\documentclass[12pt,oneside,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} %\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} %\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr} %\usepackage{srctex} \tolerance 1800 \renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}} \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} %\newcommand*{\sj}{\sum_{j\in\mathbb N}} \newcommand*{\W}{F_p^n} \newcommand*{\WW}{\mathcal W_p^n} \newcommand*{\wu}{\widehat u} \newcommand*{\wv}{\widehat v} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\ws}{\widehat\sigma} \newcommand*{\wss}{\widehat s} \newcommand*{\wst}{\widetilde\sigma} \newcommand*{\wf}{\widehat f} \newcommand*{\wm}{\widehat m} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\LI}{L_2(I)} \newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\Ls}{L_2(\Ds)} \newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma} %\newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])} \newcommand*{\mL}{\mathcal L} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\wx}{\widehat x} \newcommand*{\whx}{\widehat x} \newcommand*{\wI}{\widetilde I} \newcommand*{\wy}{\widetilde y} \newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)} \newcommand*{\wa}{\widehat a} \newcommand*{\ox}{I^Nx} \newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}} \newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}} \newcommand*{\iT}{\int_T} \newcommand*{\iTn}{\int_{T_0}} \newcommand*{\iTnn}{\int_{T_1}} \newcommand*{\iD}{\int_{\Ds}} \newcommand*{\iRp}{\int_{\mathbb R_+}} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\lr}{L_r(T,\mu)} \newcommand*{\lp}{L_p(T,\mu)} \newcommand*{\Lp}{L_p(\mathbb R)} \newcommand*{\Lps}{L_p(\Ds)} \newcommand*{\lpj}{L_{p_j}(T_j,\mu)} \newcommand*{\lpn}{L_p(T_0,\mu)} \newcommand*{\lqq}{L_q(T,\mu)} \DeclareMathOperator*{\co}{co} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup} \begin{document} \title[Оптимальное восстановление в неевклидовых метриках]{Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках} \author{К.~Ю.~Осипенко} \begin{abstract} В работе рассматриваются задачи восстановления операторов по неточно заданной информации в неевклидовых метриках. Доказан ряд общих теорем, которые применяются к задачам восстановления функций и их производных по неточно заданному преобразованию Фурье. В некоторых случаях находится семейство оптимальных методов, из которого выбираются методы, использующие минимальный объем исходной информации. \end{abstract} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант \No13-01-12447)} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} \address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН} \maketitle \section*{Введение} Общая задача оптимального восстановления линейного оператора $\Lambda$, действующего из линейного пространства $X$ в линейное нормированное пространство $Z$, на множестве $W\subset X$ по неточно заданным значениям другого линейного оператора $I\colon X\to Y$, где $Y$ --- линейное нормированное пространство, может быть сформулирована, как задача о нахождении при фиксированном $\delta\ge0$, характеризующем погрешность задания исходной информации, величины \begin{equation}\label{E} E(\Lambda,W,I,\delta)=\inf_{m\colon Y\to Z}\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y\\\|Ix-y\|_Y\le\delta}}\|\Lambda x-m(y)\|_Z, \end{equation} называемой {\it погрешностью оптимального восстановления\/}, а также отображения (метода), на котором достигается нижняя грань в \eqref{E}, называемым {\it оптимальным методом восстановления\/}. В простейшем случае, когда $\Lambda$ --- линейный функционал, $Y$ --- конечномерное пространство и $\delta=0$, эта задача была поставлена С.~А.~Смоляком \cite{Sm}. Им же было доказано, что для выпуклого и центрально-симметричного множества $W$ среди оптимальных методов восстановления существует линейный. Этот результат и сама постановка задачи, опубликованные лишь в диссертации, не были широко доступны. Внимание к ним привлек Н.~C.~Бахвалов \cite{Ba}, который инициировал дальнейшие исследования в этом направлении, в результате чего были получены некоторые оптимальные методы восстановления для конкретных задач, а также обобщена исходная постановка на комплексный случай и случай задания исходной информации с погрешностью (см. \cite{O}--\cite{O1}). В дальнейшем обобщением исходной постановки было посвящено много работ (см. \cite{MR}--\cite{MT2}, а также бибиблиографию в этих работах). Окончательный, в определенном смысле, результат для линейных функционалов, а именно, необходимые и достаточные условия существования оптимального линейного метода, был получен в работе \cite{MO}. Довольно часто рассматривается ситуация, когда само множество $W$, на котором восстанавливается оператор $\Lambda$ также задается некоторым линейным оператором $$W=\{\,x\in X:\|I_1x\|_{Y_1}\le\delta_1\,\},$$ где $I_1\colon X\to Y_1$, а $Y_1$ --- линейное нормированное пространство. Общий результат, касающийся существования линейного оптимального метода для случая, когда $Y$, $Y_1$ и $Z$ --- гильбертовы пространства, был доказан в работе \cite{MM} и там же получены первые конкретные результаты о восстановлении линейных операторов. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах \cite{MO1}--\cite{O2}, где использовались подходы, основанные на общих принципах теории экстремума. Однако во всех этих работах существенно использовалась евклидовость рассматриваемых пространств. Настоящая работа посвящена задачам восстановления линейных операторов в неевклидовом случае. Первый пример (и единственный до недавнего времени) построения оптимального метода восстановления для такой ситуации был приведен в работе \cite[теорема 12]{MR} (далее, мы подробнее разберем этот пример и как следствие общих результатов получим для него целое семейство оптимальных методов). Другой пример построения оптимального метода в неевклидовом случае был получен в работе \cite{MO3}. В данной работе делается попытка получения ряда общих результатов о восстановлении линейных операторов в неевклидовом случае. \section{Общая постановка} Пусть $T$ --- некоторое непустое множество, $\Sigma$ --- $\sigma$-алгебра подмножеств $T$ и $\mu$ --- неотрицательная $\sigma$-аддитивная мера на $\Sigma$. Через $L_p(T,\Sigma,\mu)$ (или короче $\lp$) обозначается совокупность всех $\Sigma$-измеримых функций со значениями в $\mathbb R$ или $\mathbb C$, для которых %\begin{align*} $$\|x\cd\|_{\lp}=\begin{cases}\displaystyle\biggl(\int_T|x(t)|^p\,d\mu\biggr)^{1/p} <\infty,&1\le p<\infty,\\[10pt] \displaystyle\vraisup_{t\in T}|x(t)|<\infty,&p=\infty.