\documentclass[11pt,draft]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} %\usepackage{srctex} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \textwidth 160mm \textheight 210mm \topmargin 0mm \headheight 5mm \headsep 5mm \oddsidemargin 0pt \evensidemargin 0pt \tolerance 650 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma} \newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)} \newcommand*{\wa}{\widetilde a} \newcommand*{\wA}{\widetilde A} \newcommand*{\wb}{\widetilde b} \newcommand*{\wx}{\widetilde x} \newcommand*{\wm}{\widehat m} \newcommand*{\wN}{\widehat N_\delta} \newcommand*{\Wt}{W_2^1(\mathbb T)} \newcommand*{\WWt}{\mathcal W_2^1(\mathbb T)} \newcommand*{\LL}{\mathcal L} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\whx}{\widehat x} \newcommand*{\wnu}{\widehat\nu} \newcommand*{\WK}{\mathcal K([-\pi,\pi])} \newcommand*{\ty}{\widetilde y} \newcommand*{\ta}{\widetilde a} \newcommand*{\tal}{\widetilde\alpha} \newcommand*{\tb}{\widetilde b} \newcommand*{\ha}{\widehat a} \newcommand*{\hb}{\widehat b} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\sign}{sign} \renewcommand*{\contentsname}{Содержание} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} %\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} %\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}} \begin{document} %\begin{flushleft} %УДК 517.984.64 %\end{flushleft} \title[Восстановление сигналов]{О восстановлении сигналов по спектру} \author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко} %\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда %фундаментальных исследований (гранты \No\No 13-01-12447, 14-01-00456, 14-01-00744)} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № № 14-01-00456, 14-01-00744)} %\address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова} %\address{Институт проблем передачи информации %им. А.~А.~Харкевича РАН} \maketitle \begin{center} \small Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова, Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) \end{center} \bigskip Восстановление сигнала по его спектру (т.~е. по его преобразованию Фурье или, как говорят, по его частотам), который задан неполно и/или неточно, --- одна из основных проблем во многих прикладных задачах. Существуют различные способы восстановления, но наиболее распространенный из них --- это регуляризация по А.~Н.~Тихонову. Она заключается в предъявлении некоторого алгоритма восстановления и доказательству его сходимости к исходному сигналу (скажем, в данной точке) при стремлении к нулю погрешности измерения. При этом остаются без внимания, по крайней мере, следующие вопросы: возможен ли лучший способ восстановления? Можно ли доказать эффективность предъявленного алгоритма, не устремляя погрешность к нулю, ведь она обусловлена неточностями измерения и не может быть сделана сколь угодно малой? В данной работе мы хотим продемонстрировать, на ряде совсем простых примеров, подход к задаче восстановления сигнала по спектру, основанный на идеях А.~Н.~Колмогорова. Этот подход представляет определенную альтернативу регуляризационному подходу в том смысле, что он позволяет строить наилучшие среди всех возможных методы восстановления сигнала, и с учетом той погрешности, которая есть на самом деле. При этом важно отметить, что оптимальные методы выписываются явно и используют далеко не всю имеющуюся информацию о спектре (даже если она измерена точно), и если эта информация известна с погрешностью, то указывается порог (зависящий от погрешности измерения), за пределами которого информация о спектре вообще не нужна --- оптимальный метод ее не использует. Полезная же информация, т.