\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 1550 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator{\IM}{Im} \DeclareMathOperator{\thh}{th} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)} \newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R)} \newcommand*{\ls}{L_\infty(\Delta_\sigma)} \newcommand*{\Ht}{\mathcal H_2^\beta} \newcommand*{\Hr}{\mathcal H_2^{r,\beta}} \newcommand*{\Hi}{\mathcal H_{2,\infty}^{r,\beta}} \newcommand*{\Hd}{\mathcal H_2} \newcommand*{\hr}{H_2^{r,\beta}} \newcommand*{\hi}{H_{2,\infty}^{r,\beta}} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\ws}{\widehat\sigma} \newcommand*{\wy}{\widehat y} \newcommand*{\wv}{\varphi_0} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma} \newcommand*{\Ld}{L_\infty(\Ds)} \newcommand*{\wI}{\widetilde I} \newcommand*{\wg}{\widehat g} \newcommand*{\wf}{\widehat f} \newcommand*{\wa}{\widehat a} \newcommand*{\wt}{t_0} \newcommand*{\Kk}{\mathcal K_{k,\delta}^{r,\beta}} \newcommand*{\K}{\mathcal K_{\delta_1,\delta_2}^{\rho,\beta}} \newcommand*{\Kr}{\mathcal K_{\rho,\delta_1,\delta_2}} \newcommand*{\Ir}{I_{r,\beta}} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} \begin{document} \begin{flushleft} УДК 517.5 \end{flushleft} \title[Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа] {Неравенство Харди--Литтлвуда--Полиа для аналитических функций из пространств Харди--Соболева} \author{К.~Ю.~Осипенко} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No05-01-00275, \No05-01-00261) и программы ``Университеты России" (УР.03.01.130, УР.04.02.536)} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} \begin{abstract} В работе найден экстремум нормы $k$-ой производной функции комплексного переменного, аналитической в полосе, в метрике $\lt$ при ограничении на норму самой функции в $\lt$ и норму ее $n$-ой производной в метрике пространства Харди--Соболева. Изучается также тесно связанная с этой задачей задача об оптимальном восстановлении $k$-ой производной функции из класса Харди--Соболева по неточно заданному следу этой функции на вещественной оси. Получен оптимальный метод восстановления. \end{abstract} \maketitle \section{Постановки задач} В монографии \cite{HLP} Харди, Литтлвуд и Полиа доказали, что для всех целых $00$. Мы будем рассматривать более общую задачу (об оптимальном восстановлении $k$-ой производной функции $f\cd\in\Hr$ в метрике $\lt$ по неточным значением самой функции $f\cd$ на $\mathbb R$), при решении которой будет найдена величина \eqref{HHLP}. Обозначим через $\hr$ множество функций $f\cd\in\Hr$, для которых $\|f^{(r) }\cd\|_{\Ht}\le1$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-ой производной функции $f\cd\in\hr\cap\lt$ по ее следу на $\mathbb R$, заданному с погрешностью в метрике $\lt$, т.е.\ считается, что вместо следа на $\mathbb R$ функции $f\cd$ известна функция $y\cd\in\lt$ такая, что $$\|f\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta.$$ Требуется по функции $y\cd$ восстановить на $\mathbb R$ наилучшим образом функцию $f^{(k)}\cd$. В качестве {\it методов восстановления\/} будут рассматриваться произвольные операторы $\varphi\colon\lt\to\lt$. Для данного метода восстановления $\varphi$ его {\it погрешностью\/} назовем величину $$e_k(\hr,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\hr\cap\lt,\ y\cd\in\lt\\ \|f\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta}}\|f^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lt}.$$ {\it Погрешностью оптимального восстановления\/} называется величина $$E_k(\hr,\delta)=\inf_{\varphi\colon\lt\to\lt}e_k(\hr,\delta,\varphi),$$ а {\it оптимальным методом восстановления\/} --- метод, на котором достигается нижняя грань. Рассмотрим еще одну экстремальную задачу --- об оценке $\lt$-нормы функции $f\cd\in\Ht$ на прямой $\IM z=\rho$, $-\beta<\rho<\beta$, через ее $\lt $-нормы граничных значений на прямых $\IM z=\pm\beta$ (хорошо известно, что у функций из $\Ht$ почти всюду существуют граничные значения на прямых $\IM z=\pm\beta$, являющиеся функциями из $\lt$). Тем самым речь идет об экстремальной задаче \begin{multline}\label{TC} \|f(\cdot+i\rho)\|_{\lt}\to\max,\quad\|f(\cdot-i\beta)\|_{\lt}\le\delta_1, \\ \|f(\cdot+i\beta)\|_{\lt}\le\delta_2. \end{multline} Результат подобного типа, когда нормы берутся в пространствах $L_\infty( \mathbb R)$, а функции являются аналитическими и ограниченными в полосе, известен как теорема о трех прямых (см., например, \cite{St}). Соответствующий результат для круга --- теорема Адамара о трех кругах \cite{G}. Свяжем с экстремальной задачей \eqref{TC} задачу об оптимальном восстановлении функции $f\cd\in\Ht$ на прямой $\IM z=\rho$ по ее приближенным граничным значениям на прямых $\IM z=\pm\beta$. Более точно, будем считать, что для каждой функции $f\cd\in\Ht$ известны функции $y_1\cd ,y_2\cd\in\lt$ такие, что $$\|f(\cdot-i\beta)-y_1\cd\|_{\lt}\le\delta_1,\quad\|f(\cdot+i\beta)-y_2\cd \|_{\lt}\le\delta_2.