\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,german,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 5250
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother


\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\ov}{\overline}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}

\begin{document}

\title[ЗАДАЧА КАРАТЕОДОРИ--ФЕЙЕРА И ВОССТАНОВЛЕНИЕ]{ЗАДАЧА КАРАТЕОДОРИ--ФЕЙЕРА И ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ}
\author{К.~Ю.~Осипенко}
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований.}

\begin{abstract}
Задача Каратеодори--Фейера в пространствах Харди $H_p$ сведена к решению систем определенного вида. Через решение систем того же типа выражен оптимальный метод восстановления производной любого порядка функции из $H_p$ по ее значениям в некотором наборе точек. Аналогичная задача  восстановления рассмотрена в пространстве ограниченных гармонических функций $h_\infty$.
\end{abstract}

\noindent УДК 517.5

\bigskip

\maketitle

\section*{Введение}

Пространством Харди $H_p$ называется совокупность всех функций $f(z)$, аналитических внутри единичного круга $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$, таких, что
\begin{gather*}
\|f\|_{H_p}:=\sup_{0<r<1}\biggl(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(r\ei)|^p\,d\theta\biggl)^{1/p}<\infty,
\quad1\le p<\infty,\\
\|f\|_{H_\infty}:=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty,\quad p=\infty.
\end{gather*}

Рассмотрим задачу оптимального восстановления линейного функционала
$$L_\xi^\lambda f:=\sum_{j=\nu}^{\nu+m}\frac{\lambda_j}{j!}f^{(j)}(\xi),$$
где $\lambda_j\in\mathbb C$, $\lambda_{\nu+m}\ne0$, $\nu\ge0$, на множестве функций из единичного  шара пространства Харди $BH_p:=\{f\in H_p:\|f\|_{H_p}\le1\}$ по значениям информационного оператора
\begin{multline*}
If:=\left\{f(\xi),\ldots,f^{(\nu-1)}(\xi),f(z_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(z_1),\ldots,\right.\\
\left.f(z_n),\ldots,f^{(\nu_n-1)}(z_n)\right\},
\end{multline*}
где $\xi,z_1,\ldots,z_n$ --- различные точки из $D$. Под погрешностью оптимального восстановления понимается величина
$$e(\xi,\lambda,I,BH_p):=\infp_{S\colon\mathbb C^N\to\mathbb C}\sup_{f\in BH_p}|L_\xi^\lambda f-
S(If)|,$$
$N:=\nu+\sum_{j=1}^n\nu_j$, а оптимальным методом восстановления называется метод,
на котором достигается нижняя грань.

Из общих результатов относительно задач восстановления (см.~\cite{1},\cite{2}) вытекает существование в рассматриваемом случае линейного оптимального метода восстановления и равенство
\begin{equation}\label{1}
e(\xi,\lambda,I,BH_p)=\sup_{\substack{f\in BH_p\\If=0}}|L_\xi^\lambda f|.
\end{equation}
Всякая функция $f\in BH_p$, удовлетворяющая условию $If=0$, может быть представлена в виде
$$f(z)=W_1(z)g(z),$$
где
$$W_1(z):=\left(\frac{z-\xi}{1-\ov\xi z}\right)^\nu W(z),\quad W(z):=\prod_{j=1}^n\left(\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}\right)^{\nu_j},$$
а $g\in BH_p$. Тем самым экстремальная задача \eqref{1} сводится к экстремальной задаче без ограничений
\begin{equation}\label{2}
\sup_{g\in BH_p}|L_\xi^\mu g|,
\end{equation}
где $\mu=(\mu_0,\ldots,\mu_m)$, а $\mu_j$ выражаются через элементы вектора $\lambda=(\lambda_\nu,\ldots,\lambda_{\nu+m})$ и производные функции $W_1$ в точке $\xi$.

Экстремальным задачам \eqref{1}, \eqref{2} и их обобщениям посвящено много работ, начиная с классической работы Ландау \cite{3} ($p=\infty$, $\xi=0$, $\mu=(1,\ldots,1$)) (подробнее см.~\cite{4}--\cite{7}). Если говорить о задачах восстановления в пространствах $H_p$, то они стали рассматриваться сравнительно недавно в работах \cite{8}, \cite{1} ($p=\infty$, $\nu=m=0$), \cite{2} ($p=\infty$, $\lambda=(0,1)$), \cite{9} ($1\le p<\infty$, $\nu=m=0$), \cite{10} ($p=2$, $\lambda=(0,\ldots,0,1)$, $n=1$, $z_1=0$), \cite{11} ($1\le p\le\infty$, $\lambda=(\lambda_\nu,\lambda_{\nu+1})$).

Здесь мы рассматриваем общий случай восстановления функционала $L_\xi^\lambda f$ и сводим его  фактически к задаче Каратеодори--Фейера, решение которой удается описать через решения систем определенного вида. Рассмотрена также аналогичная задача на единичном шаре из пространства $h_\infty$, являющегося совокупностью гармонических в $D$ функций, удовлетворяющих условию
$$\|u\|_{h_\infty}:=\sup_{z\in D}|u(z)|<\infty.$$

\section{Задача Каратеодори--Фейера}

В 1911 г. Каратеодори и Фейер \cite{12} исследовали задачу о нахождении среди всех функций
$$f(z)=c_0+c_1z+\ldots+c_mz^m+\ldots,$$
аналитических в единичном круге $D$, при фиксированных коэффициентах $c_0,\ldots,c_m\in\mathbb C$ той, которая имеет наименьший максимум модуля в $D$. Рассмотрим задачу такого же типа о нахождении величины
$$\inf\|f\|_{H_p}$$
на множестве функций из $H_p$, удовлетворяющих условиям
\begin{equation}\label{3}
f^{(j)}(\xi)=j!c_j,\quad j=0,\ldots,m,
\end{equation}
где $\xi\in D$, а $c_0,\ldots,c_m$ --- фиксированные комплексные числа.

