуклое и центрально-симметричное множество с центром симметрии $0$, имеет место равенство
$$r(L,l)=\sup_{x\in W_0}|L(x)|,$$
где $W_0=\{x\in W:lx=0\}$, причем среди наилучших методов существует линейный $\biggl(\mbox{т.~е. имеющий вид }T(lx)=\displaystyle\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)\biggr)$.

Эта задача, а также задача минимизации величины $r(L,l)$ за счет выбора функционалов $l_1,\ldots,l_n$ из некоторого множества рассматривались в работах \cite{3,4,5,6,7,8,9}.

В работе \cite{10} после обобщения данной постановки и соответствующих результатов на комплексный случай рассматривалась задача приближения аналитических функций по точным значениям в конечном числе точек.

В силу того, что в задачах приближения функционалы $l_1,\ldots,l_n$ часто бывают известны с погрешностью, в работе \cite{11} было предложено рассматривать задачу приближения функционала $L$ по значениям $\widetilde l_1,\ldots,\widetilde l_n$ таким, что $\widetilde l_i(x)=l_i(x)+\rho_i(x)$, где при всех $x\in W$ для $\rho(x)=(\rho_1(x),\ldots,\rho_n(x))$ справедливо неравенство $\|\rho(x)\|\le\delta$, а $\|\cdot\|$ --- какая-либо норма в $\mathbb R^n$. Погрешностью наилучшего приближения в этом случае называлась величина
\begin{equation}\label{01}
r(L,l,\delta)=\infp_T\sup_{x\in W}\sup_{\|\rho\|\le\delta}|L(x)-T(\widetilde lx)|,
\end{equation}
а наилучшим методом --- метод, на котором достигается нижняя грань в равенстве \eqref{01}.

Дальнейшее обобщение на бесконечномерный случай, а также многочисленные примеры применения данных задач к конкретным классам функций можно найти в работах \cite{12,13,14} (см. также \cite{15}, \cite{16}).

Сформулируем теперь результат, вытекающий из работ \cite{10,11,12}.

\newtheorem*{A}{Теорема~A}

\begin{A}\it
Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на вещественном $($комплексном$)$ линейном пространстве $X$. Множество $W\subset X$ является выпуклым и центрально-симметричным с центром симметрии $0$ $($выпуклым и круговым$)$. Тогда при всех $\delta\ge0$:

$1)$ справедливо равенство
$$r(L,l,\delta)=\sup_{x\in W_\delta}|L(x)|,$$
где $W_\delta=\{x\in W:\|lx\|\le\delta\}$, причем среди наилучших методов приближения
существует линейный, т.~е. имеющий вид
\begin{equation}\label{02}
L(x)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\widetilde l_j(x);
\end{equation}

$2)$ если функция $\displaystyle\varphi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{x\in A_j(\varepsilon,\delta)}\RE L(x)$ $($и $\displaystyle\psi_j(\varepsilon,\delta)=\varphi_j(i\varepsilon,\delta)$$)$, где $A_j(\varepsilon,\delta)=\{x\in W:\IM L(x)=0,\ \|lx-\varepsilon e_j\|\le\delta\|\}$, $\{e_j\}=\begin{cases}0,&j\ne k,\\
1,&j=k,\end{cases}$ дифференцируема в нуле по $\varepsilon$, то коэффициент $D_j(\delta)$ в линейном наилучшем методе \eqref{02} определен однозначно: $D_j(\delta)=\dfrac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}$ $\biggl( D_j(\delta)=\dfrac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}-
i\dfrac{\partial\psi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}\biggr)$;

$3)$ имеет место соотношение
\begin{equation}\label{03}
r(L,l,\delta)=\min_{D_j\in\mathbb R(\mathbb C)}\biggl\{\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)\biggr|+\delta\|D\|_*\biggr\},
\end{equation}
где
$$\|D\|_*=\sup_{\substack{y\in\mathbb R^n(\mathbb C^n)\\\|y\|\le1}}\biggl|\sum_{j=1}^nD_jy_j\biggr|,$$
а метод \eqref{02} является наилучшим тогда и только тогда, когда $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ минимизируют правую часть равенства \eqref{03}.
\end{A}

Для задач приближения по функционалам $l_1,\ldots,l_n$, заданным с погрешностью, характерен случай, когда информация о некоторых функционалах является лишней. Можно рассмотреть задачу приближения функционала $L$ по приближенным значениям некоторой подсистемы функционалов $l_\tau=(l_{i_1},\ldots,l_{i_k})$, $\tau=(i_1,\ldots,i_k)$, назвав погрешностью наилучшего приближения величину
$$r(L,l_\tau,\delta)=\infp_T\sup_{x\in W\vphantom{\|\rho\|}}\sup_{\|\rho\|\le\delta}|L(x)-T(P_\tau\widetilde lx)|,$$
где $T\colon\mathbb R^k\to\mathbb R$, а $P_\tau\widetilde lx=(\widetilde l_{i_1},\ldots,\widetilde l_{i_k})$. Для погрешности наилучшего приближения по подсистеме $l_\tau$ выполнено очевидное неравенство
\begin{equation}\label{04}
r(L,l_\tau,\delta)\ge r(L,l,\delta).
\end{equation}

В работе \cite{17} было введено понятие порядка информативности системы $\In(l_1,\ldots,l_n,\delta)$ как наименьшего числа функционалов в подсистемах, для которых соотношение \eqref{04} обращается в равенство. Подсистемы, обладающие этим свойством, число функционалов в которых равнялось порядку информативности, назывались полными информативными системами. Работа \cite{17} была посвящена исследованию этих понятий для случая, когда $X$ --- гильбертово пространство.

