\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 2150
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother


\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\newcommand{\LLL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\BL}{BL_\infty}
\newcommand{\hhl}{(\F_\infty,L_\infty)}
\newcommand{\hhm}{(W,L_\infty)}
\newcommand{\hh}{h_\infty^\beta}
\newcommand{\HH}{H_\infty^\beta}
\newcommand{\HQ}{H_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\hQ}{h_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcommand{\BO}{\hbox{\boldmath$\Omega$}}
\newcommand{\at}[2]{{\substack{#1\\#2}}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb R}
\newcommand{\bbbt}{\mathbb T}
\newcommand{\bbbz}{\mathbb Z}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb N}
\newcommand{\bbbc}{\mathbb C}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}

\begin{document}

\title[О точных значениях $n$-поперечников]{О точных значениях $n
$-поперечников на классах, задаваемых операторами, не увеличивающими
осцилляции}
\author{К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (грант \No96-01-00325).}

\begin{abstract}
В работе предложен единый подход к задачам вычисления точных значений $n
$-поперечников в равномерной метрике для классов периодических функций,
задаваемых операторами (не обязательно линейными), обладающими
определенными осцилляционными свойствами. Этот подход позволяет получать
точные результаты об $n$-поперечниках как для классов функций, представимых
в виде свертки с ядром, не увеличивающим осцилляции, так и для некоторых
классов аналитических функций, которые не представляются в виде такой
свертки.
\end{abstract}

\maketitle

\section{Введение} Многие экстремальные задачи теории приближений на
классах гладких периодических функций удается решить с помощью исследования
осцилляционных свойств функций из этих классов. Подход, основанный на таких
исследованиях, привел к изучению классов функций, представимых в виде
свертки с ядрами, не повышающими осцилляции. Для таких классов были
получены довольно общие результаты, касающиеся оптимального восстановления,
оптимальных квадратурных формул, $n$-поперечников, неравенств Колмогорова и
ряд других (см.\ \cite{Pi}--\cite{Ng1}).

Однако некоторые классы аналитических функций не удается представить в виде
свертки с ядрами, не увеличивающими осцилляции. Тем не менее, на этих
классах имеются результаты весьма близкие к гладкому случаю (см.\
\cite{Os1}--\cite{Os3}). В данной работе для задачи вычисления точных
значений $n$-поперечников предлагается единый подход, обслуживающий как
гладкий, так и аналитический случай, основанный на введении специального
класса операторов (вообще говоря, нелинейных), обладающих свойством
неувеличения осцилляции.

\section{Основные определения}

Напомним определения некоторых из $n$-поперечников. Пусть $A$ ---
подмножество линейного нормированного пространства $X$. {\it
Колмогоровским\/} $n$-по\-пе\-реч\-ни\-ком называется величина
$$d_n(A,X):=\infp_{X_n}\sup_{x\in A}\infp_{y\in X_n}\|x-y\|,$$
где $X_n$ --- произвольные $n$-мерные подпространства $X$.

{\it Линейным\/} $n$-поперечником называется величина
$$\lambda_n(A,X):=\infp_{Y}\infp_{P_n}\sup_{x\in A}\|x-P_nx\|,$$
где $Y$ --- всевозможные линейные нормированные пространства, содержащие
$A$, а $P_n$ --- линейные ограниченные операторы, отображающие $Y$ в $X$,
ранг которых не превосходит $n$.

{\it Гельфандовский\/} $n$-поперечник определяется следующим образом:
$$d^n(A,X):=\infp_{Y}\infp_{Y^n}\sup_{x\in A\cap Y^n}\|x\|,$$
где $Y$ имеет тот же смысл, что и в определении линейного $n$-поперечника,
а $Y ^n$ --- всевозможные подпространства $Y$ коразмерности $n$ (здесь
предполагается, что $0\in A$).

{\it Информационным\/} $n$-поперечником множества $A$ назовем величину
\begin{equation}\label {i_n}
i_n(A,X):=\infp_\at{Y\supset A}{l_1,\dots,l_n\in Y^*}\infp_{S\colon\bbbr^n
\to X}\,\sup_{x\in A}\|x-S(l_1x,\ldots,l_nx)\|_X,
\end{equation}
где по-прежнему $Y$ --- всевозможные линейные нормированные пространства,
содержащие $A$. Линейные функционалы, на которых достигается нижняя грань в
(\ref{i_n}) будем называть оптимальными функционалами для соответствующего
информационного поперечника.

\begin{lemma}
Пусть $A$ --- центрально-симметричное множество, содержащее нуль. Тогда
\begin{equation}\label {o10.wid}
d^n(A,X)\le i_n(A,X)\le \lambda_n(A,X).
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
Неравенство
$$i_n(A,X)\le \lambda_n(A,X)$$
непосредственно следует из определений информационного и линейного
поперечников. Докажем оценку снизу. Пусть $Y\supset A$ и $l_1,\ldots,l_n\in
Y^*$. Для любого $\varepsilon>0$ найдется $x_\varepsilon\in A$, для
которого $l_1x_\varepsilon=\ldots=l_nx_\varepsilon=0$ и
$$\sup_\at{x\in A}{l_1x=\ldots=l_nx=0}\|x\|_X\le\|x_\varepsilon\|_X+
\varepsilon.$$
Для всех $S$ имеем
$$\|x_\varepsilon-S(0,\ldots,0)\|_X+\|-x_\varepsilon-S(0,\ldots,0)\|_X\ge2
\|x_\varepsilon\|_X.$$
Поэтому
\begin{multline*}
\sup_{x\in A}\|x-S(l_1x,\ldots,l_nx)\|_X\ge\|x_\varepsilon\|_X\ge\sup_\at{x
\in A}{l_1x=\ldots=l_nx=0}\|x\|_X-\varepsilon\\
\ge d^n(A,X)-\varepsilon.
\end{multline*}
Отсюда в силу произвольности $l_1\ldots,l_n$, $S$ и $\varepsilon>0$
получаем
$$i_n(A,X)\ge d^n(A,X).$$
\end{proof}

