\documentclass[12pt,draft,oneside,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\tolerance 800
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\lp}{L_p(\mathbb R)}
\newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wpp}{\widehat p}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wv}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wnu}{\widehat\nu}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\Ld}{L_\infty(\Ds)}
\newcommand*{\wt}{\widehat t}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\begin{document}

\begin{flushleft}
УДК 517.51
\end{flushleft}

\title[ Оптимальное восстановление]{Оптимальное восстановление
функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства
для производных}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No00-15-96109 и \No02-01-00386) и
программы ``Университеты России" (УР.04.03.013), а также при поддержке
U.S.CRDF--R.F.Ministry of Education Award VZ-0100-0}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}

\maketitle

\section{Постановка задачи}

Начнем с общей постановки задачи об оптимальном восстановлении. Пусть $C$
--- некоторое множество (класс) в векторном пространстве $X$. Про каждый
элемент $x\in C$ мы располагаем информацией $I(x)$, где $I$ --- отображение
(называемое {\it информационным}) из $C$ в другое векторное пространство $Y
$. Информация об элементах из $C$ может быть задана неточно и поэтому $I$,
вообще говоря, --- многозначное отображение. Пусть, далее, $Z$ ---
нормированное пространство и $\Lambda\colon X\to Z$ --- линейный оператор.
Задача заключается в том, чтобы восстановить (по возможности наилучшим
образом) оператор $\Lambda$ на классе $C$ в метрике $Z$ по имеющейся
информации $I$. В это вкладывается следующий смысл. Любое отображение $
\varphi\colon Y\to Z$ будем называть методом восстановления (оператора $
\Lambda$ на классе $C$ по информации $I$). {\it Погрешностью} этого метода
называется величина
$$e(\Lambda,C,I,\varphi)=\sup_{x\in C,\ y\in I(x)}\|\Lambda x-\varphi(y)\|_
Z.$$
Величина
\begin{equation}\label{2}
E(\Lambda,C,I)=\inf_{\varphi\colon Y\to Z}e(\Lambda,C,I,\varphi),
\end{equation}
где нижняя грань берется по всем отображениям $\varphi\colon Y\to Z$, носит
название {\it погрешности оптимального восстановления}, а метод, на
котором достигается эта нижняя грань, называется {\it оптимальным методом
восстановления}.

Впервые задача оптимального восстановления была поставлена С.~А.~Смоляком
\cite{Sm} для случая, когда $Z=\mathbb R$, $I$ --- линейный оператор и $
\dim Y<\infty$. Впоследствии вся эта проблематика интенсивно развивалась в
разных направлениях (см.\ \cite{MR}--\cite{Os}). Подход к задачам
восстановления, основанный на общих принципах теории экстремума, развивался
в работах \cite{MT}--\cite{MOT}. Этот подход мы используем и в данной
статье.

Перейдем к постановке задач восстановления, рассматриваемых в работе. Пусть
$S$ --- пространство Шварца быстро убывающих бесконечно дифференцируемых
функций на $\mathbb R$, $S'$ --- соответствующее пространство обобщенных
функций, $F\colon S'\to S'$ --- преобразование Фурье, $1\le p\le\infty$ и $
n\in\mathbb N$. В качестве пространства $X$ в задаче \eqref2 будем
рассматривать пространство
$$X_p^n=\{\,x\in S':Fx\cd\in\lp,\ x^{(n)}\cd\in\lt\,\},$$
а в качестве класса $C$ --- множество
$$C_p^n=\{\,x\cd\in X_p^n:\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}\le1\,\}.$$

Опишем информационные отображения, которые здесь изучаются. Пусть $1\le p<
\infty$, $0<\sigma\le\infty$, $\Ds=(-\sigma,\sigma)$ и $\delta>0$. Будем
считать, что информация об элементе $x\cd\in C_p^n$ состоит в том, что нам
известна функция $y\cd\in L_p(\Ds)$, такая, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{L_p(\Ds)}
\le\delta$. Таким образом, информационное отображение $I=I_p^{\delta,\sigma
}\colon C_p^n\to L_p(\Ds)$ таково: $I_p^{\delta,\sigma}x\cd= Fx\cd_{\big|
\Ds}+\delta BL_p(\Ds)$, где $BL_p(\Ds)$ --- единичный шар в $L_p(\Ds)$.

Если $p=\infty$, то мы рассматриваем несколько более общую ситуацию. Пусть
$\delta\cd$ --- неотрицательная функция из $\Ld$. Будем считать, что
информация об элементе $x\cd$ заключается в том, что известна функция $y\cd
\in\Ld$ такая, что $|Fx(t)-y(t)|\le\delta(t)$ для п.~в. $t\in\Ds$. Если
положить
$$B(\delta\cd)=\{\,y\cd\in\Ld:|y(t)|\le\delta(t)\,\,\mbox{п.~в.}\,\},$$
то информационное отображение $I=I_\infty^{\delta\cd,\sigma}\colon C_\infty
^n\to\Ld$ в этом случае имеет вид $I_\infty^{\delta\cd,\sigma}x\cd= Fx\cd_{
\big|\Ds}+B(\delta\cd)$.

Ставится задача об оптимальном восстановлении линейного оператора $\Lambda
$, $\Lambda x\cd=x^{(k)}\cd$, $0\le k\le n-1$ на классе $C_p^n$ в метрике $
\lt$ по описанным выше информационным отображениям (далее будет показано,
что $\Lambda\colon X_p^n\to\lt$ при $2\le p\le\infty$).