\end{cases}$$ %\end{align*} Положим \begin{gather*} \mathcal W=\{\,x\cd\in\lp:\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}<\infty\,\},\\ W=\{\,x\cd\in\mathcal W:\|\varphi\cd x\cd\|_{\lr}\le1\,\}, \end{gather*} где $1\le p,r\le\infty$, а $\varphi\cd$ --- некоторая функция на $T$. Рассмотрим задачу восстановления оператора $\Lambda\colon\mathcal W\to L_q(T,\mu)$, $1\le q\le\infty$, задаваемого равенством $\Lambda x\cd=\psi\cd x\cd$, где $\psi\cd$ --- некоторая функция на $T$, на классе $W$ по функции $x\cd\in W$, известной с погрешностью на некотором подмножестве $T$ (несложно написать условия на функции $\varphi\cd$ и $\psi\cd$, при которых оператор $\Lambda$ будет отображать пространство $\mathcal W$ в $L_q(T,\mu)$, но мы не будем на этом останавливаться, считая, что соответствующие условия выполнены). Предполагается, что для каждой функции $x\cd\in W$ известна функция $y\cd\in\lpn$, $T_0\subset T$, такая, что $\|x\cd-y\cd\|_{\lpn}\le\delta$, $\delta\ge0$. Требуется по функции $y\cd$ восстановить $\Lambda x\cd$. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения $m\colon\lpn\to\lqq$. Погрешностью метода $m$ называется величина $$e_{pqr}(m)=\sup_{\substack{x\cd\in W,\ y\cd\in\lpn\\\|x\cd-y\cd\|_{\lpn}\le\delta}}\|\Lambda x\cd-m(y)\cd\|_{\lqq}.$$ Величина %\begin{equation}\label{pqr} $$E_{pqr}=\inf_{m\colon\lpn\to\lqq}e_{pqr}(m)$$ %\end{equation} называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным. Легко убедиться, что имеет место неравенство \begin{equation}\label{lb} E_{pqr}\ge\sup_{\substack{x\cd\in W\\\|x\cd\|_{\lpn}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}. \end{equation} Действительно, пусть $x\cd\in W$, $\|x\cd\|_{\lpn}\le\delta$, а $m\colon\lpn\to\lqq$ --- произвольный метод восстановления. Тогда в силу того, что $x\cd\in W$ и $-x\cd\in W$ имеем \begin{multline*} 2\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}\le\|\Lambda x\cd-m(0)\cd\|_{\lqq}\\ +\|-\Lambda x\cd-m(0)\cd\|_{\lqq}\le2e(p,q,r,m). \end{multline*} Отсюда следует, что для любого метода $m$ $$e_{pqr}(m)\ge\sup_{\substack{x\cd\in W\\\|x\cd\|_{\lpn}\le\delta}}\|\Lambda x\cd\|_{\lqq}.$$ Переходя к нижней грани в левой части по всем методам, получаем нужное неравенство. Для оценки снизу погрешности оптимального восстановления, вытекающей из неравенства \eqref{lb}, будет решаться экстремальная задача, возникающая в правой части этого неравенства. Приведем один простой результат (близкий к достаточным условиям в теореме Куна--Таккера), используемый для решения соответствующих экстремальных задач. Пусть $f_j\colon A\to\mathbb R$, $j=0,1,\ldots,n$, --- функции, определенные на некотором множестве $A$. Рассмотрим экстремальную задачу \begin{equation}\label{ex0} f_0(x)\to\max,\quad f_j(x)\le0,\quad j=1,\ldots,n,\quad x\in A, \end{equation} и ее функцию Лагранжа $$\mL(x,\lambda)=-f_0(x)+\sum_{j=1}^n\lambda_jf_j(x),\quad \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$ \begin{lemma}\label{L1} Пусть существуют $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,n$, и допустимый в задаче \eqref{ex0} элемент $\wx\in A$, для которых \begin{align*} (a)&\quad\min_{x\in A}\mL(x,\wl)=\mL(\wx,\wl),\quad\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_n),\\ (b)&\quad\sum_{j=1}^n\wl_jf_j(\wx)=0. \end{align*} Тогда $\wx$ --- экстремальный элемент в задаче \eqref{ex0}. \end{lemma} \begin{proof} Для любого допустимого в задаче \eqref{ex0} элемента $x\in A$ имеем $$-f_0(x)\ge\mL(x,\wl)\ge\mL(\wx,\wl)=f_0(\wx).$$ \end{proof} \section{Случай $r=q$} Рассмотрим случай, когда $1\le q0$. Предположим, что $\wl_2>0$ удовлетворяет условию \begin{multline}\label{aaa} \biggl(\iTn\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}\\ =\delta\biggl(\iTn|\varphi(t)|^q\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\right)_+^{\frac q{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/q}>0 \end{multline} $($от функций $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ будем требовать, чтобы указанные интегралы существовали$)$ и для почти всех $t\notin T_0$ \ $|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q\le0$. Тогда $$E_{pqq}=\left(\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2\right)^{1/q},$$ где %\begin{equation}\label{lam} $$\wl_1=\frac qp\delta^{q-p}\biggl(\iTn\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q \right)_+^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p},$$ %\end{equation} а метод \begin{equation}\label{met} \wm(y)(t)=\begin{cases}\psi(t)\left(1-\wl_2\dfrac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q} \right)_+ y(t),&t\in T_0,\\ 0,&t\notin T_0,\end{cases} \end{equation} является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} 1. Оценка снизу. Экстремальная задача в правой части \eqref{lb} (для удобства записи мы возводим ее в $q$-ую степень) имеет вид \begin{multline}\label{ex} \iT|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\quad\iTn|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\le1. \end{multline} Напишем функцию Лагранжа для этой задачи $$\mL(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L(x(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$ где $$L(x,\lambda_1,\lambda_2)=\begin{cases}-|\psi(t)x|^q+\lambda_1|x|^p+\lambda_2 |\varphi(t)x|^q,&t\in T_0,\\ -|\psi(t)x|^q+\lambda_2|\varphi(t)x|^q,&t\notin T_0.\end{cases}$$ Положим $$\wx(t)=\begin{cases}\left(\dfrac q{p\wl_1}\left(|\psi(t)|^q-\wl_2|\varphi(t)|^q \right)_+\right)^{\frac1{p-q}},&t\in T_0,\\ 0,&t\notin T_0.\end{cases}$$ Нетрудно убедиться, что при всех $x\cd$ $$L(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge L(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$ Тем самым $$\mL(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge\mL(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$ Из определения $\wl_1$ и $\wl_2$ вытекает справедливость равенств \begin{equation}\label{nez} \begin{aligned} \iTn|\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)&=1. \end{aligned} \end{equation} В силу леммы~\ref{L1} $\wx\cd$ является решением задачи \eqref{ex}. Тем самым значение этой задачи $$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t).$$ Интегрируя по $T$ равенство $$-q|\psi(t)\wx(t)|^q+ p\wl_1|\wx(t)|^p+q\wl_2|\varphi(t)\wx(t)|^q=0,$$ которое очевидным образом следует из определения $\wx\cd$, получаем $$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2.$$ Из \eqref{lb} вытекает, что $$E_{pqq}\ge\left(\frac pq\wl_1\delta^p+\wl_2\right)^{1/q}.