Через $L_p$, $1\le p\le\infty$, обозначим пространство вещественных $2\pi
$-пе\-риодических функций, для которых
\begin{align*}
\|x\|_p&:=\int_{\bbbt}|x(t)|^p\,dt<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|x\|_\infty&:=\vraisup_{t\in\bbbt}|x(t)|<\infty,\quad p=\infty.
\end{align*}
Положим
$$\BL:=\{\,x\in L_\infty:\|x\|_\infty\le1\,\}.$$

Обозначим через $\F$ множество операторов $F\colon\BL\to L_\infty$ (вообще
говоря, нелинейных), для которых
\begin{enumerate}
\item при всех $x\in\BL$ \ $F(-x)=-Fx$;
\item при всех $\alpha\in\bbbt$ \ $P_\alpha\circ F=F\circ P_\alpha$, где $(
P_\alpha x)(\cdot)=x(\cdot+\alpha)$;
\item $F$ непрерывен как оператор, действующий из подмножества $\BL$
пространства $L_1$ в $L_1$ (т.~е.\ $\|Fx_m-Fx\|_1\to0$ при $\|x_m-x\|_1\to0
$).
\end{enumerate}

Для конечного, симметричного относительно нуля множества $M\subset\bbbz$
обозначим через $\T_M$ множество вещественных тригонометрических полиномов
из $\spa\{e^{ikt}\}_{k\in M}$, $\T_\emptyset:=\{0\}$. Пусть $G\in\F$. Через
$CVD(M_0,M,G)$ будем обозначать множество операторов $F\in\F$, для которых
выполнены следующие условия:
\begin{enumerate}
\item если $x_1,x_2$ различные функции из $\BL$ такие, что $Gx_1\perp\T_M$,
$Gx_2\perp\T_M$, а $p\in\T_{M_0}$, то
$$S(p+Fx_1-Fx_2)\le S(x_1-x_2),$$
где $S(f)$ --- число перемен знака $2\pi$-периодической функции $f$ на
периоде;
\item при всех $0<\rho<1$ и всех $x\in\BL$ таких, что $\|x\|_\infty\le1$ и
$Gx\perp\T_M$, существует функция $x_\rho\in\BL$ такая, что $\|x_\rho\|_
\infty<1$, $Gx_\rho\perp\T_M$ и $\rho Fx=Fx_\rho$.
\item множество $\{Fx\mid x\in\BL,\ Gx\perp\T_M\}$ --- выпукло.
\item если $x\in\BL$ и $Gx\perp\T_M$, то $Fx\perp\T_M$.
\end{enumerate}
Последнее условие выполнено, например, если $G$ --- тождественный оператор,
а $F$ --- оператор свертки, или если $G=F$. Эти два случая являются
основными в рассматриваемых ниже примерах.

Для функции $f\in C(\bbbt)$ через $\dist f$ обозначим максимальную длину
подинтервала $\bbbt$, на котором функция $f$ не имеет нулей. Положим
$$(f*g)(t):=\frac1{2\pi}\int_{\bbbt}f(t-s)g(s)\,ds.$$
Обозначим через $\K(M,\delta)$ класс ядер $\Omega\in L_1$, для которых при
всех $x\in\BL$ и $p\in\T_M$ таких, что $x\perp\T_M$, а $\dist(p+\Omega*x)<
\delta$, выполнено неравенство
$$S(p+\Omega*x)\le S(x),$$
причем, если  $\Omega*x\in C^2(\bbbt)$, то
$$Z_2(p+\Omega*x)\le S(x),$$
где $Z_2$ --- число нулей функции, когда кратные нули считаются дважды, а
интервалы, на которых функция тождественно равна нулю, отбрасываются. Будем
также предполагать, что $c_j(\Omega)\ne0$, $j\notin M$, где
$$c_j(f):=\frac1{2\pi}\int_{\bbbt}f(t)e^{-ijt}\,dt,\quad j=0,\pm1,\ldots\,
\,.$$

Предположим, что
\begin{multline}\label{cond}
\Omega_j\in\K(M_j,\delta_j),\quad j=1,\ldots,k,\\
F\in CVD(M_0,M,G),\quad M=\bigcup_{j=0}^kM_j.
\end{multline}
Нас будут интересовать точные значения $n$-поперечников для классов
$$\F_\infty:=\F_\infty(\Phi,M):=\{\,p+\Phi x\mid p\in\T_M,\ x\in\BL,\ Gx
\perp\T_M\,\},$$
где $\Phi x=\Omega_k*\ldots*\Omega_1*Fx$.