$$ Требуется по функциям $y_1\cd,y_2\cd$ восстановить функцию $f(\cdot+i\rho) $. В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные операторы $ \varphi\colon\lt\times\lt\to\lt$. Для данного метода $\varphi$ его погрешность определяется равенством $$e_\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\Ht,\ y_1\cd ,y_2\cd\in\lt\\\|f(\cdot+i\beta)-y_1\cd\|_{\lt}\le\delta_1\\\|f(\cdot-i \beta)-y_2\cd\|_{\lt}\le\delta_2}}\|f(\cdot+i\rho)-\varphi(y_1,y_2)\cd\|_{ \lt}.$$ Погрешностью оптимального восстановления называется величина $$E_\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2)=\inf_{\varphi\colon\lt\times\lt\to\lt}e_ \rho(\Ht,\delta_1,\delta_2,\varphi).$$ \section{Основные результаты} Пусть $r\in\mathbb N$ и $\beta$ --- положительное вещественное число. Функция $t^r\sqrt{\ch2\beta t}$ монотонно возрастает при $t\in\mathbb R_+$ от $0$ до $+\infty$. Поэтому для любого $x\in\mathbb R_+$ существует единственное решение уравнения $$t^r\sqrt{\ch 2\beta t}=x,$$ принадлежащее интервалу $[0,+\infty)$. Обозначим его через $\mu_{r\beta}(x) $. \begin{theorem}\label{T1} Пусть $r,k\in\mathbb N$ и $k\le r$. При всех $\gamma_1,\gamma_2>0$ имеет место равенство $$\sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f \cd\|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\lt}=\gamma_2\mu_{r\beta}^k\left( \frac{\gamma_1}{\gamma_2}\right).$$ \end{theorem} Иными словами, теорема~\ref{T1} утверждает, что для всех функций из пространства $\Hr$, отличных от тождественного нуля, имеет место точное неравенство $$\|f^{(k)}\cd\|_{\lt}\le\|f\cd\|_{\lt}\mu_{r\beta}^k\left(\frac{\|f^{(r)} \cd\|_{\Ht}}{\|f\cd\|_{\lt}}\right).$$ \begin{theorem}\label{T2} Пусть $r,k\in\mathbb N$, $k\le r$ и $\delta>0$. Тогда для погрешности оптимального восстановления $k$-ой производной имеет место равенство $$E_k(\hr,\delta)=\delta\mu_{r\beta}^k(\delta^{-1}),$$ а метод $$\wv(y)\cd=(\Kk*y)\cd,$$ где \begin{multline}\label{K} \Kk(x)\\ =\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(it)^k\left(1+\frac{k\delta^2t^{2r}\ch2\beta t }{r-k+\beta\mu_{r\beta}(\delta^{-1})\thh(2\beta\mu_{r\beta}(\delta^{-1}))} \right)^{-1}e^{ixt}\,dt, \end{multline} является оптимальным методом восстановления. \end{theorem} \begin{theorem}\label{T3} При всех $-\beta<\rho<\beta$ и $\delta_1,\delta_2>0$ имеют место равенства $$E_\rho(\Ht,\delta_1,\delta_2)=\sup_{\substack{f\cd\in\Ht\\\|f(\cdot-i \beta)\|_{\lt}\le\delta_1\\\|f(\cdot+i\beta)\|_{\lt}\le\delta_2}}\|f(\cdot+ i\rho)\|_{\lt}=\delta_1^{\frac{\beta-\rho}{2\beta}}\delta_2^{\frac{\beta+ \rho}{2\beta}},$$ а метод \begin{multline*} \wv(y_1,y_2)(x)=\delta_2^2(\beta-\rho)(\K*y_1)(x-i(\beta-\rho))\\ +\delta_1^2(\beta+\rho)(\K*y_2)(x+i(\beta+\rho)), \end{multline*} где \begin{equation}\label{KK} \K(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\frac{e^{ixt}}{\delta_2^2(\beta-\rho)e^ {2\beta t}+\delta_1^2(\beta+\rho)e^{-2\beta t}}\,dt, \end{equation} является оптимальным. \end{theorem} Из теоремы~\ref{T3}, в частности, вытекает, что при $-\beta<\rho<\beta$ для всех $f\cd\in\Ht$ имеет место точное неравенство $$\|f(\cdot+i\rho)\|_{\lt}\le\|f(\cdot-i\beta)\|^{\frac{\beta-\rho}{2\beta} }_{\lt}\|f(\cdot+i\beta)\|^{\frac{\rho+\beta}{2\beta}}_{\lt}.$$ \section{Доказательства} Для доказательства теорем~\ref{T1} и \ref{T2} нам потребуется один общий результат об оптимальном восстановлении линейных операторов, основанный на методе, разработанном в \cite{MO1}, \cite{MO2}. Начнем с постановки некоторой общей задачи об оптимальном восстановлении. Пусть $X$ --- линейное пространство, $Y_1,\ldots,Y_p$ --- линейные пространства с полускалярными произведениями $(\cdot,\cdot)_{Y_j}$, $j=1, \ldots,p$, и соответствующими полунормами $\|\cdot\|_{Y_j}$, $j=1,\ldots,p $, $Y_s=L_\infty(\Delta_s)$, $\Delta_s\subseteq\mathbb R$, $s=p+1,\ldots,m $, $I_j\colon X\to Y_j$, $j=1,\ldots,m$, --- линейные операторы, а $Z$ --- линейное нормированное пространство. Рассмотрим задачу оптимального восстановления оператора $T\colon X\to Z$ на множестве $$W=\{\,x\in X:\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,l,\ 0\le l\le p\,\}$$ по значениям операторов $I_{l+1},\ldots,I_m$, заданным с погрешностью (при $l=0$ полагаем $W=X$). Будем считать, что для каждого $x\in W$ нам известен вектор $y=(y_{l+1},\ldots,y_p,y_{p+1}\cd,\ldots,y_m\cd)\in Y_{l+1}\times \ldots\times Y_m$ такой, что $\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=l+1,\ldots ,p$, и $|I_sx(t)-y_s(t)|\le\delta_s(t)$ для почти всех $t\in\Delta_s$, $s=p +1,\ldots,m$ (в дальнейшем для функций