Эффект ``лишней информации'' был отмечен также в работе \cite{18}, в которой изучалась задача наилучшей интерполяции на классе гладких функций по неточным данным. Результаты этой работы и результаты, полученные в данной статье, несмотря на различия исследуемых классов функций, аналогичны. Аналогия между задачами приближения по точным данным на классах гладких функций, где существенную роль играют идеальные сплайны, и задачами приближения на классах аналитических функций, где соответствующую роль играют произведения Бляшке, отмечалась в работе  \cite{14}. Оказывается, что эта аналогия сохраняется и в случае приближения по неточным данным.

Следует отметить, что ситуация, когда информация о некоторых из функционалов не уменьшает погрешности наилучшего приближения, имеет место и для приближения по точным данным, хотя, видимо, не столь характерна, как в случае приближения по неточным данным. Так, например, если через $W^{(2n)}(M;a,b)$ обозначить класс функций, определенных на отрезке $[a,b]$ и удовлетворяющих неравенству $|f^{(2n)}(x)|\le M$, $x\in[a,b]$, то наилучшим методом приближения функционала $\displaystyle L(f)=\int_a^bf(x)p(x)\,dx$, $p(x)>0$, по точным значениям $f(x_1),f'(x_1),\ldots,f(x_n),f'(x_n)$ является проинтегрированная интерполяционная формула Эрмита
\begin{equation}\label{05}
\int_a^bf(x)p(x)\,dx\approx\sum_{j=1}^nC_jf(x_j)+\sum_{j=1}^nD_jf'(x_j)
\end{equation}
с погрешностью
$$r(x_1,\ldots,x_n)=\frac M{(2n)!}\int_a^b\prod_{j=1}^n(x-x_j)^2p(x)\,dx.$$
Этот результат нетрудно получить, используя метод, описанный в работе \cite{11} (коэффициенты $C_j$ и $D_j$ легко выписываются в явном виде).

Если теперь рассмотреть оптимальную квадратурную формулу (оптимальным называют метод, погрешность которого минимизирована за счет выбора узлов), то коэффициенты $D_j$ обратятся в нуль, и в полученной формуле, являющейся квадратурной формулой Гаусса, информация о значениях $f'(x_1^0),\ldots,f'(x_n^0)$ учитываться не будет. Интересно, что аналогичная ситуация возникает при построении оптимальной квадратурной формулы на классе аналитических функций (см. \cite{5}).

Рассмотрим постановку задачи, которая будет исследоваться в данной работе. Пусть $B$ --- класс аналитических в единичном круге $K=\{z:|z|<1\}$ функций, удовлетворяющих условию $|f(z)|\le1$, $z\in K$. Положим в \eqref{01} $W=B$, $L(f)=f(z_0)$, $l_j(f)=f(z_j)$, $j=1,\ldots,n$, где $z_0\in K$, $z_1,\ldots,z_n$ --- различные точки из круга $K$, а $\displaystyle\|\rho\|=\max_j|\rho_j|$. Погрешность наилучшего приближения в силу этого будем обозначать через $r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$. Требуется найти величину $r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$, наилучший метод приближения, порядок информативности системы $f(z_1),\ldots,f(z_n)$, который будем обозначать через $\In(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$, и полные информативные системы (узлы). Будем рассматривать поставленную задачу для случая, когда точки $z_0,z_1,\ldots,z_n$ лежат на вещественной оси.

В сформулированной задаче большую роль играет обобщенная экстремальная задача Хейнса--Уолша (см. \cite{19}) о нахождении величины
\begin{equation}\label{06}
\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta<1,\ z\in E}}|f(z_0)|.
\end{equation}

\newtheorem*{B}{Теорема~B}

\begin{B}\it
Пусть $E\subset(-1,1)$ --- замкнутое множество. При $\delta>0$ экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06}, где $z_0\in(-1,1)\setminus E$, единственна с точностью до множителя $e^{i\alpha}$, $\alpha\in\mathbb R$, и имеет вид
$$f^*(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1).$$
При этом существует множество $D_N=\{z_1,\ldots,z_N\}$, $z_j\in E$, такое, что $|f(z)|=\delta$, $z\in D_N$, и решение задачи \eqref{06} на множестве $E$ совпадает с решением на множестве $D_N$.
\end{B}

\begin{proof}
Из теоремы~4.7 работы \cite{19} следует, что экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06} единственна с точностью до множителя $e^{i\alpha}$ и имеет вид
$$f^*(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov \alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1.$$
Существование множества $D_N$ вытекает из теоремы~6.1 той же работы. Остается доказать вещественность нулей $f^*(z)$. Рассмотрим функцию
$$g(z)=\prod_{\substack{j=1\\j\ne k}}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov \alpha_jz}\cdot\frac{z-\ov\alpha_k}{1-\alpha_kz}.$$
Из очевидного равенства при $z\in(-1,1)$
$$\left|\frac{z-\ov\alpha_k}{1-\alpha_kz}\right|=\left|\frac{z-\alpha_k}{1-\ov\alpha_kz}\right|$$
следует, что $g(z)$ также является экстремальной функцией в задаче \eqref{06}. Таким образом, при некотором $\beta\in\mathbb R$ должно выполняться равенство $e^{i\beta}g(z)=f^*(z)$, из которого следует, что $\alpha_k=\ov\alpha_k$. Теорема доказана.
\end{proof}