\section{Точные значения $n$-поперечников на классах $\F_\infty$}

Пусть $n\in\bbbn$ и
$$\Theta_n:=\{\,\theta\mid\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n),\ 0\le\theta_1
\le\dots\le\theta_n<2\pi\,\}.$$
Для $\eta\in\Theta_{2n}$ положим
$$h_\eta(t):=(-1)^j,\quad t\in[\eta_{j-1},\eta_j),\quad j=1,\dots,2n+1,$$
где $\eta_0:=0$, $\eta_{2n+1}:=2\pi$. Через $h_n(t)$ обозначим функцию $h_
\eta(t)$, когда $\eta_j=(j-1)\pi/n$, $j=1,\dots,2n$.

Будем предполагать выполненными условия (\ref{cond}). Положим
$$\delta:=\min_{1\le j\le k}\delta_j,\qquad m:=\begin{cases}\sup\{j\mid j\in M\,&M
\ne\emptyset,\\
-1,&M=\emptyset.\end{cases}$$
\begin{lemma}\label{l1}
Для всех $n>\max\{m,2\pi/\delta\}$ имеет место равенство
$$\inf_\at{p\in\T_M}{\eta\in\Theta_{2n},\ Gh_\eta\perp\T_M}\|p+\Phi h_\eta
\|_\infty=\|\Phi h_n\|_\infty.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Положим
\begin{multline*}
G_\sigma(t)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sigma}\sum_{j\in\bbbz}\exp\left(-\frac{(t-2
\pi j)^2}{2\sigma^2}\right)\\
=1+2\sum_{j=1}^\infty e^{-j^2\sigma^2/2}\cos jt,\quad\sigma>0.
\end{multline*}
Хорошо известны следующие свойства ядра $G_\sigma$ (см.\ \cite{Ka}): при
всех $f\in L_\infty$ \ $G_\sigma*f$ --- аналитические функции и, кроме
того,
$$\lim_{\sigma\to0}\|G_\sigma*f\|_\infty=\|f\|_\infty,\qquad Z(G_\sigma*f)
\le S(f),$$
где $Z(g)$ --- число нулей функции $g$ с учетом кратности. Предположим, что
существуют $p\in\T_M$ и $\eta\in\Theta_{2n}$, для которых $Gh_\eta\perp\T_M
$ и
$$\|p+\Phi h_\eta\|_\infty<\|\Phi h_n\|_\infty.$$
Тогда при достаточно малых $\sigma$
$$\|p_\sigma+\Phi_\sigma h_\eta\|_\infty<\|\Phi_\sigma h_n\|_\infty,$$
где $p_\sigma=G_\sigma*p\in\T_M$, $\Phi_\sigma x=G_\sigma*\Phi x$. В силу
свойств свертки и оператора $F$ имеем
\begin{equation}\label{1}
P_{\pi/n}(\Phi_\sigma h_n)=\Phi_\sigma(P_{\pi/n}h_n)=\Phi_\sigma(-h_n)=-
\Phi_\sigma h_n.
\end{equation}
Отсюда следует существование точек $0\le t_1<\dots<t_{2n }<2\pi$ таких, что
\begin{equation}\label {no}
(\Phi_\sigma h_n)(t_j)=\varepsilon(-1)^j\|\Phi_\sigma h_n\|_\infty,\quad j=
1,\dots,2n,
\end{equation}
где $\varepsilon=1$ или $-1$. Тем самым для любого $\alpha\in\bbbt$
\begin{equation}\label {noo}
2n\le S(P_\alpha(\Phi_\sigma h_n)-p_\sigma-\Phi_\sigma h_\eta)=S(\Phi_
\sigma(P_\alpha h_n)-p_\sigma-\Phi_\sigma h_\eta).
\end{equation}
Если при каком-либо $\alpha$ \ $h_\eta=P_\alpha h_n$, то
$$2n\le S(P_\alpha(\Phi_\sigma h_n)-p_\sigma-\Phi_\sigma h_\eta)=S(p)\le2m<
2n.$$
Тем самым для всех $\alpha$ \ $P_\alpha h_n\ne h_\eta$.