Таким образом, в нашем случае задача~\eqref2 при $p<\infty$ приобретает вид
\begin{equation}\label{3}
E(x^{(k)}\cd,C_p^n,I_p^{\delta,\sigma})=\inf_\varphi\sup_{\substack{x\cd\in
C_p^n,\ y\cd\in L_p(\Ds)\\\|Fx\cd-y\cd\|_{L_p(\Ds)}\le\delta}}\|x^{(k)}\cd-
\varphi(y)\cd\|_{\lt},
\end{equation}
где нижняя грань берется по всем $\varphi\colon L_p(\Ds)\to\lt$. Если $p=
\infty$, то ее вид таков
\begin{equation}\label{4}
E(x^{(k)}\cd,C_\infty^n,I_\infty^{\delta\cd,\sigma})=\inf_\varphi\sup_{
\substack{x\cd\in C_\infty^n,\ y\cd\in\Ld\\|Fx(t)-y(t)|\le\delta(t)\mbox
{\scriptsize\ п.\ в.}}}\|x^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lt},
\end{equation}
где нижняя грань берется по всем $\varphi\colon\Ld\to\lt$.

В задаче~\eqref3 при $p=2$ и в задаче~\eqref4 мы находим точные значения
для погрешности оптимального восстановления и явные выражения для
оптимальных методов восстановления. В обоих случаях наблюдается следующее
явление: для фиксированной погрешности существует такое конечное $\widehat
\sigma>0$, что знание преобразования Фурье на интервале большем, чем $(-
\widehat\sigma,\widehat\sigma)$, не приводит к уменьшению погрешности
оптимального восстановления. Этот вывод представляется нам важным для
практических приложений полученных здесь результатов.

В задаче \eqref3 при $p=2$ и $\sigma=\infty$ информация равносильна (в силу
теоремы Планшереля) тому, что известна сама функция с точностью до $\delta$
в метрике $\lt$. В такой постановке задача решена в \cite{MM}.
Периодические аналоги задачи \eqref3 при $p=2$ и задачи \eqref4, а также их
обобщения на более широкие классы функций изучались в работе \cite{MO}.

При $2<p<\infty$ получена оценка снизу величины~\eqref3. При этом доказано
точное неравенство для $k$-ой производной функции в $L_2$-норме, дающее ее
оценку через $L_2$-норму $n$-ой производной и $L_p$-норму ее преобразования
Фурье.

\section{Формулировки основных результатов}

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $n\in\mathbb N$, $0\le k\le n-1$, $0<\sigma\le\infty$, $\Ds=(-\sigma,
\sigma)$, $\delta\cd\in\Ld$, $\delta\cd\ge0$ и
$$\sigma_0=\sup\left\{\,a:0<a<\sigma,\ \frac1{2\pi}\int_{-a}^at^{2n}\delta^
2(t)\,dt\le1\right\}.$$
Тогда, если $\sigma_0<\infty$, то
\begin{equation}\label{s}
E(x^{(k)}\cd,C_\infty^n,I_\infty^{\delta\cd,\sigma})=\sqrt{\sigma_0^{-2(n-k
)}+\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}(t^{2k}-\sigma_0^{-2(n-k)}t^{2n})
\delta^2(t)\,dt},
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{ss}
\wv(y)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}(i\tau)^k\biggl(1-\left(
\frac\tau{\sigma_0}\right)^{2(n-k)}\biggr)y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau
\end{equation}
--- оптимальный метод.

Если $\sigma_0=\infty$, то
\begin{equation}\label{Ei}
E(x^{(k)}\cd,C_\infty^n,I_\infty^{\delta\cd,\sigma})=\sqrt{\frac1{2\pi}\int
_{-\infty}^\infty t^{2k}\delta^2(t)\,dt},
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{Me}
\wv(y)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty(i\tau)^ky(\tau)e^{i\tau t}\,d
\tau
\end{equation}
--- оптимальный метод.
\end{theorem}

\begin{corollary}\label{22}
Пусть $\delta(t)\equiv\delta>0$ и
$$\ws=(\pi(2n+1))^{\frac1{2n+1}}\delta^{-\frac2{2n+1}}.$$
Тогда
$$E(x^{(k)}\cd,C_\infty^n,I_\infty^{\delta,\sigma})=\begin{cases}\sqrt{\sigma^{-2(
n-k)}+\dfrac{2\delta^2(n-k)}{\pi(2k+1)(2n+1)}\sigma^{2k+1}},&\sigma<\ws,
\\[15pt]
\sqrt{\dfrac{2n+1}{2k+1}}\left(\dfrac1{\pi(2n+1)}\right)^{\frac{n-k}{2n+1}}
\delta^{\frac{2(n-k)}{2n+1}},&\sigma\ge\ws,\end{cases}$$
и метод \eqref{ss} при $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$ является оптимальным.
\end{corollary}

Из этого следствия вытекает, что при фиксированном  $\delta$, начиная с $
\ws$, дальнейшее увеличение интервала, на котором известно преобразование
Фурье функции из $C_\infty^n$, заданное с погрешностью $\delta$ в
равномерной метрике, не ведет к уменьшению погрешности восстановления.
Другими словами, если нарушается соотношение
\begin{equation}\label{pn}
\delta^2\sigma^{2n+1}\le\pi(2n+1),
\end{equation}
связывающее исходные данные с величиной интервала, на котором эти данные
измеряются, то получаемая информация оказывается уже избыточной.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $n\in\mathbb N$, $0<k\le n-1$, $0<\sigma\le\infty$, $\delta>0$ и
$$\ws=\left(\frac nk\right)^{\frac1{2(n-k)}}\left(\frac{2\pi}{\delta^2}
\right)^{\frac1{2n}}.$$
Тогда
$$E(x^{(k)}\cd,C_2^n,I^{\delta,\sigma}_2)=\begin{cases}\sigma^k\sqrt{\dfrac{n-k}{2
\pi n}\left(\dfrac kn\right)^{\frac k{n-k}}\delta^2+\dfrac1{\sigma^{2n}}},&
\sigma<\ws,\\[15pt]
\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}},&\sigma\ge\ws,
\end{cases}$$
и
$$\wv(y)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma(i\tau)^k\left(1+\dfrac n{n-k}
\left(\dfrac nk\right)^{\frac k{n-k}}\left(\dfrac\tau{\sigma_0}\right)^{2n}
\right)^{-1}y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau,$$
где $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$, --- оптимальный метод.

