\documentclass[12pt,draft,oneside,a4paper]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 1900

\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\inT}{\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}}
\newcommand*{\iT}{\int_{\wT}}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wT}{\widehat T}
\newcommand*{\ta}{\widetilde a}
\newcommand*{\wa}{\widehat a}
\newcommand*{\tY}{\widetilde Y}
\newcommand*{\tI}{\widetilde I}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\td}{\widetilde\delta}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem*}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Змечания}
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}



\DeclareMathOperator*{\co}{co}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}

\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}

\title[Восстановление операторов]{О восстановлении
операторов сверточного типа по неточной информации}
\author{\large Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No07-01-90102, \No06-01-00530, \No08-01-00450) и
Программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской
Федерации (НШ-3233.2008.1)}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}\email{magaril@mirea.ru}
\address{``МАТИ'' --- Российский государственный технологический
университет им.\ К.~Э.~Циолковского}\email{kosipenko@yahoo.com}

\begin{abstract}
Решается задача оптимального восстановления значений линейного
оператора на $\mathbb R^d$ или $\mathbb Z^d$ по приближенно заданным
значениям других операторов. Действие каждого из операторов в
образах Фурье есть умножение на некоторую функцию. В качестве одного
из приложений  приводятся явные выражения для оптимальных методов
восстановления решения уравнения теплопроводности (для непрерывной и
разностной моделей) в данный момент времени по неточным его
измерениям в другие моменты.
\end{abstract}








\maketitle

\section{Постановка задачи и формулировка основного результата}

Пусть $T=\mathbb R^d$ или $\mathbb Z^d$, где $d$ --- натуральное
число, а $\mathbb R$ и $\mathbb Z$ --- множества действительных и
целых чисел. Обозначим $\wT=\mathbb R^d$, если $T=\mathbb R^d$ и
$\wT=\mathbb T^d$ ($\mathbb T$ --- единичная окружность), если
$T=\mathbb Z^d$.

Пусть $\alpha\cd$ --- непрерывная функция на $\wT$ (вообще говоря,
комплекснозначная), $R>0$ и $F\colon L_2(T)\to L_2(\wT)$ ---
преобразование Фурье. Положим
$$
X_\alpha^R(T)=\{\,x\cd\in L_2(T)\mid \alpha^r\cd Fx\cd\in
L_2(\wT)\,\,\,\forall\,r\in[0,R]\,\}.\footnote{Здесь
$\alpha^r(\xi)=|\alpha(\xi)|^r\exp(ir\,{\rm arg}\,\alpha(\xi))$, где
${\rm arg}$ --- главное значение аргумента.}
$$
Для каждого $r\in[0,R]$ определим оператор $A_r\colon
X_\alpha^R(T)\to L_2(T)$ по правилу
$$
A_rx\cd=F^{-1}(\alpha^r\cd Fx\cd)\cd,
$$
где $F^{-1}\colon L_2(\wT)\to L_2(T)$ --- обратное преобразование
Фурье.

В терминах обобщенных функций такой оператор всегда можно записать в
виде свертки с некоторым ядром.



Естественные задачи, связанные с восстановлением функций и их
производных, решений дифференциальных уравнений и др., сводятся к
восстановлению такого сорта операторов. Приведем два простых примера
Пусть $T=\mathbb R$ и $\alpha(\xi)=i\xi$. Тогда $A_rx\cd$
--- это $r$-ая (дробная) производная по Вейлю. Если
$\alpha(\xi)=e^{-\xi^2}$, то $A_rx\cd$
--- распределение температуры в бесконечном стержне в момент времени
$r$ при начальном распределении $x\cd$.

Мы ставим следующую задачу: восстановить значения оператора
$A_{r_0}$ при условии, что приближенно известны значения операторов
$A_{r_1},\ldots,A_{r_n}$, $r_j\in[0,R]$, $j=0,1,\ldots,n$ (в
терминах приведенных примеров --- это восстановление функции и/или
ее производных по приближенно известным другим производным,
восстановление температуры стержня в данный момент времени по
приближенным ее измерениям в другие моменты времени).

Точная постановка такова. Пусть известны функции $y_j\cd\in L_2(T)$,
$j=1,\ldots,n$, такие, что
$$\|A_{r_j}x\cd-y_j\cd\|_{L_2(T)}\le\delta_j,\quad j=1,\ldots,n,\quad
0\le r_1<\ldots<r_n\le R,$$ и $\delta_j>0$, $j=1,\ldots,n$. Под
задачей оптимального восстановления значений $A_{r_0}$ по данной
информации понимается следующее. Любое отображение
$m\colon(L_2(T))^n\to L_2(T)$ объявляется методом восстановления.
Погрешностью метода $m$ называется величина
$$e_{r_0}(\ov r,\ov\delta,m)=\sup_{\substack{x\cd,y_1\cd,\ldots,y_n\cd\in
L_2(T)\\\|A_{r_j}x\cd-y_j\cd\|_{L_2(T)}\le\delta_j, \
j=1,\ldots,n}}\|A_{r_0}x\cd-m(\ov y\cd)\cd\|_{L_2(T)};$$ здесь $\ov
r=(r_1,\ldots,r_n)$, $\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ и $\ov
y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$. Нас интересует величина
$$E_{r_0}(\ov r,\ov\delta)=\infp_{m\colon(L_2(T))^n\to L_2(T)}e_{r_0}(\ov r,\ov\delta,m),$$
которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и
метод $\widehat m$, на котором нижняя грань достигается, называемый
{\it оптимальным методом восстановления}.

Для формулировки основного результата понадобятся некоторые
определения. Скажем, что непрерывная функция $\alpha\cd$ на $\wT$
удовлетворяет условию $\mathcal A$, если 1) величины
$a=\inf_{t\in\wT}|\alpha(t)|$ в случае $a>0$ и $b=
\sup_{t\in\wT}|\alpha(t)|$ в случае $b<\infty$ достигаются на $\wT$;
2) множество функций $y\cd\in L_2(T)$ таких, что
$$F^{-1}\left(\frac{\alpha^{r_1}\cd}{|\alpha\cd|^{2r_1}+|\alpha\cd|^{2r_2}}
Fy\cd\right)\cd\in X_\alpha^R(T)$$ для всех $r_1,r_2\in[0,R]$ плотно
в $L_2(T)$.


