\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
\tolerance 4890
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother
\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
%\makeatletter
%\@addtoreset{equation}{section}
%\makeatother


%\renewcommand{\thesection}{\bf\S\ \arabic{section}}
%\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
%\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newcommand{\LLL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\BL}{BL_\infty}
\newcommand{\hhl}{(\F_\infty,L_\infty)}
\newcommand{\hhm}{(W,L_\infty)}
\newcommand{\hh}{h_\infty^\beta}
\newcommand{\HH}{H_\infty^\beta}
\newcommand{\HQ}{H_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\hQ}{h_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcommand{\BO}{\hbox{\boldmath$\Omega$}}
%\newcommand{\at}[2]{{\substack{#1\\#2}}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb R}
\newcommand{\bbbt}{\mathbb T}
\newcommand{\bbbz}{\mathbb Z}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb N}
\newcommand{\bbbc}{\mathbb C}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}

\begin{document}
\noindent УДК 517.53

\bigskip

\title[Задача Хейнса и оптимальная экстраполяция]{Задача Хейнса и оптимальная экстраполяция аналитических функций, заданных с ошибкой}
\author[]{\bf Осипенко~К.~Ю.}
\maketitle

Пусть $B$ --- класс аналитических в круге $K=\{z:|z|<1\}$ функций, ограниченных там по модулю единицей. Хейнсом в работах \cite{1}, \cite{2} была поставлена и исследована задача о нахождении величины
\begin{equation}\label{1}
\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in[a,b]}}|f(z_0)|,
\end{equation}
где $[a,b]\subset(-1,1)$, $z_0\in(b,1)$, $\delta\in(0,1)$.

В этих работах было доказано, что экстремальная функция в задаче \eqref{1} не зависит от $z_0$, единственна с точностью до множителя $e^{i\alpha}$, $\alpha\in\mathbb R$, и является конечным произведением Бляшке с нулями в интервале $(-1,b)$
$$f^*(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}.$$
Эти результаты приведены также в работе \cite{3}, где рассматривались более общие постановки.
Точное решение поставленной задачи было найдено Хейнсом при $\delta=\delta_n$, $n=1,1,\ldots$, где
\begin{equation}\label{2}
\delta_n=\inf_{|\alpha_j|<1}\max_{z\in[a,b]}\prod_{j=1}^n\left|\frac{z-\alpha_j}
{1-\alpha_jz}\right|.
\end{equation}
Экстремальной функцией в этом случае оказывалось произведение Бляшке, на котором достигалась нижняя грань в равенстве \eqref{2}.

Величина $\delta_n$ и соответствующая экстремальная функция могут быть найдены с помощью III задачи Е.~И.~Золотарева \cite{4} аналогично тому, как в работе \cite{5} исследовалось наименее уклоняющееся от нуля произведение Бляшке на замкнутом множестве из $K$ с помощью обобщенной III задачи Е.~И.~Золотарева \cite{6} (Хейнс при решении использовал другой метод).

Интересно, что свойства экстремальной функции в задаче \eqref{1} аналогичны свойствам экстремальной функции в той же задаче, когда вместо класса $B$ рассматривается класс функций $W_\infty^r(\mathbb R,M)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $f^{(r-1)}(x)$ и удовлетворяющих неравенству $\displaystyle\vraisup_{x\in\mathbb R}|f^{(r)}(x)|\le M$ (см.\ \cite[\S~2.5.5]{7}). Соответствующие экстремальные функции являются обобщением многочленов, появляющихся при решении I задачи Е.~И.~Золотарева (см.\ \cite{4}, \cite[с.~314]{8}). В некоторых работах (см.\ \cite{9}, \cite{10}) эти функции называются идеальными сплайнами Золотарева.
Отметим, что Хейнс \cite{1} рассматривал, в основном, двойственную к \eqref{1} задачу, а именно, задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{3}
\inf_{f\in B_\mu}\max_{x\in[a,b]}|f(x)|,
\end{equation}
где $B_\mu=\{f\in B:f(z_0)=\mu\}$, а $z_0\in(b,1)$. Если вместо класса $B_\mu$ рассмотреть класс многочленов $p_n(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n$, удовлетворяющих равенству $p_n(x_0)=\mu$, где $x_0\notin[a,b]$, то задача \eqref{3} совпадает со II задачей Е.~И.~Золотарева \cite{4}.

