\documentclass[12pt,draft,oneside,a4paper]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1550

\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\Dsa}{\Ds^a}
\newcommand*{\Ls}{L_2(\Ds^a)}
\newcommand*{\wa}{\widehat\alpha}
\newcommand*{\wb}{\widetilde b}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wy}{\widehat y}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wt}{\widehat\tau}
\newcommand*{\wv}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\tI}{\widetilde I}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\Wrr}{W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\Ld}{L_2(\Ds)}
\newcommand*{\ld}{L_2(\Sd)}
\newcommand*{\WR}{\mathcal W_2^r(\mathbb R)}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\Lia}{L_\infty(\mathbb R_+)}
\newcommand*{\Li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\WP}{\mathcal W_r^n(T)}
\newcommand*{\FF}{\mathcal F_{rp}^n}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\yj}{Y_j^{(k)}}

\DeclareMathOperator*{\LAC}{LAC}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem*}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Змечания}
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}}




\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}




\title[Оптимальная информация]{О наилучшем выборе информации в задаче восстановления
функций по спектру}
\author{\large Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No07-01-90102, \No06-01-00530, \No08-01-00450) и Программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ-3233.2008.1)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}\email{magaril@mirea.ru}
\address{``МАТИ'' --- Российский государственный технологический
университет им.\ К.~Э.~Циолковского}\email{kosipenko@yahoo.com}

\maketitle

В работе рассматривается следующая задача. Пусть имеется возможность
измерить (вообще говоря, приближенно) преобразование Фурье функции
на конечном интервале заданной длины. Как по этой информации
наилучшим образом восстановить саму функцию и ее производные и как
наилучшим образом выбрать интервал? Перейдем к точным постановкам.

Положим
$$\WR=\{\,x\cd\in\Lt: x^{(r-1)}\cd\in\LAC(\mathbb R),\ x^{(r)}\cd\in\Lt\,\},$$
где $r$ --- натуральное число и $\LAC(\mathbb R)$ --- совокупность
всех локально абсолютно непрерывных функций на $\mathbb R$. Это
стандартное соболевское пространство функций $\mathbb R$. Обозначим
через $\Wrr$ соответствующий соболевский класс, т.~е. совокупность
функций $x\cd\in\WR$, для которых $\|x^{(r)}\cd\|_{\Lt}\le1$.

Пусть для каждой функции $x\cd\in\Wrr$ известно приближенно ее
преобразование Фурье на интервале $\Dsa=(a-\sigma,a+\sigma)$, где
$\sigma>0$ и $a\in\mathbb R$, т.~е. известна функция $y\cd\in\Ls$
такая, что
$$\|Fx\cd-y\cd\|_{\Ls}\le\delta,\quad \delta\ge0.$$


Погрешность оптимального восстановления производной $x^{(k)}\cd$,
$0\le k<r$ определяется следующим образом
$$E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)=\infp_{m}\,\sup_{\substack{x\cd\in\Wrr,\ y\cd\in\Ls\\
\|Fx\cd-y\cd\|_{\Ls}\le\delta}}\|x^{(k)}\cd-m(y)\cd\|_{\Lt},$$ где
нижняя грань берется по всем отображениям (методам восстановления)
$m\colon\Ls\to\Lt$. Метод, на котором достигается нижняя грань
называется {\it оптимальным}. Нас интересует оптимальный выбор
интервала длины $2\sigma$, т.~е. задача о нахождении величины
$$E_\sigma(D^k,\Wrr,\delta)=\infp_{a\in\mathbb R}E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta).$$

Покажем сначала, что если $0\notin\Dsa$, то
$E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)=\infty$. Действительно, нетрудно
показать (см., например, лемму~1 из \cite{MO}), что
\begin{equation}\label{lb}
E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)\ge\sup_{\substack{x\cd\in\Wrr\\
\|Fx\cd\|_{\Ls}\le\delta}}\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}.
\end{equation}