Из того, что $c_s(\Omega_j)\ne0$, $s\notin M_j$, следует существование
тригонометрических полиномов $p_j\in\T_{M_j}$, $j=0,\ldots,k$, для которых
$$p_\sigma+\Phi_\sigma h_\eta=p_k+\Omega_k*(p_{k-1}+\ldots+\Omega_1*G_
\sigma*(p_0+Fh_\eta)\ldots).$$
Положим
$$\displaylines{f_j:=p_j+\Omega_j*(p_{j-1}+\ldots+\Omega_1*G_\sigma*(p_0+Fh
_\eta)\ldots),\quad j=1,\ldots,k,\cr
g_j:=\Omega_j*\ldots*\Omega_1*G_\sigma*Fh_n,\quad j=1,\ldots,k,\cr
f_0:=G_\sigma*(p_0+Fh_\eta),\qquad g_0:=G_\sigma*Fh_n,\cr
\mu_j:=\frac{\|f_j\|_\infty}{\|g_j\|_\infty},\quad j=0,\ldots,k-1,\qquad\mu
:=\max_{0\le j\le k-1}\mu_j.}$$
Докажем, что $\mu_0\ge1$. Предположим противное. Тогда аналогично
предыдущим рассуждениям (см.\ (\ref1)--(\ref{noo})) можно показать, что при
всех $\alpha\in\bbbt$
$$S(P_\alpha g_0-f_0)\ge2n.$$
Выбрав $\alpha=-\eta_1$, имеем
\begin{multline*}
2n\le S(G_\sigma*F(P_\alpha h_n)-G_\sigma*(p_0+Fh_\eta))\le S(F(P_\alpha h_
n)-p_0-Fh_\eta)\\
\le S(h_n(\cdot+\alpha)-h_\eta(\cdot))\le2(n-1).
\end{multline*}
Тем самым доказано, что $\mu\ge1$. Пусть $\mu=\mu_s$, $0\le s\le k-1$.
Выберем $\alpha\in\bbbt$ так, чтобы разность
$$P_\alpha g_s-\mu_s^{-1}f_s$$
имела кратный нуль. Аналогично равенствам (\ref1) получаем
\begin{equation}\label {pp}
P_{\pi/n}g_j=-g_j.
\end{equation}
Отсюда вытекает, что
$$\dist(P_\alpha g_j-\mu_s^{-1}f_j)\le\frac{2\pi}n<\delta.$$
Следовательно, в силу свойств ядер $\Omega_j$ при $s>0$ имеем
\begin{multline}\label{in}
2n\le S(P_\alpha g_k-\mu_s^{-1}f_k)\le\ldots\le S(P_\alpha g_s-\mu_s^{-1}f_
s)<Z_2(P_\alpha g_s-\mu_s^{-1}f_s)\\
\le S(P_\alpha g_{s-1}-\mu_s^{-1}f_{s-1})\le\ldots\le S(P_\alpha g_0-\mu_s^
{-1}f_0)\\
\le S(F(P_\alpha h_n)-\mu_s^{-1 }(p_0+Fh_\eta)).
\end{multline}
Если $\mu_s>1$, то по свойству 2) операторов из множества $CVD(M_0,M,G)$
найдется функция $h^*\in\BL$ такая, что $\|h^*\|_\infty<1$, $Gh^*\perp\T_M$
и $\mu_s^{-1}Fh_\eta=Fh^*$. При $\mu_s=1$ положим $h^*=h_\eta$. Таким
образом,
$$S(F(P_\alpha h_n)-\mu_s^{-1}(p_0+Fh_\eta))\le S(h_n(\cdot+\alpha)-h^*(
\cdot))\le2n,$$
что противоречит (\ref{in}). Если $s=0$, то неравенства (\ref{in})
заменяются на следующие
\begin{multline*}
2n\le S(P_\alpha g_k-\mu_0^{-1}f_k)\le\ldots\le S(P_\alpha g_0-\mu_0^{-1}f_
0)<Z_2(P_\alpha g_0-\mu_0^{-1}f_0)\\
\le S(F(P_\alpha h_n)-\mu_s^{-1}(p_0+Fh_\eta)).
\end{multline*}
Тем самым доказано, что
$$\|p+\Phi h_\eta\|_\infty\ge\|\Phi h_n\|_\infty.$$
Из равенства
$$P_{\pi/n}Gh_n=-Gh_n$$
вытекает, что $Gh_n$ --- $2\pi/n$-периодическая функция. Поэтому $Gh_n\perp
\T_M$.
\end{proof}

Положим $\T_n:=\T_{[-n,n]\cap\bbbz}$
\begin{align*}
a_j(f)&:=\frac1\pi\int_{\bbbt}f(t)\cos jt\,dt,\quad j=0,1,\ldots\,\,,\\
b_j(f)&:=\frac1\pi\int_{\bbbt}f(t)\sin jt\,dt,\quad j=1,2,\ldots\,\,,\\
I_{2n-1}(f)&:=(a_0(f),a_1(f),b_1(f),\ldots,a_{n-1}(f),b_{n-1}(f)).
\end{align*}
В дальнейшем будем предполагать, что при $k=0$ \ $F(\BL)\subset C(\bbbt)$
и, кроме того, оператор $F$ непрерывен как оператор, действующий из
подмножества $\BL$ пространства $L_1$ в $C(\bbbt)$ (т.~е.\ $\|Fx_m-Fx\|_
\infty\to0$ при $\|x_m-x\|_1\to0$).