Если $k=0$ и $0<\sigma<\infty$, то
$$E(x\cd,C_2^n,I^{\delta,\sigma}_2)=\sqrt{\frac{\delta^2}{2\pi}+\frac1{
\sigma^{2n}}}$$
и
\begin{equation}\label{MM}
\wv(y)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma\left(1+\left(\frac\tau\sigma
\right)^{2n}\right)^{-1}y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau
\end{equation}
--- оптимальный метод.
\end{theorem}

Из теоремы~\ref{T2} следует, что в задаче \eqref3 при $p=2$ также
наблюдается эффект ``насыщения". Здесь аналогом соотношения \eqref{pn}
является неравенство
$$\delta^2\sigma^{2n}\le2\pi\left(\frac nk\right)^{\frac n{n-k}},$$
при нарушении которого имеющаяся информация оказывается избыточной.

Отметим, что метод
$$\widetilde\varphi(y)(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma(i\tau)^ky(\tau)
e^{i\tau t}\,d\tau,$$
сопоставляющий функции $y\cd$ $k$-ую производную ее обратного
преобразования Фурье, при $k=0$ также оптимален (наряду с методом \eqref
{MM}) в задаче восстановления из теоремы~\ref{T2}. Это легко установить
непосредственной оценкой. Однако можно показать, что при $k>0$ этот, на
первый взгляд, естественный метод уже не оптимален и, более того, его
погрешность равна $\infty$.

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $n\in\mathbb N$, $0\le k\le n-1$ и $2\le p\le\infty$. Имеет место
точное неравенство
\begin{equation}\label{NP}
\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}\le K(k,n,p)\|Fx\cd\|_{\lp}^{\frac{n-k}{n+1/2-1/p}}\|x^
{(n)}\cd\|_{\lt}^{\frac{k+1/2-1/p}{n+1/2-1/p}},
\end{equation}
где при $2<p<\infty$
\begin{gather}
K(k,n,p)=\sqrt{\frac{n+1/2-1/p}{k+1/2-1/p}}\left(\frac{\sqrt{k+1/2-1/p}B^{1
/2-1/p}}{(2\pi)^{1/2}(n-k)^{1-1/p}}\right)^{\frac{n-k}{n+1/2-1/p}},\notag\\
B=B\left(\frac{k+1/2-1/p}{(n-k)(1-2/p)},2\frac{1-1/p}{1-2/p}\right)\label
{B}
\end{gather}
и $B(\cdot,\cdot)$ --- $B$-функция Эйлера;
\begin{equation}\label{K}
K(k,n,\infty)=\sqrt{\frac{2n+1}{2k+1}}\left(\frac1{\pi(2n+1)}\right)^{
\frac{n-k}{2n+1}},\quad K(k,n,2)=\left(\frac1{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}}
.
\end{equation}
\end{theorem}

При $p=2$ неравенство \eqref{NP} (в силу теоремы Планшереля) совпадает с
известным неравенством Харди--Литтлвуда--Полиа. Неравенства вида \eqref{NP}
с разными метриками, где вместо преобразования Фурье функции стоит сама
функция, обычно называют неравенствами для производных колмогоровского
типа. Они играют важную роль в различных вопросах анализа и теорию
приближений. Им посвящена большая литература (см., например, \cite{TM,Ar}).

\section{Доказательства}

Начнем с одного простого утверждения, касающегося оценки снизу погрешности
оптимального восстановления.

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть в задаче \eqref2 множество
$$\gr I=\{\,(x,y)\in X\times Y:x\in C,\ y\in I(x)\,\}$$
центрально-симметрично, а множество
$$I^{-1}(0)=\{x\in C:0\in I(x)\}$$
не пусто. Тогда
$$E(\Lambda,C,I)\ge\sup_{x\in C,\ x\in I^{-1}(0)}\|\Lambda x\|_Z.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Для любого метода $\varphi$ при всех $x\in C$ таких, что $x\in I^{-1}(0)$,
имеем
$$2\|\Lambda x\|_Z\le\|\Lambda x-\varphi(0)\|_Z+\|\Lambda(-x)-\varphi(0)\|_
Z\le2e(\Lambda,C,I,\varphi).$$
Следовательно, для любого метода $\varphi$
$$e(\Lambda,C,I,\varphi)\ge\sup_{x\in C,\ x\in I^{-1}(0)}\|\Lambda x\|_Z,$$
откуда сразу же вытекает доказываемая оценка.
\end{proof}

Доказательства теорем \ref{T1} и \ref{T2} проводятся по единой схеме. По
этой причине мы сначала доказываем один общий результат (содержащий в себе
соображения, связанные с подходом, основанным на принципах выпуклой
оптимизации), а затем, опираясь на него, получаем упомянутые теоремы.
Задача восстановления, относительно которой формулируется данный результат,
является некоторой детализацией общей постановки, приведенной в начале
статьи.

Пусть $T$ --- конечное множество с дискретной мерой или интервал прямой
(конечный или бесконечный) с мерой Лебега, $X$, $Y_t$, $t\in T$, ---
векторные пространства с полускалярными произведениями $(\cdot,\cdot)_X$, $
(\cdot,\cdot)_{Y_t}$ и соответствующими полунормами $\|\cdot\|_X$, $\|\cdot
\|_{Y_t}$, $Z$ --- нормированное пространство и $\delta\cd$ ---
неотрицательная измеримая функция на $T$. Предположим, что $Y$ ---
некоторое подпространство функций $y\cd$ на $T$ со значениями в $\cup_{t\in
T}Y_t$, таких, что $y(t)\in Y_t$ и $t\to\|y(t)\|_{Y_t}$ --- измеримая
функция на $T$. Рассматривается задача оптимального восстановления
оператора $\Lambda\colon X\to Z$ на классе $BX=\{x\in X:\|x\|_X\le1\}$ по
информации о линейном операторе $I\colon X\to Y$, заданном с погрешностью $
\delta\cd$. Точнее говоря, для каждого $x\in BX$ известна функция $y\cd\in
Y$ такая, что для п.~в. $t\in T$
$$\|Ix(t)-y(t)\|_{Y_t}\le\delta(t).$$

Погрешность оптимального восстановления записывается в этом случае в виде
\begin{equation}\label{*1}
E(\Lambda,BX,I,\delta\cd)=\infp_{\varphi\colon Y\to Z}\sup_{\substack{x\in
BX,\ y\cd\in Y\\\|Ix(t)-y(t)\|_{Y_t}\le\delta(t)\mbox{\scriptsize\ п.~в.}}}
\|\Lambda x-\varphi(y)\|_Z.
\end{equation}
Нас интересует значение этой величины и оптимальный метод.