$$ 2. Оценка сверху. Положим %\begin{equation}\label{meta} $$\alpha(t)=\begin{cases}\left(1-\lambda_2\dfrac{|\varphi(t)|^q}{|\psi(t)|^q} \right)_+ ,&t\in T_0,\\ 0,&t\notin T_0,\end{cases}$$ %\end{equation} Для оценки погрешности метода \eqref{met} надо найти значение следующей экстремальной задачи \begin{multline}\label{e21} \iTn|\psi(t)|^q|x(t)-\alpha(t)y(t)|^q\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\\ \iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^q \,d\mu(t)\le1. \end{multline} Задача \eqref{e21}, положив $z\cd=x\cd-y\cd$, переписывается в виде \begin{multline}\label{e31} \iTn|\psi(t)|^q|(1-\alpha(t))x(t)+\alpha(t)z(t)|^q\,d\mu(t)\\ +\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\\ \iTn|z(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)|^q|x(t)|^q \,d\mu(t)\le1. \end{multline} Значение этой задачи очевидно совпадает со значением задачи \begin{multline}\label{uv} \iT|\psi(t)|^q((1-\alpha(t))v(t)+\alpha(t)u(t))^q\,d\mu(t)\to\max,\\ \iTn u^p(t)\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)|^qv^q(t)\,d\mu(t)\le1,\\ u(t),v(t)\ge0,\ \mbox{для почти всех }t\in T. \end{multline} Выпишем функцию Лагранжа для этой задачи $$\mL_1(u\cd,v\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L_1(u(t),v(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$ где $$L_1(u,v,\lambda_1,\lambda_2)=\begin{cases}-|\psi(t)|^q((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^q&\\ \hspace{105pt}+\lambda_1u^p+\lambda_2|\varphi(t)|^qv^q,&t\in T_0,\\ -|\psi(t)|^qv^q+\lambda_2|\varphi(t)|^qv^q,& t\notin T_0.\end{cases}$$ Положим $\lambda_1=\wl_1$, $\lambda_2=\wl_2$. Тогда при $\alpha(t)>0$ $$\frac{\partial L_1}{\partial v}=q\wl_2|\psi(t)|^q(v^{q-1}-((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^{q-1}).$$ Следовательно, при $\alpha(t)>0$ и любом фиксированном $u>0$ функция $L_1(u,v,\wl_1,\wl_2)$ при $v\in(0,+\infty)$ достигает минимума для $v=u$. Если же $\alpha(t)=0$, то $L_1(u,v,\wl_1,\wl_2)\ge0$. Таким образом, имеем для всех $u(t),v(t)\ge0$ \begin{multline*} \mL_1(u\cd,v\cd,\wl_1,\wl_2)\ge\iTn L_1(u\cd,u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\=\iTn L(u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\ge\iTn L(\wx\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\ =\mL_1(\wx\cd,\wx\cd,\wl_1,\wl_2). \end{multline*} Учитывая \eqref{nez}, получаем, что функции $\wu\cd=\wv\cd=\wx\cd$ являются решением задачи \eqref{uv}. Следовательно, $$e^q_{pqq}(\wm)=\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\frac pq \wl_1\delta^p+\wl_2\le E^q_{pqq}.$$ Отсюда вытекает оптимальность метода $\wm$ и выражение для погрешности оптимального восстановления. \end{proof} \section{Случай $q=p$} Рассмотрим случай, когда $1\le p0$. Предположим, что $\wl_1>0$ удовлетворяет условию \begin{multline}\label{bbb} \biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/p}\\ =\delta\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac r{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{1/r}>0 \end{multline} $($от функций $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ будем требовать, чтобы указанные интегралы существовали$)$. Тогда $$E_{ppr}=\left(\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\right)^{1/p},$$ где %\begin{equation}\label{lam} $$\wl_2=\frac pr\delta^{p-r}\biggl(\iT|\varphi(t)|^{\frac{pr}{p-r}}\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+^{\frac p{r-p}}\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{r-p}p},$$ %\end{equation} а метод \begin{equation}\label{met1} \wm(y)(t)=\psi(t)\alpha(t)y(t), \end{equation} где $$\alpha(t)=1-\left(1-\dfrac{\lambda_0}{|\psi(t)|^p}\right)_+.$$ является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} Схема доказательства здесь во многом аналогична доказательству предыдущей теоремы. 1. Оценка снизу. Экстремальная задача в правой части \eqref{lb} (для удобства записи мы возводим ее в $p$-ую степень) имеет вид \begin{multline}\label{ex1} \iT|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\quad\iT|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)x(t)|^r\,d\mu(t)\le1. \end{multline} Напишем функцию Лагранжа для этой задачи $$\mL(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L(x(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$ где $$L(x,\lambda_1,\lambda_2)=-|\psi(t)x|^p+\lambda_1|x|^p+\lambda_2 |\varphi(t)x|^r.$$ Положим $$\wx(t)=\left(\dfrac{ p\left(|\psi(t)|^p-\wl_1\right)_+}{r\wl_2|\varphi(t)|^r}\right)^{\frac1{r-p}}.$$ Нетрудно убедиться, что при всех $x\cd$ $$L(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge L(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$ Тем самым $$\mL(x(t),\wl_1,\wl_2)\ge\mL(\wx(t),\wl_1,\wl_2).$$ В силу определения $\wl_1$ и $\wl_2$ справедливы равенства \begin{equation}\label{nez1} \begin{aligned} \iT|\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)\wx(t)|^r\,d\mu(t)&=1. \end{aligned} \end{equation} В силу леммы~\ref{L1} $\wx\cd$ является решением задачи \eqref{ex1}. Тем самым значение этой задачи $$\iT|\psi(t)\wx(t)|^p\,d\mu(t).$$ Интегрируя по $T$ равенство $$-p|\psi(t)\wx(t)|^q+ p\wl_1|\wx(t)|^p+r\wl_2|\varphi(t)\wx(t)|^r=0,$$ которое очевидным образом следует из определения $\wx\cd$, получаем $$\iT|\psi(t)\wx(t)|^p\,d\mu(t)=\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2.$$ Из \eqref{lb} вытекает, что $$E_{ppr}\ge\left(\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\right)^{1/p}.$$ 2. Оценка сверху. Для оценки погрешности метода \eqref{met1} надо найти значение следующей экстремальной задачи \begin{multline}\label{e22} \iT|\psi(t)|^p|x(t)-\alpha(t)y(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\ \iT|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^r \,d\mu(t)\le1. \end{multline} Задача \eqref{e22}, положив $z\cd=x\cd-y\cd$, переписывается в виде \begin{multline}\label{e32} \iT|\psi(t)|^p|(1-\alpha(t))x(t)+\alpha(t)z(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\ \iT|z(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^r \,d\mu(t)\le1. \end{multline} Значение этой задачи совпадает со значением задачи \begin{multline}\label{uv2} \iT|\psi(t)|^p((1-\alpha(t))v(t)+\alpha(t)u(t))^p\,d\mu(t)\to\max,\\ \iT u^p(t)\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)|^rv^r(t)\,d\mu(t)\le1,\\ u(t),v(t)\ge0,\ \mbox{для почти всех }t\in T. \end{multline} Выпишем функцию Лагранжа для этой задачи $$\mL_1(u\cd,v\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\iT L_1(u(t),v(t),\lambda_1,\lambda_2)\,d\mu(t),$$ где $$L_1(u,v,\lambda_1,\lambda_2)=-|\psi(t)|^p((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^p+\lambda_1u^p +\lambda_2|\varphi(t)|^rv^r.$$ Положим $\lambda_1=\wl_1$, $\lambda_2=\wl_2$. Тогда при $|\psi(t)|^p>\wl_1$ $$\frac{\partial L_1}{\partial u}=p\wl_1(u^{p-1}-((1-\alpha(t))v+\alpha(t)u)^{p-1}).$$ Следовательно, при $|\psi(t)|^p>\wl_1$ и любом фиксированном $v>0$ функция $L_1(u,v,\wl_1,\wl_2)$ при $u\in(0,+\infty)$ достигает минимума для $u=v$. Если же $|\psi(t)|^p\le\wl_1$, то $\alpha(t)=1$ и $L_1(u,v)\ge0$. Положим $T_1=\{t\in T:|\psi(t)|^p>\wl_1\}$. Тогда для всех $u(t),v(t)\ge0$ \begin{multline*} \mL_1(u\cd,v\cd,\wl_1,\wl_2)\ge\iTnn L_1(u\cd,u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\=\iTnn L(u\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\ge\iTnn L(\wx\cd,\wl_1,\wl_2)\,d\mu(t)\\ =\mL_1(\wx\cd,\wx\cd,\wl_1,\wl_2). \end{multline*} Учитывая \eqref{nez1}, получаем, что функции $\wu\cd=\wv\cd=\wx\cd$ являются решением задачи \eqref{uv2}. Следовательно, $$e^p_{ppr}(\wm)=\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\wl_1\delta^p+\frac rp\wl_2\le E^p_{ppr}.