Пусть $a\le-\sigma$. Для произвольного $\varepsilon>0$ рассмотрим
функцию $\wx\cd$ такую, что
$$F\wx(t)=\begin{cases}\sqrt{2\pi(2r+1)}\varepsilon^{-r-1/2},&t\in(0,\varepsilon),\\
0,&t\notin(0,\varepsilon).\end{cases}$$ Тогда, используя теорему
Планшереля и свойства преобразования Фурье, будем иметь
$$\|\wx^{(r)}\cd\|_{\Lt}^2=\frac1{2\pi}\|F\wx^{(r)}\cd\|_{\Lt}^2=
\frac1{2\pi}\iR t^{2r}|F\wx(t)|^2\,dt=1.$$ Поскольку $F\wx\cd=0$ на
$\Ls$, то из \eqref{lb} следует, что
\begin{multline*}
E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)\ge\|\wx^{(k)}\cd\|_{\Lt}=
\biggl(\frac1{2\pi}\iR t^{2k}|F\wx(t)|^2\,dt\biggr)^{1/2}\\
=\sqrt{\frac{2r+1}{2k+1}}\frac1{\varepsilon^{r-k}}.
\end{multline*}
В силу произвольности $\varepsilon$ получаем
$$E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)\ge\|\wx^{(k)}\cd\|_{\Lt}=\infty.$$

Случай, когда $a\ge\sigma$ рассматривается аналогично.

Пусть теперь $|a|<\sigma$. Воспользуемся схемой построения
оптимального метода и нахождения погрешности восстановления,
изложенной в \cite{MO1}, но применительно к нашему случаю. Для этого
надо рассмотреть экстремальную задачу
\begin{equation}\label{p1}
\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}^2\to\max,\quad\|x^{(r)}\cd\|_{\Lt}^2\le1,
\quad\|Fx\cd\|_{\Ls}^2\le
\delta^2.
\end{equation}
Далее следует найти такие $\wl_1,\wl_2\ge0$, что значение задачи
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}^2\to\max,\quad\wl_1\|x^{(r)}\cd\|_{\Lt}^2
+\wl_2\|Fx\cd\|_{\Ls}^2\le\wl_1+\wl_2\delta^2$$
совпадает со значением задачи \eqref{p1}. Если при этом для любого $y\cd\in\Ls$
существует функция $\wx_y\cd\in\Lt$, являющаяся решением экстремальной задачи
$$\wl_1\|x^{(r)}\cd\|_{\Lt}^2
+\wl_2\|Fx\cd-y\cd\|_{\Ls}^2\to\min,\quad x\cd\in\WR,$$
то метод
$$\wm(y)\cd=\wx_y^{(k)}\cd$$
является оптимальным, а сама погрешность оптимального восстановления равна
$\sqrt{\wl_1+\wl_2\delta^2}$ .

Согласно теореме Планшереля, задача \eqref{p1} в образах Фурье
запишется в виде
\begin{equation}\label{mnk}
\iR\tau^{2k}u(\tau)\,d\tau\to\max,\quad\iR\tau^{2r}u(\tau)\,d\tau\le1,\quad
2\pi\int_{\Dsa}u(\tau)\,d\tau\le\delta^2,
\end{equation}
где $u\cd=(2\pi)^{-1}|Fx(\cdot)|^2$. Нетрудно показать, что в этой задаче решение не
существует, поэтому рассмотрим следующее ее расширение:
\begin{equation}\label{K11}
\iR\tau^{2k}\,d\mu(\tau)\to\max,\quad\iR\tau^{2r}\,d\mu(\tau)\le1,
\quad2\pi\int_{\Dsa}\,d\mu(\tau)\le\delta^2,
\end{equation}
на множество всех неотрицательных мер $d\mu\cd$ на прямой.