Из леммы~\ref{L1} следует, что
\begin{equation}\label{A}
E(\Lambda,BX,I,\delta\cd)\ge\sup_{\substack{x\in BX\\\|Ix(t)\|_{Y_t}\le
\delta(t)\mbox{\scriptsize\ п.~в.}}}\|\Lambda x\|_Z.
\end{equation}
Рассмотрим следующую экстремальную задачу (значение которой совпадает с
квадратом величины, стоящей в правой части \eqref A):
\begin{equation}\label{*2}
\|\Lambda x\|_Z^2\to\max,\quad\|Ix(t)\|_{Y_t}^2\le\delta^2(t)\mbox{ для
п.~в. }t\in T,\quad \|x\|_X^2\le1.
\end{equation}
Положим
$$\mathcal L(x,\lambda_1\cd,\lambda_2)=-\|\Lambda x\|^2_Z+\int_T\lambda_1(t
)\|Ix(t)\|_{Y_t}^2\,d\mu+\lambda_2\|x\|_X^2,$$
где $\lambda_1\cd$ --- измеримая неотрицательная функция, $\lambda_2\ge0$,
а $d\mu$ --- мера Лебега, если $T$ --- интервал прямой и дискретная мера,
если $T$ --- конечное множество.

\begin{theorem}\label{T4}
Пусть существуют измеримая неотрицательная функция $\wl_1\cd$ и $\wl_2\ge0$
такие, что функция $\wl_1\cd\delta^2\cd$ и функции $t\to\wl_1(t)(y^1(t),y^2
(t))_{Y_t}$ при всех $y^1\cd,y^2\cd\in Y$ суммируемы на $T$ и
\begin{align*}
(a)&\quad\mathcal L(x,\wl_1\cd,\wl_2)\ge0\quad\forall x\in X.\\
\intertext{Пусть, кроме того, существует такая последовательность $\{x_m\}$
допустимых элементов в \eqref{*2}, что выполнены условия:}
(b)&\quad\lim_{m\to\infty}\mathcal L(x_m,\wl_1\cd,\wl_2)=0,\\
(c)&\quad\lim_{m\to\infty}\left(\int_T\wl_1(t)\left(\|Ix_m(t)\|_{Y_t}^2-
\delta^2(t)\right)\,d\mu+\wl_2\left(\|x_m\|_X^2-1\right)\right)=0.
\end{align*}
Тогда, если $x_y$ --- решение экстремальной задачи
\begin{equation}\label{ext}
\int_T\wl_1(t)\|Ix(t)-y(t)\|_{Y_t}^2\,d\mu+\wl_2\|x\|_X^2\to\min,\quad x\in
X,
\end{equation}
то
\begin{equation}\label{met}
\varphi(y)=\Lambda x_y
\end{equation}
--- оптимальный метод восстановления и
\begin{equation}\label{er}
E(\Lambda,BX,I,\delta\cd)=\sup_{\substack{x\in BX\\\|Ix(t)\|_{Y_t}\le\delta
(t)\mbox{\scriptsize\ п.~в.}}}\|\Lambda x\|_Z=\sqrt{\int_T\wl_1(t)
\delta^2(t)\,d\mu+\wl_2}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
1. Покажем, что значения задачи \eqref{*2} и задачи
\begin{equation}\label{*3}
\|\Lambda x\|_Z^2\to\max,\quad\int_T\wl_1(t)\|Ix(t)\|_{Y_t}^2\,d\mu+\wl_2\|
x\|_X^2\le S,
\end{equation}
где
$$S=\int_T\wl_1(t)\delta^2(t)\,d\mu+\wl_2,$$
совпадают и равны $S$. Действительно, для любого допустимого в \eqref{*2}
элемента $x\in X$ имеем с учетом $(a)$
\begin{multline*}
-\|\Lambda x\|^2_Z\ge-\|\Lambda x\|^2_Z+\int_T\wl_1(t)\left(\|Ix(t)\|_{Y_t}
^2-\delta^2(t)\right)\,d\mu\\
+\wl_2\left(\|x\|_X^2-1\right)\ge-S.
\end{multline*}
С другой стороны, используя последовательно $(c)$ и $(b)$, получаем, что
\begin{multline*}
-\lim_{m\to\infty}\|\Lambda x_m\|^2=\lim_{m\to\infty}\left(\vphantom{\int_T
}-\|\Lambda x_m\|^2_Z\right.\\
\left.+\int_T\wl_1(t)\left(\|Ix_m(t)\|_{Y_t}^2-\delta^2(t)\right)\,d\mu+\wl
_2\left(\|x_m\|_X^2-1\right)\right)=-S,
\end{multline*}
т.~е. $S$ --- значение задачи \eqref{*2}. Но, очевидно, эти же рассуждения
доказывают, что $S$ и значение задачи \eqref{*3}.