$$ Отсюда вытекает оптимальность метода $\wm$ и выражение для погрешности оптимального восстановления. \end{proof} \section{Случай $r=p$} Рассмотрим случай, когда $1\le q0$. Предположим, что $\wl_2>0$ удовлетворяет условию \begin{multline}\label{aaa3} \iTn\left(\frac{|\psi(t)|^q}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\\ =\delta^p\iT|\varphi(t)|^p\left(\frac{|\psi(t)|^q}{\chi_0(t)+\wl_2 |\varphi(t)|^p}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)>0 \end{multline} $($от функций $\varphi\cd$ и $\psi\cd$ будем требовать, чтобы указанные интегралы существовали$)$. Тогда $$E_{pqp}=\left(\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2\right)^{1/q},$$ где %\begin{equation}\label{lam} $$\lambda_1=\delta^{q-p}\left(\iTn\left(\frac{|\psi(t)|^q}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p} \right)^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\right)^{\frac{p-q}p},$$ %\end{equation} а метод %\begin{equation}\label{met} $$\wm(y)(t)=\begin{cases}\dfrac{\psi(t)}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}y(t),&t\in T_0,\\ 0,&t\notin T_0,\end{cases}$$ %\end{equation} является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} 1. Оценка снизу. Экстремальная задача в правой части \eqref{lb} (как и в предыдущих случаях, для удобства мы возводим ее в $q$-ую степень) имеет вид \begin{multline}\label{ex2} \iT|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\quad\iTn|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le1. \end{multline} Положим $$\wx(t)=\wl_1^{-\frac1{p-q}}\left(\frac{|\psi(t)|^q}{\chi_0(t) +\wl_2|\varphi(t)|^p}\right)^{\frac1{p-q}}.$$ В силу определения $\wl_1$ и $\wl_2$ нетрудно убедиться, что для $\wx\cd$ справедливы равенства \begin{align*} \iTn|\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)\wx(t)|^p\,d\mu(t)&=1. \end{align*} Следовательно, $\wx\cd$ является допустимой функцией в задаче \eqref{ex2}. Тем самым значение этой задачи не менее, чем $$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t).$$ Интегрируя по $T$ равенство $$|\psi(t)\wx(t)|^q=\wl_1|\wx(t)|^p\chi_0(t)+\wl_1\wl_2|\varphi(t)\wx(t)|^p,$$ которое очевидным образом следует из определения $\wx\cd$, получаем $$\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)=\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2.$$ Из \eqref{lb} вытекает, что $$E_{pqp}\ge\left(\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2\right)^{1/q}.$$ 2. Оценка сверху. Будем искать оптимальный метод восстановления в виде %\begin{equation}\label{meta} $$\wm(y)\cd=\alpha\cd y\cd.$$ %\end{equation} Для оценки погрешности такого метода надо найти значение следующей экстремальной задачи \begin{multline}\label{e2} \iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)y(t)|^q\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\\ \iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^p \,d\mu(t)\le1. \end{multline} По неравенству Гельдера имеем \begin{multline}\label{hh} |(\psi(t)-\alpha(t))x(t)+\alpha(t)(x(t)-y(t))|^q\\ \le h(t)\left(\wl_2|\varphi(t)x(t)|^p+|x(t)-y(t)|^p\right)^{q/p},\\ h(t)=\left(\frac{|\psi(t)-\alpha(t)|^{p'}}{\wl_2^{p'/p}|\varphi(t)|^{p'}}+ |\alpha(t)|^{p'} \right)^{q/p'},\quad \frac1p+\frac1{p'}=1. \end{multline} Следовательно, значение задачи \eqref{e2} оценивается величиной \begin{equation}\label{int} \iT f(t)g(t)\,d\mu(t), \end{equation} где \begin{align*} f(t)&=\begin{cases}h(t),&t\in T_0,\\[15pt] \dfrac{|\psi(t)|^q}{\wl_2^{q/p}|\varphi(t)|^q},&t\in T\setminus T_0,\end{cases}\\ g(t)&=\begin{cases}\left(\wl_2|\varphi(t)x(t)|^p+|z(t)|^p\right)^{q/p},&t\in T_0,\\[10pt] \wl_2^{q/p}|\varphi(t)x(t)|^q,&t\in T\setminus T_0,\end{cases}. \end{align*} Положим $$\alpha(t)=\frac{\psi(t)}{1+\wl_2|\varphi(t)|^p}.$$ Тогда $$f(t)=\frac{|\psi(t)|^q}{(\chi_0(t)+\wl_2|\varphi(t)|^p)^{q/p}}.$$ Применяя к \eqref{int} неравенство Гельдера, получаем оценку $$\left(\iT|f(t)|^{s'}\,d\mu(t)\right)^{1/s'}\left(\iT|g(t)|^s\,d\mu(t)\right)^{1/s},$$ где $1/s+1/s'=1$. Взяв $s=p/q$, будем иметь для этой оценки \begin{multline*} \left(\iT|f(t)|^{\frac p{p-q}}\,d\mu(t)\right)^{\frac{p-q}p}\left(\iT|g(t)|^{p/q}\,d\mu(t)\right)^{q/p}\\ \le(\delta^p+\wl_2)^{q/p}\biggl(\iT\frac{|\psi(t)|^{\frac{qp}{p-q}}} {(\chi_0(t)+\wl_2|\varphi(t)|^p)^{\frac q{p-q}}} \,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p}\\ =(\wl_1\delta^p+\wl_1\lambda_2)^{q/p} \biggl(\iT|\psi(t)\wx(t)|^q\,d\mu(t)\biggr)^{\frac{p-q}p}=\wl_1\delta^p+\wl_1 \wl_2. \end{multline*} Отсюда $$e^q_{pqp}(\wm)\le\wl_1\delta^p+\wl_1\wl_2\le E^q_{pqp}.$$ \end{proof} \section{Случай $r=q=p$} Рассмотрим случай, когда $1\le p<\infty$, $r=q=p$. \begin{theorem}\label{T4} Пусть $1\le p<\infty$. Предположим, что существуют такие $\lambda_1,\lambda_2\ge0$, что значение экстремальной задачи \begin{multline}\label{aaa4} \iT|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\quad\iTn|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\ \iT|\varphi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\le1, \end{multline} не меньше, чем $\lambda_1\delta^p+\lambda_2$, и при почти всех $t\in T$ выполнено неравенство \begin{equation}\label{inp} -|\psi(t)|^p+\lambda_1\chi_0(t)+\lambda_2|\varphi(t)|^p\ge0, \end{equation} где $\chi_0\cd$ --- характеристическая функция множества $T_0$. Тогда $$E_{ppp}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p},$$ а все методы \begin{equation}\label{metp} \wm(y)\cd=\begin{cases}\alpha\cd y\cd,&t\in T_0,\\ 0,&t\notin T_0,\end{cases} \end{equation} в которых $\alpha\cd$ почти для всех $t\in T_0$ при $\delta>0$, $\lambda_1,\lambda_2>0$, удовлетворяют условию \begin{equation}\label{condp} \begin{cases}\dfrac{|\psi(t)-\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_2^{p'/p} |\varphi(t)|^{p'}}+ \dfrac{|\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}}\le1,&10$ и $\lambda_1\lambda_2>0$. Для оценки методов вида \eqref{metp} рассмотрим экстремальную задачу \begin{multline}\label{e2p} \iTn|\psi(t)x(t)-\alpha(t)y(t)|^p\,d\mu(t)+\int_{T\setminus T_0}|\psi(t)x(t)|^p\,d\mu(t)\to\max,\\ \iTn|x(t)-y(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\quad\iT|\varphi(t)x(t)|^p \,d\mu(t)\le1. \end{multline} Аналогично \eqref{hh} имеем \begin{multline*}%\label{hh} |(\psi(t)-\alpha(t)x(t)+\alpha(t)(x(t)-y(t))|^p\\ \le h_p(t)\left(\lambda_2|\varphi(t)x(t)|^p+\lambda_1|x(t)-y(t)|^p\right), \end{multline*} где $$h_p(t)=\begin{cases}\left(\dfrac{|\psi(t)-\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_2^{p'/p}| \varphi(t)|^{p'}}+\dfrac{|\alpha(t)|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}} \right)^{p/p'},&10$, $\lambda_1,\lambda_2>0$, методы $$\wm(y)(t)=\begin{cases}\psi(t)y(t),&t\in T^1,\\ \alpha(t)y(t),&t\in T_0\setminus(T^1\cup T^0),\\ 0,&t\in