~е. та, которая используется, подвергается определенному ``сглаживанию''. Следует сказать, что это вполне соответствует тому, что происходит на практике --- высокие частоты отбрасываются, а низкие сглаживаются. Краткий комментарий по поводу сформулированных здесь утверждений приведен в конце работы. Мы начинаем с примера из учебника В.~А.~Ильина и Э.~Г.~Позняка \cite{IP}, демонстрирующего возможности регуляризации по Тихонову. Пусть $2\pi$-периодическая функция $x\cd$ такова, что ее ряд Фурье \begin{equation*} x(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kt+ b_k\sin kt), \end{equation*} где \begin{align*} a_k= &a_k(x\cd)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)\cos kt\,dt,\quad k=0,1,2,\ldots,\\ b_k= &b_k(x\cd)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi x(t)\sin kt\,dt,\quad k=1,2,\ldots, \end{align*} сходится к $x\cd$ равномерно. Вместо точных коэффициентов Фурье функции известны их приближенные значения $\ta_k$, $\tb_k$ такие, что \begin{equation}\label{ip} \frac{(a_0-\ta_0)^2}2+\sum_{k=1}^\infty((a_k-\ta_k)^2+(b_k-\tb_k)^2)\le\delta^2. \end{equation} По этой информации требуется восстановить значение функции $x\cd$ в некоторой точке $\tau$. Нетрудно показать, что как бы быстро не сходился исходный ряд к $x(\tau)$ и как бы не было мало $\delta>0$, можно указать такие числа $\ta_k$, $\tb_k$, удовлетворяющие \eqref{ip}, что сумма ряда \begin{equation*} \frac{\ta_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\ta_k\cos kt+ \tb_k\sin kt) \end{equation*} будет отличаться от $x(\tau)$ на любое наперед заданное число или даже ряд будет расходиться. Предлагается следующая процедура восстановления. В качестве приближенного значения функции в точке $\tau$ рассматривается ряд $$\frac{\ta_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac1{1+k^2\alpha}(\ta_k\cos k\tau+\tb_k\sin k\tau),$$ где $\alpha$ того же порядка малости, что и $\delta$ (например, можно положить $\alpha=\delta)$. Доказывается, что если функция $x\cd$ принадлежит пространству $L_2(\mathbb T)$ ($\mathbb T$ --- отрезок $[-\pi,\pi]$ с идентифицированными концами) с нормой $$\|x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}=\left(\frac1{\pi}\int_{-\pi}^\pi|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}.$$ и $x\cd$ непрерывна в $\tau$, то данный ряд сходится к $x(\tau)$ при $\delta\to0$. При этом авторы в заключительном замечании пишут (выделено жирным шрифтом нами): {\it ... должны ли мы, желая получить как можно более точное представление об интересующем нас физическом процессе, неограниченно совершенствовать точность прибора или путь к этому лежит через развитие таких математических методов обработки результатов измерений, которые позволяют при {\bf имеющейся точности} измерения частотных характеристик извлечь {\bf максимальную} информацию об изучаемом процессе.} Подход, который предлагается здесь к исследованию подобного рода задач, предполагает наличие некоторой априорной информации о функции $x\cd$. Но тогда появляется возможность учитывать имеющуюся точность измерения и ставить вопрос о нахождении наилучшего метода среди всех возможных. Априорная информация о функции будет состоять в том, что эта функция принадлежит некоторому классу. Обозначим через $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$ пространство $2\pi$-периоди\-чес\-ких абсолютно непрерывных функций $x\cd$, у которых первая производная $\dot x\cd$ принадлежит $L_2(\mathbb T)$. В данной работе будем рассматривать следующий класс функций $$W_2^1(\mathbb T)=\{\,x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T) : \|\dot x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1\,\}.