\documentclass[12pt,draft,reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage{srctex}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance850

\textwidth=133mm
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}

\begin{document}
\section*{Степенные ряды}

В статье {\it Ряды\/} рассматривались числовые ряды
$$a_0+a_1+\ldots+a_n+\ldots\,\,.$$
Можно рассматривать ряды, у которых слагаемые являются функциями
$$a_0(x)+a_1(x)+\ldots+a_n(x)+\ldots\,\,.$$
Такие ряды называются {\it функциональными}. При каждом фиксированном $x$
из области определения функций $a_0(x),a_1(x),\ldots,a_n(x),\ldots$
функциональный ряд становится числовым и может либо сходиться, либо
расходиться. Множество тех $x$, при которых соответствующий числовой ряд
сходится, называется {\it областью сходимости\/} функционального ряда.

Функциональный ряд, в котором $a_n(x)=c_nx^n$, где $c_n$ --- фиксированные
числа, называется {\it степенн\'ым\/} рядом. Простейшим примером степенного
ряда является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со
знаменателем $x$, $|x|<1$,
\begin{equation}\label{g}
\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots\,\,.
\end{equation}

Оказывается, что область сходимости степенного ряда устроена весьма простым
образом --- это всегда некоторый интервал $(-R,R)$, быть может, включающий
один или оба из его концов. Число $R$ называется {\it радиусом
сходимости\/} степенного ряда. Для нахождения радиуса сходимости степенного
ряда
$$c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n+\ldots$$
можно пользоваться следующими формулами
\begin{eqnarray*}
R&=&\lim_{n\to\infty}\frac{|c_n|}{|c_{n+1}|},\\
R&=&\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{|c_n|}}
\end{eqnarray*}
(если соответствующие пределы существуют).

Степенные ряды играют важную роль в различных разделах математики и, в
частности, при приближенном вычислении функций. Если некоторую функцию
$f(x)$ удается представить в виде степенного ряда (разложить в степенной
ряд)
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n,$$
то для приближенного вычисления $f(x)$ можно воспользоваться лишь конечным
числом слагаемых
$$f(x)\approx c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n.$$
Иными словами, функцию в этом случае можно заменить на многочлен подходящей
степени, преимущество которого --- простота вычисления.

При каких же условиях можно разложить функцию в степенной ряд? Сравнительно
простым достаточным условием для такого разложения является ограниченность
всех производных в окрестности нуля, т.\ е.\ существование такой постоянной
$M$, что для всех $x$ из некоторой окрестности нуля и всех $n=0,1,2,\ldots$
выполняется неравенство
$$|f^{(n)}(x)|\le M.$$
В этом случае функция $f(x)$ разлагается в степенной ряд
$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+
\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\ldots,$$
называемый {\it рядом Тейлора\/} (или {\it рядом Маклорена\/}) этой
функции.

Таким образом, при выполнении условия ограниченности всех производных в
окрестности нуля функция восстанавливается в этой окрестности по
значениям всех своих производных в нуле (сама эта окрестность, где
ограничены производные, может быть и весьма большой, например, совпадать
со всей числовой осью).

Для некоторых элементарных функций разложения в ряд Тейлора легко
находятся. Рассмотрим, например, функцию $f(x)=e^x$. Поскольку любая
производная этой функции снова $e^x$, то $f^{(n)}(0)=e^0=1$. Следовательно
(условие ограниченности в любой окрестности нуля легко проверяется), ряд
Тейлора для функции $e^x$ имеет вид
$$e^x=1+\frac x{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+
\ldots\,\,,$$
причем он сходится для всех $x$. Отсюда, положив $x=1$, получаем
$$e=1+1+\frac12+\frac16+\frac1{24}+\frac1{120}+\ldots\,\,.$$
Просуммировав шесть первых слагаемых этого ряда, получим приближенное
значение числа $e$ с первыми тремя верными цифрами: $2,71666\ldots\,\,$.

Вычисляя значения производных функций $\sin x$ и $\cos x$ в нуле, получаем
их разложения в ряд Тейлора
\begin{eqnarray*}
\sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(
2n-1)!}+\ldots\,\,,\\
\cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+
\ldots\,\,.
\end{eqnarray*}
При построении математических моделей физических процессов часто для
упрощения таких моделей при малых $x$, пользуясь этими разложениями,
полагают
\begin{eqnarray*}
\sin
x&\approx&x,\\
\cos
x&\approx&1-\frac{x^2}2.
\end{eqnarray*}

Если производная или интеграл от конечной суммы функций есть сумма
производных или интегралов соответствующих слагаемых, то для
``бесконечных'' сумм (функциональных рядов) это уже не всегда так. Однако
степенные ряды в этом отншении устроены хорошо --- внутри области
сходимости их можно почленно дифференцировать и интегрировать.
Например, если почленно продифференцировать ряд (\ref g), то получится ряд,
сумма которого будет равна производной от суммы исходного ряда
$$\frac1{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\ldots+nx^{n-1}+\ldots\,\,.$$

Рассмотрим снова ряд (\ref g), в котором переменную $x$ заменим на $-t$
$$\frac1{1+t}=1-t+t^2-\ldots+(-1)^nt^n+\ldots\,\,.$$
Если проинтегрировать этот ряд в промежутке от $0$ до $x$ ($|x|<1$),
получится степенной ряд
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\ldots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+
\ldots\,\,.$$
А сделав то же самое с рядом
$$\frac1{1+t^2}=1-t^2+t^4-\ldots+(-1)^nt^{2n}+\ldots\,\,,$$
получим разложение
$$\arctg x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\ldots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+
\ldots\,\,.$$

Не только число $e$, но и число $\pi$ можно приближенно вычислять с помощью
рядов. Положив в разложении для $\arctg x$ \ $x=1$, получим
$$\frac\pi4=\arctg1=1-\frac13+\frac15-\ldots+(-1)^n\frac1{2n+1}+\ldots\,\,.
$$
(На самом деле этот ряд сходится довольно медленно и для хороших
приближений надо брать слишком много слагаемых).

Полученные нами разложения в степенные ряды функций $\ln(1+x)$ и $\arctg x$
являются в то же время рядами Тейлора для этих функций, так как
оказывается, что всякий степенной ряд есть ряд Тейлора для своей суммы.

Рассматривают степенные ряды и более общего вида
$$c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\ldots+c_n(x-x_0)^n+\ldots\,\,.$$
В этом случае говорят о степенном ряде с центром в точке $x_0$. Аналогично
определяется ряд Тейлора для функции $f(x)$ с центром в точке $x_0$
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\ldots\,\,.$$
Эти ряды простой заменой переменной $x-x_0=y$ сводятся к рядам,
рассмотренным ранее.

\end{document}