Известно (см. \cite{4}, \cite{5}, \cite{13}), что при всех $1\le p\le\infty$ среди функций,  удовлетворяющих условию \eqref{3}, существует единственная функция вида
\begin{equation}\label{4}
f_0(z)=C(1-\ov\xi z)^{-2(m+1)/p}\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz}
\prod_{j=1}^m(1-\ov\alpha_jz)^{2/p},
\end{equation}
где $C$ --- некоторая константа, $0\le k\le m$, $|\alpha_j|<1$, $j=1,\ldots,k$, и $|\alpha_j|\le1$, $j=k+1,\ldots,m$. Кроме  того, эта функция и только она является решением задачи Каратеодори--Фейера с условием \eqref{3}. (При $p=\infty$ все выражения с $p$ понимаются как предельные значения при $p\to\infty$.)

Будем считать, что $c_0\ne0$, так как в противном случае с помощью представления функции $f$ в виде
$$f(z)=\frac{z-\xi}{1-\ov\xi z}g(z)$$
задача сводится к аналогичной, но с меньшим числом параметров.

Введем следующие обозначения: $d_j:=c_0^{-1}c_j$, $j=0,\ldots,m$,
\begin{gather}\label{5}
A:=\begin{pmatrix}
1&0&\ldots&0\\
\dfrac{d_1}2&\dfrac12&\ldots&0\\
\hdotsfor{4}\\
\dfrac{d_{m-1}}m&\dfrac{d_{m-2}}m&\ldots&\dfrac1m\end{pmatrix},\quad\rho:=A^{-1}d,\\
\gamma_s:=(-1)^{s+1}\biggl[\frac2p\ov\xi^s+\sum_{j=1}^s(-1)^jC_s^j\ov\xi^{s-j}
(1-|\xi|^2)^j\rho_j\biggr],\quad s=1,\ldots,m;\notag
\end{gather}
здесь $\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_m)^T$, $d=(d_1,\ldots,d_m)^T$.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $1\le p\le\infty$. Для того, чтобы функция \eqref{4} была решением задачи Каратеодори--Фейера с условием \eqref{3} и $c_0\ne0$, необходимо и достаточно, чтобы числа
\begin{equation}\label{6}
b_j=\frac{\ov\alpha_j-\ov\xi}{1-\xi\ov\alpha_j}
\end{equation}
являлись решением системы
\begin{equation}\label{7}
\sum_{j=1}^k(\ov b_j^{\,-s}-b_j^s)+\frac2p\sum_{j=1}^mb_j^s=\gamma_s,\quad s=1,\ldots,m,
\end{equation}
таким, что
\begin{equation}\label{8}
\begin{aligned}
|b_j|<1,&\quad j=1,\ldots,k,\\
|b_j|\le1,&\quad j=k+1,\ldots,m,
\end{aligned}
\quad0\le k\le m,
\end{equation}
а
\begin{equation}\label{9}
C=c_0(1-|\xi|^2)^{2(m+1)/p}\prod_{j=1}^k\frac{1-\ov\alpha_j\xi}{\xi-\alpha_j}
\prod_{j=1}^m(1-\ov\alpha_j\xi)^{-2/p}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть функция $f_0$ вида \eqref{4} является решением задачи Каратеодори--Фейера. Равенство \eqref{9} вытекает из того, что $f_0(\xi)=c_0$. Докажем, что имеют место равенства \eqref{7} для $b_j$, определенных в \eqref{6}. Положим
\begin{multline}\label{10}
x(z):=\frac{f_0'(z)}{f_0(z)}=\sum_{j=1}^k\left(\frac1{z-\alpha_j}+\frac{\ov\alpha_j}
{1-\ov\alpha_jz}\right)-\frac2p\sum_{j=1}^m\frac{\ov\alpha_j}
{1-\ov\alpha_jz}\\+(m+1)\frac2p\frac{\ov\xi}{1-\ov\xi z}.
\end{multline}
Из определения $x(z)$ получаем
\begin{equation}\label{11}
f_0^{(r+1)}(\xi)=\sum_{j=0}^rC_r^jf_0^{(r-j)}(\xi)x^{(j)}(\xi)
\end{equation}
или, учитывая равенства \eqref{3},
$$\frac1{r+1}\sum_{j=0}^rd_{r-j}\frac{x^{(j)}(\xi)}{j!}=d_{r+1},\quad r=0,\ldots,m-1.$$
Тем самым
$$\frac{x^{(j)}(\xi)}{j!}=\rho_{j+1},\quad j=0,\ldots,m-1.$$
С другой стороны, из \eqref{10} имеем
\begin{multline*}
\frac{x^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}=\sum_{j=1}^k\left(\frac{(-1)^{r-1}}{(\xi-\alpha_j)^r}+
\frac{\ov\alpha_j^r}
{(1-\ov\alpha_j\xi)^r}\right)-\frac2p\sum_{j=1}^m\frac{\ov\alpha_j^r}
{(1-\ov\alpha_j\xi)^r}\\+(m+1)\frac2p\frac{\ov\xi^r}{(1-|\xi|^2)^r}.
\end{multline*}
В силу равенства \eqref{6}
$$\frac1{\xi-\alpha_j}=-\frac{\ov b_j^{\,-1}+\ov\xi}{1-|\xi|^2},\quad\frac{\ov\alpha_j}{1-\ov\alpha_j\xi}=\frac{b_j+\ov\xi}
{1-|\xi|^2},$$
и, кроме того, имеют место соотношения \eqref{8}, так как они выполнены для $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$. Таким образом, для $b_1,\ldots,b_m$ справедливы равенства
\begin{multline*}
\omega_r:=\sum_{j=1}^k\left[(\ov b_j^{\,-1}+\ov\xi)^r-(b_j+\ov\xi)^r\right]+\frac2p\sum_{j=1}^m
(b_j+\ov\xi)^r\\
=(m+1)\frac2p\ov\xi^r-(1-|\xi|^2)^r\rho_r,\quad r=1,\ldots,m.
\end{multline*}
Отсюда
\begin{multline}\label{12}
\sum_{j=1}^k(\ov b_j^{\,-s}-b_j^s)+\frac2p\sum_{j=1}^mb_j^s=\sum_{j=1}^k\left[(\ov b_j^{\,-1}+\ov\xi-\ov\xi)^s-(b_j+\ov\xi-\ov\xi)^s\right]\\
+\frac2p\sum_{j=1}^m(b_j+\ov\xi-\ov\xi)^s=\sum_{r=1}^sC_s^r(-\ov\xi)^{s-r}\omega_r+m\frac2p
(-\ov\xi)^s=\gamma_s.
\end{multline}