\begin{lemma}\label {l2}
При всех $n>\max\{m,2\pi/\delta\}$ существует линейный оператор $\LLL\colon
\bbbt^{2n-1}\to\T_{n-1}$, для которого
$$\sup_{f\in\F_\infty}\|f-\LLL(I_{2n-1}(f))\|_\infty=\|\Phi h_n\|_\infty.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем сначала, что
\begin{equation}\label {ex}
\sup_\at{f\in\F_\infty}{I_{2n-1}(f)=0}\|f\|_\infty=\|\Phi h_n\|_\infty.
\end{equation}
Предположим, что найдется функция $f\in\F_\infty$, для которой $I_{2n-1}(f)
=0$ и $\|f\|_\infty>\|\Phi h_n\|_\infty$. Пусть $f=\Phi x$, $x\in\BL$.
Тогда при достаточно малых $\sigma$ \ $\|\Phi_\sigma x\|_\infty>\|\Phi_
\sigma h_n\|_\infty$. Оставив за $g_j$ те же обозначения, что и в
лемме~\ref{l1}, положим
$$\displaylines{f_j:=\Omega_j*\ldots*\Omega_1*G_\sigma*Fx,\quad j=1,\ldots,
k,\qquad f_0:=G_\sigma*Fx,\cr
\nu_j:=\frac{\|f_j\|_\infty}{\|g_j\|_\infty},\quad j=0,\ldots,k,\qquad\nu:=
\max_{0\le j\le k}\nu_j.}$$
Пусть $\nu=\nu_s$, $0\le s\le k$. В силу наших предположений $\nu_s>1$.
Выберем $\alpha\in\bbbt$ так, чтобы разность
$$P_\alpha g_s-\nu_s^{-1}f_s$$
имела кратный нуль. Из равенств (\ref{pp}) вытекает, что функции $g_j$
имеют период $2\pi/n$. Следовательно, $I_{2n-1}(g_j)=0$. Тем самым
$$I_{2n-1}(P_\alpha g_s-\nu_s^{-1}f_s)=0.$$
Так как тригонометрическая система является чебышевской, то отсюда следует
(см.\ \cite[стр.~41]{Pi}), что
$$S(P_\alpha g_s-\nu_s^{-1}f_s)\ge2n.$$
В силу того, что $\dist(P_\alpha g_s-\nu_s^{-1}f_s)\le2\pi/n<\delta$ имеем
\begin{multline*}
2n\le S(P_\alpha g_s-\nu_s^{-1}f_s)<Z_2(P_\alpha g_s-\nu_s^{-1}f_s)\le S(P_
\alpha g_{s-1}-\nu_s^{-1}f_{s-1})\\
\le\ldots\le S(P_\alpha g_0-\nu_s^{-1}f_0)\le S(F(P_\alpha h_n)-\nu_s^{-1}F
x)\\
\le S(h_n(\cdot+\alpha)-x^*(\cdot))=2n,
\end{multline*}
где $x^*$ определяется равенством $\nu_s^{-1}Fx=Fx^*$, $\|x^*\|_\infty<1$,
$Gx^*\perp\T_M$. Полученное противоречие доказывает равенство (\ref{ex}).

Рассмотрим теперь задачу об оптимальном восстановлении значения $f(0)$ на
классе $\F_\infty$ по информации $I_{2n-1}(f)$. Из общих результатов,
касающихся задач восстановления вытекает существование линейного
оптимального метода восстановления, то есть таких чисел $\alpha_0,\alpha_1,
\beta_1,\ldots,\alpha_{n-1},\beta_{n-1}$, что
\begin{multline}\label{4}
\sup_{f\in\F_\infty}|f(0)-\alpha_0a_0(f)-\sum_{j=1}^{n-1}(\alpha_ja_j(f)+
\beta_jb_j(f))|\\
=\sup_\at{f\in\F_\infty}{I_{2n-1}(f)=0}\|f\|_\infty=\|\Phi h_n\|_\infty.
\end{multline}
Пусть $g$ --- произвольная функция из $\F_\infty$. Для $t\in\bbbt$ положим
$f_t(\tau):=g(t+\tau)$. Так как $f_t\in\F_\infty$, $a_0(f_t)=a_0(g)$ и
$$\begin{aligned}
a_j(f_t)&=\phantom-a_j(g)\cos jt+b_j(g)\sin jt,\\
b_j(f_t)&=-a_j(g)\sin jt+b_j(g)\cos jt,\end{aligned}\qquad j=1,2,\ldots\,\,
,$$
то, положив
\begin{multline*}
\LLL(I_{2n-1}(g)):=\alpha_0a_0(g)\\
+\sum_{j=1}^{n-1}\Bigl((\alpha_j\cos jt- \beta_ j\sin jt)a_j(g)+(\alpha_j
\sin jt+\beta_j\cos jt)b_j(g)\Bigr),
\end{multline*}
из (\ref4) при $\tau=0$ будем иметь
$$|g(t)-\LLL(I_{2n-1}(g))|\le\|\Phi h_n\|_\infty.$$
В силу произвольности $t\in\bbbt$ получаем
$$\|g-\LLL(I_{2n-1}(g))\|_\infty\le\|\Phi h_n\|_\infty.$$
Так как для $g=\Phi h_n$ последнее неравенство обращается в равенство, то
утверждение леммы доказано.
\end{proof}