\refstepcounter{section}
\section*{\S\arabic{section}. Погрешность наилучшего приближения и порядок информативности}

Докажем сначала несколько вспомогательных утверждений.

\begin{lemma}\label{L11}
Положим
$$B_1(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^n\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\ |\alpha_j|<1,\quad B_2(z)=e^{i\beta}\prod_{j=1}^k\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},\ |\beta_j|<1.$$
Пусть разность $\Phi(z)=B_1(z)-B_2(z)$ обращается в нуль в $l$ точках на единичной окружности $|z|=1$. Тогда если $B_1(z)\not\equiv B_2(z)$, то число нулей $m$ $($с учетом кратности$)$ функции $\Phi(z)$ в круге $K=\{z:|z|<1\}$ удовлетворяет неравенству
\begin{equation}\label{11}
m\le\frac{n+k-l}2.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Нетрудно видеть, что
$$\Phi(z)=p(z)\biggl[\prod_{j=1}^n(1-\ov\alpha_jz)\prod_{j=1}^k(1-\ov\beta_jz)\biggr]^{-1},$$
где
$$p(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^n(z-\alpha_j)\prod_{j=1}^k(1-\ov\beta_jz)-e^{i\beta}\prod_{j=1}^k
(z-\beta_j)\prod_{j=1}^n(1-\ov\alpha_jz).$$
При всех $z\ne0$ имеем
\begin{equation}\label{12}
\ov{p\left(\frac1{\ov z}\right)}=-e^{-i(\alpha+\beta)}p(z)z^{-(n+k)}.
\end{equation}
В силу того, что $p(z)$ является многочленом степени не выше $n+k$, справедливо представление
$$p(z)=Cz^p\prod_{j=1}^s(z-a_j)^{k_j},\quad p+\sum_{j=1}^sk_j\le n+k,$$
где $a_1,\ldots,a_s$ различны и не равны нулю. Из равенства \eqref{12} имеем
$$\ov Cz^{-p}\prod_{j=1}^s\left(\frac1z-\ov a_j\right)^{k_j}=-e^{-i(\alpha+\beta)}z^{-(n+k)}Cz^p\prod_{j=1}^s(z-a_j)^{k_j}.$$
Отсюда получаем
$$z^{n+k}\prod_{j=1}^s\left(z-\frac1{\ov a_j}\right)^{k_j}=z^{2p+\sum\limits_{j=1}^sk_j}\prod_{j=1}^s(z-a_j)^{k_j}.$$
Следовательно, $n+k=2p+\sum\limits_{j=1}^sk_j$ и, если $a_j$ --- корень $p(z)$ кратности $k_j$, то $\ov a_j^{\,-1}$ также корень кратности $k_j$. Пусть $r$ --- число нулей функции $\Phi(z)$, а следовательно, и функции $p(z)$, лежащих в круге $K$ и отличных от нуля. Тогда
$$p+2r+l\le p+\sum_{j=1}^sk_j=n+k-p.$$
Из последнего соотношения, учитывая, что общее число нулей в круге $K$ равно $p+r$, получаем неравенство \eqref{11}. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L12}
Пусть $-1<a_1<b_1<a_2<b_2<a_3<b_3<1$, $z_0\in(b_2,a_3)$ и $f(z)=\dfrac{z-\alpha_1}{1-\alpha_1z}\cdot\dfrac{z-\alpha_2}{1-\alpha_2z}$, где $b_1<\alpha_1\le\alpha_2<a_2$. Тогда существует функция $g(z)\in B$, удовлетворяющая неравенствам
\begin{equation}\label{13}
|g(z)|\le|f(z)|,\ z\in[a_i,b_i],\ i=1,2,3,\quad|g(z_0)|>|f(z_0)|.
\end{equation}
При $b_2<\alpha_1\le\alpha_2<a_3$ и $z_0\in(b_1,a_2)$ также существует функция $g(z)\in B$,
удовлетворяющая неравенствам \eqref{13}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Рассмотрим сначала случай, когда $b_1<\alpha_1<\alpha_2<a_2$ и $z_0\in(b_2,a_3)$. Положим $z_1=b_2$, $z_2=a_3$,
$$A_i=f(z_i),\quad A_i(\beta)=A_i\frac{1-\beta z_i}{\beta-z_i},\quad i=1,2.$$
Покажем, что при $\beta$, достаточно близких к единице, существуют $\gamma_1$, $\gamma_2$, близкие к $\alpha_1$, $\alpha_2$, такие, что
\begin{equation}\label{14}
\frac{z_i-\gamma_1}{1-\gamma_1z_i}\cdot\frac{z_i-\gamma_2}{1-\gamma_2z_i}=A_i(\beta),\quad i=1,2.
\end{equation}
Равенства \eqref{14} эквивалентны системе
$$z_i\left[A_i(\beta)-1\right]p+\left[1-A_i(\beta)z_i^2\right]q=A_i(\beta)-z_i^2,\quad i=1,2,$$
где $p=\gamma_1+\gamma_2$, $q=\gamma_1\gamma_2$. Можно убедиться, что определитель этой системы при $\beta\to1$ стремится к величине, отличной от нуля. Следовательно, при $\beta$, достаточно близких к единице, значения $p$ и $q$ будут определены и близки к значениям $\alpha_1+\alpha_2$ и $\alpha_1\alpha_2$. В силу того, что $\alpha_1\ne\alpha_2$, при $\beta$, достаточно близких к единице, $p^2-4q>0$. Таким образом, $\gamma_1$, $\gamma_2$ будут вещественны и близки к $\alpha_1$, $\alpha_2$. Выберем $\beta\in(b_3,1)$ так, чтобы $\gamma_1,\gamma_2\in(b_1,a_2)$.

