\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{srctex} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 3150 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\sign}{sign} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\wx}{\widehat x} \newcommand*{\wm}{\widehat m} \newcommand*{\tx}{\widetilde x} \newcommand*{\wh}{\widehat h} \newcommand*{\lr}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\Wr}{\mathcal W_2^1(\mathbb R)} \newcommand*{\wt}{W_2^1(\mathbb R)} \newcommand*{\Wi}{W_\infty^1([-1,1])} \newcommand*{\Win}{W_\infty^2([-1,1])} \newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb T)} \newcommand*{\Wt}{W_2^2(\mathbb T)} \newcommand*{\sZ}{\sum\limits_{j\in\mathbb Z}} \newcommand*{\wu}{\widehat u} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\sN}{\sum\limits_{|j|\le N}} \newcommand*{\lp}{L_2(\mathbb R,t^2)} \newcommand*{\Wp}{W_2^1(\mathbb R,t^2)} \newcommand*{\WP}{\mathcal W_2^1(\mathbb R,t^2)} \newcommand*{\IR}{\int_{\mathbb R}} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} \begin{document} \title[Оптимальное восстановление]{Задачи оптимального восстановления в условиях неопределенности} \author{Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №00-15-96109 и №02-01-00386), программы ``Университеты России" (УР.04.03.013), а также при поддержке U.S.CRDF--R.F.Ministry of Education Award VZ-0100-0} \address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)} \email{georg@magaril.mccme.ru} \address{``МАТИ" --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} \email{konst@osipenko.mccme.ru} \maketitle Многие проблемы (в математике, технике, экономике) формулируются (или могут быть сформулированы) как задачи выбора наилучшего (в том или ином смысле) способа достижения цели в условиях неполной и/или неточной информации, т.~е. в условиях неопределенности. Например, простейшая задача о квадратурах заключается в том, чтобы наилучшим образом приблизить (восстановить) интеграл от функции по неполной информации о самой функции, а именно, зная ее значения лишь в конечном наборе точек. Параметры математических моделей, описывающих реальные физические или технологические процессы известны, как правило, неточно, скажем, приближенно известны коэффициенты дифференциального уравнения, а мы хотим восстановить как можно точнее его решение. Мы наблюдаем на экране значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, а хотим, по возможности точнее, знать (восстановить) его значение в какой-то промежуточный момент времени. Список подобных примеров можно продолжать сколь угодно долго. Приведем общую постановку задачи оптимального восстановления, которая охватывает значительное число задач, представляющих теоретический и прикладной интерес. Пусть задано множество (класс) $C$ и отображение $f\colon C\to Z$, где $(Z, d)$ --- метрическое пространство. Принадлежность элемента классу $C$ составляет ``глобальную" информацию о нем. Кроме того, о самом элементе имеется ``локальная" (индивидуальная) информация, состоящая в том, что известно отображение (вообще говоря, многозначное, что соответствует информации, заданной неточно) $F\colon C\to Y$, где $Y$ --- некоторое множество. Отображение $F$ назовем {\it информационным оператором}. Задача состоит в том, чтобы {\it восстановить по возможности наилучшим способом значение $f(x)$, $x\in C$, по информации $y\in F(x)$}. В это вкладывается следующий смысл. Любое отображение $m\colon F(C)\to Z$ назовем {\it методом восстановления}. Погрешностью такого метода назовем величину $$e(f,C,F,m)=\sup_{x\in C,\ y\in F(x)}d(f(x),m(y)),$$ а {\it погрешность оптимального восстановления\/} ($f$ на $C$ по $F$), которую обозначим $E(f,C,F)$, определим как значение следующей экстремальной задачи: \begin{equation}\label{f1} e(f,C,F,m)\to\inf, \end{equation} где нижняя грань берется по всевозможным отображениям $$m\colon F(C)\to Z.$$ Метод $\widehat m$, на котором достигается нижняя грань в \eqref{f1}, называется {\it оптимальным методом восстановления}. В докладе будет рассмотрен ряд примеров, где найден оптимальный метод восстановления и вычислена погрешность оптимального восстановления. Здесь же, в качестве иллюстрации, приведем задачу об оптимальном восстановлении в метрике $L_{2}$ производной функции по ее приближенным коэффициентам Фурье. Пусть $C$ --- это соболевский класс $\Wt$, т.~е. совокупность $2\pi$-периодических функций $x\cd$, у которых первая производная $\dot x\cd$ абсолютно непрерывна и $\|\ddot x\cd\|_{\lt}\le1$. На этом классе рассмотрим задачу восстановления первой производной функции $x\cd$ по конечному набору ее коэффициентов Фурье $x_j=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tx(t)e^{-ijt}\,dt,$ заданным с погрешностью. Точнее говоря, будем предполагать, что для каждой функции $x\cd\in\Wt$ нам известны числа $y_j$, $|j|\le N$, такие, что $|x_j-y_j|\le\delta$, $|j|\le N$, $\delta>0$. Здесь информационным оператором является многозначное отображение $F^N_ \delta$, ставящее в соответствие каждой функции $x\cd\in\Wt$ множество $F^N _\delta x\cd=\{y=\{y_j\}_{|j|\le N}: |x_{j}-y_{j}|<\delta\}$. Задача заключается в нахождении величины $$E(\dot x\cd,\Wt,F^N_\delta)=\infp_{m\colon\mathbb C^{2N+1}\to\lt}\,\sup_{ \substack{x\cd\in\Wt\\y\in F^N_\delta x\cd}}\|\dot x\cd-m(y)\cd\|_{\lt}$$ и соответствующего оптимального метода. \begin{theorem} Пусть $$p_0=\max\Bigl\{\,p\in\mathbb Z_+:\delta^2\sum_{|j|\le p}j^4<1,\ 0\le p\le N\,\Bigr\}.$$ Тогда $$E(\dot x\cd,\Wt,F^N_\delta)=\frac{\left(1+\delta^2\sum_{|j|\le p_0}\left(j^2( p_0+1)^2-j^4\right)\right)^{1/2}}{p_0+1},$$ а метод $$\dot x(t)\approx\sN ij\wx_je^{ijt}=\sum_{|j|\le p_0}ij\left(1-\left(\frac j{p _0+1}\right)^2\right)y_je^{ijt}$$ является оптимальным. \end{theorem} Отметим, что если $p_0