T^0\cup(T\setminus T_0),\end{cases}$$ где $\alpha\cd$ удовлетворяют условиям \eqref{condp} являются оптимальными. При $\delta=0$ методы $$\wm(y)(t)=\begin{cases}\psi(t)y(t),&t\in T_0\setminus T^0,\\ 0,&t\in T^0\cup(T\setminus T_0),\end{cases}$$ являются оптимальными. \end{corollary} Из следствия~\ref{K1} вытекает, что существуют оптимальные методы, которые используют неточно заданную информацию только на множестве $T_0\setminus T^0$. Иными словами, информация на множестве $T^0$ оказывается лишней в том смысле, что не уменьшает погрешность оптимального восстановления. \section{Оптимальное восстановление функций по неточно заданному преобразованию Фурье} Пусть $S$ --- пространство Шварца быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на $\mathbb R$, $S'$ --- соответствующее пространство обобщенных функций, $F\colon S'\to S'$ --- преобразование Фурье. Обозначим через $\mathcal F_p$ пространство обобщенных функций из $S'$, для которых $$\|x\cd\|_p=\begin{cases}\displaystyle\left(\iR|Fx(\xi)|^p\,d\xi\right)^{1/p} <\infty,&1\le p<\infty,\\ \displaystyle\vraisup_{\xi\in\mathbb R}|Fx(\xi)|,&p=\infty.\end{cases}$$ Положим \begin{gather*} \mathcal F_p^n=\{\,x\cd\in S':\|x^{(n)}\cd\|_p<\infty\,\},\\ F_p^n=\{\,x\in\mathcal F^n_p:\|x^{(n)}\cd\|_p\le1\,\}. \end{gather*} Допустим, что для функции $x\cd\in F_r^n\cap\mathcal F_p$ известно на интервале $\Ds=(-\sigma,\sigma)$, $0<\sigma\le\infty$, ее преобразование Фурье с точностью до $\delta\ge0$ в метрике $\Lps$, т.~е. известна функция $y\cd\in\Lps$ такая, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lps}\le\delta$. Как наилучшим образом воспользоваться этой информацией, чтобы для $0\le k0$. Положим $$B=B\left(\frac{k+1/q-1/p}{(n-k)(1-q/p)},\frac{2-q/p}{1-q/p}\right),$$ где $B(\cdot,\cdot)$ --- $B$-функция Эйлера, и $$\ws_\delta=\left(\left(\frac q{2B}\right)^{1/q-1/p}\frac{(n-k)^{2/q-1/p}}{\delta(k+1/q-1/p)^{1/q}}\right) ^{\frac1{n+1/q-1/p}}.$$ \begin{theorem} Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k0$ и $\sigma\ge\ws_\delta$. Тогда $$E_{pqq}=\left(\frac{n+1/q-1/p}{k+1/q-1/p}\right)^{\frac1q}\ws_\delta^{-(n-k)},$$ а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где $$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^k\left(1-\left(|\xi|/\ws_\delta \right)^{q(n-k)}\right)y(\xi),&|\xi|<\ws_\delta,\\ 0,&|\xi|\ge\ws_\delta,\end{cases}$$ является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим уравнение \eqref{aaa}, в котором положим $\wl_2=s^{-q(n-k)}$, где параметр $s\le\sigma$ определим позже. Имеем \begin{multline*}%\label{aaa} \biggl(\int_{-s}^s\left(|\xi|^{kq}-\frac{|\xi|^{nq}}{s^{q(n-k)}}\right)^ {\frac p{p-q}}\,d\xi\biggr)^{1/p}\\ =\delta\biggl(\int_{-s}^s|\xi|^{nq}\left(|\xi|^{kq}-\frac{|\xi|^{nq}} {s^{q(n-k)}}\right)^{\frac q{p-q}}\,d\xi\biggr)^{1/q}. \end{multline*} Сделав замену $\xi=su$, получим уравнение \begin{multline*}%\label{aaa} 2^{\frac1p}s^{\frac1p}\biggl(\int_0^1u^{\frac{kpq}{p-q}}\left(1-u^{q(n-k)}\right)^ {\frac p{p-q}}\,du\biggr)^{1/p}\\ =2^{\frac1q}s^{\frac1q+n}\biggl(\int_0^1u^{nq+\frac{kq^2}{p-q}}\left(1-u^{q(n-k)} \right)^{\frac q{p-q}}\,du\biggr)^{1/q}. \end{multline*} Чтобы перейти к $B$-функциям, сделаем замену $t=u^{(n-k)q}$. Получаем \begin{multline*}%\label{aaa} \left(\frac{2s}{q(n-k)}\right)^{\frac1p}B^{1/p}\left(\frac{k+1/q-1/p}{(n-k)(1-q/p)}, \frac{2-q/p}{1-q/p}\right)\\ =\delta s^n\left(\frac{2s}{q(n-k)}\right)^{\frac1q}B^{1/q}\left(\frac{k+1/q-1/p} {(n-k)(1-q/p)}+1,\frac{2-q/p}{1-q/p}-1\right). \end{multline*} Пользуясь известным равенством $$B(a+1,b-1)=\frac a{b-1}B(a,b),$$ находим, что $s=\ws_\delta$. Далее применяем теорему~\ref{T1}. \end{proof} Отметим, что случай, когда $\sigma<\ws_\delta$, требует более тонкого исследования. При $q=2$ оно было проведено в работе \cite{MO3}, в которой также содержится утверждение доказанной теоремы для $q=2$. Пусть теперь $1\le p=q0$. Положим $$\wss_\delta=\left(\left(\frac {2B_1}p\right)^{1/p-1/r}\frac{(n-k-1/p+1/r)^{1/p}}{\delta k^{2/p-1/r}}\right) ^{\frac1{n-1/p+1/r}},$$ где $$B_1=B\left(\frac{n-k-1/p+1/r}{k(1-p/r)},\frac{2-p/r}{1-p/r}\right).$$ \begin{theorem} Пусть $k,n\in\mathbb N$, $1\le k0$. Тогда $$E_{ppr}=\left(\frac{n-1/p+1/r}{n-k-1/p+1/r}\right)^{\frac1p}\wss_\delta^k\delta,$$ а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где $$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^ky(\xi),&|\xi|<\wss_\delta,\\ (i\xi)^k\left(\wss_\delta/|\xi|\right)^{kp}y(\xi),&|\xi|\ge\wss_\delta, \end{cases}$$ является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим уравнение \eqref{bbb}, в котором положим $\wl_1=s^{kp}$, где параметр $s$ определим позже. Имеем \begin{multline*}%\label{aaa} \biggl(\int_{|\xi|\ge s}|\xi|^{\frac{npr}{p-r}}\left(|\xi|^{kp}-s^{kp}\right)^ {\frac p{r-p}}\,d\xi\biggr)^{1/p}\\ =\delta\biggl(\int_{|\xi|\ge s}|\xi|^{\frac{npr}{p-r}}\left(|\xi|^{kp}-s^{kp}\right)^ {\frac r{r-p}}\,d\xi\biggr)^{1/r}. \end{multline*} Сделав замену $\xi=s/u$, получим уравнение \begin{multline*}%\label{aaa} 2^{\frac1p}s^{\frac1p}\biggl(\int_0^1u^{\frac{pr(n-k)}{r-p}+kp-2}\left(1-u^{kp}\right)^ {\frac p{r-p}}\,du\biggr)^{1/p}\\ =2^{\frac1r}s^{\frac1r+n}\biggl(\int_0^1u^{\frac{pr(n-k)}{r-p}-2}\left(1-u^{kp}\right)^ {\frac r{r-p}}\,du\biggr)^{1/r}. \end{multline*} Чтобы перейти к $B$-функциям, сделаем замену $t=u^{kp}$. Получаем \begin{multline*}%\label{aaa} \left(\frac{2s}{kp}\right)^{\frac1p}B^{1/p} \left(\frac{n-k-1/p+1/r}{k(1-p/r)}+1,\frac{2-p/r}{1-p/r}-1\right)\\ =\delta s^n\left(\frac{2s}{kp}\right)^{\frac1r}B^{1/r} \left(\frac{n-k-1/p+1/r}{k(1-p/r)},\frac{2-p/r}{1-p/r}\right). \end{multline*} Отсюда $s=\wss_\delta$. Остается воспользоваться теоремой~\ref{T2}. \end{proof} Рассмотрим случай, когда $1\le q0$ и $\wa$ удовлетворяет равенству \begin{multline*}%\label{aaa} \int_0^\sigma(1-\delta^p\xi^{np})\left(\frac{\xi^{kq}}{\wa+\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi\\ =\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}. \end{multline*} Тогда $$E_{pqp}=\biggl(2\int_0^\sigma\frac{\xi^{\frac{kpq}{p-q}}}{(1+\wa\xi^{np})^{\frac p{p-q}}}\,dt\biggr)^{1/q-1/p}(\wa+\delta^{-p})^{1/q}\delta,$$ а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где $$Y_y(\xi)=\begin{cases}\dfrac{\wa(i\xi)^k}{\wa+|\xi|^{np}}y(\xi),&|\xi|<\sigma,\\ 0,&|\xi|\ge\sigma, \end{cases}$$ является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} Уравнение \eqref{aaa3} для рассматриваемого случая будет иметь вид \begin{multline*}%\label{aaa} \int_0^\sigma\left(\frac{\xi^{kq}}{1+\wl_2\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi =\delta^p\int_0^\sigma\xi^{np}\left(\frac{\xi^{kq}}{1+\wl_2\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi\\ +\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\wl_2^{\frac p{p-q}}\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}. \end{multline*} Положив $a=\wl_2^{-1}$, получим