Рассмотрим теперь функцию
$$g(z)=\frac{z-\gamma_1}{1-\gamma_1z}\cdot\frac{z-\gamma_2}{1-\gamma_2z}\cdot\frac{\beta-z}{1-
\beta z}.$$
Вследствие выбора $\gamma_1$, $\gamma_2$ разность $g(z)-f(z)$ обращается в нуль при $z=b_2,a_3,-1$. Из леммы~\ref{L11} следует, что в круге $K$ у этой разности лишь два корня $b_2$ и $a_3$ (оба кратности единица). Следовательно, $g(z)-f(z)\le0$ при $z\in[a_i,b_i]$, $i=1,2,3$, и $g(z)-f(z)>0$ при $z\in(b_2,a_3)$. Из того, что $\gamma_1,\gamma_2\in(b_1,a_2)$, а $\beta\in(b_3,1)$, вытекает неравенство $g(z)>0$ при $z\in[a_i,b_i]$, $i=1,2,3$. Тем самым неравенства \eqref{13} для функции $g(z)$ доказаны.

Пусть теперь $b_1<\alpha_1=\alpha_2<a_2$, $z_0\in(b_2,a_3)$. Рассмотрим функцию
$$f_1(z)=\frac{f(z)-\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2f(z)}=\frac{z-\wa_1}{1-\wa_1z}\cdot
\frac{z-\wa_2}{1-\wa_2z},$$
где $\wa_1=\dfrac{\alpha_1+\varepsilon}{1+\varepsilon\alpha_1}$, $\wa_2=\dfrac{\alpha_1-\varepsilon}{1-\varepsilon\alpha_1}$. При достаточно малых $\varepsilon>0$ будут выполнены неравенства $b_1<\wa_1<\wa_2<a_2$. Следовательно, найдется функция $g_1(z)\in B$ такая, что
\begin{equation}\label{15}
0<g_1(z)\le f_1(z),\ z\in[a_i,b_i],\ i=1,2,3,\quad g_1(z_0)>f_1(z_0).
\end{equation}
Рассмотрим функцию $g(z)=\dfrac{g_1(z)+\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2g_1(z)}$. Из неравенств \eqref{15} и того, что $f(z)=\dfrac{f_1(z)+\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2f_1(z)}$, следует справедливость неравенств \eqref{15} для функций $g(z)$ и $f(z)$, а тем самым справедливость  соотношений \eqref{13} для рассматриваемого случая.

Пусть $b_2<\alpha_1\le\alpha_2<a_3$, $z_0\in(b_1,a_2)$. Рассматривая отрезки $[-b_i,-a_i]$,
$i=1,2,3$, точку $-z_0\in(-a_2,-b_1)$ и функцию $f_1(z)=\dfrac{z+\alpha_1}{1+\alpha_1z}\cdot\dfrac{z+\alpha_2}{1+\alpha_2z}$, можно построить функцию $g_1(z)\in B$, удовлетворяющую неравенствам\rule{0pt}{8pt}
$$|g_1(z)|\le|f_1(z)|,\ z\in[-b_i,-a_i],\ i=1,2,3,\quad|g_1(-z_0)|>|f_1(-z_0)|.$$
Нетрудно видеть, что функция $g(z)=g_1(-z)$ будет удовлетворять неравенствам \eqref{13}, так как $f(z)=-f_1(-z)$. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L13}
Пусть $-1<a_1<b_1<a_2<b_2<1$, $z_0\in(b_1,a_2)$ и $f(z)=\dfrac{z-\alpha}{1-\alpha z}$, где $\alpha\in(b_1,a_2)$. Тогда существует функция $g(z)\in B$, удовлетворяющая неравенствам
\begin{equation}\label{16}
|g(z)|\le|f(z)|,\ z\in[a_i,b_i],\ i=1,2,\quad|g(z_0)|>|f(z_0)|.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Предположим, что $\alpha\le z_0$. Положим
$$\gamma=\frac{a_2-A}{1-Aa_2},\quad A=\frac{a_2-\alpha}{1-\alpha a_2}\cdot\frac{1-\beta a_2}{\beta-a_2}.$$
В силу того, что $\gamma\to\alpha-0$, если $\beta\to1-0$, можно выбрать $\beta\in(b_2,1)$ так, чтобы $\gamma\in(b_1,\alpha)$. Рассмотрим функцию
$$g(z)=\frac{z-\gamma}{1-\gamma z}\cdot\frac{\beta-z}{1-\beta z}.$$
Вследствие выбора $\gamma$ разность $g(z)-f(z)$ обращается в нуль при $z=a_2,-1$. Из леммы~\ref{L11} следует, что в круге $K$ у этой разности лишь один корень $a_2$. Следовательно, $f(z)-g(z)\ge0$ при $a_2\le z<1$ и $f(z)-g(z)\le0$ при $-1<z\le a_2$. Так как $g(z)>0$ при $z\in(\gamma,b_2)$, имеем
$$|g(z)|\le|f(z)|,\ z\in[a_2,b_2],\quad|g(z_0)|>|f(z_0)|.$$
Неравенство $|g(z)|\le|f(z)|$, $z\in[a_1,b_1]$, следует из того, что $f(z)\le g(z)<0$ при $z\in(-1,b_1]$.