2. Оценка сверху. Рассмотрим векторное пространство $H=X\times Y$ с
полускалярным произведением
$$((x^1,y^1\cd),(x^2,y^2\cd))_H=\int_T\wl_1(t)(y^1(t),y^2(t))_{Y_t}\,d\mu+
\wl_2(x^1,x^2)_X.$$
Тогда экстремальная задача \eqref{ext} может быть переписана в виде
$$\|(x,Ix\cd)-(0,y\cd)\|_H^2\to\min,\quad x\in X.$$
Если $x_y$ --- решение этой задачи, то легко показать, что для всех $x\in
X$ выполняется равенство
$$((x_y,Ix_y\cd)-(0,y\cd),(x,Ix\cd))_H=0.$$
Отсюда следует, что
\begin{multline*}
\|(x,Ix\cd)-(0,y\cd)\|_H^2=\|(x,Ix\cd)-(x_y,Ix_y\cd)\|_H^2\\
+\|(x_y,Ix_y\cd)-(0,y\cd)\|_H^2.
\end{multline*}
Если $\|x\|_X\le1$ и $\|Ix(t)-y(t)\|_{Y_t}\le\delta(t)$, $t\in T$, то из
последнего неравенства вытекает, что
\begin{multline*}
\|(x,Ix\cd)-(x_y,Ix_y\cd)\|_H^2\le\|(x,Ix\cd)-(0,y\cd)\|_H^2\\
=\int_T\wl_1(t)\|Ix(t)-y(t)\|_{Y_t}^2\,d\mu+\wl_2\|x\|_X^2\le S.
\end{multline*}
Полагая $z=x-x_y$, приходим к неравенству
$$\int_T\wl_1(t)\|Iz(t)\|_{Y_t}^2\,d\mu+\wl_2\|z\|_X^2\le S$$
и значит,
$$\|\Lambda x-\Lambda x_y\|_Z=\|\Lambda z\|_Z\le\sup_{\int_T\wl_1(t)\|Ix_t
\|_{Y_t}^2\,d\mu+\wl_2\|x\|_X^2\le S}\|\Lambda x\|_Z=\sqrt S.$$

Учитывая \eqref A, получаем равенство \eqref{er} и оптимальность метода
\eqref{met}.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T1}$]
Пусть сначала $\sigma_0<\infty$. Запишем рассматриваемую задачу в терминах
теоремы \ref{T4}. Здесь $T=\Ds$, $X=X_\infty^n$ --- векторное пространство
с полускалярным произведением
$$\left(x_1\cd,x_2\cd\right)_{X_\infty^n}=\int_{\mathbb R}x_1^{(n)}(t)\ov{x
_2^{(n)}(t)}\,dt,$$
$Y_t=\mathbb C$ при всех $t\in\Ds$, $Z=\lt$, $Y=\Ld$, $\Lambda x\cd=x^{(k)}
\cd$, $BX=C_\infty^n$ и оператор $I\colon X_\infty^n\to\Ld$ определен
равенством $Ix\cd=Fx\cd$. При таких обозначениях задача \eqref4 совпадает с
задачей \eqref{*1}. Функция $\mathcal L(x\cd,\lambda_1\cd,\lambda_2)$ из
теоремы~\ref{T4} имеет в этом случае вид
\begin{multline*}
\mathcal L(x\cd,\lambda_1\cd,\lambda_2)=-\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}^2+\int_{\Ds}
\lambda_1(t)|Fx(t)|^2\,dt\\
+\lambda_2\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}^2.
\end{multline*}
Переходя к образам Фурье и обозначая $(2\pi)^{-1}|Fx\cd|^2=u\cd$, получим
(в силу теоремы Планшереля)
$$\mathcal L(x\cd,\lambda_1\cd,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}\left(-t^{2k}+
\lambda_2t^{2n}\right)u(t)\,dt+2\pi\int_{\Ds}\lambda_1(t)u(t)\,dt.$$
Положим $\wl_2=\sigma_0^{-2(n-k)}$ и
$$\wl_1(t)=\begin{cases}(2\pi)^{-1}\left(t^{2k}-\wl_2t^{2n}\right),&|t|<\sigma_0,
\\[10pt]
0,&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$
Тогда при всех $x\cd\in X_\infty^n$
$$\mathcal L(x\cd,\wl_1\cd,\wl_2)=\int_{|t|\ge\sigma_0}\left(-t^{2k}+\wl_2t
^{2n}\right)u(t)\,dt\ge0.$$

Положим
$$\gamma=1-\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}t^{2n}\delta^2(t)\,dt.$$
Если $\gamma=0$, то обозначив через $\wx\cd$ обратное преобразование Фурье
функции, совпадающей с $\delta\cd$ в интервале $(-\sigma_0,\sigma_0)$ и
равной нулю вне него, легко проверить, что условия $(b)$ и $(c)$
теоремы~\ref{T4} выполнены для постоянной последовательности $x_m\cd=\wx\cd
$.

Если $\gamma>0$ (в этом случае, очевидно, $\sigma_0=\sigma$), то положим
для $m>\gamma^{-2}$
$$u_m(t)=\begin{cases}\delta^2(t)/(2\pi),&|t|<\sigma,\\
\sigma^{-2n}(m\gamma-\sqrt m)/2,&\sigma\le|t|\le\sigma+1/m,\\
0,&|t|>\sigma+1/m\end{cases}$$
(через $x_m\cd$ будем обозначать обратные преобразования Фурье функций $
\sqrt{2\pi u_m\cd}$). Нетрудно убедиться, что
$$\lim_{m\to\infty}\mathcal L(x_m\cd,\wl_1\cd,\wl_2)=0.$$
Кроме того,
$$\int_{-\sigma}^\sigma\wl_1(t)(2\pi u_m(t)-\delta^2(t))\,dt=0$$
и
\begin{multline*}
\|x_m^{(n)}\cd\|_{\lt}^2=\int_{\mathbb R}t^{2n}u_m(t)\,dt\\
=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma t^{2n}\delta^2(t)\,dt+\frac{m\gamma-
\sqrt m}{\sigma^{2n}}\int_\sigma^{\sigma+1/m}t^{2n}\,dt\\
=1-\gamma+\frac{(m\gamma-\sqrt m)\left((\sigma+1/m)^{2n+1}-\sigma^{2n+1}
\right)}{\sigma^{2n}(2n+1)}\stackrel{m\to\infty}{\to}1.
\end{multline*}
Из последних равенств следует также, что при достаточно больших $m$
$$\|x_m^{(n)}\cd\|_{\lt}^2<1-\frac1{2\sqrt m},$$
т.\ е.\ функции $x_m\cd$ являются допустимыми в задаче \eqref{*2}.