$$ Если $x\cd\in \mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то для каждого $t\in\mathbb T$ справедливо равенство $$x(t)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos kt+b_k\sin kt).$$ Приведем теперь несколько примеров нахождения оптимальных методов восстановления функций из класса $W_2^1(\mathbb T)$. \subsection*{1. Восстановление функции в точке, когда все коэффициенты Фурье известны приближенно в метрике $l_2$} Здесь мы рассматриваем пример, приведенный выше, но с позиций оптимального восстановления. Обозначим через $l_2$ пространство суммируемых с квадратом вещественных последовательностей со скалярным произведением $$ \la y,y'\ra=\frac{y_0 y'_0}2+\sum_{k=1}^\infty y_k y'_k, $$ где $y=(y_0,y_1,\ldots)$, $y'=(y'_0,y'_1,\ldots)$ и с соответствующей нормой $$ \|y\|_{l_2}=\left(\frac{y_0^2}2+\sum_{k=1}^\infty y_k^2\right)^{1/2}. $$ Если функция $x\cd$ принадлежит $\mathcal W_2^1(\mathbb T)$, то ее коэффициенты Фурье принадлежат $l_2$. Пусть $F\colon \mathcal W_2^1(\mathbb T)\to l_2$ --- преобразование Фурье $x\cd$, т.~е. $Fx\cd=(a_0(x\cd),a_1(x\cd),b_1(x\cd),\dots)$ --- набор коэффициентов Фурье функции $x\cd$. Предположим, что о каждой функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ нам известны приближенно ее коэффициенты Фурье, а именно, известен вектор $$y=(\ta_0,\ta_1,\tb_1\ldots)\in l_2$$ такой, что $$\|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta,$$ где $\delta>0$. Любой метод восстановления $x(\tau)$ должен сопоставлять вектору (наблюдению) $y$ число, которое, согласно данному методу, есть некоторое приближение к $x(\tau)$. Таким образом, любой метод --- это некоторая функция $\varphi\colon l_2\to \mathbb R$. {\it Погрешностью\/} данного метода назовем величину $$e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^1(\mathbb T),\ y\in l_2\\ \|Fx\cd-y\|_{l_2}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(y)|.$$ Нас интересует величина $$E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=\inf_{\varphi\colon l_2\to\mathbb R}e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\varphi),$$ называемая {\it погрешностью оптимального восстановления\/} и метод $\widehat\varphi$, на котором достигается нижняя грань, называемый {\it оптимальным методом восстановления}, т.~е.\ такой метод $\widehat\varphi$, что $$E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=e(W_2^1(\mathbb T),F,\delta,\widehat\varphi).$$ \begin{theorem}[\cite{MO}] Для любого $\delta>0$ $$ E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)=(\widehat a+\delta^2)\biggl(\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+\widehat ak^{2})^2}\biggr)^{1/2}, $$ где $\widehat a=\widehat a(\delta)$ --- единственное решение уравнения \begin{equation*} \frac{\dfrac12+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{(1+ak^{2})^2}} {\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k^{2}}{(1+ak^{2})^2}}=\delta^2. \end{equation*} Метод $\widehat \varphi$, действующий по правилу $$\widehat\varphi(y)=\frac{\wa_0}2+\sum_{k=1}^\infty\frac1{1+\widehat ak^{2}}(\wa_k\cos k\tau+ \wb_k\sin k\tau),$$ является оптимальным. \end{theorem} Как видно из формулировки теоремы, для любого $\delta>0$ метод регуляризации, предложенный в \cite{IP}, является оптимальным на классе $W_2^1(\mathbb T)$ при $\alpha=\widehat a(\delta)$. Кроме того, минимальная ошибка оценивания $x(\tau)$ дается величиной $E(W_2^1(\mathbb T),F,\delta)$, которая