Тем самым наблюдается аналогия между экстремальными задачами на классах гладких и классах аналитических функций, отмечавшаяся ранее в работах \cite{11}, \cite{12}, а также тесная связь рассматриваемых задач с задачами Е.~И.~Золотарева.

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\ \arabic{section}. Задача Хейнса и ее дискретный аналог}

В дальнейшем удобнее рассматривать задачу \eqref{1} для отрезка $[-l,0]$, $0<l<1$. Экстремальной функцией в задаче \eqref{2} для этого отрезка (см.\ \cite{13}) является функция
\begin{equation}\label{4}
B_n(z,l)=\prod_{j=1}^n\frac{z+l\sn^2\left[\dfrac{2j-1}{2n}L,l\right]}
{1+l\sn^2\left[\dfrac{2j-1}{2n}L,l\right]z},
\end{equation}
а для соответствующего значения $\delta_n$, которое обозначим через $\delta_n(l)$, справедливо равенство
\begin{equation}\label{5}
\delta_n(l)=2h^n\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty h^{4nm(m+1)}}{\displaystyle1+2\sum_{m=1}^\infty h^{4nm^2}},
\end{equation}
где $h=e^{-\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}$; здесь и далее $L$, $L'$, $L_0$, $L_1$, $K$, $K'$, --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $l$, $l'=\sqrt{1-l^2}$, $l_0$, $l_1$, $\lambda$, $\lambda'=\sqrt{1-\lambda^2}$, соответственно.

Функция $B_n(z,l)$ с помощью первого главного преобразования\break $n$-й степени (см., например, \cite[с.~136, 284]{14}) может быть записана в виде
\begin{equation}\label{6}
B_n(z,l)=\sqrt\lambda\sn\left[(2nu+1)K,\lambda\right],\quad z=-l\sn^2[uL,l],
\end{equation}
где $\lambda=\delta_n^2(l)$. Значение $\lambda$ может быть также найдено из уравнения
\begin{equation}\label{7}
\frac{K'}K=2n\frac{L'}L.
\end{equation}
В силу того, что отношение $\dfrac{K'}K$ является при $\lambda\in(0,1)$ непрерывной и монотонно
убывающей от $+\infty$ до $0$ функцией, уравнение \eqref{7} имеет единственное решение при всех $l\in(0,1)$. Отсюда также следует, что функция $\delta_n(l)$ при фиксированном $n$ непрерывна и монотонно возрастает от $0$ до $1$ при $l\in(0,1)$ и, следовательно, при любом $\delta\in(0,1)$ уравнение
\begin{equation}\label{8}
\delta_n(l)=\delta
\end{equation}
имеет единственное решение.

Положим $\Delta_1(l)\equiv1$, $\Delta_n(l)=\delta_n(l_1)$, $n>1$, где $l_1$ определяется из уравнения
\begin{equation}\label{9}
l_1\sn^2\left[\frac{n-1}nL_1,l_1\right]=l.
\end{equation}
Аналогично тому, как это было доказано в работе \cite[с.~212]{14}, можно доказать, что левая часть равенства \eqref{9} есть непрерывная и монотонно возрастающая от $0$ до $1$ функция при $l\in(0,1)$. Тем самым уравнение \eqref{9} имеет единственное решение при любом $l\in(0,1)$, причем $l_1>l$. Отсюда следует, что $\delta_n(l)<\Delta_n(l)$ при всех $n\ge1$. В дальнем будет показано, что $\Delta_n(l)<\delta_{n-1}(l)$ при всех $n>1$.