Задача \eqref{ext} для $y\cd\in\Ld$ имеет вид
$$\int_{\Ds}\wl_1(t)|Fx(t)-y(t)|^2\,dt+\wl_2\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}\to\min,
\quad x\cd\in X_\infty^n.$$
С учетом теоремы Планшереля она может быть записана так
$$\int_{\Ds}\wl_1(t)|Fx(t)-y(t)|^2\,dt+\frac{\wl_2}{2\pi}\int_{\mathbb R}t^
{2n}|Fx(t)|^2\,dt\to\min,\quad x\cd\in X_\infty^n.$$
Нетрудно проверить, что ее решением является функция $\wx_y\cd$ такая, что
$$F\wx_y(t)=\begin{cases}\dfrac{2\pi\wl_1(t)}{2\pi\wl_1(t)+\wl_2t^{2n}}y(t),&|t|<
\sigma_0,\\[15pt]
0,&|t|\ge\sigma_0,\end{cases}$$
т.\ е.\
$$F\wx_y(t)=\begin{cases}\left(1-\sigma_0^{-2(n-k)}t^{2(n-k)}\right)y(t),&|t|<
\sigma_0,\\
0,&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$
Из теоремы~\ref{T4} вытекает, что оптимальный метод имеет вид \eqref{ss}, а
для его погрешности справедлива формула \eqref s.

Если $\sigma_0=\infty$ (при этом очевидно $\sigma=\infty$), то из
леммы~\ref{L1}, обозначив через $\wx\cd$ обратное преобразование функции $
\delta\cd$, будем иметь
\begin{multline*}
E(x^{(k)}\cd,C_\infty^n,I^{\delta\cd,\infty})\ge\sup_{\substack{x\cd\in C_
\infty^n\\|Fx(t)|\le\delta(t)\mbox{\scriptsize\ п.~в.}}}\|x^{(k)}\cd\|_{\lt
}\\
\ge\|\wx^{(k)}\cd\|_{\lt}=\sqrt{\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty t^{2k}
\delta^2(t)\,dt}.
\end{multline*}
С другой стороны, для метода \eqref{Me} имеем
\begin{multline*}
e(x^{(k)}\cd,C_\infty^n,I^{\delta\cd,\infty},\wv)=\sup_{\substack{x\cd\in C
_\infty^n,\ y\cd\in L_\infty(\mathbb R)\\|Fx(t)-y(t)|\le\delta(t)\mbox{
\scriptsize\ п.~в.}}}\|x^{(k)}\cd-\wv(y)\cd\|_{\lt}\\
=\sup_{\substack{x\cd\in C_\infty^n,\ y\cd\in L_\infty(\mathbb R)\\|Fx(t)-y
(t)|\le\delta(t)\mbox{\scriptsize\ п.~в.}}}\left(\frac1{2\pi}\int_{-\infty}
^\infty t^{2k}|Fx(t)-y(t)|^2\,dt\right)^{1/2}\\
\le\sqrt{\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty t^{2k}\delta^2(t)\,dt}.
\end{multline*}
\end{proof}

Из теоремы~\ref{T1}, в частности, вытекает, что если $\delta(t)\equiv\delta
>0$ и $\sigma=\infty$ (см. следствие~\ref{22}), то
$$\sup_{\substack{x\cd\in C_\infty^n\\|Fx(t)|\le\delta(t)\mbox{\scriptsize\
п.~в.}}}\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}=K(k,n,\infty)\delta^{\frac{2(n-k)}{2n+1}},$$
где константа $K(k,n,\infty)$ определена равенствами \eqref K. Отсюда
следует точное неравенство
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}\le K(k,n,\infty)\|Fx\cd\|_{L_\infty(\mathbb R)}^{
\frac{2(n-k)}{2n+1}}\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}^{\frac{2k+1}{2n+1}}.$$

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T2}$]
Снова запишем рассматриваемую задачу в терминах теоремы \ref{T4}. Здесь $T$
состоит из одной точки, скажем, $t=1$. Далее $X=X_2^n$ --- векторное
пространство с полускалярным произведением
$$\left(x_1\cd,x_2\cd\right)_{X_2^n}=\int_{\mathbb R}x_1^{(n)}(t)\ov{x_2^{(
n)}(t)}\,dt,$$
$Y_1=Y=L_2(\Ds)$, $Z=\lt$, $\Lambda x\cd=x^{(k)}\cd$, $BX=C_2^n$,
информационный оператор $I\colon X_2^n\to L_2(\Ds)$ определен равенством $I
x\cd=Fx\cd$ и $\delta(1)=\delta>0$. Функция $\mathcal L(x\cd,\lambda_1,
\lambda_2)$ из теоремы~\ref{T4} имеет здесь вид
$$\mathcal L(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}^2+\lambda_1
\int_{\Ds}|Fx(t)|^2\,dt+\lambda_2\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}^2.$$
Переходя к образам Фурье и обозначая $(2\pi)^{-1}|Fx\cd|^2=u\cd$, получим
$$\mathcal L(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}\left(-t^{2k}+2\pi
\lambda_1\chi_\sigma(t)+\lambda_2t^{2n}\right)u(t)\,dt,$$
где $\chi_\sigma\cd$ --- характеристическая функция интервала $\Ds$.