из $L_\infty(\Delta_s)$ не будем отмечать каждый раз, что неравенства понимаются выполненными почти всюду на $\Delta_s$). В качестве {\it методов восстановления\/} оператора $T$ рассматриваются всевозможные операторы $\varphi\colon Y_{l+1}\times\ldots\times Y_m\to Z$. {\it Погрешностью восстановления\/} для данного метода $\varphi$ называется величина $$e(T,W,I,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y_{l+1}\times\ldots \times Y_m\\\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j,\ j=l+1,\ldots,p\\|I_sx(t)-y_s(t) |\le\delta_s(t),\ s=p+1,\ldots,m}}\|Tx-\varphi(y)\|_Z$$ (здесь $I=(I_{l+1},\ldots,I_m)$, $\delta=(\delta_{l+1},\ldots,\delta_p, \delta_{p+1}\cd,\ldots,\delta_m\cd)$). {\it Погрешностью оптимального восстановления\/} называется величина $$E(T,W,I,\delta)=\infp_{\varphi\colon Y_{l+1}\times\ldots\times Y_m\to Z}e (T,W,I,\delta,\varphi),$$ а метод, на котором достигается нижняя грань называется {\it оптимальным}. С поставленной задачей восстановления тесно связана экстремальная задача \begin{multline}\label{OT2} \|Tx\|_Z^2\to\max,\quad\|I_jx\|_{Y_j}^2\le\delta_j^2,\ j=1,\ldots,p,\quad | I_sx(t)|^2\le\delta_s^2(t),\\ s=p+1,\ldots,m. \end{multline} Обозначим через $\mathcal L(x,\lambda)$ функцию Лагранжа для этой экстремальной задачи $$\mathcal L(x,\lambda)=-\|Tx\|^2_Z+\sum_{j=1}^p\lambda_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+ \sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\lambda_s(t)|I_sx(t)|^2\,dt,$$ где $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_p,\lambda_{p+1}\cd,\ldots\lambda_m \cd)$, $\lambda_j\ge0$, $j=1,\ldots,p$, а $\lambda_s\cd$ --- измеримые неотрицательные функции на $\Delta_s$, $s=p+1,\ldots,m$. \begin{theorem}\label{TOT} Пусть существуют измеримые неотрицательные на $\Delta_s$ функции $\wl_s\cd $, $s=p+1,\ldots,m$ и $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,p$, такие, что для $\wl=(\wl _1,\ldots,\wl_p,\wl_{p+1}\cd,\ldots\wl_m\cd)$ \begin{align*} (a)&\quad\mathcal L(x,\wl)\ge0\quad\forall x\in X.\\ \intertext{Пусть, кроме того, существует такая последовательность $\{x_n\}$ допустимых элементов в \eqref{OT2}, что выполнены условия:} (b)&\quad\lim_{n\to\infty}\mathcal L(x_n,\wl)=0,\\ (c)&\quad\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{j=1}^p\wl_j\left(\|I_jx_n\|_{Y_j}^2- \delta_j^2\right)\right.\\ &\hskip9em\left.+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\left(|I_sx_n(t)|^2- \delta_s^2(t)\right)\,dt\right)=0. \end{align*} Тогда значение экстремальной задачи \eqref{OT2} равно $$\sum_{j=1}^p\wl_j\delta_j^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\delta_s ^2(t)\,dt.$$ Если при этом для всех $y=(y_{l+1},\ldots,y_p,y_{p+1}\cd,\ldots,y_m\cd)\in Y_{l+1}\times\ldots\times Y_m$ существует $x_y$ --- решение экстремальной задачи \begin{multline}\label{ext} \sum_{j=1}^l\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{j=l+1}^p\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\\ +\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)-y_s(t)|^2\,dt\to\min,\quad x \in X, \end{multline} то \begin{equation}\label{Omet} \wv(y)=Tx_y \end{equation} --- оптимальный метод восстановления и \begin{equation}\label{er} E(T,W,I,\delta)=\sqrt{\sum_{j=1}^p\wl_j\delta_j^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{ \Delta_s}\wl_s(t)\delta_s^2(t)\,dt}. \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} Покажем, что значения задачи \eqref{OT2} и задачи \begin{equation}\label{OT3} \|Tx\|_Z^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^p\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{s=p+1}^m\int _{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)|^2\,dt\le S, \end{equation} где $$S=\sum_{j=1}^p\wl_j\delta_j^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t) \delta_s^2(t)\,dt,$$ совпадают и равны $S$. Действительно, для любого допустимого в \eqref{OT2} или в \eqref{OT3} элемента $x\in X$ имеем с учетом $(a)$ \begin{multline*} -\|Tx\|^2_Z\ge-\|Tx\|^2_Z+\sum_{j=1}^p\wl_j\left(\|I_jx\|_{Y_j}^2-\delta_j^ 2\right)\\ +\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\left(|I_sx(t)|^2-\delta_s^2(t)\right )\,dt\ge-S. \end{multline*} С другой стороны, используя последовательно $(c)$ и $(b)$, получаем, что \begin{multline*} -\lim_{n\to\infty}\|Tx_n\|^2=\lim_{n\to\infty}\left(\vphantom{\int_{\Delta_ s}}-\|Tx_n\|^2_Z+\sum_{j=1}^p\wl_j\left(\|I_jx_n\|_{Y_j}^2-\delta_j^2\right )\right.\\ \left.+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)\left(|I_sx_n(t)|^2-\delta_s^2( t)\right)\,dt\right)=-S, \end{multline*} т.~е. $S$ --- значение задач \eqref{OT2} и \eqref{OT3}. Оценка снизу. Для любого метода $\varphi$ при всех $x\in W$ таких, что $\|I _jx\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=l+1,\ldots,p$ и $|I_sx(t)|\le\delta_s(t)$, $s=p +1,\ldots,m$, имеем $$2\|Tx\|_Z\le\|Tx-\varphi(0)\|_Z+\|T(-x)-\varphi(0)\|_Z\le2e(T,W,I,\delta, \varphi).