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
$$\LL(d\mu\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iR(-\tau^{2k}+\lambda_1\tau^{2r}+
2\pi\lambda_2\chi_\sigma^a(t))\,d\mu(\tau),$$
где $\chi_\sigma^a\cd$ --- характеристическая функция интервала $\Dsa$.
Достаточным условием для того, чтобы мера $d\wmu\cd$ являлась решением задачи \eqref{K11} (см. \cite{MO1}) является существование таких $\wl_1,\wl_2\ge0$, для которых
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{d\mu\cd\ge0}\LL(d\mu\cd,\wl_1,\wl_2)=\LL(d\wmu\cd,\wl_1,\wl_2),\\
(b)&\quad\wl_1\biggr(\iR\tau^{2r}\,d\mu(\tau)-1\biggl)=0,
\quad\wl_2\biggr(2\pi\int_{\Dsa}\,d\mu(\tau)-\delta^2\biggl)=0.
\end{align*}
При этом значение задачи \eqref{K11} совпадает со значением задачи
\begin{equation}\label{K12}
\iR\tau^{2k}\,d\mu(\tau)\to\max,\quad\wl_1\iR\tau^{2r}\,d\mu(\tau)+
\wl_22\pi\int_{\Dsa}\,d\mu(\tau)\le\wl_1+\wl_2\delta^2.
\end{equation}

Пусть $0<k<r$. Рассмотрим функцию, заданную
параметрически
$$\left\{
\begin{aligned}y&=\tau^{2k},\\
x&=\tau^{2r}.\end{aligned}\right.$$ Тогда $y=x^{k/r}$, $0<k/r<1$. Касательная к графику
этой функцией в точке $(\tau_0^{2r},\tau_0^{2k})$, $\tau_0>0$, имеет вид
$$y-\tau_0^{2k}=\dfrac kr\tau_0^{2k-2r}(x-\tau_0^{2r}).$$
Так как функция $y=x^{k/r}$ вогнута, то для всех точек ее графика имеет место неравенство
$$-y+\dfrac kr\tau_0^{2k-2r}x+\tau_0^{2k}\frac{r-k}r\ge0.$$
Положим
$$\wl_1=\dfrac kr\tau_0^{2k-2r},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}\tau_0^{2k}\frac{r-k}r.$$
Тогда для всех $\tau$
$$-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}+2\pi\wl_2\ge0.$$
Нетрудно убедиться, что
$$-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}\ge0$$
при всех $|\tau|\ge\ws$, где
$$\ws=\wl_1^{-\frac1{2(r-k)}}=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\tau_0.$$

Предположим, что $\ws\le\sigma_a=\min(a-\sigma,a+\sigma)$. Тогда $\tau_0\in\Dsa$
и для всех $d\mu\cd\ge0$
\begin{multline*}
\LL(d\mu\cd,\wl_1,\wl_2)=\int_{\Dsa}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}+
2\pi\wl_2)\,d\mu(\tau)+\\
+\int_{\mathbb R\setminus\Dsa}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r})\,d\mu(\tau)\ge0.
\end{multline*}
Рассмотрим меру, сосредоточенную в точке $\tau_0$ (т.~е. $\delta$-функцию в этой точке):
$$d\wmu(\tau)=A\delta(\tau-\tau_0)$$
и выберем $A$ и $\tau_0$ из условий:
\begin{equation}\label{con}
\iR\tau^{2r}\,d\wmu(\tau)=1,\quad2\pi\int_{\Dsa}\,d\wmu(\tau)=\delta^2.
\end{equation}
Таким образом,
$$A=\frac{\delta^2}{2\pi},\quad\tau_0=\left(\frac{2\pi}{\delta^2}
\right)^{\frac1{2r}}.$$ Кроме того, ясно, что
$\LL(d\wmu\cd,\wl_1,\wl_2)=0$ (и тем самым это минимальное значение
функции Лагранжа). Таким образом, условия $(a)$ и $(b)$ выполнены и
для случая, когда
$$\sigma_a\ge\ws=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\tau_0=
\left(\frac
rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\left(\frac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac1{2r}},$$
мера $\wmu\cd$ --- решение задачи \eqref{K11} и  значение этой задачи
совпадает со значением задачи \eqref{K12}.