На плоскости $(t,x)$ построим следующее множество
\begin{multline*}
M=\co\,\{(r_j,\ln1/\delta_j),\ 1\le j\le n\}+\{(t,t\ln1/a)\mid
t\le0\}\\+\{(t,t\ln1/b)\mid t\ge0\},
\end{multline*}
где $\co$ обозначает выпуклую оболочку соответствующего множества, а
второе (третье) слагаемое отсутствует, если  $a=0$ ($b=\infty$).
Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,R]$ по правилу: $\theta(t)=
\max\{x \mid (t,x)\in M\}$ и $\theta(t)=-\infty$, если $(t,x)\notin
M$ для всех $x$.  Ясно, что $\theta\cd$
--- вогнутая ломаная на $[r_1,r_n]$. Пусть $r_{s_1}<\ldots<r_{s_k}$ ---
ее точки излома.

\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(290,230)
\put(2,30){$0$}
\put(0,40){\vector(1,0){300}}
\put(10,0){\vector(0,1){220}}
\put(290,30){$t$}
\put(-4,200){$x$}
{\thicklines
\put(26,52){\line(1,3){16}}
\put(26,52){\line(-1,-3){16}}}
\put(26,52){\line(-1,-3){20}}
%\put(26,40){\line(0,1){2}}
%\put(24,30){$r_1$}
\put(90,154){$\theta(t)$}
%\put(10,52){\line(1,0){16}}
%\put(-18,49){$\ln\frac1{\delta_1}$}
\put(42,40){\line(0,1){60}}
\put(40,30){$r_{s_1}$}
\put(-18,97){$\ln\frac1{\delta_{s_1}}$}
\put(10,100){\line(1,0){32}}
{\thicklines
\put(42,100){\line(1,1){42}}}
\put(84,40){\line(0,1){102}}
\put(82,30){$r_{s_2}$}
\put(-18,139){$\ln\frac1{\delta_{s_2}}$}
\put(10,142){\line(1,0){74}}
{\thicklines
\put(84,142){\line(3,1){90}}}
\put(174,30){$r_{s_k}$}
\put(174,40){\line(0,1){132}}
\put(-18,170){$\ln\frac1{\delta_{s_k}}$}
\put(10,172){\line(1,0){164}}
{\thicklines
\put(174,172){\line(5,1){85}}}
\put(259,40){\line(0,1){149}}
\put(255,30){$R$}
\put(255,189){\line(5,1){29}}
%\put(26,43){\circle*{2}}
\put(42,100){\circle*{2}}
\put(84,142){\circle*{2}}
\put(174,172){\circle*{2}}
\put(33,56){\circle*{2}}
\put(58,98){\circle*{2}}
\put(68,70){\circle*{2}}
\put(208,108){\circle*{2}}
\put(108,124){\circle*{2}}
\put(146,54){\circle*{2}}
\put(160,154){\circle*{2}}
\put(180,150){\circle*{2}}
\put(190,124){\circle*{2}}
\put(240,160){\circle*{2}}
%\put(240,40){\line(0,1){120}}
%\put(235,30){$r_n$}
\put(140,34){\circle*{2}}
%\multiput(26,52)(2,-1){34}{\circle*{1}}
\put(94,18){\circle*{2}}
%\multiput(94,18)(2,-0.3){14}{\circle*{1}}
\put(122,13.9){\circle*{2}}
%\multiput(122,13.9)(2,0){70}{\circle*{1}}
\end{picture}$$
%\caption{}
\end{figure}



\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $\alpha\cd$ --- непрерывная функция на $\wT$, удовлетворяющая
условию $\mathcal A$. Тогда
$$E_{r_0}(\ov r,\ov\delta)=e^{-\theta(r_0)}.$$
Если $r_0\in[r_{s_j},r_{s_{j+1}}]$, $1\le j\le k-1$, то метод
\begin{multline*}
\wm(\ov y\cd)\cd=F^{-1}(\alpha^{r_0-r_{s_j}}\cd\beta_{j}\cd
Fy_{s_j}\cd\\
+\alpha^{r_0-r_{s_{j+1}}}\cd(1-\beta_j\cd)Fy_{s_{j+1}}\cd)\cd,
\end{multline*}
где
$$
\beta_{j}\cd=
\frac{(r_{s_{j+1}}-r_0)\delta_{s_{j+1}}^2|\alpha\cd|^{2r_{s_j}}}
{(r_{s_{j+1}}-r_0)\delta_{s_{j+1}}^2|\alpha\cd|^{2r_{s_j}}+
(r_0-r_{s_j})\delta_{s_{j}}^2|\alpha\cd|^{2r_{s_{j+1}}}}
$$
является оптимальным.

Если $a>0$ и $0\le r_0<r_{s_1}$, то метод
$$\wm(\ov y\cd)\cd=F^{-1}\left(\alpha^{r_0-r_{s_1}}\cd Fy_{s_1}\cd\right)\cd.$$
оптимален.

Если $b<\infty$ и $r_{s_k}<r_0\le R$, то метод
$$\wm(\ov y\cd)\cd=F^{-1}\left(\alpha^{r_0-r_{s_k}}\cd Fy_{s_k}\cd\right)\cd$$
оптимален.
\end{theorem}

Отметим, что оптимальный метод линеен, использует не более двух
измерений и эти измерения предварительно ``сглаживаются''.

\section{Примеры}

\subsection{Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности}

Рассмотрим задачу об оптимальном восстановлении температуры в $\mathbb R^d$ в момент времени $\tau$ по ее приближенным измерениям в моменты $t_1,\ldots,t_n$. Распространение тепла в $\mathbb R^d$ описывается уравнением
\begin{equation}\label{t}
\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u,
\end{equation}
где $\Delta$ --- оператор Лапласа, с заданным начальным распределением температуры
\begin{equation}\label{N}
u(0,x)=u_0(x),\quad x\in\mathbb R^d.
\end{equation}
Мы предполагаем, что $u_0\cd\in \Lt$. Единственным решением задачи
\eqref{t}--\eqref{N} при $t>0$ является интеграл Пуассона
$$u(t,x)=u(t,x;u_0\cd)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{\mathbb
R^d}e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}}u_0(\xi)\,d\xi$$
и при этом $u(t,\cdot)\to u_0\cd$ при $t\to0$ в метрике $\Lt$.