Если теперь $b_1,\ldots,b_m$ --- решения системы \eqref{7}, удовлетворяющие условиям \eqref{8}, то, определив $\alpha_j$ из равенств \eqref{6} и рассмотрев функцию вида \eqref{4}, проводя рассуждения в обратном порядке, получим из \eqref{11}
$$\frac{f_0^{(j)}(\xi)}{f_0(\xi)}=d_j=\frac{c_j}{c_0},\quad j=0,\ldots,m.$$
Выбрав $C$ так, чтобы $f_0(\xi)=c_0$ (это означает, что $C$ определено равенством \eqref{9}),  получим выполненными условия \eqref{3}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{C1}
При всех $1\le p\le\infty$ и любых $\gamma_1,\ldots,\gamma_m\in\mathbb C$ найдется $0\le k\le m$, при котором система \eqref{7} имеет решение, удовлетворяющее условиям \eqref{8}. При этом функция
$$\prod_{j=1}^k\frac{z-\ov b_j}{1-b_jz}\prod_{j=1}^m(1-b_jz)^{2/p}$$
является решением задачи Каратеодори--Фейера с условиями
$$f^{(j)}(0)=j!d_jf(0),\quad j=0,\ldots,m,$$
где $d_0=1$, а $d_r=-r^{-1}\sum_{j=1}^rd_{r-j}\gamma_j$, $r=1,\ldots,m$.
\end{corollary}

\section{Оптимальное восстановление производных на классе $BH_p$}

Положим $d_j:=\lambda_{\nu+m}^{-1}\lambda_{\nu+m-j}$, $j=1,\ldots,m$, $y(z):=W^{-1}(z)W'(z)$,
\begin{multline}\label{13}
\gamma_s:=(-1)^s\biggl[\left(m+\nu-1+\frac2p\right)\ov\xi^s-\sum_{r=1}^s(-1)^rC_s^r\ov\xi^{s-r}\\
\times(1-|\xi|^2)^r\left(\frac{y^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}+\rho_r\right)\biggr],\quad s=1,\ldots,m,
\end{multline}
где вектор $\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_m)^T$ определен равенствами \eqref{5} для вновь определенных $d_1,\ldots,d_m$. Заменив в следствии~\ref{C1} $p$ на сопряженный показатель $1-p^{-1}$, получим существование $b_1,\ldots,b_m$, удовлетворяющих равенствам
\begin{equation}\label{14}
\sum_{j=1}^k(\ov b_j^{\,-s}-b_j^s)+\frac{2(p-1)}p\sum_{j=1}^mb_j^s=\gamma_s,\quad s=1,\ldots,m,
\end{equation}
При $p=1$ (для системы \eqref{7} --- $p=\infty$) и $k<m$ доопределим $b_1,\ldots,b_k$ произвольными числами $b_{k+1},\ldots,b_m$ такими, что $|b_j|=1$, $j=k+1,\ldots,m$.