стремится к нулю при $\delta\to0$. \subsection*{2. Восстановление функции в точке по неточно заданному конечному набору ее коэффициентов Фурье} Здесь также моделируется ситуация, рассмотренная выше, но в более естественной, на наш взгляд, постановке: мы располагаем лишь конечным набором коэффициентов Фурье, известных по модулю с точностью до некоторого $\delta$. Итак, рассматривается задача восстановления функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ в точке $\tau\in\mathbb T$ по следующей информации: известны числа $\ta_k,\tb_k$, для которых $$|a_k-\ta_k|\le\delta,\quad k\in A,\quad|b_k-\tb_k|\le\delta,\quad k\in B,$$ где $A$ и $B$ --- некоторые конечные множества из $\mathbb N$. Положим $N=\card A+\card B$ и $$F_{A,B}x\cd=(\{a_k\}_{k\in A},\{b_k\}_{k\in B}).$$ Через $l_\infty^N$ обозначим пространство векторов $y=(y_1,\ldots,y_N)$ с нормой $$\|y\|_{l_\infty^N}=\max_{1\le k\le N}|y_k|.$$ Таким образом, можно сказать, что информация о функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ состоит в том, что вместо набора ее коэффициентов Фурье $F_{A,B}x\cd$ нам известны их приближенные значения $$y=(\{\ta_k\}_{k\in A},\{\tb_k\}_{k\in B})$$ такие, что $$\|F_{A,B}x\cd-y\|_{l_\infty^N}\le\delta.$$ Как и выше, для каждого метода $\varphi\colon l_\infty^N\to\mathbb R$ его погрешность определяется так $$e(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^1(\mathbb T),\ y\in l_\infty^N\\ \|F_{A,B}x\cd-y\|_{l_\infty^N}\le\delta}}|x(\tau)-\varphi(y)|.$$ Погрешность оптимального восстановления определяется формулой $$E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)= \inf_{\varphi\colon l_\infty^N\to\mathbb R}e(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta,\varphi).$$ Метод $\widehat\varphi$ называется оптимальным, если выполняется соотношение $$E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)=e(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta,\widehat\varphi).$$ Нетрудно убедиться, что если $0\notin A$, то погрешность оптимального восстановления равна бесконечности (достаточно рассмотреть лишь константы из класса $W_2^1(\mathbb T)$). Поэтому в дальнейшем будем считать, что $0\in A$. Положим $\wA=A\setminus\{0\}$ и рассмотрим вектор $$\left(\left\{\frac{\cos k\tau}{k^{2}}\right\}_{k\in\wA}, \ \left\{\frac{\sin k\tau} {k^{2}}\right\}_{k\in B}\right).$$ Пусть \begin{equation}\label{cj} |\gamma_2|\ge\ldots\ge |\gamma_N| \end{equation} --- модули компонентов этого вектора, упорядоченные по убыванию. Если $\gamma_s=k_s^{-2}\cos k_s\tau$, то соответствующий индекс будем обозначать через $k_s(A)$, а если $\gamma_s=k_s^{-2}\sin k_s\tau$, то --- через $k_s(B)$. Для каждого $2\le s\le N$ обозначим через $A_s$ и $B_s$ подмножества индексов $k_2(C),\ldots,k_s(C)$ при $C=A$ и $C=B$, соответственно. Для удобства обозначений будем считать, что $A_1=B_1=\emptyset$ (сумма по пустому множеству индексов будет считаться равной нулю). Положим \begin{multline*} p=p(\delta)=\max\biggl\{\,s:\gamma^2_{k_s}\biggl(1-\delta^2\sum_{k\in A_s\cup B_s}k^{2}\biggr)\\ >\delta^2\sum_{k\in\mathbb N\setminus A_s}\dfrac{\cos^2k\tau}{k^{2}}+\delta^2\sum_{k\in\mathbb N\setminus B_s} \dfrac{\sin^2k\tau}{k^{2}},\ 2\le s\le N\,\biggr\} \end{multline*} (считая $p=1$, если множество в скобках пусто), \begin{equation*} \lambda=\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{k\in\mathbb N\setminus A_p} \dfrac{\cos^2k\tau}{k^{2}}+\sum_{k\in\mathbb N\setminus B_p}\dfrac{\sin^2k\tau}{k^{2}}} {\displaystyle1-\delta^2\sum_{k\in A_p\cup B_p}k^{2}}\right)^{1/2} \end{equation*} и $$ \lambda_s=k^2_s(C)(|\gamma_s|-\lambda\delta),\quad \widetilde c_s= \begin{cases}\sign\gamma_s\,\ta_{k_s(C)},&C=A,\\ \sign\gamma_s\,\tb_{k_s(C)},&C=B.