Положим
\begin{gather*}
\wl_1=\begin{cases}\dfrac1{2\pi}\left(\dfrac kn\right)^{\frac k{n-k}}\dfrac{n-k}n
\sigma_0^{2k},&k>0,\\[15pt]
\dfrac1{2\pi},&k=0,\end{cases}\quad\wl_2=\begin{cases}\sigma_0^{-2(n-k)},&k>0,\\
\sigma^{-2n},&k=0,\end{cases}\\
\wt=\begin{cases}\left(\dfrac kn\right)^{\frac1{2(n-k)}}\sigma_0,&k>0,\\[15pt]
0,&k=0.\end{cases}
\end{gather*}
Нетрудно проверить, что при всех $x\cd\in X_2^n$
$$\mathcal L(x\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$

Предположим сначала, что $k>0$ и $\sigma<\ws$ (в этом случае $\sigma_0=
\sigma$). Рассмотрим для достаточно больших $m$ последовательность функций
$$u_m(t)=\begin{cases} m\dfrac{\delta^2}{4\pi},&\wt\le|t|\le\wt+1/m,\\[15pt]
\dfrac{m-\sqrt m}{2\sigma^{2n}}\left(1-\dfrac{\delta^2}{2\pi}\wt^{2n}\right
),&\sigma\le|t|\le\sigma+1/m,\\[15pt]
0,&\mbox{в остальных случаях}.\end{cases}$$
Тогда
$$2\pi\int_{\Ds}u_m(t)\,dt=\delta^2,$$
\begin{multline*}
\int_{\mathbb R}t^{2n}u_m(t)\,dt=\frac{m\delta^2}{2\pi}\frac{(\wt+1/m)^{2n+
1}-\wt^{2n+1}}{2n+1}\\
+\dfrac{m-\sqrt m}{2\sigma^{2n}}\left(1-\dfrac{\delta^2}{2\pi}\wt^{2n}
\right)\frac{(\sigma+1/m)^{2n+1}-\sigma^{2n+1}}{2n+1}\stackrel{m\to\infty}{
\to}1.
\end{multline*}
Кроме того, при достаточно больших $m$
$$\int_{\mathbb R}t^{2n}u_m(t)\,dt<1-\left(1-\dfrac{\delta^2}{2\pi}\wt^{2n}
\right)\frac1{2\sqrt m}.$$
Отсюда следует, что для функций $x_m\cd$, являющихся обратным
преобразованием Фурье функций $\sqrt{2\pi u_m\cd}$, условие $(c)$
теоремы~\ref{T4} выполнено. Непосредственной проверкой можно убедиться, что
условие $(b)$ той же теоремы также выполнено.

Если $k>0$ и $\sigma\ge\ws$ или $k=0$, то следует рассмотреть функции
$$u_m(t)=\begin{cases}(m-\sqrt m)\delta^2/(4\pi),&\wt\le|t|\le\wt+1/m,\\
0,&\mbox{в остальных случаях}.\end{cases}$$

Задача \eqref{ext} для $y\cd\in\lt$ имеет вид
$$\wl_1\|Fx\cd-y\cd\|^2_{L_2(\Ds)}+\wl_2\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}\to\min,\quad x
\cd\in X_2^n.$$
С учетом теоремы Планшереля она может быть записана в виде
$$\wl_1\int_{\Ds}|Fx(t)-y(t)|^2\,dt+\frac{\wl_2}{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2n
}|Fx(t)|^2\,dt\to\min,\quad x\cd\in X_2^n.$$
Решением этой задачи является функция $\wx_y\cd$ такая, что при $k>0$
$$F\wx_y(t)=\begin{cases}\left(1+\dfrac n{n-k}\left(\dfrac nk\right)^{\frac k{n-k}
}\left(\dfrac t{\sigma_0}\right)^{2n}\right)^{-1}y(t),&|t|<\sigma,\\[15pt]
0,&|t|\ge\sigma,\end{cases}$$
а при $k=0$ ---
$$F\wx_y(t)=\begin{cases}\left(1+\left(\dfrac t\sigma\right)^{2n}\right)^{-1}y(t),
&|t|<\sigma,\\[15pt]
0,&|t|\ge\sigma.\end{cases}$$
Теперь доказываемая теорема вытекает из теоремы~\ref{T4}.
\end{proof}

Из теоремы~\ref{T2} вытекает, что
$$\sup_{\substack{x\cd\in C_2^n\\\|Fx\cd\|_{\lt}\le\delta}}\|x^{(k)}\cd\|_{
\lt}=\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}},$$
откуда следует точное неравенство
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\lt}\le\left(\frac1{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}}\|Fx\cd
\|_{\lt}^{\frac{n-k}n}\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}^{\frac kn}.$$

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T3}$]
Случаи $p=\infty,2$ вытекают из теорем~\ref{T1}, \ref{T2}. Будем считать,
что $2<p<\infty$. Рассмотрим экстремальную задачу
$$\|x^{(k)}\cd\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|Fx\cd\|^2_{\lp}\le\delta^2,\quad\|x^
{(n)}\cd\|^2_{\lt}\le1.$$
В образах Фурье, обозначив через $u\cd=(2\pi)^{-1}|Fx\cd|^2$, эту задачу
можно переписать в виде
\begin{multline}\label{44}
\int_{\mathbb R}t^{2k}u(t)\,dt\to\max,\quad\int_{\mathbb R}u^{p/2}(t)\,dt
\le\frac{\delta^p}{(2\pi)^{p/2}},\\
\int_{\mathbb R}t^{2n}u(t)\,dt\le1,\ u(t)\ge0.
\end{multline}
Свяжем с задачей \eqref{44} следующую функцию Лагранжа
$$\mathcal L(u\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}u(t)+\lambda
_1u^{p/2}(t)+\lambda_2t^{2n}u(t))\,dt.$$
Если мы найдем такую допустимую в \eqref{44} функция $\wu\cd$ и такие
множители Лагранжа $\wl_1,\wl_2\ge0$, что
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{u(t)\ge0}\mathcal L(u\cd,\wl_1,\wl_2)=\mathcal L(\wu\cd,\wl_
1,\wl_2),\\
(b)&\quad\wl_1\biggl(\int_{\mathbb R}u(t)^{p/2}\,dt-\frac{\delta^p}{(2\pi)^{p/2}}
\biggr)=0,\\
(c)&\quad\wl_2\biggl(\int_{\mathbb R}t^{2n}u(t)\,dt-1\biggr)=0,
\end{align*}
то $\wu\cd$ --- решение задачи \eqref{44}. Действительно, для любой
допустимой функции $u\cd$ имеем
\begin{multline*}
-\int_{\mathbb R}t^{2k}u(t)\,dt\ge-\int_{\mathbb R}t^{2k}u(t)\,dt+\wl_1
\biggl(\int_{\mathbb R}u(t)^{p/2}\,dt-\frac{\delta^p}{(2\pi)^{p/2}}\biggr)\\
+\wl_2\biggl(\int_{\mathbb R}t^{2n}u(t)\,dt-1\biggr)\ge-\int_{\mathbb R}t^{
2k}\wu(t)\,dt+\wl_1\biggl(\int_{\mathbb R}\wu(t)^{p/2}\,dt-\frac{\delta^p}{(2\pi)^{p/2}}\biggr)\\
+\wl_2\biggl(\int_{\mathbb R}t^{2n}\wu(t)\,dt-1\biggr)=-\int_{\mathbb R}t^{
2k}\wu(t)\,dt.
\end{multline*}