Пусть в моменты времени $0=t_1<\ldots<t_n$ приближенно
известны распределения температур $u(t_1,\cdot),\ldots,u(t_n,\cdot)$, т.~е. известны функции $y_j\cd\in \Lt$ такие, что $\|u(t_j,\cdot)-y_j(\cdot)\|_{\Lt}\le\delta_j$, где $\delta_j>0$, $j=1,\ldots,n$. Нас интересует восстановление температуры в момент времени $\tau>0$ на основании информации о функциях $y_1\cd,\ldots,y_n\cd$. Здесь погрешность оптимального восстановления имеет вид
$$E_\tau(\ov t,\ov\delta)
=\infp_m\sup_{\substack{u_0\cd,y_1\cd,\ldots,y_n\cd
\in\Lt
\\\|u(t_j,\cdot)-y_j\cd\|_{\Lt}\le\delta_j,\
j=1,\ldots,n}}\|u(\tau,\cdot)-m(\ov y\cd)\cd\|_{\Lt},$$ где нижняя
грань берется по всем методам $m\colon (\Lt)^n\to\Lt$ ($\ov
t=(t_1,\ldots,t_n)$, $\ov y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$, а
$\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$).

Решение уравнения теплопроводности в образах Фурье имеет вид (см., например, \cite{Kol})
$$Fu(t,\xi)=e^{-|\xi|^2t}Fu_0(\xi).$$
Тем самым поставленная задача является частным случаем задачи,
рассмотренной в п. 1 для $T=\mathbb R^d$ и
$\alpha(\xi)=e^{-|\xi|^2}$.

Нетрудно проверить, что условия теоремы~\ref{T3} выполнены. В данном
случае
$$\inf_{\xi\in\mathbb R^d}|\alpha(\xi)|=0,\quad\sup_{\xi\in\mathbb R^d}|\alpha(\xi)|=1,$$
поэтому
$$M=\co\{(t_j,\ln1/\delta_j),\ 1\le j\le n\}+\{(t,0)\mid t\ge0\}.$$
Функция $\theta\cd$ на $[t_1,+\infty)$ определена равенством:
$\theta(t)= \max\{x\mid (t,x)\in M\}$. Пусть $t_{s_1}<\ldots<t_{s_k}$ --- точки излома $\theta\cd$.

Из теоремы~\ref{T3} вытекает
\begin{theorem}\label{T4}
Имеет место равенство
$$E_\tau(\ov t,\ov\delta)=e^{-\theta(\tau)}.$$
При $\tau\in[t_{s_j},t_{s_{j+1}}]$, $1\le j\le
k-1$, метод
\begin{multline*}
\wm(\ov y\cd)\cd=F^{-1}\left(e^{-(\tau-t_{s_j})|\xi|^2}\beta_j(\xi)
Fy_{s_j}(\xi)\right.\\
\left.+e^{-(\tau-t_{s_{j+1}})|\xi|^2}(1-\beta_j(\xi))
Fy_{s_{j+1}}(\xi)\right)\cd,
\end{multline*}
где
$$
\beta_j(\xi)=
\frac{(t_{s_{j+1}}-\tau)\delta_{s_{j+1}}^2e^{-2t_{s_j}|\xi|^2}}
{(t_{s_{j+1}}-\tau)\delta_{s_{j+1}}^2e^{-2t_{s_j}|\xi|^2}+
(\tau-t_{s_j})\delta_{s_{j}}^2e^{-2t_{s_{j+1}}|\xi|^2}}
$$
является оптимальным. При $\tau>t_{s_k}$ метод
$$\wm(\ov y\cd)\cd=F^{-1}\left(e^{-(\tau-t_{s_k})|\xi|^2}Fy_{s_k}(\xi)\right)\cd$$
--- оптимальный.
\end{theorem}

\subsection{Восстановление температуры стержня по неточным дискретным данным}

Рассмотрим задачу оптимального восстановления температуры в $\mathbb R^d$ по неточным ее значениям в дискретном наборе точек в моменты времени $t_1,\ldots,t_n$. Будем считать что процесс распределения температуры описывается неявной разностной схемой
\begin{equation}\label{rs}
\frac{u_{s+1,j}-u_{sj}}\tau=\sum_{p=1}^d\frac{u_{s+1,j+e_p}-2u_{s+1,j}+u_{s+1,j-e_p}}{h^2},
\end{equation}
где $u_{s,j}=u(s\tau,jh)$ --- температура стержня в точке $jh$,
$j\in\mathbb Z^d$, в момент времени $s\tau$, $s\in\mathbb Z_+$, а
$e_1,\ldots,e_d$ --- стандартный базис в $\mathbb R^d$.

Предположим, что имеются приближенные значения температуры стержня в точках $jh$ в моменты времени $t_k=r_k\tau$ $y_k=\{y_{kj}\}_{j\in\mathbb Z^d}$, где $0\le r_1<\ldots<r_n$, $r_k\in\mathbb Z_+$, $k=1,\ldots,n$. Будем предполагать, что $\|u_{r_k}-y_k\|_{l_2}\le\delta_k$, $k=1,\ldots,n$,
где $u_s=\{u_{s,j}\}_{j\in\mathbb Z^d}$ и для $x=\{x_j\}_{j\in\mathbb Z^d}$
$$\|x\|_{l_2}=\biggl(\sum_{j\in\mathbb Z^d}|x_j|^2\biggr)^{1/2}.$$
Требуется восстановить значения температуры в тех же точках $jh$ в
момент времени $r_0\tau$, $r\ge0$, зная векторы $y_k$,
$k=1,\ldots,n$. В качестве методов восстановления будем
рассматривать всевозможные отображения $m\colon(l_2)^n\to l_2$. Для
данного метода $m$ его погрешностью назовем величину
$$e_{r_0}(\ov r,\ov\delta,m)=\sup_{\substack{u_0,y_1,\ldots,y_n\in l_2\\\|u_{r_k}-y_k\|_{l_2}\le\delta_k,\ k=1,\ldots,n}}\|u_r-m(\ov y)\|_{l_2},$$
где, как и раньше, $\ov
r=(r_1,\ldots,r_n)$, $\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ и $\ov
y\cd=(y_1\cd,\ldots,y_n\cd)$.
Величина
$$E_{r_0}(\ov r,\ov\delta)=\inf_{m\colon(l_2)^n\to l_2}e_{r_0}(\ov r,\ov \delta,m)$$
называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным.

