\documentclass[12pt,draft,reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}

\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{propos}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
%\tolerance 200

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\newcommand*{\sjn}{\sum_{j=1}^n}
\newcommand*{\ov}{\overline}


\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother

\begin{document}
\begin{flushleft}
УДК 519.3
\end{flushleft}

\medskip
\begin{center}
\bf
ЛЕММА ШВАРЦА В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ И БЕРГМАНА
НА ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ ИЗ $\mathbb C^n$\footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No96-01-00325, \No96-15-96072 и \No96-01-10035).}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
К. Ю. Осипенко
\end{center}

\bigskip

Классическая лемма Шварца утверждает, что если функция $f$ голоморфна в единичном круге $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$, не превосходит там по модулю единицы и $f(0)=0$, то для всех $z\in D$\ $|f(z)|\le|z|$. Тем самым
\begin{equation}\label{1}
\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(0)=0}}|f(z)|=|z|,
\end{equation}
где $BH_\infty$ --- единичный шар {\it пространства Харди\/} $H_\infty$, определяемого как множество голоморфных в $D$ функций, для которых
$$\|f\|_{H_\infty}:=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty.$$

Экстремальные задачи типа \eqref{1} часто возникают в связи с оптимальным восстановлением функций. Приведем одну из возможных постановок задачи восстановления.

Пусть $W$ --- некоторый класс функций, определенных в области $\Omega$. Предположим, что для функций из этого класса известны значения в фиксированных точках $z_1,\ldots,z_n$. Положим для $f\in W$
$$If:=\left(f(z_1),\ldots,f^{(k_1-1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(k_n-1)}(z_n)\right).$$
Оператор $I$, называемый {\it информационным}, в многомерной ситуации содержит значения функций   и ее частных производных в системе точек $z_1,\ldots,z_n$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления функций из класса $W$ в фиксированной точке $z$ по значениям $If$. {\it Погрешностью оптимального восстановления\/} назовем величину
\begin{equation}\label{2}
e(z,W,I):=\infp_A\sup_{f\in W}|f(z)-A(If)|,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам) $A\colon\mathbb C^N\to\mathbb C$, $N=k_1+\ldots+k_n$ (или $A\colon\mathbb R^N\to\mathbb R$ в вещественном случае). Метод $A_0$, на котором достигается нижняя грань в \eqref{2}, называется {\it оптимальным}.

В работе \cite{1} было доказано, что для выпуклого уравновешенного класса $W$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{3}
e(z,W,I)=\sup_{\substack{f\in W\\If=0}}|f(z)|.
\end{equation}

Если рассмотреть задачу восстановления функций из $BH_\infty$ в точке $z$ по их значениям в нуле ($If=I_1f:=f(0)$), то в силу \eqref{3} с помощью леммы Шварца легко вычисляется погрешность оптимального восстановления
\begin{equation}\label{4}
e(z,BH_\infty,I_1)=\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(0)=0}}|f(z)|=|z|.
\end{equation}
Естественно рассмотреть более общую задачу, когда информационный оператор имеет вид
$$If=I_rf:=\left(f(0),f'(0),\ldots,f^{(r-1)}(0)\right).$$
Иными словами мы хотим найти оптимальный метод восстановления и его погрешность по ``тейлоровской'' информации. Аналогично \eqref{4} и здесь легко получить ответ
\begin{equation}\label{5}
e(z,BH_\infty,I_r)=\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(0)=f'(0)=f^{(r-1)}(0)=0}}|f(z)|=|z|^r.
\end{equation}

Заметим, что нахождение оптимального метода восстановления, как правило, требует несколько больших усилий по сравнению с нахождением его погрешности. Например, в рассматриваемом случае довольно естественный метод, при котором функция заменяется на ее отрезок ряда Тейлора
$$f(z)\approx\sum_{k=0}^{r-1}\frac{z^k}{k!}f^{(k)}(0),$$
не является оптимальным. Оптимальным здесь является метод
$$f(z)\approx\sum_{k=0}^{r-1}\frac{z^k}{k!}(1-|z|^{2(r-k)}f^{(k)}(0),$$
построенный в работе \cite{2}.

Решение ряда более общих задач восстановления и связанных с ними экстремальных задач на классах голоморфных функций рассматривались в работах \cite{3}, \cite{4}, \cite{5}.

Целью данной работы является решение экстремальных задач типа \eqref{5} для голоморфных функций многих переменных.