$$ Следовательно, для любого метода $\varphi$ $$e(T,W,I,\delta,\varphi)\ge\sup_{\substack{x\in W\\\|I_jx\|_{Y_j}\le\delta _j,\ j=l+1,\ldots,p\\|I_sx(t)|\le\delta_s(t),\ s=p+1,\ldots,m}}\|Tx\|_Z\\ =\sqrt S.$$ Таким образом, \begin{equation}\label{LB} E(T,W,I,\delta)\ge\sqrt S. \end{equation} Оценка сверху. Рассмотрим линейное пространство $E=Y_1\times\ldots\times Y_ m$ с полускалярным произведением $$(y^1,y^2)_E=\sum_{j=1}^p\wl_j(y^1_j,y^2_j)_{Y_j}+\sum_{s=p+1}^m\int_{ \Delta_j}\wl_s(t)y^1_j(t)\ov{y^2_j(t)}\,dt.$$ Тогда экстремальная задача \eqref{ext} может быть переписана в виде $$\|\wI x-\wy\|_E^2\to\min,\quad x\in X,$$ где $\wI=(I_1,\ldots,I_m)$, а $\wy=(0,\ldots,0,y_{l+1},\ldots,y_p,y_{p+1} \cd,\ldots,y_m\cd)$. Если $x_y$ --- решение этой задачи, то нетрудно показать, что для всех $x\in X$ выполняется равенство $$(\wI x_y-\wy,\wI x)_E=0.$$ Отсюда следует, что \begin{equation}\label{Pi} \|\wI x-\wy\|_E^2=\|\wI x-\wI x_y\|_E^2+\|\wI x_y-\wy\|_E^2. \end{equation} Если $x\in W$, а $\wy$ таков, что $\|I_jx-y_j\|_{Y_j}\le\delta_j$, $j=l+1, \ldots,p$, $|I_sx(t)-y_s(t)|\le\delta_s(t)$ почти всюду на $\Delta_s$, $s=p +1,\ldots,m$, то из \eqref{Pi} вытекает, что \begin{multline*} \|\wI x-\wI x_y\|_E^2\le\|\wI x-\wy\|_E^2=\sum_{j=1}^l\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2 +\sum_{j=l+1}^p\wl_j\|I_jx-y_j\|_{Y_j}^2\\ +\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)-y_s(t)|^2\,dt\le S. \end{multline*} Полагая $z=x-x_y$, приходим к неравенству $$\sum_{j=1}^p\wl_j\|I_jz\|_{Y_j}^2+\sum_{s=p+1}^m\int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I _sz(t)|^2\,dt\le S.$$ Тем самым для метода \eqref{Omet} имеем \begin{multline*} \|Tx-\wv(y)\|_Z=\|Tz\|_Z\\ \le\sup\biggl\{\|Tx\|_Z:\sum_{j=1}^p\wl_j\|I_jx\|_{Y_j}^2+\sum_{s=p+1}^m \int_{\Delta_s}\wl_s(t)|I_sx(t)|^2\,dt\le S\,\biggr\}\\ =\sqrt S. \end{multline*} Учитывая \eqref{LB}, получаем равенство \eqref{er} и оптимальность метода \eqref{Omet}. \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T1}$] Рассмотрим экстремальную задачу \begin{equation}\label{exH} \|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}\le\gamma_1^2, \quad\|f\cd\|^2_{\lt}\le\gamma_2^2. \end{equation} Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}+\lambda_1\|f ^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\lambda_2\|f\cd\|^2_{\lt}.$$ По основной теореме о представлении функций из пространств $\mathcal H_2$ над трубчатыми областями (см.~\cite{St}) следует, что $f\cd\in\Ht $ в том и только в том случае, если она имеет вид \begin{equation}\label{St} f(z)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\wf(t)e^{izt}\,dt, \end{equation} где $\wf\cd$ --- функция, удовлетворяющая условию $$\sup_{|y|<\beta}\int_{\mathbb R}|\wf(t)|^2e^{-2yt}\,dt<\infty$$ ($\wf\cd$ --- преобразование Фурье функции $f(x)$, $x\in\mathbb R$). Из теоремы Планшереля вытекает тогда, что $$\|f\cd\|^2_{\Ht}=\frac1{2\pi}\sup_{0\le y<\beta}\int_{\mathbb R}|\wf(t)|^ 2\ch2yt\,dt=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\wf(t)|^2\ch2\beta t\,dt.$$ Переходя к образам Фурье и обозначая $(2\pi)^{-1}|\wf\cd|^2=u\cd$, будем иметь $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}+\lambda_1t^ {2r}\ch2\beta t+\lambda_2)u(t)\,dt.$$ Положим $$\alpha(t)=-1+\lambda_1t^{2(r-k)}\ch2\beta t+\lambda_2t^{-2k}.$$ Нетрудно убедиться, что $\alpha(t)$ --- выпуклая функция при $t>0$. Поэтому если в некоторой точке $\wt>0$ выполняются равенства \begin{equation}\label{Al} \alpha(\wt)=\alpha'(\wt)=0, \end{equation} то $\alpha(t)\ge0$ при всех $t\ge0$. Пусть $\wt$ --- положительное решение уравнения \begin{equation}\label{Eq} \gamma_2^2t^{2r}\ch2\beta t=\gamma_1^2, \end{equation} т.~е.\ $\wt=\mu_{r\beta}(\gamma_1/\gamma_2)$. Выберем $\wl_1$ и $\wl_2$ так, чтобы выполнялись равенства \eqref{Al}. Имеем \begin{align*} \wl_1&=\frac{k\wt^{2(k-r)}}{r\ch2\beta\wt+\wt\beta\sh2\beta\wt},\\ \wl_2&=\frac{(r-k)\wt^{2k}\ch2\beta\wt+\wt^{2k+1}\beta\sh2\beta\wt}{r\ch2 \beta\wt+\wt\beta\sh2\beta\wt}. \end{align*} Таким образом, для так выбранных $\wl_1$ и $\wl_2$ для всех $t\in\mathbb R$ $$-t^{2k}+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t+\wl_2\ge0.$$ Следовательно, для всех $f\cd\in\Hr\cap\lt$ $$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$ Положим для достаточно больших $n$ (таких, что $\wt-1/n>0$) $$u_n(t)=\begin{cases}\gamma_2^2n,&t\in(\wt-1/n,\wt),\\ 0,&t\notin(\wt-1/n,\wt).\end{cases}$$ Обозначим через $f_n\cd$ последовательность функций, получаемую по формуле \eqref{St} для $\wf\cd=\sqrt{2\pi u_n\cd}$. Имеем $$\|f_n\cd\|^2_{\lt}=\|u_n\cd\|^2_{\lt}=\gamma_2^2,$$ а $$\|f_n^{(r)}\cd\|^2_{\lt}=\gamma_2^2n\int_{\wt-1/n}^{\wt}t^{2r}\ch2\beta t \,dt\le\gamma_2^2\wt^{2r}\ch2\beta\wt=\gamma_1^2,$$ т.