Преобразование Фурье для вектора $u_s$ имеет вид
$$Fu_s(\xi)=\sum_{j\in\mathbb Z^d}u_{sj}e^{-i\la j,\xi\ra}.$$
Переходя в \eqref{rs} к образам Фурье, получаем
$$\frac{Fu_{s+1}(\xi)-Fu_s(\xi)}\tau=\sum_{p=1}^d\frac{e^{i\xi_p}Fu_{s+1}(\xi)-
2Fu_{s+1}(\xi)+e^{-i\xi_p}Fu_{s+1}(\xi)}{h^2},$$ откуда
$$Fu_{s+1}(\xi)=\left(1+\frac{2\tau}{h^2}\sum_{p=1}^d(1-\cos \xi_p)\right)^{-1}Fu_s(\xi).$$
Следовательно,
$$Fu_s(\xi)=\alpha^s(\xi)Fu_0(\xi),\quad\alpha(\xi)=\left(1+\frac{2\tau}{h^2}
\sum_{p=1}^d(1-\cos\xi_p)\right)^{-1}.$$


В рассматриваемом случае
$$a=\inf_{\xi\in\mathbb T^d}|\alpha(\xi)|=\left(1+\frac{4d\tau}{h^2}\right)^{-1},\quad b=\sup_{\xi\in\mathbb T^d}|\alpha(\xi)|=1.$$
Поэтому
\begin{multline*}
M=\co\{(r_j,\ln1/\delta_j),\ 1\le j\le n\}+\{(r,0)\mid r\ge0\}\\
+\left\{\left(r,-r\ln\left(1+\frac{4d\tau}{h^2}\right)\right)\Big| r\le0\right\}.
\end{multline*}

Функция $\theta\cd$ на $[0,+\infty)$ определена равенством:
$\theta(t)= \max\{x\mid (t,x)\in M\}$, а $r_{s_1}<\ldots<r_{s_k}$ --- точки излома $\theta\cd$.

Из теоремы~\ref{T3} непосредственно вытекает равенство для погрешности оптимального метода и вид оптимального метода для соответствующих $\theta\cd$ и $\alpha\cd$.

Если описывать процесс распространения тепла в стержне явной разностной схемой
$$\frac{u_{s+1,j}-u_{sj}}\tau=\sum_{p=1}^d\frac{u_{s,j+e_p}-2u_{sj}+u_{s,j-e_p}}{h^2},$$
то решение в образах Фурье будет задаваться равенством $$Fu_s(\xi)=\alpha^s(\xi)Fu_0(\xi),\quad\alpha(\xi)=1-\frac{2\tau}{h^2}
\sum_{p=1}^d(1-\cos\xi_p).$$
В этом случае соответствующий результат может быть также легко получен из теоремы~\ref{T3}.

\section{Доказательство теоремы $\ref{T3}$}

Доказательство теоремы опирается на один факт, касающийся
оптимального восстановления линейных операторов. Для его
формулировки приведем сначала более общую постановку задачи
оптимального восстановления.

Пусть $X$ --- векторное пространство, $Z$ --- нормированное
пространство, $Y_1,\ldots,Y_n$
--- пространства со скалярными произведениями $(\cdot,\cdot)_{Y_j}$ и
соответствующими нормами $\|\cdot\|_{Y_j}$, $I_j\colon X\to Y_j$,
$j=1,\ldots,n$, --- линейные операторы. Рассматривается задача
оптимального восстановления линейного оператора $A\colon X\to Z$ на
классе
$$W_k=\{\,x\in X:\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ 1\le j\le k,\ 0\le k<n\,\}$$
(при $k=0$ считаем, что $W_0=X$) по информации о значениях
операторов $I_{k+1},\ldots,I_n$, заданных неточно, т.~е.
предполагается, что для каждого $x\in W_k$ известен вектор
$y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n$ такой, что
$$\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\quad j=k+1,\ldots,n.$$

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные
отображения $m\colon Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n\to Z$.
Погрешностью метода восстановления $m$ называется величина
$$e(A,W_k,I,\delta,m)=
\sup_{x\in W_k}\,\sup_{\substack{y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in Y_{k+1}
\times\ldots\times Y_n\\\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\
j=k+1,\ldots,n}}\|Ax-m(y)\|_Z.$$ Нас интересует величина
$$
E(A,W_k,I,\delta)=\inf_{m\colon Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n\to
Z}e(A,W_k,I,\delta,m),
$$
которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и
метод $\wm$, на котором достигается нижняя грань (если таковой
существует), который называется {\it оптимальным методом}.


\begin{theorem}\label{MT}
Пусть существуют такие числа $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, что
значения задач
\begin{equation}\label{D}
\|Ax\|_Z^2\to\max,\quad\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2,\quad
j=1,\ldots,n,\quad x\in X
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{D1}
\|Ax\|_Z^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\sum_{j=1}^n\wl_j
\delta_j^2,\quad x\in X
\end{equation}
совпадают.

Пусть, далее, $\tY$ --- плотное подмножество в
$Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n$ такое, что для каждого
$y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in\tY$ существует решение $x_y$ задачи
\begin{equation}\label{M}
\sum_{j=1}^k\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{j=k+1}^n\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\to\min,
\quad x\in X
\end{equation}
и, кроме того, существует такой линейный непрерывный оператор
$\Lambda\colon Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n\to Z$,\footnote{Норма
элемента $y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n$
определяется как
$\|y\|=\biggl(\sum_{j=k+1}^n\|y_j\|_{Y_j}^2\biggr)^{1/2}$.} что
$\Lambda y=Ax_y$ для всех $y\in\tY$.