Случай $\alpha>z_0$ рассматривается путем перехода к отрезкам $[-b_i,-a_i]$, $i=1,2$, аналогично тому, как это было сделано при доказательстве леммы~\ref{L12}. Лемма доказана.
\end{proof}

Обозначим через $B_0$ класс функций из $B$, вещественных на интервале $(-1,1)$.

\begin{lemma}\label{L14}
Пусть $-1=z_0<z_1<\ldots<z_n<z_{n+1}=1$.

$1)$ Если функция $f(z)\in B_0$, удовлетворяющая условиям
\begin{equation}\label{17}
f(z_j)=\delta_j^{(0)},\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
единственна, то она имеет вид
$$f(z)=\lambda\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1,$$
где $k<n$, а $\lambda=1$ или $-1$.

$2)$ Если множество функций из $B_0$, удовлетворяющих условиям \eqref{17}, содержит более одной функции, то оно содержит функцию вида
\begin{equation}\label{18}
g_0(z)=(-1)^{n+p}\prod_{j=1}^n\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1,\quad0\le p\le n,
\end{equation}
которая может быть получена из рекуррентных соотношений
\begin{equation}\label{19}
g_{m-1}(z)=\left[\frac{z-z_m}{1-z_mz}g_m(z)+\delta_m^{(m-1)}\right]
\left[1+\delta_m^{(m-1)}\frac{z-z_m}{1-z_mz}g_m(z)\right]^{-1},
\end{equation}
где $g_n(z)=(-1)^{n+p}$,
$$\delta_k^{(m)}=\frac{1-z_mz_k}{z_k-z_m}\cdot\frac{\delta_k^{(m-1)}-\delta_m^{(m-1)}}
{1-\delta_m^{(m-1)}\delta_k^{(m-1)}},\ k=m+1,\ldots,n,\ m=1,\ldots,n-1.$$

$3)$ Если функция $g_0\in B_0$ имеет вид \eqref{18}, то для любой функции $g(z)\in B_0$, удовлетворяющей условиям
\begin{equation}\label{110}
\begin{gathered}
(-1)^{j+p}[g(z_j)-g_0(z_j)]\le0,\quad j=1,\ldots,p,\\
(-1)^{j+p+1}[g(z_j)-g_0(z_j)]\le0,\quad j=p+1,\ldots,n,
\end{gathered}
\end{equation}
и для любого $z^*\in(z_p,z_{p+1})$ справедливо неравенство
$$g(z^*)\le g_0(z^*).$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Для того чтобы существовала функция $f(z)\in B_0$, удовлетворяющая условиям \eqref{17}, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих двух условий:
\begin{gather}\label{111}
|\delta_1^{(0)}|<1,\ldots,|\delta_k^{(k-1)}|<1,\quad|\delta_{k+1}^{(k)}|=1,\quad \delta_{k+1}^{(k)}=\ldots=\delta_n^{(k)};\\
|\delta_1^{(0)}|<1,\ldots,|\delta_n^{(n-1)}|<1.\label{112}
\end{gather}
В случае выполнения условий \eqref{111} функция $f(z)$ единственна и получается из формул \eqref{19} при $m=1,\ldots,k$, где $g_k(z)=\delta_{k+1}^{(k)}$, а $f(z)=g_0(z)$. В случае выполнения условий \eqref{112} функция $f(z)$ не единственна. Все такие функции и только такие функции получаются из формул \eqref{19}, где $g_n(z)$ --- произвольная функция из $B_0$, а $f(z)=g_0(z)$. Эти утверждения очевидным образом вытекают из соответствующих утверждений для класса $B$ (см.\ \cite[с.~344]{20}).

Для доказательства первых двух пунктов леммы остается доказать, что для функции
$$g(z)=\frac{B_m(z)+\alpha}{1+\alpha B_m(z)},\quad\alpha\in(-1,1),$$
где $B_m(z)\in B_0$ и имеет вид
$$B_m(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},\quad|\beta_j|<1,$$
а $\lambda=1$ или $-1$, справедливо представление
$$g(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1.$$
Последнее нетрудно установить, пользуясь равенством $\ov{B_m(1/\ov z)}=B_m^{-1}(z)$.

Пусть существует более одной функции из класса $B_0$,  удовлетворяющей равенствам \eqref{17}. Положим $\varphi(t)=g_0(z^*)$, где $g_0(z^*)$ определяется из равенств \eqref{19} при $g_n(z^*)=t$. Имеем
$$\varphi'(t)=\prod_{j=1}^n\frac{z^*-z_j}{1-z_jz^*}\left[1-\left(\delta_j^{(j-1)}\right)^2\right]
\left[1+\delta_j^{(j-1)}\frac{z^*-z_j}{1-z_jz^*}g_j(z^*)\right]^{-2}.$$
Таким образом, при $z^*\in(z_p,z_{p+1})$ функция $\varphi(t)$ принимает максимальное значение на отрезке $[-1,1]$ в точке $t=(-1)^{n+p}$. Следовательно, среди всех функций из класса $B_0$, удовлетворяющих равенствам \eqref{17} (если существует более одной такой функции), максимальное значение в точке $z^*\in(z_p,z_{p+1})$ принимает функция вида \eqref{18}.