~e.\ функции $f_n\cd$ являются допустимыми в задаче \eqref{exH}. Нетрудно убедиться, что \begin{gather}\label{LL} \lim_{n\to\infty}\mathcal L(f_n\cd,\wl_1,\wl_2)=0,\\ \label{LLL} \lim_{n\to\infty}\|f_n^{(r)}\cd\|^2_{\lt}=\gamma_1^2. \end{gather} Из теоремы~\ref{TOT} следует, что значение экстремальной задачи \eqref{exH} равно $$\wl_1\gamma_1^2+\wl_2\gamma_2^2=\gamma_2^2\mu^{2k}_{r\beta}\left(\frac{ \gamma_1}{\gamma_2}\right).$$ \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T2}$] Положим $\gamma_1=1$, $\gamma_2=\delta$ и для соответствующих $\wl_1$, $\wl _2$ при некотором $y\cd\in\lt$ рассмотрим экстремальную задачу $$\wl_1\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\wl_2\|f\cd-y\cd\|^2_{\lt}\to\min,\quad f\cd \in\Hr\cap\lt.$$ Переходя к образам Фурье, можем записать эту задача в виде \begin{multline*} \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(\wl_1t^{2r}|\wf(t)|^2\ch2\beta t+\wl_2|\wf\cd- \wy\cd|^2)\,dt\to\min,\\ f\cd\in\Hr\cap\lt. \end{multline*} Легко показать, что решением этой задачи является функция $$\wf_y(t)=\frac{\wl_2}{\wl_2+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t}\wy(t).$$ Из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что метод $$\wv(y)\cd=f_y^{(k)}\cd$$ является оптимальным. Так как преобразование Фурье функции $f_y^{(k)}\cd$ равно $$(it)^k\frac{\wl_2}{\wl_2+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t}\wy(t),$$ то ее можно записать в виде свертки функции $y\cd$ и функции $\Kk\cd$, определенной равенством \eqref K. \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T3}$] Перейдем для удобства к квадратам в экстремальной задаче \eqref{TC} \begin{multline}\label{TC2} \|f(\cdot+i\rho)\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|f(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}\le\delta ^2_1, \\\|f(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}\le\delta^2_2. \end{multline} и запишем соответствующую функцию Лагранжа \begin{multline*} \mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f(\cdot+i\rho)\|^2_{\lt}+\lambda_1 \|f(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}\\ +\lambda_2\|f(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}. \end{multline*} В силу представления \eqref{St}, переходя к образам Фурье, по теореме Планшереля будем иметь $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(-e^{ -2\rho t}+\lambda_1e^{2\beta t}+\lambda_2e^{-2\beta t})|\wf(t)|^2\,dt.$$ Нетрудно убедиться, что функция $$\gamma(t)=-1+\lambda_1e^{2(\beta+\rho)t}+\lambda_2e^{-2(\beta-\rho)t}$$ является выпуклой на $\mathbb R$. Поэтому если для некоторой точки $\wt\in \mathbb R$ \begin{equation}\label{ga} \gamma(\wt)=\gamma'(\wt)=0, \end{equation} то $\gamma(t)\ge0$ для всех $t\in\mathbb R$. Положим $$\wt=\frac{\ln\delta_1-\ln\delta_2}{2\beta}$$ и выберем $\wl_1$ и $\wl_2$ из условия \eqref{ga}. Имеем $$\wl_1=\frac{\beta-\rho}{2\beta}e^{-2(\beta+\rho)\wt},\quad\wl_2=\frac{ \beta+\rho}{2\beta}e^{2(\beta-\rho)\wt}.$$ Тем самым для всех $f\cd\in\Ht$ $$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$ Обозначим для достаточно больших $n$ через $f_n\cd$ последовательность функций, получаемую по формуле \eqref{St} для $$\wf_n(t)=\begin{cases} A_n,&t\in(\wt-1/n,\wt+1/n),\\ 0,&t\notin(\wt-1/n,\wt+1/n),\end{cases}$$ где $$A_n=n\sqrt{\frac{\pi\delta_1\delta_2}{n+1}}.$$ Непосредственные вычисления показывают, что \begin{align*} \|f_n(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}&=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\wf_n(t)|^2e^{2 \beta t}\,dt=\delta_1^2\frac n{n+1}\frac{\sh2\beta/n}{2\beta/n},\\ \|f_n(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}&=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\wf_n(t)|^2e^{- 2\beta t}\,dt=\delta_2^2\frac n{n+1}\frac{\sh2\beta/n}{2\beta/n}. \end{align*} В силу того, что при достаточно больших $n$ $$\frac{\sh2\beta/n}{2\beta/n}<1+1/n,$$ последовательность $\wf_n\cd$ является при достаточно больших $n$ допустимой в задаче~\eqref{TC2}, а кроме того, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\|f_n(\cdot-i\beta)\|^2_{\lt}&=\delta_1^2,\\ \lim_{n\to\infty}\|f_n(\cdot+i\beta)\|^2_{\lt}&=\delta_2^2. \end{align*} Нетрудно убедиться, что $$\lim_{n\to\infty}\mathcal L(f_n\cd,\wl_1,\wl_2)=0.$$ Тем самым из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что значение экстремальной задачи~\eqref{TC2} равно $$\wl_1\delta_1^2+\wl_2\delta_2^2=\delta_1^{\frac{\beta-\rho}\beta}\delta_2 ^{\frac{\beta+\rho}\beta}.$$ Рассмотрим теперь экстремальную задачу $$\wl_1\|f(\cdot-i\beta)-y_1\cd\|^2_{\lt}+\wl_2\|f(\cdot+i\beta)-y_2\cd\|^2_{ \lt}\to\min,\quad f\cd\in\Ht.