Нам удобно считать, что
\begin{equation}\label{15}
\begin{aligned}
|b_j|\le1,&\quad j=1,\ldots,k,\\
|b_j|<1,&\quad j=k+1,\ldots,m.
\end{aligned}
\end{equation}
Это всегда возможно сделать, так как при $|b_j|=1$ \  $\ov b_j^{\,-s}-b_j^s=0$ (тем самым
при $p=1$ \ $k=m$). Для так определенных  $b_1,\ldots,b_m$ положим
\begin{gather*}
\alpha_j:=\frac{\ov b_j+\xi}{1+\ov\xi\ov b_j},\quad j=1,\ldots,m,\quad\sigma:=(m+1)\frac{p-2}p-\nu,\\
\Psi(z):=\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz}\prod_{j=1}^m(1-\ov\alpha_jz)^{2(p-1)/p},\\
C(\xi):=\frac{\lambda_{\nu+m}W(\xi)(1-|\xi|^2)^\sigma}{\Psi(\xi)},\\
g(z):=e^{-i\arg C(\xi)}W_1(z)(1-\ov\xi z)^{-2(m+1)/p}
\prod_{j=k+1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz}\prod_{j=1}^m(1-\ov\alpha_jz)^{2/p}.
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T2}
При всех $1\le p\le\infty$ метод
$$L_\xi^\lambda f\approx\sum_{r=0}^{\nu-1}c_r(\xi)f^{(r)}(\xi)+\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}
c_{jr}(\xi)f^{(r)}(z_j),$$
где
\begin{gather}
c_r(\xi):=-\frac{C(\xi)}{r!(\nu+m-r)!}\left[\frac{\Psi(z)}{W(z)(1-\ov\xi z)^\sigma}\right]_{\Big|_{z=\xi}}^{(\nu+m-r)},\label{16}\\
c_{jr}(\xi):=-\frac{C(\xi)}{r!(\nu_j-r-1)!}\left[\frac{\Psi(z)(1-\ov z_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)
(1-\ov\xi z)^\sigma(z-\xi)^{\nu+m+1}}\right]_{\Big|_{z=z_j}}^{(\nu_j-r-1)},\notag\\
\omega_j(z):=\prod_{\substack{r=1\\r\ne j}}^n\left(\frac{z-z_r}{1-\ov z_rz}\right)^{\nu_r},\notag
\end{gather}
является оптимальным методом восстановления, функция $g_0:=g/\|g\|_{H_p}$ --- экстремальная и
\begin{multline*}
e(\xi,\lambda,I,BH_p)=L_\xi^\lambda g_0\\
=|C(\xi)|\left(\frac1{m!}\left[\frac{\prod_{j=1}^m
(1-\ov\alpha_jz)(z-\alpha_j)}{(1-\ov\xi z)^{m+1}}\right]_{\Big|_{z=\xi}}^{(m)}\right)^{(p-1)/p}.
\end{multline*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $1\le p<\infty$ и $f$ --- произвольная функция из $H_p$. Положим
$$Jf:=|C(\xi)|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}|g(\ei)|^{p-2}f(\ei)\,d\theta.$$
Из определения функции $g$, хорошо известного свойства: при всех $|z|=1$ и $u\in D$
$$\ov{\frac{z-u}{1-\ov uz}}=\frac{1-\ov uz}{z-u},$$
а также теоремы Коши о вычетах имеем
\begin{multline*}
Jf=C(\xi)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{\Psi(z)f(z)\,dz}{W(z)
(1-\ov\xi z)^\sigma(z-\xi)^{\nu+m+1}}\\
=-\sum_{r=0}^{\nu+m}c_r(\xi)f^{(r)}(\xi)-\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}
c_{jr}(\xi)f^{(r)}(z_j),
\end{multline*}
где $c_r(\xi)$ определены равенством \eqref{16} при всех $r=0,\ldots,\nu+m$. Докажем, что
$$c_r(\xi)=-\frac{\lambda_r}{r!},\quad r=\nu,\ldots,\nu+m.$$
Положим $h(z):=\Psi(z)W^{-1}(z)(1-\ov\xi z)^{-\sigma}$ и
\begin{multline*}
x(z):=\frac{h'(z)}{h(z)}=\sum_{j=1}^k\left(\frac1{z-\alpha_j}+
\frac{\ov\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz}\right)-\frac{2(p-1)}p\sum_{j=1}^m\frac{\ov\alpha_j}
{1-\ov\alpha_jz}\\-y(z)+\sigma\frac{\ov\xi}{1-\ov\xi z}.
\end{multline*}
Следовательно,
\begin{multline*}
\frac{x^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}=\sum_{j=1}^k\left(\frac{(-1)^{r-1}}{(\xi-\alpha_j)^r}+
\frac{\ov\alpha_j^r}
{(1-\ov\alpha_j\xi)^r}\right)-\frac{2(p-1)}p\sum_{j=1}^m\frac{\ov\alpha_j^r}
{(1-\ov\alpha_j\xi)^r}\\-\frac{y^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}+\sigma\frac{\ov\xi^r}{(1-|\xi|^2)^r}.
\end{multline*}
Подставив в эти равенства выражения $\alpha_j$ через $b_j$, получим
$$(1-|\xi|^2)^r\frac{x^{(r-1)}(\xi)}{r-1)!}=-\omega_r-\frac{y^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}(1-|\xi|^2)^r
+\sigma\ov\xi^r,$$
где
$$\omega_r:=\sum_{j=1}^k\left[(\ov b_j^{\,-1}+\ov\xi)^r-(b_j+\ov\xi)^r\right]+\frac{2(p-1)}p\sum_{j=1}^m(b_j+\ov\xi)^r.$$
Аналогично равенствам \eqref{12} получаем
$$\sum_{j=1}^k(\ov b_j^{\,-s}-b_j^s)+\frac{2(p-1)}p\sum_{j=1}^mb_j^s=\sum_{r=1}^sC_s^r(-\ov\xi)^{s-r}\omega_r
+m\frac{2(p-1)}p(-\ov\xi)^s.$$
Учитывая равенства \eqref{14}, имеем систему для определения $\omega_1,\ldots,\omega_m$
\begin{equation}\label{17}
\sum_{r=1}^sC_s^r(-\ov\xi)^{s-r}\omega_r=\gamma_s-m\frac{2(p-1)}p(-\ov\xi)^s.
\end{equation}
Нетрудно убедиться, что рассматриваемая система имеет единственное решение
$$\omega_r=\sigma\ov\xi^r-(1-|\xi|^2)^r\left(\frac{y^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}+\rho_r\right)$$
(для этого в силу единственности достаточно подставить выписанное решение в \eqref{17}). Тем самым
$$\frac{x^{(r-1)}(\xi)}{(r-1)!}=\rho_r,\quad r=1,\ldots,m.$$
Таким образом,
\begin{multline*}
h^{(r+1)}(\xi)=(x(z)h(z))_{|_{z=\xi}}^{(r)}=\sum_{j=0}^rC_r^jx^{(j)}(\xi)h^{(r-j)}(\xi)\\
=\sum_{j=0}^r\frac{r!}{(r-j)!}\rho_{j+1}h^{(r-j)}(\xi),\quad r=0,\ldots,m-1.
\end{multline*}
Из равенства $A\rho=d$ следует, что
$$\frac{h^{(r)}(\xi)}{r!}=d_rh(\xi)=\frac{\lambda_{\nu+m-r}}{\lambda_{\nu+m}}h(\xi).$$
Имеем
$$c_r(\xi)=-\frac{C(\xi)}{r!(\nu+m-r)!}h^{(\nu+m-r)}(\xi)=-\frac{C(\xi)}{r!}
\frac{\lambda_r}{\lambda_{\nu+m}}h(\xi)=-\frac{\lambda_r}{r!}.$$
Итак, доказано, что
\begin{multline}\label{18}
L_\xi^\lambda f-\sum_{r=0}^{\nu-1}c_r(\xi)f^{(r)}(\xi)-\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}
c_{jr}(\xi)f^{(r)}(z_j)\\
=|C(\xi)|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}|g(\ei)|^{p-2}f(\ei)\,d\theta.
\end{multline}
Из теоремы~\ref{T1} работы \cite{11} следует, что при $1\le p<\infty$ выполнение
равенства \eqref{18} вместе с равенством $Ig=0$ достаточно для оптимальности рассматриваемого метода и экстремальности функции $g/\|g\|_{H_p}$. Остается найти $\|g\|_{H_p}$. Имеем
\begin{multline*}
\|g\|_{H_p}^p=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\prod_{j=1}^m
|1-\ov\alpha_j\ei|^2}{|1-\ov\xi\ei|^{2(m+1)}}\,d\theta\\
=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{\prod_{j=1}^m(1-\ov\alpha_jz)(z-\alpha_j)}{(1-\ov\xi z)^{m+1}
(z-\xi)^{m+1}}\,dz\\
=\frac1{m!}\left[\frac{\prod_{j=1}^m
(1-\ov\alpha_jz)(z-\alpha_j)}{(1-\ov\xi z)^{m+1}}\right]_{\Big|_{z=\xi}}^{(m)}.
\end{multline*}