Тогда $E(A,W_k,I,\delta)=S$, где $S$ --- общее значение задач
\eqref{D} и \eqref{D1} и метод $\wm=\Lambda$ является оптимальным.
\end{theorem}

\begin{proof}
Оценим сначала снизу величину $E(A,W_k,I,\delta)$. Пусть $x\in X$,
$\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=1,\ldots,k$, и $m$ --- произвольный
метод восстановления. Тогда
\begin{multline*}
2\|Ax\|_Z=\|Ax-m(0)-(-Ax-m(0))\|_Z\\
\le\|Ax-m(0)\|_Z+\|-Ax-m(0)\|_Z\le2e(A,W_k,I,\delta,m).
\end{multline*}
Переходя к верхней грани по всем указанным $x$, а затем к нижней
грани по всем $m$, получаем, что
$$E(A,W_k,I,\delta)\ge\sup_{\substack{
\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|Ax\|_Z=S.$$

Перейдем к оценке сверху $E(A,W_k,I,\delta)$ и построению
оптимального метода. Рассмотрим векторное пространство
$E=Y_1\times\ldots\times Y_n$ с полускалярным произведением
$$(y^1,y^2)_E=\sum_{j=1}^n\wl_j(y^1_j,y^2_j)_{Y_j},$$
где $y^1=(y_1^1,\ldots,y_n^1)$, $y^2=(y_1^2,\ldots,y_n^2)$.
Тогда экстремальная задача \eqref{M} может быть переписана в виде
\begin{equation}\label{MM}
\|\tI x-\ty\|_E^2\to\min,\quad x\in X,
\end{equation}
где $\tI x=(I_1x,\ldots,I_nx)$, а
$\ty=(0,\ldots,0,y_{k+1},\ldots,y_n)$. Нетрудно убедиться, что если
$x_y$ --- решение задачи \eqref{MM}, то для всех $x\in X$
выполняется равенство $(\tI x_y-\ty,\tI x)_E=0$. Отсюда получаем,
что
\begin{multline*}
\|\tI x-\ty\|_E^2=\|\tI x-\tI x_y+\tI x_y-\ty\|_E^2=\\
=\|\tI x-\tI x_y\|_E^2-2\RE(\tI x-\tI x_y,\tI x_y-\ty)_E+\|\tI x_y-\ty\|_E^2=\\
=\|\tI x-\tI x_y\|_E^2+\|\tI x_y-\ty\|_E^2.
\end{multline*}
Таким образом, для всех $x\in X$
\begin{equation}\label{q1}
\|\tI x-\tI x_y\|^2_E\le\|\tI x-\ty\|_E^2=
\sum_{j=1}^k\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{j=k+1}^n\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2.
\end{equation}

Пусть $x\in W_k$ и $y=(y_{k+1},\ldots,y_n)\in
Y_{k+1}\times\ldots\times Y_n$ таковы, что
$\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=k+1,\ldots,n$. Тогда для любого
$\varepsilon>0$ существует элемент $\ty=(\ty_{k+1},\ldots,\ty_n)\in
\tY$ такой, что $\|y_j-\ty_j\|_{Y_j}<\varepsilon$, $j=1,\ldots,n$, и
тем самым
$$\|I_jx-\ty_j\|_{Y_j}\le\|I_jx-y_j\|_{Y_j}+\|y_j-\ty_j\|_{Y_j}\le\delta_j+
\varepsilon,\quad j=k+1,\ldots,n.$$

Положим $z=x-x_y$. Тогда из \eqref{q1} следует, что
\begin{equation}\label{E*}
\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jz\|_{Y_j}^2\le\sum_{j=1}^n\wl_j\td_j^2,
\end{equation}
где $\td_j=\delta_j$, если $1\le j\le k$ и
$\td_j=\delta_j+\varepsilon$, если $k+1\le j\le n$. Нетрудно
убедиться, что при всех $c_1,c_2>0$ справедливо равенство
$$\sup_{\substack{z\in
X\\\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jz\|_{Y_j}^2\le a^2}}\|Az\|_Z=\frac
{c_1}{c_2}\sup_{\substack{x\in
X\\\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2\le b^2}}\|Ax\|_Z.$$ Поэтому,
учитывая \eqref{E*} и совпадение значений задач \eqref{D} и
\eqref{D1}, получаем
\begin{multline*}
\|Ax-Ax_{\ty}\|_Z=\|Az\|_Z\le\sup_{\substack{z\in
X\\\sum_{j=1}^n\wl_j\|I_jz\|_{Y_j}^2\le\sum_{j=1}^n\wl_j\td_j^2}}\|Az\|_Z\\
=\left(\frac{\sum_{j=1}^n\wl_j\td_j^2}{\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2}\right)^{1/2}
\sup_{\substack{z\in X\\\sum_{j=1}^m\wl_j\|I_jz\|_{Y_j}^2\le\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2}}\|Ax\|_Z\\
=\left(\frac{\sum_{j=1}^n\wl_j\td_j^2}{\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2}\right)^{1/2}
\sup_{\substack{x\in X\\\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\
j=1,\ldots,n}}\|Ax\|_Z.
\end{multline*}
Отсюда, в силу произвольности $\varepsilon>0$, следует, что
$$\|Ax-\Lambda y\|_Z\le\sup_{\substack{x\in
X\\\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}}\|Ax\|_Z=S.$$ Учитывая
доказанную оценку снизу, получаем, что $E(A,W_k,I,\delta)=S$ и
$\wm=\Lambda$ --- оптимальный метод.
\end{proof}

Теперь, опираясь на этот результат, докажем теорему \ref{T3}.

\begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T3}$]
Задача, соответствующая задаче \eqref{D} из общей теоремы, имеет вид
\begin{equation}\label{DD}
\|A_{r_0}x\cd\|_{L_2(T)}^2\to\max,\quad\|A_{r_j}x\cd\|_{L_2(T)}^2\le\delta_j^2,
\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Найдем значение этой задачи. Переходя к образам Фурье, будем иметь
по теореме Планшереля
\begin{multline*}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\iT|\alpha(\xi)|^{2r_j}
|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\delta_j^2,\\
j=1,\ldots,n.
\end{multline*}
Нетрудно показать, что в этой задаче нет решения, поэтому рассмотрим
ее расширение на множество всех неотрицательных мер $d\mu\cd$ на
$\wT$:
\begin{equation}\label{ext}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\mu(\xi)\to\max,\quad\iT|\alpha(\xi)|^{2r_j}
\,d\mu(\xi)\le\delta_j^2,\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}

Это задача линейного (но бесконечномерного) программирования. Ее
функция Лагранжа имеет вид
$$\LL(\mu\cd,\lambda)=-\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\mu(\xi)+\sum_{j=1}^n\lambda_j
\biggl(\iT|\alpha(\xi)|^{2r_j}\,d\mu(\xi)-\delta_j^2\biggr),$$ где
$\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ --- набор множителей
Лагранжа.

Если мы найдем допустимую в \eqref{ext} меру $d\wmu\cd$ и множители
Лагранжа $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, такие, что
($\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_n)$)
\begin{equation}\label{a}
\min_{d\mu\cd\ge0}\LL(d\mu\cd,\wl)=\LL(d\wmu\cd,\wl)
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{b}
\wl_j\left(\int_{\wT}|\alpha(\xi)|^{2r_j}\,d\wmu(\xi)-\delta_j^2\right)=0,
\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
то $d\wmu\cd$ будет решением задачи \eqref{ext}. Действительно,
пусть $d\mu\cd$ --- допустимая мера в \eqref{ext}. Тогда используя
это обстоятельство (и учитывая, что $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$), а
затем \eqref{a} и \eqref{b}, будем иметь
\begin{multline*}
-\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\mu(\xi)\ge-\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\mu(\xi)
\\+
\sum_{j=1}^n\wl_j\left(\int_{\wT}|\alpha(\xi)|^{2r_j}\,d\mu(\xi)-\delta_j^2\right)
=\LL(d\mu\cd,\wl)\ge\LL(d\wmu\cd,\wl)=\\
-\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\wmu(\xi)+
\sum_{j=1}^n\wl_j\left(\int_{\wT}|\alpha(\xi)|^{2r_j}\,d\wmu(\xi)-
\delta_j^2\right)=\\-\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\wmu(\xi)
\end{multline*}
откуда следует требуемое.










Пусть $r_0\in[r_{s_j},r_{s_{j+1}}]$, $1\le j\le k-1$. Предъявим
такую допустимую в \eqref{ext} меру $d\wmu\cd$ и набор множителей
Лагранжа $\wl$, что выполняются условия \eqref{a} и \eqref{b}.
Положим $d\wmu(\xi)=C\delta(\xi-\xi_0)$, где $\delta(\cdot-\xi_0)$
--- дельта-функция в точке $\xi_0$, и выберем $C$ и $\xi_0$ так,
чтобы выполнялись равенства
\begin{equation}\label{rav}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_p}\,d\wmu(\xi)=\delta_p^2,\quad p=s_j,s_{j+1}.
\end{equation}
Отсюда последует, что
\begin{gather}
C=\delta_{s_j}^{\frac{2r_{s_j+1}}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{
-\frac{2r_{s_j}}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}},\notag\\
\ln\frac1{|\alpha(\xi_0)|}=\frac{\ln(1/\delta_{s_{j+1}})-\ln(1/\delta_{s_j})}
{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}\label{t0}.
\end{gather}
Из вида множества $M$ вытекает, что при $a>0$ и конечном $b$
$$\ln\frac1{b}<\frac{\ln(1/\delta_{s_{j+1}})-\ln(1/\delta_{s_j})}
{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}<\ln\frac1{a}.$$ Следовательно, в силу
непрерывности $\alpha\cd$ найдется точка $\xi_0\in\wT$, для которой
выполнено равенство \eqref{t0}. Нетрудно убедиться в существовании
такой точки и в случае, когда $a=0$ и/или $b=\infty$.

Положим $\wl_k=0$, $k\ne s_j,s_{j+1}$, а $\wl_{s_j}$ и
$\wl_{s_{j+1}}$ выберем так, чтобы прямая
$y=\wl_{s_j}+\wl_{s_{j+1}}x$ была касательной к кривой
\begin{equation}\label{yx}
\left\{
\begin{aligned}y&=|\alpha(\xi)|^{2(r_0-r_{s_j})},\\
x&=|\alpha(\xi)|^{2(r_{s_{j+1}}-r_{s_j})}\end{aligned}\right.
\end{equation}
в точке $\xi_0$. Простой подсчет показывает, что в этом случае
\begin{equation}\label{wl}
\begin{aligned}
\wl_{s_j}&=\frac{r_{s_{j+1}}-r_0}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}\left(\frac{\delta_{s_{
j+1}}}{\delta_{s_j}}\right)^{\frac{2(r_0-r_{s_j})}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}},\\
\wl_{s_{j+1}}&=\frac{r_0-r_{s_j}}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}\left(\frac{\delta_{s_j}
}{\delta_{s_{j+1}}}\right)^{\frac{2(r_{s_{j+1}}-r_0)}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}
},
\end{aligned}
\end{equation}
Ясно, что это положительные числа и поэтому с данной мерой $\wmu\cd$
и набором $\wl$ условия \eqref{b} выполняются.





Так как кривая \eqref{yx} вогнута, то для всех $\xi\in\wT$
$$|\alpha(\xi)|^{2(r_0-r_{s_j})}\le\wl_{s_j}+\wl_{s_{j+1}}|\alpha(\xi)|^
{2(r_{s_{j+1}}-r_{s_j})}$$ или, равносильно, для всех $\xi\in\wT$
$$-|\alpha(\xi)|^{2r_0}+\wl_{s_j}|\alpha(\xi)|^
{2r_{s_j}}+\wl_{s_{j+1}}|\alpha(\xi)|^{2r_{s_{j+1}}}\ge0.$$ Отсюда
нетрудно вывести, что выполняется условие \eqref{a}.