\end{cases} $$ \begin{theorem} Для любого $\delta>0$ $$E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)=\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda$$ и оптимальный метод имеет вид \begin{equation}\label{m1} \widehat\varphi(y)=\frac{\ta_0}2+\sum_{s=2}^p\lambda_s\widetilde c_s. \end{equation} \end{theorem} Отметим, что, во-первых, оптимальный метод использует, вообще говоря, не всю имеющуюся информацию (суммирование идет до $p$, которое может быть достаточно малым, если $\delta$ достаточно большое), во-вторых, используемая информация ``сглаживается'' коэффициентами $\lambda_s$ и наконец, коэффициенты Фурье, которые выбирает оптимальный метод, идут, вообще говоря, не подряд. Это свойство характерно для так называемых ``жадных'' алгоритмов. \begin{proof} Определим последовательности $\ha_k$ и $\hb_k$ по правилу $$\ha_k=\begin{cases}\delta\sign\cos k\tau,& k\in A_p\cup{0}\,;\\[5pt] \dfrac{\cos k\tau}{\lambda k^{2}},& k\notin A_p\cup{0}\,. \end{cases}\quad\hb_k=\begin{cases}\delta\sign\sin k\tau,& k\in B_p\,;\\[5pt] \dfrac{\sin k\tau}{\lambda k^{2}},& k\notin B_p\,. \end{cases}$$ Нетрудно убедиться, что имеет место равенство \begin{equation}\label{ww} \sum_{k=1}^\infty k^{2}(\ha_k^2+\hb_k^2)=1. \end{equation} Покажем, что $|\ha_k|\le\delta$ для всех $k\in A$ и $|\hb_k|\le\delta$ для всех $k\in B$. При $p=N$ это очевидно. Пусть $p0$ и $k\in A\setminus A_p$ выполнялось бы неравенство $|\ha_k|>\delta$ или при некотором $k\in B\setminus B_p$ выполнялось бы неравенство $|\hb_k|>\delta$, то нашелся бы элемент $\gamma_s$, $2\le s\le N$, для которого имело бы место неравенство $$\gamma^2_s>\delta^2\lambda^2.$$ В силу \eqref{cj} отсюда вытекало бы неравенство \begin{equation}\label{p1} \gamma^2_{p+1}>\delta^2\lambda^2. \end{equation} Предположим, что $$\gamma^2_{p+1}=\frac{\cos^2k_{p+1}(A)\tau}{k_{p+1}^{4}(A)}\,.$$ Тогда неравенство \eqref{p1} можно записать так %\begin{multline*} $$\frac{\cos^2k_{p+1}(A)\tau}{k_{p+1}^{4}(A)}\biggl(1-\delta^2\sum_{k\in A_p\cup B_p}k^{2}\biggr) >\delta^2\sum_{k\in\mathbb N\setminus A_p}\dfrac{\cos^2k\tau}{k^{2}}+\delta^2 \sum_{k\in\mathbb N\setminus B_p}\dfrac{\sin^2k\tau}{k^{2}}.$$ %\end{multline*} Поскольку $A_{p+1}=A_p\cup\{k_{p+1}\}$, а $B_{p+1}=B_p$, то последнее неравенство записывается в виде %\begin{multline*} $$\frac{\cos^2k_{p+1}(A)\tau}{k_{p+1}^{4}(A)}\biggl(1-\delta^2\sum_{k\in A_{p+1}\cup B_{p+1}}k^{2}\biggr) >\delta^2\sum_{k\in\mathbb N\setminus A_{p+1}}\dfrac{\cos^2k\tau}{k^{2}}+\delta^2\sum_{k\in\mathbb N \setminus B_{p+1}}\dfrac{\sin^2k\tau}{k^{2}}.$$ %\end{multline*} Но такое неравенство противоречит определению $p$. Случай, когда $$\gamma^2_{p+1}=\frac{\sin^2k_{p+1}(B)\tau}{k_{p+1}^{4}(B)}\,,$$ рассматривается аналогично. Докажем, что для любых последовательностей $\{a_k\}$, $k=0,1,\ldots$, и $\{b_k\}$, $k=1,2,\ldots$, таких, что $$\sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2)<\infty,$$ имеет место тождество \begin{equation}\label{tozh} \sum_{k=1}^\infty(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)=\sum_{s=2}^p\lambda_s c_s+ \lambda\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\ha_ka_k+\hb_kb_k), \end{equation} где $$c_s=\begin{cases}\sign\gamma_s\,a_{k_s(C)},&C=A,\\ \sign\gamma_s\,b_{k_s(C)},&C=B.