уравнение $f(a)=0$, где \begin{multline*}%\label{aaa} f(a)=\int_0^\sigma(1-\delta^p\xi^{np})\left(\frac{\xi^{kq}}{a+\xi^{np}}\right)^{\frac p{p-q}}\,d\xi\\ -\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}. \end{multline*} Нетрудно убедиться, что $f(a)\to+\infty$ при $a\to0$ и $$f(a)\to-\frac{\delta^p(1/q-1/p)}{\sigma^{\frac{n-k-1/q+1/p}{1/q-1/p}}(n-k-1/q+1/p)}$$ при $a\to+\infty$. В силу непрерывности функции $\cd$ существует значение $\wa>0$, для которого $f(\wa)=0$. Далее применяется теорема~\ref{T3}. \end{proof} При $\sigma=+\infty$ можно явно решить уравнение \eqref{aaa3}. В этом случае имеет место следующее утверждение. \begin{theorem} Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k0$ и $\sigma=+\infty$. Тогда $$E_{pqp}=\left(\frac n{n-K}\right)^{1/q}\left(\frac{2B_2}{np}\right)^{1/q-1/p}\left(\frac{n-K}K\right)^{\frac K{np}}\delta^{1-K/n},$$ где $$K=k+\frac1q-\frac1p,\quad B_2=B\left(\frac{\dfrac Knq/p}{1-q/p},\frac{1-\dfrac Knq/p}{1-q/p}\right),$$ а метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где $$Y_y(\xi)=\frac{(i\xi)^k}{1+\dfrac K{n-K}\delta^p|\xi|^{np}}y(\xi),$$ является оптимальным. \end{theorem} Рассмотрим, наконец, случай, когда $10,\\[10pt] +\infty,&\delta=0,\end{cases}\\ \lambda_1=\begin{cases}\dfrac{n-k}n\delta^{-pk/n},&\sigma\ge\ws,\\ \sigma^{kp}\left(\dfrac kn\right)^{\frac k{n-k}}\dfrac{n-k}n,&\sigma<\ws\end{cases}\quad\lambda_2= \begin{cases}\dfrac kn\delta^{p(n-k)/n},&\sigma\ge\ws,\\[10pt] \sigma^{-p(n-k)},&\sigma<\ws.\end{cases} \end{gather*} При $k=0$ положим $\lambda_1=1$, $$\lambda_2=\begin{cases}\sigma^{-pn},&\sigma<+\infty,\\ 0,&\sigma=+\infty\end{cases}.$$ \begin{theorem} Пусть $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k0$, $\lambda_2>0$, удовлетворяют условию \begin{equation}\label{condp1} \begin{cases}\dfrac{|(i\xi)^k-\alpha(\xi)|^{p'}}{\lambda_2^{p'/p} |\xi|^{p'n}}+ \dfrac{|\alpha(\xi)|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}}\le1,&10$. Касательная к этой кривой в точке $u=\delta^{-p}$ имеет вид $v=\lambda_1+\lambda_2u$, где $$\lambda_1=\frac{n-k}n\delta^{-pk/n},\quad\lambda_2=\frac kn\delta^{p(n-k)/n}.$$ В силу вогнутости кривой \eqref{uv3} для всех $\xi\in\mathbb R$ $$-|\xi|^{kp}+\lambda_1+\lambda_2|\xi|^{np}\ge0.$$ Если $\sigma\ge\ws$, то для всех $\xi\in\mathbb R$ \begin{equation}\label{ab} -|\xi|^{kp}+\lambda_1\chi_\sigma(\xi)+\lambda_2|\xi|^{np}\ge0, \end{equation} где $\chi_\sigma\cd$ --- характеристическая функция $\Delta_\sigma$. Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon>0$ функцию $x_\varepsilon\cd$ такую, что $$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}\delta/\varepsilon^{1/p},&\xi\in\left(\delta^{-1/n} -\varepsilon,\delta^{-1/n}\right),\\ 0,&\xi\notin\left(\delta^{-1/n} -\varepsilon,\delta^{-1/n}\right).\end{cases}$$ Тогда %\begin{equation}\label{xe} $$\iD|Fx_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p,$$ %\end{equation} а $$\iR|\xi|^{np}|Fx_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}{\varepsilon} \int_{\delta^{-1/n} -\varepsilon}^{\delta^{-1/n}}\xi^{np}\,d\xi\le1.$$ Таким образом, функция $x_\varepsilon\cd$ является допустимой в \eqref{aaa5} и, следовательно, $$E^p_{ppp}\ge\iR|\xi|^{kp}|Fx_\varepsilon(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}{\varepsilon} \int_{\delta^{-1/n} -\varepsilon}^{\delta^{-1/n}}\xi^{kp}\,d\xi.$$ Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем $$E_{ppp}\ge\delta^{1-k/n}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$ Если $k\ge1$, $\delta\ge0$ и $\sigma<\ws$, проведем касательную к кривой \eqref{uv3} в точке $$u=\sigma^{np}\left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}.$$ Она будет иметь вид $v=\lambda_1+\lambda_2v$, где $$\lambda_1=\sigma^{kp}\left(\frac kn\right)^{\frac k{n-k}}\frac{n-k}n,\quad\lambda_2=\sigma^{-p(n-k)}.$$ В силу вогнутости кривой \eqref{uv3} и того, что при $|\xi|>\sigma$ \ $\lambda_2|\xi|^{pn}>\lambda_2|\xi|^{pk}$, неравенство \eqref{ab} (с новыми $\lambda_1$ и $\lambda_2$) выполнено. Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ функцию $x_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\cd$ такую, что $$Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)=\begin{cases}\delta/\varepsilon_1^{1/p}, &\xi\in(\xi_0,\xi_0+\varepsilon_1),\\ c^{1/p},&\xi\in(\sigma,\sigma+\varepsilon_2),\\ 0,&\xi\notin(\xi_0,\xi_0+\varepsilon_1)\cup(\sigma,\sigma+\varepsilon_2),\end{cases}$$ где $$\xi_0=\sigma\left(\frac kn\right)^{\frac1{p(n-k)}},$$ а число $c$ определим позже. Тогда $$\iD|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p,$$ а $$\iR|\xi|^{np}|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p} {\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+\varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi+ c\int_\sigma^{\sigma+\varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi.$$ При $\varepsilon_1\to0$ и $\delta>0$ $$\frac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+ \varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi\to\delta^p\xi_0^{np}=\delta^p\sigma^{np} \left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}<\delta^p\ws^{np} \left(\frac kn\right)^{\frac n{n-k}}=1.$$ Поэтому при $\delta\ge0$, положив $$c=\frac{1-\dfrac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+ \varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi}{\int_\sigma^{\sigma+ \varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi},$$ получим, что $$\iR|\xi|^{np}|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi=1.$$ Тем самым функция $x_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\cd$ является допустимой в \eqref{aaa5} и, следовательно, \begin{multline*} E^p_{ppp}\ge\iR|\xi|^{kp}|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi= \frac{\delta^p} {\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+\varepsilon_1}\xi^{kp}\,d\xi\\ +\left(1-\dfrac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_{\xi_0}^{\xi_0+ \varepsilon_1}\xi^{np}\,d\xi\right)\frac{\int_\sigma^{\sigma+ \varepsilon_2}\xi^{kp}\,d\xi}{\int_\sigma^{\sigma+ \varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi}. \end{multline*} Устремляя $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ к нулю, получаем $$E_{ppp}\ge(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$ Пусть $k=0$ и $\sigma<+\infty$. Тогда $\lambda_1=1$, $\lambda_2=\sigma^{-pn}$. Легко проверить, что неравенство \eqref{ab} выполняется и в этом случае. Рассмотрев ту же функцию $x_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$ (c $\xi_0=0$), несложно показать, что она допустима в задаче \eqref{aaa5}. Поэтому \begin{multline*} E^p_{ppp}\ge\iR|Fx_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}(\xi)|^p\,d\xi= \delta^p+\left(1-\dfrac{\delta^p}{\varepsilon_1}\int_0^{\varepsilon_1}\xi^{np}\, d\xi\right)\frac{\varepsilon_2}{\int_\sigma^{\sigma+ \varepsilon_2}\xi^{np}\,d\xi}. \end{multline*} Устремляя $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ к нулю, получаем $$E_{ppp}\ge(\delta^p+\sigma^{-pn})^{1/p}=(\lambda_1\delta^p+\lambda_2)^{1/p}.