Рассмотрим теперь случай, когда
$$\sigma_a<\ws=\left(\frac
rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\left(\frac{2\pi}{\delta^2}\right)^{\frac1{2r}}.$$
Прямая $y=\sigma_a^{2(k-r)}x$
проходит через точки $(0,0)$ и $(\sigma_a^{2k},\sigma_a^{2r})$. Найдем точку $\wt$ такую, что касательная к кривой $y=x^{k/r}$ в точке $x=\wt^{2r}$ параллельна прямой $y=\sigma_a^{2(k-r)}x$. Имеем
$$\frac kr(\wt^{2r})^{k/r-1}=\sigma_a^{2(k-r)}.$$
Отсюда
$$\wt=\left(\frac kr\right)^{\frac1{2(r-k)}}\sigma_a.$$
Тем самым уравнение касательной имеет вид
\begin{equation}\label{line}
y=\wl_1x+2\pi\wl_2,
\end{equation}
где
$$\wl_1=\sigma_a^{2(k-r)},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}\frac{r-k}r\left(\frac kr\right)^{\frac k{r-k}}\sigma_a^{2k}.$$
В силу вогнутости кривой $y=x^{k/r}$ ее точки лежат не выше прямой \eqref{line} и тем
самым для них выполняется неравенство
$$-y+\wl_1x+2\pi\wl_2\ge0.$$
Кроме того, $-t^{2k}+\wl_1t^{2r}\ge0$ при $t\ge\sigma_a$. Таким образом, для всех $d\mu\cd\ge0$
имеем
\begin{multline*}
\LL(d\mu\cd,\wl_1,\wl_2)=\int_{\Dsa}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r}+
2\pi\wl_2)\,d\mu(\tau)+\\
+\int_{\mathbb R\setminus\Dsa}(-\tau^{2k}+\wl_1\tau^{2r})\,d\mu(\tau)\ge0.
\end{multline*}
Положим теперь
$$d\wmu(t)=A\delta(t-\wt)+B\delta(t+\sigma_a\sign a),$$
где $A>0$ и $B>0$ определим из тех же условий \eqref{con}. Имеем
$$A\wt^{2r}+B\sigma_a^{2r}=1,\quad A=\frac{\delta^2}{2\pi}.$$
Отсюда
$$B=\frac1{\sigma_a^{2r}}-\frac{\delta^2}{2\pi}\left(\frac kr\right)^{\frac r{r-k}}.$$
Легко убедиться, что из условия $\sigma_a<\ws$ вытекает, что $B>0$.
Остается заметить, что $\LL(d\wmu\cd,\wl_1,\wl_2)=0$. Следовательно,
задача \eqref{K11} решена при всех $\sigma>0$ и $0<a<\sigma$. И,
кроме того, доказано, что ее значение совпадает со значением задачи
\eqref{K12}.

Аппроксимируя (стандартным образом) меру, сосредоточенную в точке, $\delta$-образной
последовательностью, получаем, что значения задачи \eqref{mnk} и задачи
\begin{multline*}
\iR\tau^{2k}u(\tau)\,d\tau\to\max,\quad
\iR(\wl_1\tau^{2r}+2\pi\wl_2\chi_\sigma(\tau)u(\tau)\,d\tau
\le\wl_1+\wl_2\delta^2,\\
u\cd\in L_1(\mathbb R),\quad u(\tau)\ge0\text{ почти всюду на }\mathbb R,
\end{multline*}
совпадают.

Рассмотрим теперь для $y\cd\in\Ls$ экстремальную задачу
$$\wl_1\|x^{(r)}\cd\|_{\Lt}^2+\wl_2\|Fx\cd-y\cd\|^2_{\Ls}\to\min.$$
Переходя к преобразованию Фурье и используя теорему Планшереля, нетрудно получить
решение этой задачи и построить оптимальный метод восстановления. При этом погрешность
оптимального метода выражается равенством
$$E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)=\sqrt{\wl_1+\wl_2\delta^2}.$$
Отсюда получаем, что
$$E_\sigma^a(D^k,\Wrr,\delta)=\begin{cases}\sigma_a^k\sqrt{\dfrac{r-k}{2
\pi r}\left(\dfrac kr\right)^{\frac k{r-k}}\delta^2+\dfrac1{\sigma_a^{2r}}},&
\sigma_a<\ws,\\[15pt]
\left(\dfrac\delta{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/r},&\sigma_a\ge\ws,\end{cases}
$$

Нетрудно проверить, что минимальное значение этой величины достигается при $a=0$.