Наконец, так как для любых $p=1,\ldots,n$
\begin{multline*}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_p}\,d\wmu(\xi)=C|\alpha(\xi_0)|^{2r_p}=\delta_{s_j}^{2\frac{r_{s_{j+1}
}-r_p}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{2\frac{r_p-r_{s_j}}{r_{s_{j+1
}}-r_{s_j}}}=\\
=e^{-2\theta_j(r_p)}\le e^{-2\theta(r_p)}\le\delta_p^2,
\end{multline*}
где $\theta_j\cd$ ---  прямая, проходящая через точки
$(r_{s_j},\ln(1/\delta_{s_j}))$ и
$(r_{s_{j+1}},\ln(1/\delta_{s_{j+1}}))$, то мера $d\wmu\cd$
допустима в \eqref{ext}.

Таким образом, $d\wmu\cd$ --- решение задачи \eqref{ext} и ее
значение таково
\begin{equation*}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\wmu(\xi)=C|\alpha(\xi_0)|^{2r_0}=\delta_{s_j}^{2\frac{r_{s_{j+1}
}-r_0}{r_{s_{j+1}}-r_{s_j}}}\delta_{s_{j+1}}^{2\frac{r_0-r_{s_j}}{r_{s_{j+1
}}-r_{s_j}}}=e^{-2\theta(r_0)}.
\end{equation*}



Рассмотрим случай, когда $r_{s_k}<r_0\le R$. Пусть сначала
$b<\infty$. Положим
$$\wl_{s_k}=b^{2(r_0-r_{s_k})},\quad\wl_j=0,\ j\ne s_k,\quad d\wmu\cd=
\delta_{s_k}^2b^{-2r_{s_k}}\delta(\cdot-\xi_b),$$ где $\xi_b$ ---
точка, в которой достигается верхняя грань $|\alpha\cd|$ (напомним,
равная $b$). Нетрудно проверяется, что выполнены условия \eqref{a} и
\eqref{b} и мера допустима, поскольку для всех $p=1,\ldots,n$
$$\iT|\alpha(\xi)|^{2r_p}\,d\wmu(\xi)=\delta_{s_k}^2b^{2(r_p-r_{s_k})}=
e^{-2\theta_k(r_p)}\le e^{-2\theta(r_p)}\le\delta_p^2,$$ где
$\theta_k\cd$ ---  прямая, совпадающая с ломаной $\theta\cd$ при
$r>r_{s_k}$. Таким образом, $d\wmu\cd$ --- решение задачи
\eqref{ext}, а ее значение равно
\begin{equation*}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\wmu(\xi)=\delta_{s_k}^2b^{2(r_0-r_{s_k})}=
e^{-2\theta(r_0)}.
\end{equation*}





Пусть теперь $b=\infty$, тогда $s_k=n$. Существует
последовательность $\xi_l$ такая, что $b_l=|\alpha(\xi_l)|\to\infty$
при $l\to\infty$. Положим
$d\wmu_l\cd=\delta_n^2b_l^{-2r_n}\delta(\cdot-\xi_l)$. Если
уравнение $\theta\cd$ при $r_{s_{k-1}}<r\le r_{s_k}=r_n$ имеет вид
$\theta(r)=\beta(r-r_n)+\ln(1/\delta_n)$, то при $b_l>e^{-\beta}$
$$\iT|\alpha(\xi)|^{2r_p}\,d\wmu_l(\xi)=\delta_n^2b_l^{2(r_p-r_n)}\le
e^{-2\theta(r_p)}\le\delta_p^2.$$
Тем самым меры $d\wmu_l\cd$ являются допустимыми, а
$$\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\wmu_l(\xi)=\delta_n^2b_l^{2(r_0-r_n)}\to\infty$$
при $l\to\infty$. Отсюда следует, что значение задачи \eqref{ext}
равно $+\infty$.



При $r_1<r_0<r_{s_1}$ (в этом случае $a>0$) положим
$$\wl_{s_1}=a^{2(r_0-r_{s_1})},\quad\wl_j=0,\ j\ne s_1,\quad
d\wmu\cd=\delta_{s_1}^2a^{-2r_{s_1}}\delta(\cdot-\xi_a),$$ где
$\xi_a$ --- точка, где достигается нижняя грань $|\alpha\cd|$.
Аналогично предыдущим случаям показывается, что мера $d\wmu\cd$ ---
решение задачи \eqref{ext} и значение ее равно $e^{-2\theta(r_0)}$.

Когда $a=0$ значение задачи \eqref{ext} равно $+\infty$ и
рассуждения здесь такие же как в случае $b=\infty$.



Итак, для всех возможных случаев найдено значение задачи
\eqref{ext}. Осуществляя стандартную аппроксимацию $\delta$-функции
$\delta$-образными последовательностями, получаем, что значение этой
задачи совпадает со значением задачи \eqref{DD}. Покажем теперь,
что, в свою очередь, значение задачи \eqref{DD} совпадает со
значением такой задачи
\begin{equation}\label{DDD}
\|A_{r_0}x\cd\|_{L_2(T)}^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^n\wl_j\|A_{r_j}x\cd\|_{L_2(T)}^2
\le\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2,
\end{equation}
где $(\wl_1,\ldots,\wl_n)$ --- найденный выше набор множителей
Лагранжа. Эта задача соответствует задаче \eqref{D1} из общей
теоремы.

Снова переходя к образам Фурье, а затем к неотрицательным мерам,
редуцируем \eqref{DDD} к такой задаче
\begin{equation}\label{DDD1}
\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\mu(\xi)\to\max,\quad\iT\sum_{j=1}^n\wl_j|\alpha(\xi)|^{2r_j}
\,d\mu(\xi)\le\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2.
\end{equation} Ее функция
Лагранжа имеет вид
\begin{multline*}
\LL_1(d\mu\cd,\nu)=-\iT|\alpha(\xi)|^{2r_0}\,d\mu(\xi)+\\+
\nu\left(\iT\sum_{j=1}^n\wl_j|\alpha(\xi)|^{2r_j}
\,d\mu(\xi)-\sum_{j=1}^n\wl_j\delta_j^2\right).
\end{multline*}
Если $d\wmu\cd$ --- решение задачи \eqref{ext} (мера  $d\wmu\cd$,
очевидно, допустима в \eqref{DDD1}) и $\widehat\nu=1$, то нетрудно
видеть, что выполнены аналоги условий \eqref{a} и \eqref{b} для
данного случая и значит, $d\wmu\cd$ --- решение задачи \eqref{DDD1}.
Далее, по тем же соображениям, что и выше,  значения задач
\eqref{DDD1} и \eqref{DDD} совпадают. Но поскольку совпадают
значения задач \eqref{ext} и \eqref{DDD1}, то совпадают значения
задач \eqref{DDD} и \eqref{DD}.