Предположим, что для некоторой функции $g(z)\in B_0$, удовлетворяющей условиям \eqref{110}, где $g_0(z)\in B_0$ и имеет вид \eqref{18}, выполняется неравенство $g(z^*)>g_0(z^*)$. Покажем, что разность $\Phi(z):=g(z)-g_0(z)$ при $z\in(-1,1)$ имеет не менее $n$ нулей. Положим $u_j=z_j$, $j=1,\ldots,p$, $u_{p+1}=z^*$, $u_j=z_{j-1}$, $j=p+2,\ldots,n+1$. Тогда $(-1)^{j+p}\Phi(u_j)\le0$, $j=1,\ldots,n+1$. Если
\begin{equation}\label{113}
\Phi(u_k)\ne0,\quad\Phi(u_{k+1})=\ldots=\Phi(u_{k+s})=0,\quad\Phi(u_{k+s+1})\ne0,
\end{equation}
то $\Phi(u_k)$ и $(-1)^{s+1}\Phi(u_{k+s+1})$ имеют одинаковые знаки. Поэтому число нулей разности $\Phi(z)$ в интервале $(u_k,u_{k+s+1})$ имеет ту же четность, что и число $s+1$. Из \eqref{113} следует, что число нулей в интервале $(u_k,u_{k+s+1})$ есть по крайней мере $s+1$. Если $\Phi(u_1)=\ldots=\Phi(u_{k-1})=0$, $\Phi(u_k)\ne0$ или $\Phi(u_{n-k+2})\ne0$, $\Phi(u_{n-k+3})=\ldots=\Phi(u_{n+1})=0$, то на промежутке $[u_1,u_k)$ или, соответственно, $(u_{n-k+2},u_{n+1}]$ число нулей есть по крайней мере $k-1$. Тем самым доказано, что функция $\Phi(z)$ имеет не менее $n$ нулей в интервале $(-1,1)$.

Если множество функций из класса $B_0$, принимающих в точках $z_j$ значения $g(z_j)$, состоит лишь из одной функции $g(z)$, то, как было показано,
$$g(z)=\lambda\prod_{j=1}^k\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},$$
где $k<n$. Из леммы~\ref{L11} следует, что число нулей функции $\Phi(z)=g(z)-g_0(z)$ в круге $K$ должно быть меньше $n$.

Если множество функций из класса $B_0$, принимающих в точках $z_j$ значения $g(z_j)$, состоит более, чем из одной функции, то в нем содержится функция вида
$$g_1(z)=(-1)^{n+p}\prod_{j=1}^n\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},$$
для которой $g_1(z^*)\ge g(z^*)>g_0(z^*)$. Следовательно, разность $\Phi_1(z)=g_1(z)-g_0(z)$ имеет не менее $n$ нулей в интервале $(-1,1)$. По лемме~\ref{L11} число нулей функции $\Phi_1(z)$ в круге $K$ меньше $n$ (имеется два корня $z=\pm1$ на окружности $|z|=1$). Полученные противоречия доказывают п.~$3$ леммы. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T11}
Пусть $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$, $E\subset(-1,1)$, $z_0\in(-1,1)\setminus E$ и $z_1<\ldots<z_n$. Функция
$$f^*(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1),$$
нормированная условием $f^*(z_0)>0$, является экстремальной в задаче \eqref{06} тогда и только тогда, когда при всех $z\in E$ выполнено неравенство $|f^*(z)|\le\delta$ и найдутся точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ такие, что
\begin{equation}\label{114}
f^*(z_{i_k})=\begin{cases}(-1)^{p+k}\delta,&k=1,\ldots,p,\\
(-1)^{p+k+1}\delta,&k=p+1,\ldots,m,\end{cases}
\end{equation}
где $p$ таково, что $z_0\in(z_{i_p},z_{i_{p+1}})$, а $\lambda=(-1)^{m+p}$; здесь $z_{i_0}=-1$, $z_{i_{m+1}}=1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $f^*(z)$ --- экстремальная функция в задаче \eqref{06}, нормированная условием $f^*(z_0)>0$. При $\delta=0$ утверждение теоремы следует из равенства
$$f^*(z)=(-1)^{n+p}\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-z_jz}$$
(см.\ \cite{10}), где $p$ таково, что $z_0\in(z_p,z_{p+1})$. Пусть $0<\delta<1$. Из теоремы~В следует, что найдутся такие точки $u_1<\ldots<u_N$, $u_j\in E$, для которых $|f^*(u_j)|=\delta$, $j=1,\ldots,N$, и решения задачи \eqref{06} на множествах $E$ и $D=\{u_1,\ldots,u_N\}$ совпадают. Положим $u_0=-1$, $u_{N+1}=l$. Пусть $s$ таково, что $z_0\in(u_s,u_{s+1})$. Покажем, что $f^*(z)$ не имеет нулей при $z\in(u_s,u_{s+1})$. Пусть при некотором $j$ \ $\alpha_j\in(u_s,u_{s+1})$. Введем обозначения
\begin{gather*}
a_1=\left[\min(u_1,z_0,\alpha_j)-1\right]/2,\quad b_1=\left[\max(z_0,\alpha_j)+\max(u_s,a_1)\right]/2,\\
b_2=\left[\max(u_N,z_0,\alpha_j)+1\right]/2,\quad a_2=\left[\max(z_0,\alpha_j)+\min(u_{s+1},b_2)\right]/2.
\end{gather*}
Поскольку $D\subset[a_1,b_1]\cup[a_2,b_2]$ и $\alpha_j,z_0\in(b_1,a_2)$, то в силу леммы~\ref{L13} найдется функция $g(z)\in B$ такая, что
\begin{equation}\label{115}
|g(z)|\le\left|\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right|,\ z\in D,\quad|g(z_0)|>\left|\frac{z_0-\alpha_j}{1-\alpha_jz_0}\right|.
\end{equation}