Рассмотрим теперь случай $k=0$. Функция Лагранжа задачи \eqref{mnk}
в этой ситуации имеет вид
\begin{multline*}
\LL(d\mu\cd,\wl_1,\wl_2)=\int_{\Dsa}(-1+\lambda_1\tau^{2r}+
2\pi\lambda_2)\,d\mu(\tau)+\\
+\int_{\mathbb R\setminus\Dsa}(-1+\lambda_1\tau^{2r})\,d\mu(\tau).
\end{multline*}
Положим
$$\wl_1=\frac1{\sigma_a^{2r}},\quad\wl_2=\frac1{2\pi}.$$
Для всех $d\mu\cd\ge0$ справедливо неравенство
$$\LL(d\mu\cd,\wl_1,\wl_2)=\wl_1\int_{\Dsa}\tau^{2r}\,d\mu(\tau)
+\int_{\mathbb R\setminus\Dsa}\left(-1+\left(\frac\tau\sigma_a\right)^{2r}\right)\,d\mu(\tau)\ge0.$$
Для
$$d\wmu(t)=\frac{\delta^2}{2\pi}\delta(t)+\frac1{\sigma_a^{2r}}\delta(t+\sigma_a\sign a)$$
выполняются условия
$$\iR\tau^{2r}\,d\wmu(\tau)=1,\quad2\pi\int_{\Dsa}\,d\wmu(\tau)=\delta^2,$$
а кроме того, $\LL(\wmu\cd,\wl_1,\wl_2)=0$. Рассуждая аналогично
предыдущему, получаем, что
\begin{equation}\label{Ek0}
E_\sigma^a(D^0,\Wrr,\delta)=\sqrt{\frac{\delta^2}{2\pi}+\frac1{
\sigma_a^{2r}}}.
\end{equation}
Минимальное значение этой величины также достигается при $a=0$.

Тем самым доказана

\begin{theorem}\label{T11}
Пусть $r\in\mathbb N$, $0<k<r$, $0<\sigma<\infty$, $\delta>0$ и
$$\ws=\left(\frac rk\right)^{\frac1{2(r-k)}}\left(\frac{2\pi}{\delta^2}
\right)^{\frac1{2r}}.$$
Тогда
$$E^\sigma(D^k,\Wrr,\delta)=\begin{cases}\sigma^k\sqrt{\dfrac{r-k}{2
\pi r}\left(\dfrac kr\right)^{\frac k{r-k}}\delta^2+\dfrac1{\sigma^{2r}}},&
\sigma<\ws,\\[15pt]
\left(\dfrac\delta{\sqrt{2\pi}}\right)^{1-k/r},&\sigma\ge\ws.\end{cases}
$$

Если $k=0$, то
$$E_\sigma^a(D^0,\Wrr,\delta)=\sqrt{\frac{\delta^2}{2\pi}+\frac1{
\sigma_a^{2r}}}.$$
\end{theorem}

Из доказанного следует, что если приближенная информация о
преобразовании Фурье задана на интервале $(a-\sigma,a+\sigma)$, то,
во-первых, при $|a|\ge\sigma$ эта информация оказывается
бесполезной, так как погрешность оптимального восстановления в этом
случае равна $\infty$, а, во-вторых, если $|a|<\sigma$, то
погрешность оптимального восстановления такая же, как для случая
задания преобразования Фурье на интервале $(-\sigma_a,\sigma_a)$ (то
есть часть информации оказывается лишней). Таким образом, наилучшим
интервалом длины $2\sigma$ является симметричный интервал
$(-\sigma,\sigma)$. Но и в этом случае, если $\sigma\ge\ws$ его
можно уменьшить до интервала $(-\ws,\ws)$.

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{MO} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью.
Матем. сб., {\bf193}. \No3. 79--100 (2002).

\bibitem{MO1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление линейных операторов по неточной информации. Сб. трудов конференции ``Выпуклый анализ". Владикавказ. 2008 (в печати).

\end{thebibliography}



\end{document}