Теперь построим оптимальный метод для случая, когда
$r_0\in[r_{s_j},r_{s_{j+1}}]$. Рассмотрим, в соответствии с общей
теоремой, задачу
\begin{multline}\label{ex2}
\wl_{s_j}\|A_{r_{s_j}}x\cd-y_{s_j}\cd\|_{L_2(T)}^2+
\wl_{s_{j+1}}\|A_{r_{s_{j+1}}}x\cd-y_{s_{j+1}}\cd\|_{L_2(T)}^2\to\min,\\
x\cd\in X_\alpha^R(T).
\end{multline}

Для всех $y_{s_j}\cd,y_{s_{j+1}}\cd$ из плотного множества в
$(L_2(T))^n$ (см. условие $\mathcal A$, которому удовлетворяет
$\alpha\cd$) преобразование Фурье решения $\wx\cd$ задачи
\eqref{ex2} записывается в виде
$$F\wx\cd=\frac{\wl_{s_j}\ov{\alpha^{r_{s_j}}\cd}Fy_{s_j}\cd+\wl_{s_{j+1}}
\ov{\alpha^{r_{s_{j+1}}}\cd}Fy_{s_{j+1}}\cd}
{\wl_{s_j}|\alpha\cd|^{2r_{s_j}}+\wl_{s_{j+1}}|\alpha\cd|^{2r_{s_{j+1}}}}.$$
Этим определен линейный непрерывный оператор из плотного множества в
$(L_2(T))^n$ в $L_2(T)$. Беря его суперпозицию с оператором
$A_{r_0}$ и продолжая ее по непрерывности на все пространство
$(L_2(T))^n$ (подставляя еще вместо множителей Лагранжа их выражения
по формулам \eqref{wl}), получаем оптимальный метод для
рассматриваемой ситуации.

Случаи, когда $a>0$, $0\le r_0<r_{s_1}$ и $b<\infty$,
$r_{s_k}<r_0\le R$ рассматриваются вполне аналогично.
\end{proof}








Сделаем несколько заключительных замечаний. Если в задачах
восстановления линейных функционалов получены достаточно общие
результаты (см., например, \cite{MO}--\cite{MT1}), то для
аналогичных задач с линейными операторами удается строить
оптимальные методы, привлекая еще и соображения, связанные со
спецификой евклидовых пространств. Первые результаты такого плана
были получены в \cite{MM}. Дальнейшее развитие эта тематика получила
в работах авторов \cite{MO1}--\cite{O1}, где использовался подход,
основанный на общих принципах теории экстремума.


Применение теории оптимального восстановления линейных операторов к
задачам математической физики можно найти в работах
\cite{O2}--\cite{OW}. Результат, приведенный в теореме~\ref{T4} в
качестве одного из примеров применения общей теоремы~\ref{T3}, был
доказан в работе \cite{MOlast}.

\begin{thebibliography}{11}


\bibitem{Kol} Колмогоров~А.~Н., Фомин~С.~В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1972.


\bibitem{MO} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. ``Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным'', {\it Матем.
заметки}, {\bf50}:6 (1991), 85--93.

\bibitem{MT} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М. ``О неравенствах
для производных колмогоровского типа'' {\it Матем. сб.}, {\bf187}:12
(1997), 73--106.


\bibitem{MT1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М. {\it Выпуклый анализ и
его приложения}, М.: Эдиториал УРСС, 2003.


\bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A., ``Optimal estimation of linear
operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J.
Numer. Anal.}, {\bf16} (1979) 87--105.

\bibitem{MO1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье,
заданным с погрешностью'', {\it Матем. сб.}, {\bf193}:3 (2002),
79--100.

\bibitem{MO2} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', {\it Функц. анализ и его
прилож.}, {\bf37} (2003), 51--64.

\bibitem{O1} Осипенко~К.~Ю., ``Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа для
аналитических функций из пространств Харди--Соболева'', {\it Матем.
сб.}, {\bf197}:3 (2006), 15--34.

\bibitem{O2} Осипенко~К.~Ю. ``О восстановлении решения задачи Дирихле по
неточным исходным данным'', {\it Владикавказский мат. журн.},
{\bf6}:4 (2004), 55--62.

\bibitem{MOT} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., Тихомиров В.~М. ``On
optimal recovery of heat equation solutions''. In: Approximation
Theory: A volume dedicated to B. Bojanov (D.~K.~Dimitrov,
G.~Nikolov, and R.~Uluchev, Eds.), 163--175, Sofia: Marin Drinov
Academic Publishing House, 2004.

\bibitem{VO} Выск~Н.~Д., Осипенко~К.~Ю. ``Оптимальное восстановление
решения волнового уравнения по неточным начальным данным'', {\it
Матем. заметки}, {\bf81}:6 (2007), 803--815.

\bibitem{B} Балова~Е.~А. ``Об оптимальном восстановлении решений задачи
Дирихле по неточным исходным данным'', {\it Матем. заметки},
{\bf82}:3 (2007), 323--334.

\bibitem{OW} Osipenko~K.~Yu., Wedenskaya~E.~V.
``Optimal recovery of solutions of the generalized heat equation in
the unit ball from inaccurate data'', {\it J. Complexity},
{\bf23}:4--6 (2007), 653--661.

\bibitem{MOlast} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., ``Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям'', {\it Матем.
сб.}, {\bf200}:5 (2009), 37--54.

\end{thebibliography}

\end{document}