При $p=\infty$ положим
$$\varphi(z):=|C(\xi)|\frac{z\prod_{j=1}^m(z-\alpha_j)(1-\ov\alpha_jz)}{(z-\xi)^{m+1}(1-\ov\xi z)^{m+1}}.$$
В силу того, что при всех $|\alpha|\le1$ и $|z|=1$
$$\frac{(z-\alpha)(1-\ov\alpha z)}z\ge0$$
$\varphi(\ei)\ge0$. Поэтому, проверив аналогичные случаю $1\le p<\infty$ равенства
\begin{gather*}
\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{g(\ei)}\varphi(\ei)f(\ei)\,d\theta=L_\xi^\lambda f-\sum_{r=0}^{\nu-1}c_r(\xi)f^{(r)}(\xi)\\
\hspace{240pt}-\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}c_{jr}(\xi)f^{(r)}(z_j),\\
\|\varphi\|_{H_1}=|C(\xi)|\frac1{m!}\left[\frac{\prod_{j=1}^m
(1-\ov\alpha_jz)(z-\alpha_j)}{(1-\ov\xi z)^{m+1}}\right]_{\Big|_{z=\xi}}^{(m)},
\end{gather*}
из этого же результата работы \cite{11} для $p=\infty$ получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.
\end{proof}

Отметим, что при $p=1$ задача оптимального восстановления допускает эффективное решение, так как  такое решение допускает классическая задача Каратеодори--Фейера в пространстве $H_\infty$ (см., например, \cite[с.~477]{14}).

В общем случае оптимальный метод восстановления можно построить, предварительно решая систему \eqref{14} при $k=0,1,\ldots,m$ и находя то ее решение, которое удовлетворяет условиям \eqref{15}. При этом у экстремальной функции появляется $m-k$ дополнительных нулей (кроме постоянно присутствующих нулей функции $W_1$, связанных с заданным информационным оператором).    Для фиксированного информационного оператора это дополнительное число нулей будет зависеть от расположения точки $\xi$.

Из замечания, сделанного перед формулировкой теоремы~\ref{T2}, вытекает при $p=1$ существование экстремальной функции, не имеющей дополнительных нулей в $D$. Тем самым при $1<p\le\infty$ весь  круг $D$ разбивается, вообще говоря, на $m+1$ множество $D_0,D_1,\ldots,D_m$ (некоторые из них могут быть и пусты), каждое из которых обладает тем свойством, что при $\xi\in D_j$ у экстремальной функции имеется ровно $j$ дополнительных нулей с учетом кратности, т.е. при $\xi\in D_j$ \ $k=m-j$. Определение множеств $D_j$ корректно в силу единственности экстремальной функции для $1<p\le\infty$ (см., например, \cite{5}).

Впервые, по-видимому, эта особенность была обнаружена Дьедонне \cite{15}, который, решая экстремальную задачу
$$\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(0)=0}}|f'(\xi)|,$$
получил, что при $|\xi|\le\sqrt2-1$ (но не в большей области) экстремальной является функция $g_0(z)=\lambda z$, $|\lambda|=1$. Таким образом, в этой задаче $D_0=\{z\in D:|z|\le\sqrt2-1\}$  и $D_1=D\setminus D_0$. Этот результат был обобщен Г.М.~Голузиным \cite[с.~499]{14}, который  решая экстремальную задачу
\begin{equation}\label{19}
\sup_{\substack{f\in BH_\infty\\f(0)=\ldots=f^{(m-1)}(0)=0}}|f^{(m)}(\xi)|,
\end{equation}
нашел, что экстремальной при $|\xi|\le2^{\frac1{2m+1}}-1$, но не в большей области, является функция $g_0(z)=\lambda z^m$, $|\lambda|=1$, т.е. в наших обозначениях
$$D_0=\{\,z\in D:|z|\le2^{\frac1{2m+1}}-1\,\}.$$

Полное описание областей $D_0$ и $D_1$ для $m=1$, $1\le p\le\infty$ в общей задаче восстановления было получено в работе \cite{11}.