\end{cases}$$ Действительно, имеем \begin{multline*} \sum_{s=2}^p\lambda_s c_s+\lambda\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\ha_ka_k+\hb_kb_k) =\sum_{s=2}^pk^{2}_s|\gamma_{k_s}|c_s -\lambda\delta\sum_{s=2}^pk^{2}_s c_s\\ +\lambda\delta\sum_{s=2}^pk^{2}_s c_s+ \lambda\sum_{k\in\mathbb N\setminus A_p}k^{2}\dfrac{\cos k\tau}{\lambda k^{2}}a_k +\lambda\sum_{k\in\mathbb N\setminus B_p}k^{2}\dfrac{\sin k\tau}{\lambda k^{2}}b_k\\= \sum_{k=1}^\infty(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau). \end{multline*} Заметим, что $\lambda_p>0$ в силу определения $p$, а $\lambda_s>0$ в силу \eqref{cj} для всех $s=2,\ldots,p-1$. Найдем теперь величину погрешности оптимального восстановления и покажем, что метод \eqref{m1} является оптимальным. Оценим его погрешность. Пусть функция $x\cd\in W^r_2(\mathbb T)$. Используя \eqref{tozh} и неравенство Коши--Буня\-ков\-ского, получим \begin{multline*} |x(\tau)-\widehat\varphi(y)|=\biggl|\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)- \frac{\ta_0}2-\sum_{s=2}^p\lambda_s\widetilde c_s\biggr|\\ =\biggr|\frac{a_0-\ta_0}2+\sum_{s=2}^p\lambda_s(c_s-\widetilde c_s)+ \sum_{k=1}^\infty(a_k\cos k\tau+b_k\sin k\tau)-\sum_{s=2}^p\lambda_s c_s\biggr|\\ \le\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda\sum_{k=1}^\infty k^{2}(\ha_k^2+\hb_k^2) \sum_{k=1}^\infty k^{2}(a_k^2+b_k^2) \le\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda. \end{multline*} Тем самым $$e(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta,\widehat\varphi)\le\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda.$$ Отсюда вытекает оценка сверху для оптимальной погрешности восстановления \begin{equation}\label{up} E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)\le\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda. \end{equation} Получим теперь оценку снизу. Рассмотрим функцию $$\whx(t)=\frac{\ha_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\ha_k\cos kt+\hb_k\sin kt).$$ Из \eqref{ww} вытекает, что $\whx\cd\in W^1_2(\mathbb T)$. Кроме того, было показано, что $\|F_{A,B}\whx\cd\|_{l_\infty^N}\le\delta$. Для произвольного метода восстановления $\varphi$ имеем \begin{multline*} 2|\whx(\tau)|=|\whx(\tau)-\varphi(0)-(-\whx(\tau)-\varphi(0))|\le|\whx(\tau)-\varphi(0)|+ |-\whx(\tau)-\varphi(0)|\\ \le2e(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta,\varphi). \end{multline*} Вследствие произвольности $\varphi$ получаем $$E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)\ge|\whx(\tau)|=\biggl|\frac{\ha_0}2+\sum_{k=1}^\infty(\ha_k\cos k\tau+ \hb_k\sin k\tau)\biggr|.$$ Учитывая тождество \eqref{tozh}, имеем $$E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)\ge\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda.$$ Отсюда и \eqref{up} следует, что $$E(W_2^1(\mathbb T),F_{A,B},\delta)=\frac\delta2+\delta\sum_{s=2}^p\lambda_s+\lambda,$$ а метод $\widehat\varphi$ является оптимальным. \end{proof} \subsection*{3. Восстановление по точным значениям коэффициентов Фурье в метрике $L_2$} Рассмотрим ситуацию, аналогичную пре\-дыдущему случаю, но восстанавливать функцию будем не в точке, а в метрике $L_2$. Причем сначала будем предполагать, что коэффициенты Фурье функции вообще известны точно. Итак, пусть $A\subset\mathbb Z_+=\{0,1,2,\ldots\}$ и $B\subset\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$ --- конечные множества (одно из них может быть пустым) и о каждой функции $x\cd\in W_2^1(\mathbb T)$ нам известны ее коэффициенты Фурье $\{a_k\}_{k\in A}$ и $\{b_k\}_{k\in B}$, т.~е. $x\cd$ соответствует набор $F_{A,B}x\cd=(\{a_k\}_{k\in A},\{b_k\}_{b\in B})$ из $N$ чисел, где $N=\card A+\card B$. Будем считать, для определенности, что $F_{A,B}x\cd=(a_{k_1},\ldots,a_{k_{N_1}},b_{l_1},\ldots,b_{l_{N_2}})$, где $k_1<\ldots