Рассмотрим функцию
$$f_1(z)=g(z)\prod_{\substack{i=1\\i\ne j}}^m\frac{z-\alpha_i}{1-\alpha_iz}.$$
Из \eqref{115} имеем
\begin{equation}\label{116}
|f_1(z)|\le\delta,\ z\in D,\quad|f_1(z_0)|>|f^*(z_0)|,
\end{equation}
т.е.\ $f^*(z)$ не является экстремальной функцией. Полученное противоречие показывает, что в интервале $(u_s,u_{s+1})$ нет нулей функции $f^*(z)$.

Покажем теперь, что между любыми двумя нулями функции $f^*(z)$ найдется по крайней мере одна точка из множества $D$. Пусть $\alpha_i\le\alpha_j$ и в интервале $(\alpha_i,\alpha_j)$ нет точек множества $D$. Тогда найдется $k$, $0\le k\le N$, такое, что $u_k<\alpha_i\le\alpha_j<u_{k+1}$. Очевидно, что $k\ne s$, так как  на интервале $(u_s,u_{s+1})$ нет нулей функции $f^*(z)$. Пусть $k<s$. Положим
\begin{gather*}
a_1=\left(\min(u_1,\alpha_i)-1\right)/2,\quad b_1=\left(\max(u_k,a_1)+\alpha_i\right)/2,\\
a_2=(\alpha_j+u_{k+1})/2,\quad b_2=(u_s+z_0)/2,\\
b_3=\left(\max(u_N,z_0)+1\right)/2,\quad a_3=\left(z_0+\min(u_{s+1},b_3\right)/2.
\end{gather*}
Тогда $D\subset[a_1,b_1]\cup[a_2,b_2]\cup[a_3,b_3]$, $\alpha_i,\alpha_j\in(b_1,a_2)$, а $z_0\in(b_2,a_3)$. По лемме~\ref{L12} найдется функция $g(z)\in B$ такая, что
$$|g(z)|\le\left|\frac{z-\alpha_i}{1-\alpha_iz}\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right|,\ z\in D,\quad|g(z_0)|>\left|\frac{z_0-\alpha_i}{1-\alpha_iz_0}\frac{z_0-\alpha_j}
{1-\alpha_jz_0}\right|.$$
Положим
$$f_1(z)=g(z)\prod_{\substack{r=1\\r\ne i,j}}^m\frac{z-\alpha_r}{1-\alpha_rz}.$$
Для функции $f_1(z)$ выполнены неравенства \eqref{116}, что противоречит экстремальности $f^*(z)$. Аналогично рассматривается случай $k>s$.

Итак, доказано, что все нули функции $f^*(z)$ простые и между любыми двумя найдется хотя бы одна точка множества $D$.

Пусть нули функции $f^*(z)$ упорядочены по возрастанию: $\alpha_1<\ldots<\alpha_m$ и $z_0\in(\alpha_p,\alpha_{p+1})$, $0\le p\le m$ ($\alpha_0=-1$, $\alpha_{m+1}=1$). Поскольку в интервале $(u_s,u_{s+1})$ нет нулей функции $f^*(z)$, то $\alpha_p\le u_s<z_0<u_{s+1}\le\alpha_{p+1}$. Положим $z_{i_p}=u_s$, $z_{i_{p+1}}=u_{s+1}$. В каждом интервале $(\alpha_k,\alpha_{k+1})$, $k=1,\ldots,p-1$, $(\alpha_{k-1},\alpha_k)$, $k=p+2,\ldots,m$, найдется точка $z_{i_k}\in D$. Нетрудно видеть, что в точках $z_{i_1},\ldots,z_{i_m}$ будут выполнены равенства \eqref{114}. Равенство $\lambda=(-1)^{m+p}$ вытекает из нормировки $f^*(z_0)>0$.

Пусть есть функция
$$f^*(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}$$
такая, что $|f^*(z)|\le\delta$, $z\in E$, и существуют точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$, $z_{i_k}\in E$, удовлетворяющие условию \eqref{114}, причем $\lambda=(-1)^{m+p}$. Из теоремы~B следует, что в задаче о нахождении величины
\begin{equation}\label{117}
R=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_{i_k})|\le\delta,\ k=1,\ldots,m}}|f(z_0)|
\end{equation}
существует экстремальная функция из класса $B_0$. Таким образом, из п.~3 леммы~\ref{L14} вытекает, что $f^*(z)$ является экстремальной функцией в задаче \eqref{117}. В силу очевидного неравенства
$$R\ge\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in E}}|f(z_0)|$$
и того, что $|f^*(z)|\le\delta$, $z\in E$, функция $f^*(z)$ является экстремальной и в задаче \eqref{06}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T12}
Пусть $z_1,\ldots,z_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$, $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$ и $z_0\in(-1,1)$. Для порядка информативности справедливо равенство
\begin{equation}\label{118}
\In(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\begin{cases}0&\mbox{при }\delta\ge1,\\
1&\mbox{при }0\le\delta<1,\ z_0\in E,\\
m&\mbox{при }0\le\delta<1,\ z_0\notin E,\end{cases}
\end{equation}
где $m$ --- число листов многолистного круга, на который экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06} отображает единичный круг $K$.