Теперь докажем основной результат работы.
\begin{theorem}\label 5
При всех $n>\max\{m,2\pi/\delta\}$ имеют место равенства
\begin{multline*}
d_{2n}\hhl=\lambda_{2n}\hhl=d^{2n}\hhl=i_{2n}\hhl\\
=d_{2n-1}\hhl=\lambda_{2n-1}\hhl=d^{2n-1}\hhl\\
=i_{2n-1}\hhl=\|\Phi h_n\|_\infty.
\end{multline*}
При этом коэффициенты Фурье $a_0(f),a_1(f),b_1(f),\ldots,a_{n-1}(f)$, $b_{n
-1}(f)$ являются оптимальными функционалами для величин $i_{2n-1}$ и $i_{2n
}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Докажем сначала оценку снизу для колмогоровского и гельфандовского $2n
$-поперечников. Положим
$$\displaylines{S^{2n}:=\left\{\,\xi=(\xi_1,\dots,\xi_{2n+1})\in\bbbr^{2n+1
}\Bigm|\sum_{s=1}^{2n+1}|\xi_s|=2\pi\,\right\},\cr
\tau_0(\xi):=0,\qquad\tau_j(\xi):=\sum_{s=1}^j|\xi_s|,\quad j=1,\ldots,2n+1
.}$$
Для $\xi\in S^{2n}$ определим функции
$$g_\xi(t):=\sign \xi_j,\quad\tau_{j-1}(\xi)\le t<\tau_j(\xi),\quad j=1,
\ldots,2n+1,\quad f_\xi:=\Phi g_\xi.$$
Пусть $X_{2n}$ --- произвольное $2n$-мерное подпространство $L_q$, $1<q<
\infty$. Предположим, что $X_{2n}=\spa\{f_1,\dots,f_{2n}\}$ и
$$f_\xi^*:=\sum_{j=1}^{2n}\alpha_j(\xi)f_j$$
--- элемент наилучшего приближения $f_\xi$ подпространством $X_{2n}$.
Положим
$$E(\F_\infty,X_{2n}):=\sup_{f\in\F_\infty}\,\infp_{g\in X_{2n}}\|f-g\|_q.
$$
Если $\T_M\not\subset X_{2n}$, то $E(\F_\infty,X_{2n})=\infty$. Будем
считать, что $\T_M\subset X_{2n}$, $\dim\T_M=r$ и $\{f_j\}_{j=1}^r$ ---
базис $\T_M$. Положим $I_M(f):=\{a_j(f),b_j(f)\}_{j\in M\cap\bbbz_+}$.
Рассмотрим отображение
$$\alpha(\xi):=(I_M(Gg_\xi),\alpha_{r+1}(\xi),\ldots,\alpha_{2n}(\xi)).$$
Отображение $\alpha\colon S^{2n}\to\bbbr^{2n}$ --- непрерывное и нечетное.
Поэтому по теореме Борсука существует $\xi^*\in S^{2n}$, для которого $
\alpha(\xi^*)=0$. Имеем
\begin{multline*}
E(\F_\infty,X_{2n})\ge\inf_{g\in X_{2n}}\|f_{\xi^*}-g\|_q=\|\Phi g_{\xi^*}-
\sum_{j=1}^r\alpha_j(\xi^*)f_j\| _q\\
\ge\inf_\at{p\in\T_M}{\eta\in\Theta_{2n},\ Gh_\eta\perp\T_M}\|p+\Phi h_\eta
\|_ q.
\end{multline*}
Следовательно,
$$d_{2n}(\F_\infty,L_q)\ge\inf_\at{p\in\T_M}{\eta\in\Theta_{2n},\ Gh_\eta
\perp\T_M}\|p+\Phi h_\eta\|_q.$$
Переходя к пределу при $q\to\infty$ и пользуясь леммой~\ref{l1}, будем
иметь
$$d_{2n}\hhl\ge\inf_\at{p\in\T_M}{\eta\in\Theta_{2n},\ Gh_\eta\perp\T_M}\|p
+\Phi h_\eta\|_\infty=\|\Phi h_n\|_\infty.$$

Получим теперь оценку снизу для гельфандовских $2n$-по\-пе\-реч\-ни\-ков.
Пусть $Y$ --- некоторое линейное нормированное пространство, содержащее $F_
\infty$, и
$$X^{2n}=\{\,f\in Y\mid\la l_j,f\ra=0,\ j=1,\dots,2n,\ l_j\in Y^*\,\}.$$
Рассмотрим отображение $J\colon\T_M\to\bbbr^{2n}$, задаваемое равенством
$$Jp=(l_1p,\ldots,l_{2n}p).$$
Если $\Ker J\ne0$, то
$$\sup_{f\in\F_\infty\cap X^{2n}}\|f\|_\infty=\infty.$$
Если же $\Ker J=0$, то среди функционалов $l_1,\ldots,l_{2n}$ существуют $r
$ линейно независимых на $\T_M$. Будем считать, что таковыми являются $l_1,
\ldots,l_r$. Тогда остальные функционалы на $\T_M$ могут быть представлены
в виде
$$\la l_j,p\ra=\sum_{s=1}^rc_{js}\la l_s,p\ra,\quad j=r+1,\ldots,2n.$$
Положим
$$L_j:=l_j-\sum_{s=1}^rc_{js}l_s,\quad j=r+1,\ldots,2n,$$
и рассмотрим отображение
$$\alpha(\xi):=(I_M(Gf_\xi),\la L_{r+1},f_\xi\ra,\ldots,\la L_{2n},f_\xi\ra
).$$
По теореме Борсука существует $\xi^*\in S^{2n}$, для которого $\alpha(\xi^*
)=0$. Так как $\Ker J=0$, то найдется тригонометрический полином $p^*\in\T_
M$ такой, что
$$\la l_s,p^*\ra=-\la l_s,f_{\xi^*}\ra,\quad s=1,\ldots,r.$$
Для $r+1\le j\le2n$ имеем
$$\la l_j,p^*+f_{\xi^*}\ra=\biggl\la L_j+\sum_{s=1}^rc_{js}l_s,p^*+f_{\xi^*
}\biggr\ra=\sum_{s=1}^rc_{js}\la l_s,p^*+f_{\xi^*}\ra=0.$$
Следовательно,
$$p^*+f_{\xi^*}\in X^{2n}.$$
Тем самым
$$\sup_{f\in\F_\infty\cap X^{2n}}\|f\|_\infty\ge\|p^*+f_{\xi^*}\|_\infty\ge
\inf_\at{p\in\T_M}{\eta\in\Theta_{2n},\ Gh_\eta\perp\T_M}\|p+\Phi h_\eta\|_
\infty=\|\Phi h_n\|_\infty.$$
Отсюда
$$d^{2n}\hhl\ge\|\Phi h_n\|_\infty.$$