Положим $\wl_2=\sigma^{-2(n-k)}$, где параметр $\sigma>0$ определим позже.
Тогда для всех $u(t)\ge0$ и любого $\wl_1>0$
$$-t^{2k}u(t)+\lambda_1u^{p/2}(t)+\frac{t^{2n}}{\sigma^{2(n-k)}}u(t)\ge-t^{
2k}\wu(t)+\lambda_1\wu^{p/2}(t)+\frac{t^{2n}}{\sigma^{2(n-k)}}\wu(t),$$
где
$$\wu(t)=\begin{cases}\left(\dfrac2{p\wl_1}\left(t^{2k}-\dfrac{t^{2n}}{\sigma^{2(n
-k)}}\right)\right)^{\frac1{p/2-1}},&|t|\le\sigma,\\[15pt]
0,&|t|>\sigma.\end{cases}$$
Тем самым выполнено условие $(a)$. Выберем $\sigma$ и $\wl_1$ так, чтобы
удовлетворить условиям $(b)$ и $(c)$:
\begin{align*}
\left(\frac2{p\wl_1}\right)^{\frac{p/2}{p/2-1}}\int_{-\sigma}^\sigma\left(t
^{2k}-\dfrac{t^{2n}}{\sigma^{2(n-k)}}\right)^{\frac{p/2}{p/2-1}}\,dt&=\frac
{\delta^p}{(2\pi)^{p/2}},\\
\left(\frac2{p\wl_1}\right)^{\frac1{p/2-1}}\int_{-\sigma}^\sigma t^{2n}
\left(t^{2k}-\dfrac{t^{2n}}{\sigma^{2(n-k)}}\right)^{\frac1{p/2-1}}\,dt&=1.
\end{align*}
Сделав замену $t=\sigma y$ и выразив полученные интегралы через значение
бета-функции $B$, определенное равенством \eqref{B}, получим
\begin{align*}
\sigma^{\frac{pk}{p/2-1}+1}\left(\frac2{p\wl_1}\right)^{\frac{p/2}{p/2-1}}
\frac B{n-k}&=\frac{\delta^p}{(2\pi)^{p/2}},\\
\sigma^{\frac{2k}{p/2-1}+2n+1}\left(\frac2{p\wl_1}\right)^{\frac1{p/2-1}}
\frac{(k+1/2-1/p)B}{(n-k)^2}&=1.
\end{align*}
Отсюда
\begin{equation}\label{wl}
\left(\frac2{p\wl_1}\right)^{\frac1{p/2-1}}=\frac{(n-k)^2}{(k+1/2-1/p)B}
\sigma^{-\frac{2k}{p/2-1}-2n-1}
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{sig}
\sigma=\left(\frac{(2\pi)^{1/2}(n-k)^{1-1/p}}{\delta(k+1/2-1/p)^{1/2}B^{1/2
-1/p}}\right)^{\frac1{n+1/2-1/p}}.
\end{equation}
Учитывая \eqref{wl}, будем иметь
$$\int_{\mathbb R}t^{2k}\wu(t)\,dt=\frac{n+1/2-1/p}{k+1/2-1/p}\sigma^{-2(n-
k)}.$$
Подставив значение $\sigma$ из \eqref{sig}, получим, что при всех $2<p<
\infty$
$$\sup_{\substack{x\cd\in F_p^n\\\|Fx\cd\|_{\lp}\le\delta}}\|x^{(k)}\cd\|_{
\lt}=K\delta^{\frac{n-k}{n+1/2-1/p}}.$$
Из этого равенства непосредственно вытекает доказываемое точное неравенство
для производных.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Sm} {\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс., МГУ, М., 1965.

\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli
and T.~J.~Rivlin, eds.). Plenum Press, New York, 1977, pp.~1--54.

\bibitem{TW}{\it Traub J.~F., Wo\'zniakowski H.} A General Theory of
Optimal Algorithms. Academic Press, New York, 1980.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Math., Vol.~1129, Springer-Verlag, Berlin, 1985,
pp.~21--93.

\bibitem{Os} {\it Osipenko K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions,
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York, 2000.

\bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} О неравенствах для
производных колмогоровского типа. Матем. сб., {\bf188}. \No12. 73--106
(1997).

\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и
его приложения. Эдиториал УРСС, М., 2000.

\bibitem{MOT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю., Тихомиров~В.~М.}
Оптимальное восстановление и теория экстремума. Докл. РАН., {\bf379}. \No2.
161--164 (2001).

\bibitem{MM} {\it Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A.} Optimal estimation of
linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data. SIAM J. Numer.
Anal., {\bf16}. 87--105 (1979).

\bibitem{MO} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью. Матем. сб., {\bf193}. \No3. 79--100 (2002).

\bibitem{TM} {\it Тихомиров~В.~М., Магарил-Ильяев~Г.~Г.} Неравенства для
производных. В кн.: Избранные труды А.~Н.~Колмогорова. Математика и
механика. Наука, М., 1985, с.~386--390.

\bibitem{Ar} {\it Арестов~В.~В.} Приближение неограниченных операторов
ограниченными и родственные экстремальные задачи. УМН, {\bf51}. \No6.
89--124 (1996).


\end{thebibliography}

\end{document}