$$ Переходя к образам Фурье и пользуясь равенством \eqref{St}, перепишем эту задачу в виде \begin{multline*} \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\left(\wl_1|\wf(t)e^{\beta t}-\wy_1(t)|^2+\wl_2 |\wf(t)e^{-\beta t}-\wy_2(t)|^2\right)\,dt\to\min,\\ f\cd\in\Ht. \end{multline*} Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция $f_{y_1,y_2} \cd$ такая, что $$\wf_{y_1,y_2}(t)=\frac{\wl_1e^{\beta t}\wy_1(t)+\wl_2e^{-\beta t}\wy_2(t) }{\wl_1e^{2\beta t}+\wl_2e^{-2\beta t}}.$$ Из теоремы~\ref{TOT} следует, что метод $$\wv(y_1,y_2)\cd=f_{y_1,y_2}(\cdot+i\rho)$$ является оптимальным. Имеем \begin{multline*} \wv(y_1,y_2)(x)\\ =\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\frac{\delta_2^2(\beta-\rho)e^{\beta t}y_1(t)+ \delta_1^2(\beta+\rho)e^{-\beta t}y_2(t)}{\delta_2^2(\beta-\rho)e^{2\beta t }+\delta_1^2(\beta+\rho)e^{-2\beta t}}e^{i(x+i\rho)t}\,dt\\ =\delta_2^2(\beta-\rho)(\K*y_1)(x-i(\beta-\rho))+\delta_1^2(\beta+\rho)(\K* y_2)(x+i(\beta+\rho)), \end{multline*} где ядро $\K\cd$ определено равенством \eqref{KK}. \end{proof} \section{Дальнейшие результаты} \subsection{Восстановление $k$-ой производной на всей полосе.} Неравенства для производных аналитических функций и связанные с ними задачи восстановления являются в определенном смысле промежуточным случаем между одномерными и многомерными задачами. Однако уже здесь имеется некоторое многообразие, связанное, в частности, с тем, что оптимальное восстановление может быть рассмотрено на различных областях (впрочем как и задание исходной информации о функции). В качестве примера рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-ой производной функции $f\cd\in\hr\cap\lt$ на всей полосе $S_\beta$ по ее следу на $\mathbb R$, заданному с погрешностью в метрике $\lt$. В качестве методов восстановления будут рассматриваться произвольные операторы $\varphi\colon\lt\to\Ht$. Для данного метода восстановления $\varphi$ его погрешностью назовем величину $$e_k(\hr,\delta,S_\beta,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\hr\cap\lt,\ y\cd \in\lt\\\|f\cd-y\cd\|_{\lt}\le\delta}}\|f^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\Ht}.$$ Погрешностью оптимального восстановления назовем величину $$E_k(\hr,\delta,S_\beta)=\inf_{\varphi\colon\lt\to\Ht}e_k(\hr,\delta,S_ \beta,\varphi),$$ а оптимальным методом восстановления --- метод, на котором достигается нижняя грань. Соответствующая задача о точном неравенстве будет иметь вид \begin{equation}\label{HHLP1} \sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f\cd \|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\Ht} \end{equation} где $\gamma_1,\gamma_2>0$. \begin{theorem}\label{TD1} Пусть $r,k\in\mathbb N$, $k0$. Тогда \begin{gather*} \sup_{\substack{f\cd\in\Hr\cap\lt\\\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}\le\gamma_1\\\|f\cd \|_{\lt}\le\gamma_2}}\|f^{(k)}\cd\|_{\Ht}=\gamma_1\mu_{r\beta}^{k-r}\left( \frac{\gamma_1}{\gamma_2}\right),\\ E_k(\hr,\delta,S_\beta)=\mu_{r\beta}^{k-r}(\delta^{-1}), \end{gather*} а метод $$\wv(y)\cd=(\mathcal M_{k,\delta}^{r,\beta}*y)\cd,$$ где \begin{multline}\label{M} \mathcal M_{k,\delta}^{r,\beta}(x)\\ =\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(it)^k\left(1+\frac{\delta^2t_0^{2(r-k)}}{r-k} (k+\beta t_0\thh(2\beta t_0))t^{2r}\ch2\beta t\right)^{-1}e^{ixt}\,dt, \end{multline} $$t_0=\mu_{r\beta}(\delta^{-1}),$$ является оптимальным методом восстановления. \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим экстремальную задачу \begin{equation}\label{exH1} \|f^{(k)}\cd\|^2_{\Ht}\to\max,\quad\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}\le\gamma_1^2, \quad\|f\cd\|^2_{\lt}\le\gamma_2^2. \end{equation} Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид \begin{equation}\label{La} \mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f^{(k)}\cd\|^2_{\Ht}+\lambda_1\|f^{ (r)}\cd\|^2_{\Ht}+\lambda_2\|f\cd\|^2_{\lt}. \end{equation} Переходя к образам Фурье (пользуясь теоремой Планшереля и представлением \eqref{St}), имеем $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}\ch2\beta t+ \lambda_1t^{2r}\ch2\beta t+\lambda_2)u(t)\,dt,$$ где $u\cd=(2\pi)^{-1}|\wf\cd|^2$. Положим $$\omega(t)=-1+\lambda_1t^{2(r-k)}+\lambda_2t^{-2k}\ch^{-1}2\beta t.$$ Нетрудно показать, что $\omega(t)$ --- выпуклая функция при $t>0$. Поэтому если в некоторой точке $\wt>0$ выполняются равенства \begin{equation}\label{Al1} \omega(\wt)=\omega'(\wt)=0, \end{equation} то $\omega(t)\ge0$ при всех $t\ge0$. Пусть $\wt$ --- положительное решение уравнения \eqref{Eq}, т.~е.