Опишем область $D_m$. Для этой области система \eqref{14} будет иметь вид
$$\sum_{j=1}^mb_j^s=\frac p{2(p-1)}\gamma_s,\quad s=1,\ldots,m.$$
Учитывая следствие~\ref{C1}, получаем

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $1<p\le\infty$. Экстремальная функция в задаче \eqref{1} имеет $m$ дополнительных нулей, лежащих в $D$, в том и только в том случае, если все нули полинома
$$P_m(z)=\sum_{r=0}^ma_rz^{m-r},$$
где $a_0=1$, $a_r=-r^{-1}\dfrac p{2(p-1)}\sum_{s=1}^ra_{r-s}\gamma_s$, $r=1,\ldots,m$, а $\gamma_s$ определены равенствами \eqref{13}, лежат внутри круга $D$. При этом, если $b_1,\ldots,b_m$ --- нули $P_m(z)$, то для дополнительных нулей имеет место равенство
$$\alpha_j=\frac{\ov b_j+\xi}{1+\ov\xi\ov b_j},\quad j=1,\ldots,m.$$
\end{theorem}

Из этой теоремы, в частности, для задачи \eqref{19} при $m=2$ можно найти оставшиеся множества
$$D_1=\{\,z\in D:r_0<|z|\le r_1\,\}\quad\mbox{и}\quad D_2=\{\,z\in D:|z|>r_1\,\},$$
где $r_0=\sqrt[3]2-1=0.2599\ldots$, а $r_1=0.8423\ldots$ --- единственный вещественный корень уравнения $3t^3+4t^2+4t-8=0$.

\section{Восстановление производных ограниченных гармонических функций}

Рассмотрим теперь задачу оптимального восстановления линейного функционала
$$L_x^\lambda u:=\sum_{j=\nu}^{\nu+m}\frac{\lambda_j}{j!}u^{(j)}(x),$$
где $\lambda_j\in\mathbb R$, $\lambda_{\nu+m}\ne0$, $\nu\ge0$, на классе функций из $Bh_\infty:=\{u\in h_\infty:\|u\|_{h_\infty}\le1\}$ по значениям информационного оператора
\begin{multline*}
Iu:=\left\{u(x),\ldots,u^{(\nu-1)}(x),u(x_1),\ldots,u^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,\right.\\
\left.u(x_n),\ldots,u^{(\nu_n-1)}(x_n)\right\},
\end{multline*}
где $x,x_1,\ldots,x_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$, а через $u^{(j)}$ обозначены частные производные $\dfrac{\partial^ju}{\partial x^j}$.

При $m\le1$ эта задача решена в работе \cite{16}. Оказывается, что при $m\le2\nu-1$ рассматриваемая задача может быть сведена к задаче Каратеодори--Фейера для пространства $H_1$.

Докажем сначала следующую лемму.

\begin{lemma}\label{L1}
Для любых $\gamma_1,\ldots,\gamma_m\in\mathbb R$ найдется $0\le k\le m$, при котором существует решение системы
\begin{equation}\label{20}
\sum_{j=1}^k(\ov b_j^{\,-s}-b_j^s)+2\sum_{j=k+1}^mb_j^s=\gamma_s,\quad s=1,\ldots,m,
\end{equation}
удовлетворяющее условиям \eqref{15}. При этом полиномы
\begin{equation}\label{21}
\prod_{j=1}^m(z-\ov b_j)(1-b_jz),\quad\prod_{j=k+1}^m(1-b_jz),\quad\prod_{j=k+1}^m(z-\ov b_j)
\end{equation}
вещественны на вещественной оси.
\end{lemma}

\begin{proof}
Первая часть леммы вытекает из следствия~\ref{C1}, так как те из $b_j$, для которых $|b_j|=1$, в  силу равенства $\ov b_j^{\,-1}=b_j$ можно отнести как в первую группу ($j=1,\ldots,k$), так и во
вторую ($j=k+1,\ldots,m$). Здесь нам удобнее считать, что $|b_j|<1$, $j=k+1,\ldots,m$. Докажем вещественность полиномов \eqref{21}. Из следствия~\ref{C1} вытекает, что полином
\begin{equation}\label{22}
P_{2m}(z):=C\prod_{j=1}^k(z-\ov b_j)(1-b_jz)\prod_{j=k+1}^m(1-b_jz)^2,
\end{equation}
где $C$ выбрано из условия $P_{2m}(0)=1$, является решением задачи Каратеодори--Фейера в пространстве $H_1$ с условиями
\begin{equation}\label{23}
f^{(j)}(0)=c_j,\quad j=0,\ldots,m,
\end{equation}
где числа $c_j$ определяются через $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ (см. следствие~\ref{C1}) и вещественны при вещественных $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$. В силу единственности полиномов вида \eqref{22}, удовлетворяющих равенствам \eqref{23} (см.~\cite[с.~489]{14}), полином $P_{2m}(z)$  имеет вещественные коэффициенты. Следовательно, каждому корню полинома $P_{2m}(z)$ некоторой  кратности соответствует сопряженный корень той же кратности. Отсюда следует, что полиномы \eqref{21} имеют вещественные коэффициенты. Лемма доказана.
\end{proof}

Введем обозначения, аналогичные обозначениям п.1:
\begin{gather*}
W_1(z):=\left(\frac{z-x}{1-xz}\right)^\nu W(z),\quad W(z):=\prod_{j=1}^n\left(\frac{z-x_j}{1-x_jz}\right)^{\nu_j},\\
d_j:=\lambda_{\nu+m}^{-1}\lambda_{\nu+m-j},\quad j=1,\ldots,m,\quad y(z):=W^{-1}(z)W'(z),\\
\gamma_s:=(-1)^s\biggl[(m+\nu-1)x^s-\sum_{r=1}^s(-1)^rC_s^rx^{s-r}(1-x^2)^r\\
\hspace{250pt}\times\left(\frac{y^{(r-1)}(x)}{(r-1)!}+\rho_r\right)\biggr],
\end{gather*}
где вектор $\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_m)^T$ определен равенствами \eqref{5}.