При $0\le\delta<1$ и $z_0=z_k$, $1\le k\le n$, единственной полной информативной системой является система из одной точки $z_k$. При $0\le\delta<1$ и $z_0\notin E$ точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ являются полной информативной системой тогда и только тогда, когда для экстремальной функции $f^*(z)$, нормированной условием $f^*(z)>0$, выполняется равенство \eqref{114}, где $z_0\in(z_{i_p},z_{i_{p+1}})$ $(z_{i_0}=-1$, $z_{i_{m+1}}=1)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~А следует равенство
\begin{equation}\label{119}
r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in E}}|f(z_0)|.
\end{equation}
При $\delta\ge1$ \ $r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=1$ и утверждение теоремы очевидно. Пусть $0\le\delta<1$ и $z_0=z_k$, $1\le k\le n$. Из равенства \eqref{119} следует, что
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=r(z_0,z_k,\delta)=\delta.$$
С другой стороны, при $l\ne k$ функция
$$f(z)=\frac{\delta+W(z)}{1+\delta W(z)},\mbox{ где }W(z)=\frac{z-z_l}{1-z_lz}\sign\frac{z_0-z_l}{1-z_lz_0},$$
принадлежит классу $B$ и удовлетворяет условию $f(z_l)=\delta$. Следовательно,
$$r(z_0,z_l,\delta)\ge f(z_0)>\delta.$$
Пусть теперь $0\le\delta<1$, $z_0\notin E$, a $m$ — число листов многолистного круга, на который экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06} отображает единичный круг. По теореме~\ref{T11} найдутся точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ такие, что решения задачи \eqref{06} на множествах $E$ и $E_1=\{z_{i_1},\ldots,z_{i_m}\}$ совпадают. Таким образом,
$$r(z_0,z_{i_1},\ldots,z_{i_m},\delta)=r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta).$$
Для любых узлов $z_{j_1},\ldots,z_{j_k}$, $k<m$, из теоремы~\ref{T11} имеем
$$r(z_0,z_{j_1},\ldots,z_{j_k},\delta)=\prod_{j=1}^l\left|\frac{z_0-\beta_j}
{1-\beta_jz_0}\right|,$$
где $l\le k$. В силу единственности экстремальной функции с точностью до множителя $e^{i\alpha}$ имеем
$$r(z_0,z_{j_1},\ldots,z_{j_k},\delta)>r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta).$$
Тем самым равенство \eqref{118} доказано.

Система $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ является полной информативной системой тогда и только тогда, когда решения задачи \eqref{06} на множествах $E$ и $E_1$ совпадают. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда для точек $z_{i_1},\ldots,z_{i_m}$ и экстремальной функции $f^*(z)$, нормированной условием $f^*(z)>0$, справедливы равенства \eqref{114}. Теорема доказана.
\end{proof}

\section{Наилучший метод приближения}

Задача построения линейного наилучшего метода приближения значения $f(z_0)$ по значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$, заданным с погрешностью $\delta$, на классе функций $B$ эквивалентна соответствующей задаче на классе $B_0$ в силу следующей теоремы.

\begin{theorem}\label{T21}
Если точки $z_0,z_1,\ldots,z_n$ лежат в интервале $(-1,1)$, то метод
\begin{equation}\label{21}
f(z_0)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\widetilde f(z_j)
\end{equation}
является наилучшим методом приближения значения $f(z_0)$ no значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$,
заданным с погрешностью $\delta$, на классе $B$ тогда и только тогда, когда он является наилучшим методом для соответствующей задачи на классе $B_0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Обозначим погрешность наилучшего приближения на классе $B_0$ через $r_0(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$. В силу теоремы~B существует экстремальная функция в задаче \eqref{06}, принадлежащая классу $B_0$. Из теоремы~A имеем
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=r_0(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=R;$$
кроме того, из той же теоремы следует, что
\begin{equation}\label{22}
\min_{C_j\in S}\biggl[\sup_{f\in H}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nC_jf(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|C_j|\biggr]=R
\end{equation}
для $H=B$, $S=\mathbb C$ и $H=B_0$, $S=\mathbb R$; причем метод \eqref{21} является наилучшим
для соответствующего класса тогда и только тогда, когда коэффициенты $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ минимизируют левую часть равенства \eqref{22}.

Пусть метод \eqref{21} является наилучшим на классе $B$. Тогда справедливы соотношения
\begin{multline}\label{23}
R=\sup_{f\in B}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|D_j(\delta)|\\
\ge\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^n\RE D_j(\delta)f(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|\RE D_j(\delta)|.
\end{multline}
Если хотя бы для одного коэффициента $\IM D_j(\delta)\ne0$, то неравенство в
соотношении \eqref{23} строгое, чего не может быть в силу равенств \eqref{22}. Таким образом, все коэффициенты $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ вещественны и метод \eqref{21} является наилучшим методом на классе $B_0$.

Пусть теперь метод \eqref{21} наилучший на классе $B_0$, т.~е.\ справедливо равенство
$$\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|D_j(\delta)|=R$$
и $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ вещественны. Если доказать равенство
\begin{equation}\label{24}
\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|=\sup_{f\in B}\biggl|f(z_0)-\sum_{