\ $\wt=\mu_{r\beta}(\gamma_1/\gamma_2)$. Выберем $\wl_1$ и $\wl_2$ так, чтобы выполнялись равенства \eqref{Al1}. Имеем \begin{align*} \wl_1&=\frac{k\ch2\beta\wt+\wt\beta\sh2\beta\wt}{\wt^{2(r-k)}(k\ch2\beta\wt +\wt\beta\sh2\beta\wt)+(r-k)\ch2\beta\wt},\\ \wl_2&=\frac{(r-k)\wt^{2k}\ch^22\beta\wt}{\wt^{2(r-k)}(k\ch2\beta\wt+\wt \beta\sh2\beta\wt)+(r-k)\ch2\beta\wt}. \end{align*} Таким образом, для так выбранных $\wl_1$ и $\wl_2$ для всех $t\in\mathbb R$ $$-t^{2k}\ch2\beta t+\wl_1t^{2r}\ch2\beta t+\wl_2\ge0.$$ Следовательно, для всех $f\cd\in\Hr\cap\lt$ $$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2)\ge0.$$ Функции $f_n\cd$, определенные в доказательстве теоремы~\ref{T1}, являются допустимыми и в задаче \eqref{exH1}. Из равенства \eqref{LLL} и равенства \eqref{LL}, выполненого для функции Лагранжа \eqref{La}, следует, что значение экстремальной задачи \eqref{exH1} равно $$\wl_1\gamma_1^2+\wl_2\gamma_2^2=\gamma_1\mu_{r\beta}^{2(k-r)}\left(\frac {\gamma_1}{\gamma_2}\right).$$ Погрешность оптимального восстановления и оптимальный метод находятся по той же схеме, которая применялась в доказательстве теоремы~\ref{T1}. \end{proof} В частности, из теоремы~\ref{TD1} следует, что для всех функций из пространства $\Hr$, отличных от тождественного нуля, имеет место точное неравенство $$\|f^{(k)}\cd\|_{\Ht}\le\|f^{(r)}\cd\|_{\lt}\mu_{r\beta}^{k-r}\left(\frac{ \|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}}{\|f\cd\|_{\lt}}\right).$$ \subsection{Восстановление $k$-ой производной по неточно заданному преобразованию Фурье.} Обозначим через $\Hi$ множество функций $f\cd\in\Hr\cap\lt$, для которых $ \wf\cd\in\li$ (через $\wf\cd$ по-прежнему обозначаем преобразование Фурье функции $f(x)$, $x\in\mathbb R$). Через $\hi$ обозначим множество функций $ \Hi\cap\hr$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-ой производной функции $f\cd\in\hi$ по ее преобразованию Фурье $\wf\cd$, заданному с погрешностью в метрике $\ls$, где $\Delta_\sigma=(-\sigma, \sigma)$, $0<\sigma\le\infty$, т.е.\ считается, что вместо функции $\wf\cd$ известна функция $y\cd\in\ls$ такая, что $$\|\wf\cd-y\cd\|_{\ls}\le\delta.$$ Требуется по функции $y\cd$ восстановить на $\mathbb R$ наилучшим образом функцию $f^{(k)}\cd$. В соответствии с общей постановкой задачи восстановления операторов погрешностью метода восстановления $\varphi\colon\ls\to\lt$ является величина $$e_k(\hi,\delta,\sigma,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in\hi,\ y\cd\in\ls\\ \|f\cd-y\cd\|_{\ls}\le\delta}}\|f^{(k)}\cd-\varphi(y)\cd\|_{\lt},$$ погрешностью оптимального восстановления --- величина $$E_k(\hi,\delta,\sigma)=\inf_{\varphi\colon\ls\to\lt}e_k(\hi,\delta, \sigma,\varphi),$$ а оптимальным методом восстановления --- метод, на котором достигается эта нижняя грань. Положим $$\Ir(\sigma)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^{\sigma}t^{2r}\ch2\beta t\,dt.$$ Из монотонного возрастания функции $\Ir(\sigma)$, $\sigma\in(0,+\infty)$, и того, что $\Ir(0)=0$, а $\Ir(\sigma)\to+\infty$ при $\sigma\to+\infty$, следует, что при всех $\delta>0$ существует и единственно такое $\ws\in(0,+\infty)$, для которого \begin{equation}\label{Si} \Ir(\ws)=\delta^{-2}. \end{equation} \begin{theorem}\label{TD2} Пусть $r,k\in\mathbb N$, $k\le r$, $\delta>0$, а $\ws$ определено равенством \eqref{Si}. Тогда $$E_k(\hi,\delta,\sigma)\\ =\begin{cases}\sqrt{\dfrac{\sigma^{-2(r-k)}}{\ch2\beta\sigma}\biggl(1-\delta^2\Ir( \sigma)\biggr)+\dfrac{\delta^2\sigma^{2k+1}}{\pi(2k+1)}},&\sigma<\ws, \\[15pt] \dfrac{\delta\ws^{k+1/2}}{\sqrt{\pi(2k+1)}},&\sigma\ge\ws,\end{cases},$$ а метод $$\wv(y)\cd=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_0}^{\sigma_0}(i\tau)^k\biggl(1-\left( \frac\tau{\sigma_0}\right)^{2(r-k)}\frac{\ch2\beta t}{\ch2\beta\sigma_0} \biggr)y(\tau)e^{i\tau t}\,d\tau,$$ где $\sigma_0=\min\{\sigma,\ws\}$, является оптимальным. \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим экстремальную задачу \begin{equation}\label{exH2} \|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}\to\max,\quad\|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}\le1,\quad\|\wf\cd \|^2_{\ls}\le\delta^2. \end{equation} Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2\cd)=-\|f^{(k)}\cd\|^2_{\lt}+\lambda_1 \|f^{(r)}\cd\|^2_{\Ht}+\int_{\Delta_\sigma}\lambda_2(t)|\wf(t)|^2\,dt.$$ Переходя к образам Фурье и обозначая $(2\pi)^{-1}|\wf\cd|^2=u\cd$, имеем $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2\cd)=\int_{\mathbb R}(-t^{2k}+\lambda_ 1t^{2r}\ch2\beta t)u(t)\,dt+2\pi\int_{\Delta_\sigma}\lambda_2(t)u(t)\,dt.$$ Положим $\wl_1=\sigma_0^{-2(r-k)}\ch^{-1}2\beta\sigma_0$ и $$\wl_2(t)=\begin{cases}(2\pi)^{-1}\left(t^{2k}-\wl_1t^{2r}\ch2\beta t\right),&|t| <\sigma_0,\\[10pt] 0,&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$ Тогда при всех $f\cd\in\Hi$ $$\mathcal L(f\cd,\wl_1,\wl_2\cd)=\int_{|t|\ge\sigma_0}\left(-t^{2k}+\wl_1t ^{2r}\ch2\beta t\right)u(t)\,dt\ge0.