Пусть $b_1,\ldots,b_m$ --- решение системы \eqref{20}, удовлетворяющее условиям \eqref{15},  существование которого утверждается в лемме~\ref{L1}. Положим
\begin{gather*}
\alpha_j:=\frac{\ov b_j+x}{1+x\ov b_j},\quad j=1,\ldots,m,\\
\Psi(z):=\prod_{j=1}^k(z-\alpha_j)(1-\ov\alpha_jz)
\prod_{j=k+1}^m(1-\ov\alpha_jz)^2,\\
g(z):=W_1(z)\prod_{j=k+1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad C(x):=\frac{\lambda_{\nu+m}W(x)(1-x^2)^{m+1-\nu}}{\Psi(x)(1+g^2(x))}.
\end{gather*}

\begin{theorem}\label{T4}
При всех $m\le2\nu-1$ метод
$$L_x^\lambda u\approx S_0Iu=\sum_{r=0}^{\nu-1}c_r(x)u^{(r)}(x)+\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}
c_{jr}(x)u^{(r)}(x_j),$$
где
\begin{equation}\label{24}
\begin{gathered}
c_r(x):=-\frac{C(x)}{r!(\nu+m-r)!}\left[\frac{\Psi(z)(1+g^2(z))}{W(z)(1-xz)^{m+1-\nu}}
\right]_{\Big|_{z=x}}^{(\nu+m-r)},\\
c_{jr}(x):=-\frac{C(x)}{r!(\nu_j-r-1)!}\left[\frac{\Psi(z)(1-x_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)
(1-xz)^{m+1-\nu}(z-x)^{\nu+m+1}}\right]_{\Big|_{z=x_j}}^{(\nu_j-r-1)},\\
\omega_j(z):=\prod_{\substack{r=1\\r\ne j}}^n\left(\frac{z-x_r}{1-x_rz}\right)^{\nu_r},
\end{gathered}
\end{equation}
является оптимальным методом восстановления, функция
$$u_0(z):=\sign(C(x))\frac4\pi\RE\arctg g(z)$$
--- экстремальная, и
$$e(x,\lambda,I,Bh_\infty)=\frac4\pi|C(x)|\frac1{m!}\left[\frac{\prod_{j=1}^m
(1-\ov\alpha_jz)(z-\alpha_j)}{(1-xz)^{m+1}}\right]_{\Big|_{z=x}}^{(m)}.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Положим
\begin{gather*}
\varphi(z):=\frac{z\prod_{j=1}^m(z-\alpha_j)(1-\ov\alpha_jz)}{(z-x)^{m+1}(1-xz)^{m+1}},\\
Jf:=C(x)\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi(\ei)2\RE g(\ei)f(\ei)\,d\theta.
\end{gather*}
Поскольку при $|z|=1$ \ $\ov{g(z)}=g^{-1}(z)$, то для любой функции $f\in H_p$, $1\le p\le\infty$, по теореме о вычетах получаем
\begin{multline*}
Jf=C(x)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\varphi(z)\frac{1+g^2(z)}{g(z)}f(z)\frac{dz}z\\
=C(x)\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{\Psi(z)(1+g^2(z))f(z)\,dz}{W(z)
(1-xz)^{m+1-\nu}(z-x)^{m+1-\nu}}\\
=-\sum_{r=0}^{\nu+m}c_r(x)f^{(r)}(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}
c_{jr}(x)f^{(r)}(x_j),
\end{multline*}
где $c_r(x)$ определены равенством \eqref{24} при всех $r=0,\ldots,\nu+m$. Для $r\ge\nu>0$ в силу того, что $m\le2\nu-1$, имеем
\begin{multline*}
\left[\frac{\Psi(z)g^2(z)}{W(z)(1-xz)^{m+1-\nu}}\right]_{\Big|_{z=x}}^{(\nu+m-r)}\\
=\biggl[\frac{(z-x)^{2\nu}W(z)}{(1-xz)^{m+1+\nu}}\prod_{j=1}^k(z-\alpha_j)(1-\ov\alpha_jz)
\prod_{j=k+1}^m(z-\alpha_j)^2\biggr]_{\Big|_{z=x}}^{(\nu+m-r)}=0.
\end{multline*}
Тем самым
\begin{multline*}
c_r(x)=-\frac{C(x)}{r!(\nu+m-r)!}\left[\frac{\Psi(z)}{W(z)(1-xz)^{m+1-\nu}}
\right]_{\Big|_{z=x}}^{(\nu+m-r)},\\
r=\nu,\ldots,\nu+m.
\end{multline*}
Аналогично доказательству теоремы~\ref{T2} находим
$$c_r(x)=-\frac{\lambda_r}{r!},\quad r=\nu,\ldots,\nu+m.$$
Таким образом, получаем
$$Jf=L_x^\lambda f-\sum_{r=0}^{\nu-1}c_r(x)f^{(r)}(x)-\sum_{j=1}^n\sum_{r=0}^{\nu_j-1}
c_{jr}(x)f^{(r)}(x_j).$$
Из вещественности полиномов \eqref{21} следует вещественность полиномов
$$\prod_{j=1}^m(z-\alpha_j)(1-\ov\alpha_jz),\quad\prod_{j=k+1}^m(1-\ov\alpha_jz),\quad
\prod_{j=k+1}^m(z-\alpha_j).$$
Следовательно, все коэффициенты $c_r(x)$ и $c_{jr}(x)$ вещественные. Обозначив через $u:=\RE f$, будем иметь
$$\RE Jf=L_x^\lambda u-S_0Iu.$$
С другой стороны, поскольку почти всюду
$$u_0(\ei)=\sign(C(x)\RE g(\ei)),$$
то, положив $\varphi_1(z):=2|C(x)\RE g(z)|\varphi(z)$, получаем
$$\RE Jf=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi_1(\ei)u_0(\ei)u(\ei)\,d\theta.$$
Если $u\in h_\infty\subset h_2$, то сопряженная функция $v\in h_2$ (см.~\cite[с.~380]{14}), где
$h_2$ --- пространство гармонических в $D$ функций, удовлетворяющих условию
$$\|u\|_{h_2}:=\sup_{0<r<1}\biggl(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|u(r\ei)|^2\,d\theta\biggr)^{1/2}
<\infty.$$
Следовательно, $u+iv\in H_2$. Таким образом, равенство
$$L_x^\lambda u-S_0Iu=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi_1(\ei)u_0(\ei)u(\ei)\,d\theta$$
справедливо при всех $u\in h_\infty$. Так как $\varphi_1(\ei)\ge0$, $u_0\in Bh_\infty$, $|u_0(\ei)|=1$ почти всюду и, кроме того, $Iu_0=0$, то из теоремы~1 работы \cite{11} следует оптимальность метода $S_0$, экстремальность функции $u_0$ и равенство
$$e(x,\lambda,I,Bh_\infty)=L_x^\lambda u_0.$$