Из неравенств (\ref{o10.wid}) и монотонности поперечников следует, что
остается оценить сверху $\lambda_{2n-1}\hhl$. Эта оценка вытекает из
леммы~\ref{l2}.
\end{proof}

\section{Примеры классов $\F_\infty$}

Для $\Omega\in L_1$ положим
$$W_M(\Omega):=\{\,f:f=p+\Omega*x,\ p\in\T_M,\ x\in\BL,\ x\perp\T_M\,\}.$$

Назовем функцию $\Omega\in L_1$ {\it ядром, не увеличивающим осцилляции},
если при всех $x\in L_\infty$ таких, что $x\perp\T_M$, $x\not\equiv0$, и
при всех $p\in\T_M$ имеет место неравенство
$$S(p+\Omega*x)\le S(x).$$
Очевидно, что оператор $Fx=\Omega*x$ принадлежит классу $CVD(M,M,Id)$ ($Id$
--- тождественный оператор).
Следовательно,
$$W_M(\Omega)=\F_\infty(\Phi,M),$$
где $\Phi x=Fx$ ($k=0$, $G=Id$).

При $M=\emptyset$ ядра, не увеличивающие осцилляции называются {\it
функциями плотности, не увеличивающими осцилляции\/} или $CVD$-{\it
ядрами\/} (cyclic variation diminishing kernels). Для классов функций,
представимых в виде свертки с ядрами такого типа, теорема~\ref5 доказана
А.~Пинкусом [1, стр.~179].

Пусть $Q(D)$ --- дифференциальный полином с постоянными вещественными
коэффициентами
$$Q(D)=D^{\deg Q}+\sum_{m=0}^{\deg Q-1}a_mD^m,\quad D=\frac d{dx}.$$
Положим
$$\Omega_Q(t):=\sum_\at{m\in\bbbz}{Q(im)\ne0}\frac{e^{imt}}{Q(im)}.$$
Пусть
$$M=\{\,m\in\bbbz:Q_j(im)=0\,\}.$$
Тогда
\begin{multline*}
W_M(\Omega_Q)=W_\infty^Q\\
:=\{\,f:f^{(\deg Q-1)}\mbox{ --- абс.\ непрерывна},\ \|Q(D)f\|_\infty\le1\,
\}.
\end{multline*}

Обозначим через $h(Q)$ максимум мнимой части нулей полинома $Q$. Из работ
\cite{Kr} и \cite{Ng1} вытекает, что при $h(Q)\le1/2$ ядро $\Omega_Q$ не
увеличивает осцилляции (при этом $M=0$, если $Q(0)=0$, и $M=\emptyset$,
если $Q(0)\ne0$). Таким образом, при $h(Q)\le1/2$ теорема~\ref5 справедлива
для класса $W_\infty^Q$.

Если $Q(D)=D^r$, то класс $W_\infty^Q$ совпадает с классом Соболева $W_
\infty^r$, для которого точные значения изучаемых поперечников были найдены
В.~М.~Тихомировым \cite{Ti}.

Существуют полиномы $Q$, нули которых находятся сколь угодно далеко от
вещественной оси, а соответствующие им ядра $\Omega_Q$ являются ядрами, не
повышающими осцилляции. Например, ядро $\Omega_Q$ для
\begin{equation}\label{Q}
Q(D)=D(D^2+1^2)\ldots(D^2+m^2)
\end{equation}
является ядром, не повышающим осцилляции c $M=\{0,\pm1,\ldots\pm m\}$ (см.\
\cite{Ng2}).

В общем случае полином $Q(D)$ может быть представлен в виде
\begin{equation}\label {qd}
Q(D)=\prod_{j=1}^kQ_j(D),
\end{equation}
где $Q_j(D)$ --- дифференциальные полиномы с вещественными коэффициентами
такие, что $\deg Q_j\le2$. Из работы \cite{Ng1} следует, что $\Omega_{Q_j}
\in\K(M_j,\delta_j)$, где
\begin{equation}\label {mj}
M_j=\{\,m\in\bbbz:Q_j(im)=0\,\},\qquad\delta_j=\pi/h(Q_j).
\end{equation}
Поэтому, положив $\Phi x=\Omega_{Q_k}*\ldots*\Omega_{Q_1}*x$, получаем, что
$$W_\infty^Q=\F_\infty(\Phi,M),\qquad M=\bigcup_{j=1}^kM_j\quad(F=G=Id,\ M_
0=\emptyset).$$

Обозначим через $\hh$ ($\HH$) класс вещественных $2\pi
$-пе\-ри\-оди\-чес\-ких функций, аналитически продолжаемых в полосу $S_
\beta:=\{z\in\bbbc:|\IM z|<\beta\}$ и удовлетворяющих в ней условию
$$|\RE f(z)|\le1\qquad(|f(z)|\le1).$$
Хорошо известно (см., например \cite[стр.~269]{Ak}), что
$$\hh=\{\,f:f=K_\beta*x,\ x\in\BL\,\},$$
где
$$K_\beta(t)=1+2\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos mt}{\ch m\beta}.$$
Ядро $K_\beta$ является $CVD$-ядром (см.\ \cite[стр.~62]{Pi}). Таким
образом,
$$\hh=W_\emptyset(K_\beta).$$