$$ Если $\sigma\ge\ws$, то, обозначив через $g\cd$ обратное преобразование Фурье функции, совпадающей с $\delta$ в интервале $(-\ws,\ws)$ и равной нулю вне него, легко проверить, что условия $(b)$ и $(c)$ теоремы~\ref{TOT} выполнены для постоянной последовательности $f_n\cd=g\cd$. Если $\sigma<\ws$, положим $$\gamma=1-\delta^2\Ir(\sigma).$$ Рассмотрим последовательность функций $$u_n(t)=\begin{cases}\dfrac{\delta^2}{2\pi},&|t|<\sigma,\\[5pt] \dfrac{n\gamma}{2(\sigma+1/n)^{2r}\ch2\beta(\sigma+1/n)},&\sigma\le|t|\le \sigma+1/n,\\ 0,&|t|>\sigma+1/n\end{cases}$$ (через $g_n\cd$ будем обозначать обратные преобразования Фурье функций $ \sqrt{2\pi u_n\cd}$). Нетрудно убедиться, что $$\lim_{n\to\infty}\mathcal L(g_n\cd,\wl_1,\wl_2\cd)=0.$$ Кроме того, \begin{multline}\label{Lim} \|g_n^{(r)}\cd\|_{\Ht}^2=\int_{\mathbb R}t^{2r}u_n(t)\ch2\beta t\,dt\\ =1-\gamma+\dfrac{n\gamma}{(\sigma+1/n)^{2r}\ch2\beta(\sigma+1/n)}\int_ \sigma^{\sigma+1/n}t^{2r}\ch2\beta t\,dt<1, \end{multline} т.\ е.\ функции $g_n\cd$ являются допустимыми в задаче \eqref{exH2}. Из \eqref{Lim} вытекает также, что $$\lim_{n\to\infty}\|g_n^{(r)}\cd\|_{\Ht}=1.$$ Задача \eqref{ext} имеет здесь вид $$\wl_1\|f^{(r)}\cd\|_{\Ht}+\int_{\Ds}\wl_2(t)|\wf(t)-y(t)|^2\,dt\to\min, \quad f\cd\in\Hi.$$ Переходя к образам Фурье, ее можно записать в виде \begin{multline*} \frac{\wl_1}{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2r}|\wf(t)|^2\ch2\beta t\,dt+\int_{\Ds }\wl_2(t)|\wf(t)-y(t)|^2\,dt\to\min,\\ f\cd\in\Hi. \end{multline*} Нетрудно убедиться, что решением этой задачи является функция $f_y\cd$ такая, что $$\wf_y(t)=\begin{cases}\dfrac{2\pi\wl_2(t)}{2\pi\wl_2(t)+\wl_2t^{2r}\ch2\beta t}y (t),&|t|<\sigma_0,\\[15pt] 0,&|t|\ge\sigma_0,\end{cases}$$ т.\ е.\ $$\wf_y(t)=\begin{cases}\left(1-\left(\dfrac t{\sigma_0}\right)^{2(r-k)}\dfrac{\ch 2\beta t}{\ch2\beta\sigma_0}\right)y(t),&|t|<\sigma_0,\\[15pt] 0,&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$ Из теоремы~\ref{TOT} вытекает, что метод $$\wv(y)\cd=f_y^{(k)}\cd$$ является оптимальным, а для его погрешности справедливо равенство $$E_k(\hi,\delta,\sigma)=\sqrt{\wl_1+\delta^2\int_{\Delta_\sigma}\wl_2(t)\,d t}.$$ Подставляя выражения для $\wl_1$ и $\wl_2\cd$, получаем утверждение теоремы. \end{proof} Из теоремы~\ref{TD2} вытекает, что при фиксированном $\delta$, начиная с $ \ws$, дальнейшее увеличение интервала, на котором известно преобразование Фурье функции из класса $\hi$, заданное с погрешностью $\delta$ в равномерной метрике, не ведет к уменьшению погрешности восстановления. Иными словами, при нарушении соотношения \begin{equation}\label{pn} \frac{\delta^2}{2\pi}\int_{-\sigma}^{\sigma}t^{2r}\ch2\beta t\,dt\le1, \end{equation} связывающего погрешность исходных данных с величиной интервала, на котором эти данные измеряются, получаемая информация оказывается уже избыточной. \subsection{Теорема о трех окружностях.} Обозначим через $\Hd$ множество функций $f\cd$, аналитических в единичном круге $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$, для которых $$\sup_{00$. Положим \begin{gather} \Delta_s=[(r_1/r_2)^{s+1},(r_1/r_2)^s),\quad s=0,1,\ldots\,\,,\notag\\ \mu_{s1}=\frac{r_2^2-\rho^2}{r_1^{2s}},\quad\mu_{s2}=\frac{\rho^2-r_1^2}{r_ 2^{2s}}.\label{mu} \end{gather} Тогда \begin{multline*} E_\rho(\Hd,\delta_1,\delta_2)=\sup_{\substack{f\cd\in\Hd\\\|f(r_1e^{i\cdot} )\|_{\lT}\le\delta_1\\\|f(r_2e^{i\cdot})\|_{\lT}\le\delta_2}}\|f(\rho e^{i \cdot})\|_{\lT}\\ =\begin{cases}\dfrac{\rho^s}{\sqrt{r_2^2-r_1^2}}\sqrt{\delta_1^2\mu_{s1}+\delta_2^ 2\mu_{s2}}&\delta_1/\delta_2\in\Delta_s,\ s=0,1,\ldots\,\,,\\[12pt] \delta_2,&\delta_1\ge\delta_2.\end{cases} \end{multline*} При $\delta_1/\delta_2\in\Delta_s$, $s=0,1,\ldots\,\,$, метод $$\wv(y_1,y_2)\cd=\mu_{s1}\Kr(\rho r_1e^{i\cdot})*y_1\cd+\mu_{s2}\Kr(\rho r _2e^{i\cdot})*y_2\cd,$$ где \begin{equation}\label{KK3} \Kr(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\mu_{s1}r_1^{2k}+\mu_{s2}r_2^{2k}}, \end{equation} является оптимальным. Если $\delta_1\ge\delta_2$, то метод $$\wv(y_1,y_2)(t)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}\frac{r_2}{r_2-\rho e^{ik(t-u )}}y_2(u)\,du$$ --- оптимальный. \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим экстремальную задачу \begin{equation}\label{EO} \|f(\rho e^{i\cdot})\|^2_{\lT}\to\max,\quad\|f(r_je^{i\cdot}\|^2_{\lT}\le \delta^2_j,\quad j=1,2, \end{equation} и запишем соответствующую функцию Лагранжа $$\mathcal L(f\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\|f(\rho e^{i\cdot})\|^2_{\lT}+ \lambda_1\|f(r_1e^{i\cdot})\|^2_{\lT} +\lambda_2\|f(r_2e^{i\cdot})\|^2_{\lT}.$$ Для функции $f\cd\in\Hd$, имеющий вид $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k,$$ при всех $0