Пользуясь тем, что функция $g(z)$ вещественна на вещественной оси, получаем
$$L_x^\lambda u_0=L_x^\lambda g^*=Jg*,$$
где
$$g^*(z):=\sign(C(x))\frac4\pi\arctg g(z)=\sign(C(x))\left(\frac4\pi g(z)+g^3(z)w(z)\right),$$
а $w(z)\in H_2$. Тем самым, учитывая условие $2\nu>m$, будем иметь
\begin{multline*}
e(x,\lambda,I,Bh_\infty)=Jg*\\
=|C(x)|\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\varphi(z)(1+g^2(z))\left(\frac4\pi+g^2(z)w(z)\right)\frac{dz}z
\\=\frac4\pi|C(x)|\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\varphi(z)\frac{dz}z\\
=\frac4\pi|C(x)|\frac1{m!}\left[\frac{\prod_{j=1}^m
(1-\ov\alpha_jz)(z-\alpha_j)}{(1-xz)^{m+1}}\right]_{\Big|_{z=x}}^{(m)}.
\end{multline*}
Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{11}
\bibitem{1} {\it Осипенко К.Ю.} Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Матем. заметки. 1976. Т.~19, \No1. С.~29--40.
\selectlanguage{english}
\bibitem{2} {\it Micchelli C.A., Rivlin T.J.} A survey of optimal recovery. Optimal estimation in approximation theory. N.Y.: Plenum Press, 1977.
\selectlanguage{german}
\bibitem{3} {\it Landau E.} Absch\"atzung der Koeffizientensumme einer Poenzreihe // Arch. Math. Phys. 1913. V.~21. P.~42-50, 250--255.
\selectlanguage{english}
\bibitem{4} {\it Macintyre A., Rogosinski W.} Extremum problems in the theory of analytic functions // Acta Math. 1950. V.~82. P.~275--325.

\bibitem{5} {\it Rogosinski W.W., Shapiro H.S.} On certain extremum problems for analytic functions // Acta Math. 1953. V.~90. P.~287--318.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{6} {\it Хавинсон С.Я.} Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области // УМН. 1963. Т.~18. \No2. С.~25--98.
\selectlanguage{english}
\bibitem{7} {\it Duren P.L.} Theory of $H^p$ spaces. N.Y.: Acad. Press, 1970.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{8} {\it Осипенко К.Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций // Матем. заметки. 1972. Т.~12. \No4. С.~465--476.
\selectlanguage{english}
\bibitem{9} {\it Fisher S.D., Micchelli C.A.} The $n$-width of sets of analityc functions // Duke Math. J. 1980. V.~47. \No4. P.~789--801.
\selectlanguage{russian} 
\bibitem{10} {\it Певный А.Б.} Об оптимальности некоторых сплайновых алгоритмов // Изв. вузов. Математика. 1986. \No5. С.~43--49.
\bibitem{11} {\it Осипенко К.Ю., Стесин М.И.} О задачах восстановления в пространствах Харди и  Бергмана // Матем. заметки. 1991. Т.~49. \No4. С.~95--104.
\bibitem{12} {\it Carathwodory C., Fejer L.} \"Uber den Zusammenhung der extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und \"uber den Picard--Landu'schen Satz //  Rend. Cir. Mat. di Palermo. 1911. \No32. P.~218--239.
\bibitem{13} {\it Хавинсон С.Я.} Основы теории экстремальных задач для ограниченных аналитических функций с дополнительными условиями. М.: МИСИ им. В.В.~Куйбышева, 1981.
\bibitem{14} {\it Голузин Г.М.} Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
\bibitem{15} {\it Dieudonn\'{e} J.} Recherches sur quelques problems ralatifs aux polinomes et aux fonctions born\'{e}es d\'{u}ne variable complexe // Ann. Ecole Norm. sup. 1931. V.~3. \No48. P.~247--358.
\bibitem{16} {\it Осипенко К.Ю.} Наилучшие и оптимальные методы восстановления на классах гармонических функций // Матем. сб. 1991. Т.~182. \No5. С.~723--745.
\end{thebibliography}

\bigskip

\noindent Московский авиационный\hfill Поступила в редакцию\\
технологический институт\hfill10.11.1992\\
им. К.Э.~Циолковского
\end{document}