Рассмотрим теперь класс $\HH$. В силу того, что функция $w=\dfrac4\pi\arctg
z$ конформно отображает внутренность единичного круга на полосу $|\RE w|<1
$, имеем
$$f(\cdot)\in\HH\Longleftrightarrow\dfrac4\pi\arctg f(\cdot)\in\hh.$$
Поэтому
$$\HH=\{\,f:f=\varphi(K_\beta*x),\ x\in\BL\,\},$$
где $\varphi(w)=\tg\dfrac\pi4w$. Поскольку $\sign\varphi(w)=\varphi(\sign w
)$ при $w\in[-1,1]$, то нетрудно убедиться, что оператор
$$Fx=\varphi(K_\beta*x),$$
принадлежит множеству $CVD(\emptyset,M,F)$ при всех $M$. Тем самым
$$\HH=\F_\infty(\Phi,\emptyset),\qquad\Phi x=Fx\quad(k=0,\ G=F).$$

Для дифференциального полинома $Q(D)$ с вещественными коэффициентами через
$\hQ$ ($\HQ$) обозначим класс вещественных $2\pi$-периодических функций,
аналитически продолжаемых в полосу $S_\beta$ и удовлетворяющих условию
$$Q(D)f\in\hh\qquad (Q(D)f\in\HH).$$
В обозначениях (\ref{qd}) и (\ref{mj}) имеем
$$\hQ=\F(\Phi_1,M),\qquad\HQ=\F(\Phi_2,M),$$
где $\Phi_1x=\Omega_{Q_k}*\ldots*\Omega_{Q_1}*K_\beta*x$, $\Phi_2x=\Omega_{
Q_k}*\ldots*\Omega_{Q_1}*\varphi(K_\beta*x)$, $M=\bigcup_{j=1}^kM_j$ (в
первом случае $G=Id$, а во втором --- $G=F$).

Таким образом, из теоремы~\ref5 вытекает
\begin{theorem}\label6
При всех $n>2h(Q)$
\begin{multline*}
d_{2n}\hhm=\lambda_{2n}\hhm=d^{2n}\hhm=i_{2n}\hhm\\
=d_{2n-1}\hhm=\lambda_{2n-1}\hhm=d^{2n-1}\hhm=i_{2n-1}\hhm\\
=\begin{cases}\|\Omega_Q*h_n\|_\infty,&W=W_\infty^Q,\\[3pt]
\|\Omega_Q*K_\beta*h_n\|_\infty,&W=\hQ,\\[3pt]
\|\Omega_Q*\varphi(K_\beta*h_n)\|_\infty,&W=\HQ,\end{cases}
\end{multline*}
При этом коэффициенты Фурье $a_0(f),a_1(f),b_1(f),\ldots,a_{n-1}(f)$, $b_{n
-1}(f)$ являются оптимальными функционалами для величин $i_{2n-1}$ и $i_{2n
}$.
\end{theorem}

Утверждение этой теоремы для класса $W_\infty^Q$ (для колмогоровского,
линейного и гельфандовского поперечников) было получено в работе \cite
{Ng1}. Четные поперечники класса $\HQ$ при $Q(D)=D^r$ были найдены в работе
\cite{Os3}.

Идея построения общей теории для гладкого и аналитического случаев
неоднократно высказывалась профессором В.~М.~Тихомировым, которому автор
признателен за полезные обсуждения.

\begin{thebibliography}{11}
\bibitem{Pi}
Pinkus A. $n$-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag,
1985.
\bibitem{Ng}
\mbox{Нгуен Тхи Тхьеу Хоа}. Наилучшие квадратурные формулы и методы
восстановления функций, определяемых ядрами, не увеличивающими осцилляцию//
Матем. сб.  1986. Т.130, \No1. С.105--119.
\bibitem{Ng1}
\mbox{Нгуен Тхи Тхьеу Хоа}. Некоторые экстремальные задачи на классах
функций, задаваемых линейными дифференциальными операторами// Матем. сб.
1989. Т.180, \No10. С.1355--1395.
\bibitem{Os1}
Осипенко К. Ю. Об $n$-поперечниках, оптимальных квадратурных формулах и
оптимальном восстановлении функций, аналитических в полосе// Изв. РАН. Сер.
мат. 1994. Т.58, \No4. С.55--79.
\bibitem{Os2}
Osipenko K. Yu. Exact values of $n$-widths and optimal quadratures on
classes of bounded analytic and harmonic functions// J. Approx. Theory.
1995. V.82, \No1. P.156--175.
\bibitem{Os3}
Osipenko K. Yu. Exact $n$-widths of Hardy--Sobolev classes// Constr.
Approx. 1996. V.
\bibitem{Ka}
Karlin S. Total Positivity. V. I. Stanford: Stanford Univ. Press,
1968.
\bibitem{Kr}
Крейн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций// ДАН
СССР. 1938. Т.18, \No4--5. С.245--251.
\bibitem{Ti}
Тихомиров В. М. Наилучшие методы приближения и интерполирования
дифференцируемых функций в пространстве $C[-1,1]$// Матем. сб. 1969.
Т.80(122). С.290--304.
\bibitem{Ng2}
\mbox{Нгуен Тхи Тхьеу Хоа}. Оператор $D(D^2+1^2)\ldots(D^2+n^2)$ и
тригонометрическая интерполяция// Anal. math. 1989. Т.15, \No4. С.291--306.
\bibitem{Ak}
Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

\end{thebibliography}

\parindent=0pt
\obeylines
МАТИ --- Российский государственный
технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского
\end{document}