$$ Остается рассмотреть случай, когда $k=0$, и $\sigma=+\infty$. Тогда $\lambda_1=1$, $\lambda_2=0$. Неравенство \eqref{ab} очевидным образом выполнено. Рассмотрим для достаточно малых $\varepsilon>0$ функцию $x_\varepsilon\cd$ такую, что $$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases}\delta/\varepsilon^{1/p},&\xi\in(0, \varepsilon),\\ 0,&\xi\notin(0, \varepsilon).\end{cases}$$ Тогда $$\iR|Fx_{\varepsilon}(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p,$$ а $$\iR|\xi|^{np}|Fx_{\varepsilon}(\xi)|^p\,d\xi=\frac{\delta^p}\varepsilon\int_0^ \varepsilon\xi^{np}\,d\xi\to0$$ при $\varepsilon\to0$. Тем самым для достаточно малых $\varepsilon>0$ функция $x_\varepsilon\cd$ допустима в задаче \eqref{aaa5}. Поэтому $$E^p_{ppp}\ge\iR|Fx_{\varepsilon}(\xi)|^p\,d\xi=\delta^p= \lambda_1\delta^p+\lambda_2.$$ Теперь утверждение доказываемой теоремы вытекает из теоремы~\ref{T4}. \end{proof} Аналогично следствию~\ref{K1} получаем \begin{corollary} При $k\ge1$, $\delta>0$, методы $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где $$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^ky(\xi),&|\xi|\le\theta\sigma_0,\\ (i\xi)^k\alpha(\xi)y(\xi),&\theta\sigma_0<|\xi|<\sigma_0,\\ 0,&|\xi|\ge\sigma_0, \end{cases}$$ $$\theta=\left(\frac{n-k}n\right)^{\frac1{kp}} \left(\frac kn\right)^{\frac1{p(n-k)}},\quad\sigma_0=\min\{\sigma,\ws\},$$ а $\alpha\cd$ удовлетворяют условиям \eqref{condp1} являются оптимальными. При $\delta=0$ или $k=0$ метод $\wm(y)\cd=F^{-1}Y_y\cd$, где $$Y_y(\xi)=\begin{cases}(i\xi)^ky(\xi),&|\xi|\le\sigma,\\ 0,&|\xi|\ge\sigma, \end{cases}$$ --- оптимальный. \end{corollary} При $p=2$ соответствующая задача о восстановлении производной на соболевском классе $W_2^n=F_2^n$ исследовалась в работе \cite{MO2} (см. также \cite{MO4}). \section{Дискретный случай} Если $T=\mathbb N$ и $\mu(\{j\})=1$, то соответствующее пространство $\lp$, $1\le p<\infty$, совпадает с пространством $l_p$, представляющим из себя совокупность векторов $x=(x_1,x_2,\ldots)$ таких, что $$\|x\|_{l_p}=\biggl(\sum_{j=1}^\infty|x_j|^p\biggr)^{1/p}<\infty.$$ Положим \begin{gather*} \mathcal W_p=\biggl\{\,x\in l_p :\sum_{j=1}^\infty|\nu_jx_j|^p<\infty\,\biggr\},\\ W_p=\biggl\{\,x\in\mathcal W_p :\sum_{j=1}^\infty|\nu_jx_j|^p\le1\,\biggr\}. \end{gather*} Пусть задан оператор $\Lambda\colon\mathcal W_p\to l_p$ $$\Lambda x=(\mu_0x_0,\mu_1x_1,\ldots),$$ где последовательность $|\mu_j|/|\nu_j|$ для достаточно больших $j$ ограничена (из этого условия вытекает, что $\Lambda x\in l_p$ для всех $x\in\mathcal W_p$). Рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора $T$ на множестве $W_p$ по неточно заданным координатам $x_1,\ldots,x_N$. Точнее, предполагается, что для любого $x\in W_p$ известен вектор $y=(y_1,\ldots,y_N)$, $j=1,\ldots,N$, такой, что $\|\ox-y\|_{l_p^N}\le\delta$, где $\ox=(x_1,\ldots,x_N)$,а $$\|x\|_{l_p^N}=\biggl(\sum_{j=1}^N|x_j|^p\biggr)^{1/p}.$$ По вектору $y$ надо восстановить наиболее точно значение $\Lambda x$. Под методами восстановления здесь понимаются всевозможные отображения $m\colon l_p^N\to l_p$. В соответствии с общей постановкой погрешностью метода называется величина $$e_p(m)=\sup_{\substack{x\in W_p,\ y\in l_p^N\\\|\ox-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|\Lambda x-m(y)\|_{l_p}.$$ Погрешность оптимального восстановления определяется следующим образом $$E_p=\inf_{m\colon l_p^N\to l_p}e_p(m),$$ а метод, на котором эта нижняя грань достигается, называется оптимальным. Будем предполагать, что $\nu_j\ne0$ для всех $j\ge N+1$. Положим \begin{gather*} \lambda=\sup_{j\ge N+1}\frac{|\mu_j|^p}{|\nu_j|^p},\\ M=\co\{(0,0)\cup\{(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p)\}_{j\in\mathbb N}\}+\{(t,t\lambda)\mid t\ge0\}, \end{gather*} где $\co\Omega$ --- выпуклая оболочка множества $\Omega$. Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ по правилу: $\theta(t)=\max\{x\mid(t,x)\in M\}$. Ясно, что $\theta\cd$ --- вогнутая ломаная (см. рис.~\ref{ris}). \begin{figure}[h] $$\begin{picture}(350,200) \put(0,10){\vector(1,0){300}} \put(10,0){\vector(0,1){200}} \put(0,192){$x$} \put(294,0){$t$} \put(10,10){\line(1,3){20}} \put(30,70){\circle*{4}} \put(30,70){\line(1,2){20}} \put(50,110){\circle*{4}} \put(50,110){\line(1,1){40}} \put(90,150){\circle*{4}} \put(90,150){\line(3,1){60}} \put(150,170){\circle*{4}} \put(150,170){\line(6,1){100}} %\put(10,10){\line(1,1){170}} \put(10,10){\line(6,1){260}} \put(30,10){\circle*{2}} \put(15,-2){$|\nu_{s_1}|^p$} \put(42,-2){$|\nu_{s_2}|^p$} \put(50,10){\circle*{2}} \put(90,10){\circle*{2}} \put(81,-2){$|\nu_{s_3}|^p$} \put(150,10){\circle*{2}} \put(140,-2){$|\nu_{s_4}|^p$} \put(190,40){\circle{4}} \put(182,-2){$|\nu_q|^p$} \put(190,10){\circle*{2}} %\put(70,100){$D_1$} \put(120,100){\circle*{4}} \put(96,120){\circle*{4}} \put(35,50){\circle*{4}} \put(60,40){\circle*{4}} \put(140,160){\circle*{4}} \put(190,170){\circle*{4}} \put(180,70){\circle*{4}} \put(180,70){\circle*{4}} \put(100,15){\circle{4}} \put(130,25){\circle{4}} \put(200,15){\circle{4}} \put(260,40){\circle{4}} \put(230,142){\circle*{4}} \put(120,170){$\theta(t)$} \put(240,140){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j\le N$} \put(230,122){\circle{4}} \put(240,120){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j>N$} \put(78,15){\circle*{4}} \put(156,25){\circle*{4}} \multiput(30,10)(0,4){16}{\circle*{1}} \multiput(50,10)(0,4){26}{\circle*{1}} \multiput(90,10)(0,4){36}{\circle*{1}} \multiput(150,10)(0,4){40}{\circle*{1}} \multiput(190,10)(0,4){8}{\circle*{1}} %\put(60,120){\circle*{4}} \put(55,63){\circle*{4}} \end{picture}$$ \caption{}\label{ris} \end{figure} \begin{theorem}\label{T10} При всех $\delta>0$ $$E_p=\delta\theta^{1/p}(\delta^{-p}).$$ Пусть $\delta>0$ и $\delta^{-p}$ принадлежит тому промежутку на $\mathbb R_+$, где $\theta\cd$ задается уравнением $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$. Если $\lambda_1,\lambda_2>0$, то для всех $\alpha_j$, $1\le j\le N$, удовлетворяющих условию \begin{equation}\label{bi} \begin{cases}\dfrac{|\mu_j-\alpha_j|^{p'}} {|\nu_j|^{p'}\lambda_2^{p'/p}}+\dfrac{|\alpha_j|^{p'}}{\lambda_1^{p'/p}} \le1,&1N.\end{cases}$$ Пусть $0<|\nu_{s_1}|^p<\ldots<|\nu_{s_k}|^p$ --- аргументы точек излома ломаной $\theta\cd$. Предположим, что $|\nu_{s_{l-1}}|\le\delta^{-1}<|\nu_{s_l}|$ при некотором $l$, $10$ при всех $j\in\mathbb N$, то $\lambda_1=0$ и $\theta(t)=\lambda_2t$ при $t\in[0,|\nu_{s_1}|^p]$. Тогда положим $\wx_j=0$, $j\ne s_1$, а $\wx_{s_1}=1/\nu_{s_1}$. Нетрудно убедиться, что $\wx$ является допустимым элементом в задаче \eqref{p1}. Следовательно, ее значение оценивается снизу величиной $$|\mu_{s_1}|^p|\wx_{s_1}|^p=\lambda_2.