Пусть $B$ --- единичный шар в $\mathbb C^n$ и $\mathbb S$ --- его граница:
\begin{align*}
B:=&\{\,z=(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n:|z|^2:=\sum_{k=1}^n|z_k|^2<1\,\},\\\mathbb S:=&\{\,z\in\mathbb C^n:|z|=1\,\}.
\end{align*}

{\it Пространством Харди\/} $H_p$ называется множество голоморфных в $B$ функций, удовлетворяющих условию
\begin{align*}
\|f\|_{H_p}:=&\sup_{0<r<1}\left(\int_{\mathbb S}|f(rz)|^p\,d\sigma(z)\right)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_{H_\infty}:=&\sup_{z\in B}|f(z)|<\infty,\quad p=\infty,
\end{align*}
где $\sigma$ --- вероятностная борелевская мера, инвариантная относительно вращений. Пространством Бергмана $A_p$ называется множество голоморфных в $B$ функций, удовлетворяющих условию
$$\|f\|_{A_p}:=\left(\int_B|f(z)|^p\,d\nu(z)\right)^{1/p}<\infty,\quad1\le p<\infty,$$
где $\nu$ --- мера Лебега в $\mathbb C^n=\mathbb R^{2n}$, нормированная так, что $\nu(B)=1$. При $p=\infty$ \ $A_\infty=H_\infty$. Через $BH_p$ и $BA_p$ будем обозначать единичные шары в пространствах $H_p$ и $A_p$.

Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ --- {\it мультииндекс}, т. е. упорядоченный набор неотрицательных целых чисел $\alpha_j$, $1\le j\le n$. Положим
$$D_j:=\frac\partial{\partial z_j},\quad D^\alpha:=D_1^{\alpha_1}\ldots D_n^{\alpha_n},\quad|\alpha|:=|\alpha_1|+\ldots+|\alpha_n|.$$
Введем также следующие обозначения
\begin{align*}
&Q_n(\rho,u):=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+\rho/2}\binom{n-1}{k}u^k,\\
&\lambda_n(\rho):=\min\{|u|:Q_n(\rho,u)=0\},\\
&\Phi_n(u,r,p):=\frac{u^r}{(1-u^2)^{n/p}}\left(\frac{\Gamma(n+rp/2)}{\Gamma(n)\Gamma(rp/2)}
Q_n(rp,u^2)\right)^{1/p}.
\end{align*}

\begin{theorem}
Для всех $1\le  p<\infty$ и $z\in B$
\begin{enumerate}
\item при  $|z|<\lambda_n(rp)$
\begin{equation}\label{6}
\sup_{\substack{f\in BH_p\\(D^\alpha f)(0)=0,\ |\alpha|\le r-1}}|f(z)|=\Phi_n(|z|,r,p),
\end{equation}
\item при  $|z|<\lambda_{n+1}(rp)$
\begin{equation}\label{7}
\sup_{\substack{f\in BA_p\\(D^\alpha f)(0)=0,\ |\alpha|\le r-1}}|f(z)|=\Phi_{n+1}(|z|,r,p).
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{theorem}

Доказательство этой теоремы, обобщающей лемму Шварца на случай голоморфных функций из классов Харди и Бергмана, основано на построении воспроизводящего ядра для функций из $H_p$ с весом $|z|^{r(p-2)}$. Случай $r=1$ был рассмотрен в работе \cite{6}.

Отметим, что при $1\le n\le5$ в \cite{6} было доказано, что при всех $1\le p\le\infty$ \ $\lambda_n(p)>1$. Тем самым для $1\le n\le5$ экстремальные задачи \eqref{6} и \eqref{7} решены для всех $z\in B$.

\renewcommand{\refname}{\bf Список литературы}

\begin{thebibliography}{11}
\bibitem{1}	К.~Ю.~Осипенко, {\it Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек}, Мат. заметки {\bf19} (1976), 29--40.
\bibitem{2}	К.~Ю.~Осипенко, {\it Оптимальная интерполяция аналитических функций}, Мат. заметки {\bf12} (1972), 465--476.
\bibitem{3}	К.~Ю.~Осипенко, {\it О точных значениях $n$-поперечников на классах, задаваемых операторами, не увеличивающими осцилляции}, Мат. сб. {\bf188} (1997), 113--126.
\bibitem{4}	K.~Yu.~Osipenko, K.~Wilderotter, {\it Optimal information for approximating periodic analytic functions}, Math. Comput. {\bf66} (1997), 1579--1592.
\bibitem{5}	K.~Yu.~Osipenko, {\it Exact $n$-widths of Hardy--Sobolev classes}, Constr. Approx. {\bf13} (1997), 17--27.
\bibitem{6}	K.~Yu.~Osipenko, M.~I.~Stessin, {\it On optimal recovery of a holomorphic function in the unit ball of $\mathbb C^n$}, Constr. Approx. {\bf8} (1992), 141--159.
    
\end{thebibliography}

\end{document}