$$ Пусть теперь $\delta\le|\nu_{s_k}|^{-1}$, а $\theta\cd$ на промежутке $[|\nu_{s_k}|^p,+\infty)$ имеет вид $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$. Ясно, что $\lambda_2=\lambda$, т.к. $|\nu_{s_k}|^p$ --- последняя точка излома $\theta\cd$. Из определения $\lambda$ вытекает, что для любого $\varepsilon>0$ существует $s_{k+1}\ge N+1$ такое, что \begin{equation}\label{AA} \frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}>\lambda-\varepsilon. \end{equation} Положим $\wx_j=0$, $j\ne s_k,s_{k+1}$, а $\wx_{s_k}$ и $\wx_{s_{k+1}}$ выберем так, чтобы удовлетворялись равенства \begin{align*} |\wx_{s_k}|^p&=\delta^p,\\ |\nu_{s_k}\wx_{s_k}|^p+|\nu_{s_{k+1}}\wx_{s_{k+1}}|^p&=1. \end{align*} Очевидно, что $\wx$ является допустимым элементом в задаче \eqref{p1}. Следовательно, ее значение оценивается снизу величиной \begin{multline*} |\mu_{s_k}|^p|\wx_{s_k}|^p+|\mu_{s_{k+1}}|^p|\wx_{s_{k+1}}|^p=\lambda_1\delta^p+ \lambda_2-\left(\lambda-\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}\right)(1- \delta^p|\nu_{s_k}|^p)\\ \ge\lambda_1\delta^p+ \lambda_2-\varepsilon(1-\delta^p|\nu_{s_k}|^p). \end{multline*} В силу произвольности $\varepsilon>0$ получаем, что значение задачи \eqref{p1} оценивается снизу величиной $\lambda_1\delta^p+\lambda_2$. Предположим теперь, что изломов нет. Тогда $\theta\cd$ является прямой $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$ на $\mathbb R_+$. Очевидно, что в этом случае $\lambda_2=\lambda$. Для построения вектора $\wx$ рассмотрим два случая. Пусть сначала существует $s_0$ такое, что $\nu_{s_0}=0$ и $\theta(0)=|\mu_{s_0}|^p$. Тогда положим $\wx_j=0$, $j\ne s_0,s_{k+1}$, а $\wx_{s_0}$ и $\wx_{s_{k+1}}$ выберем так, чтобы удовлетворялись равенства \begin{align*} |\wx_{s_0}|^p&=\delta^p,\\ |\nu_{s_{k+1}}\wx_{s_{k+1}}|^p&=1 \end{align*} (здесь $s_{k+1}$ то же, что и в \eqref{AA}). Тогда значение задачи \eqref{p1} оценивается снизу величиной \begin{multline*} |\mu_{s_0}|^p|\wx_{s_0}|^p+|\mu_{s_{k+1}}|^p|\wx_{s_{k+1}}|^p =\\ \lambda_1\delta^p+\lambda_2-\left(\lambda-\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p} \right)>\lambda_1\delta^p+\lambda_2-\varepsilon. \end{multline*} Если же $\theta(0)=0$ (в этом случае $\lambda_1=0$), положим $\wx_j=0$, $j\ne s_{k+1}$, а $\wx_{s_{k+1}}=1/\nu_{s_{k+1}}$. Тогда значение оценивается величиной $$|\mu_{s_{k+1}}|^p|\wx_{s_{k+1}}|^p=\lambda_2+ \left(\lambda-\frac{|\mu_{s_{k+1}}|^p}{|\nu_{s_{k+1}}|^p}\right)>\lambda_2-\varepsilon.$$ Следовательно, из-за произвольности $\varepsilon>0$ и в том, и в другом случаях получается оценка $\lambda_1\delta^p+\lambda_2$. Применение теоремы~\ref{T4} завершает доказательство. \end{proof} Отметим, что в точках излома ломаной $\theta\cd$ \ $(|\nu_{s_l}|^p,|\mu_{s_l}|^p)$, $l=1,\ldots,k$, существует много опорных прямых к множеству $M$. Можно показать, что при $\delta=|\nu_{s_l}|^{-1}$ для всякой такой опорной прямой $\lambda_1+\lambda_2t$, для которой $\lambda_1,\lambda_2>0$, все методы \eqref{metd}, в которых $\alpha_j$, $j=1,\ldots,N$, удовлетворяют условию \eqref{bi} являются оптимальными. \begin{corollary}\label{SS} Пусть $\delta^{-p}$ принадлежит промежутку $\mathbb R_+$, на котором $\theta(t)=\lambda_1+\lambda_2t$, и $\lambda_1,\lambda_2>0$. Положим $$D=\left\{\,j:|\mu_j|^p>|\nu_j|^p\lambda_2,\ 1\le j\le N\,\right\},\quad D_0=\{\,j\in D:|\mu_j|^p\le\lambda_1\,\}.$$ Тогда методы $$\{\wm(y)\}_j=\begin{cases}\mu_jy_j,&j\in D_0,\\ \alpha_jy_j,&j\in D\setminus D_0,\\ 0,&\mathbb N\setminus D,\end{cases}$$ где $\alpha_j$ удовлетворяют условиям \eqref{bi}, являются оптимальными. \end{corollary} Из следствия \ref{SS} вытекает, что полезная информация о неточно заданном векторе $x$ содержат координаты $x$, номера которых входят в множество $D$. При этом для номеров из множества $D_0$ можно применять метод, который действует на координаты так же, как и восстанавливаемый оператор. Вид множеств $D$ и $D_0$ показан на рис.~\ref{ris2}. \begin{figure}[h] $$\begin{picture}(350,200) \put(0,10){\vector(1,0){300}} \put(10,0){\vector(0,1){200}} \put(0,192){$x$} \put(294,0){$t$} \put(10,10){\line(1,3){20}} \put(30,70){\circle*{4}} \put(30,70){\line(1,2){20}} \put(50,110){\circle*{4}} \put(10,70){\line(1,1){100}} \put(10,70){\line(1,0){60}} \put(90,150){\circle*{4}} \put(90,150){\line(3,1){60}} \put(150,170){\circle*{4}} \put(150,170){\line(6,1){100}} \put(10,10){\line(1,1){170}} \put(10,10){\line(6,1){260}} \put(30,10){\circle*{2}} \put(13,-2){$|\nu_{s_1}|^p$} \put(40,-2){$|\nu_{s_2}|^p$} \put(50,10){\circle*{2}} \put(90,10){\circle*{2}} \put(83,-2){$|\nu_{s_3}|^p$} \put(150,10){\circle*{2}} \put(140,-2){$|\nu_{s_4}|^p$} \put(190,40){\circle{4}} \put(182,-2){$|\nu_q|^p$} \put(190,10){\circle*{2}} \put(70,100){$D$} \put(36,54){$D_0$} \put(55,63){\circle*{4}} \put(120,100){\circle*{4}} \put(96,120){\circle*{4}} \put(35,50){\circle*{4}} \put(60,40){\circle*{4}} \put(140,160){\circle*{4}} \put(190,170){\circle*{4}} \put(180,70){\circle*{4}} \put(180,70){\circle*{4}} \put(100,15){\circle{4}} \put(130,25){\circle{4}} \put(200,15){\circle{4}} \put(260,40){\circle{4}} \put(230,142){\circle*{4}} \put(120,170){$\theta(t)$} \put(240,140){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j\le N$} \put(230,122){\circle{4}} \put(240,120){--- $(|\nu_j|^p,|\mu_j|^p),\ j>N$} \put(78,15){\circle*{4}} \put(156,25){\circle*{4}} \multiput(30,10)(0,4){16}{\circle*{1}} \multiput(50,10)(0,4){26}{\circle*{1}} \multiput(90,10)(0,4){36}{\circle*{1}} \multiput(150,10)(0,4){40}{\circle*{1}} \multiput(190,10)(0,4){8}{\circle*{1}} %\put(60,120){\circle*{4}} \put(66,-2){$\delta^{-p}$} \end{picture}$$ \caption{ }\label{ris2} \end{figure} Решение рассмотренной задачи восстановления в евклидовом случае при некоторых дополнительных условиях на $\mu_j$ и $\nu_j$ было получено в работе \cite{MO1}, а в более общей ситуации, но снова в рамках евклидового случая в работе \cite{VO} (и в том, и в другом случаях без получения семейства методов). Применим теперь полученные в теореме~\ref{T10} результаты к примеру из работы \cite[теорема 12]{MR}. В этом примере $\mu_j=1$, $j\in\mathbb N$ (в действительности, в \cite{MR} рассматривались последовательности на $\mathbb Z$, но это не является существенным). Положим $$B=\min_{1\le j\le N}|\nu_j|,\quad A=\inf_{j>N}|\nu_j|,\quad C=\frac BA$$ (будем считать, что $A>0$, т.к. в противном случае $E_p=+\infty$). Для введенной ранее величины $\lambda$ имеем $\lambda=1/A^p$. Из теоремы~\ref{T10} получаем \begin{theorem} \ $1$. При $\delta=0$ \ $E_p=1/A$ и все методы \eqref{metd}, в которых $$|1-\alpha_j|\le|\nu_j|/A,\quad j=1,\ldots,N,$$ являются оптимальными. $2$. При $C=0$ \ $\theta(t)=1+t/A^p$, $E_p=(\delta^p+A^{-p})^{1/p}$ и все методы \eqref{metd}, в которых %\begin{equation}\label{bi} $$\begin{cases}\dfrac{A^{p'}} {|\nu_j|^{p'}}|1-\alpha_j|^{p'}+|\alpha_j|^{p'}\le1,&1