Назовем порядком экстремальной функции в задаче \eqref{1} число множителей в соответствующем произведении Бляшке (было отмечено, что экстремальными являются лишь конечные произведения Бляшке).

\begin{theorem}\label{T1}
Для задачи \eqref{1} при $-1<a=-l<b=0$ справедливы следующие утверждения:

$1)$ если для $\delta\in(0,1)$ при некотором $n$ выполнено неравенство $\delta_n(l)\le\delta\le\Delta_n(l)$, то экстремальной функцией, нормированной условием $f^*(z_0)>0$, при всех $z_0\in(0,1)$ является функция $B_n(z,l_0)$, где $l_0$ --- решение уравнения \eqref{8};

$2)$ при $\delta_n(l)\le\delta<\delta_{n-1}(l)$ $($$\delta_0(l)\equiv1$$)$ порядок экстремальной функции равен $n$;

$3)$ при всех $\delta\in(0,1)$ для порядка экстремальной функции имеют место неравенства
\begin{equation}\label{10}
\frac{2L}{\pi L'}\ln\frac1\delta\le n<\frac{2L}{\pi L'}\ln\frac2\delta+1,
\end{equation}
кроме того, для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta(\varepsilon)\in(0,1)$ такое, что при всех $\delta\in(0,\delta(\varepsilon))$ справедливо неравенство
\begin{equation}\label{11}
n>\frac{2L}{\pi L'}\ln\frac2\delta-\varepsilon.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $\delta\in(0,1)$ и $n$ таково, что $\delta_n(l)\le\delta\le\Delta_n(l)$. Рассмотрим функцию $B_n(z,l_0)$, где $l_0$ --- решение уравнения \eqref{8}. Пусть $n>1$. Из монотонности функции $\delta_n(l)$ и того, что $\Delta_n(l)=\delta_n(l_1)$, где $l_1$ определено равенством \eqref{9}, следуют неравенства $l\le l_0\le l_1$. Для точек
\begin{equation}\label{12}
z_j=-l_0\sn^2\left[\frac{j-1}nL_0,l_0\right],\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
имеем
\begin{equation}\label{13}
B_n(z_j,l_0)=(-1)^{j-1}\delta.
\end{equation}
В силу монотонного возрастания левой части равенства \eqref{9} и того, что $l_0\le l_1$, получаем $z_n\ge-l$. Итак, на отрезке $[-l,0]$ имеется $n$ точек $z_1,\ldots,z_n$, в которых выполнены равенства \eqref{13} и, кроме того, $|B_n(z,l_0)|\le\delta$, $z\in[-l,0]$ (при $n=1$ это утверждение очевидно). Из неравенства
\begin{equation}\label{14}
\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j)|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)|\ge\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in[-l,0]}}|f(z_0)|
\end{equation}
и того, что по теореме~1.1 из работы \cite{12} на функции $B_n(z,l_0)$ достигается величина, стоящая в левой части неравенства \eqref{14}, следует экстремальность $B_n(z,l_0)$.

Докажем теперь утверждение $2)$. При $\delta=\delta_n(l)$ оно вытекает из утверждения $1)$, поэтому будем считать, что $\delta_n(l)<\delta<\delta_{n-1}(l)$. Обозначим через $B_k(z)$ экстремальную функцию для данного $\delta$, нормированную условием $B_k(z_0)>0$, где $k$ --- ее порядок. Из работ \cite{1}, \cite{3}, \cite{12} следует, что на отрезке $[-l,0]$ найдутся $k$ точек $z_1,\ldots,z_k$, в которых $B_k(z_j)=(-1)^{j-1}\delta$, $j=1,\ldots,k$, кроме того, в силу нормировки $B_k(1)=1$. Рассмотрим разность $\varphi_1(z)=B_k(z)-B_n(z,l)$. При $z\in[-l,0]$ имеем $B_n(z,l)\le\delta_n(l)<\delta$, отсюда $(-1)^{j-1}\varphi_1(z_j)>0$, $j=1,\ldots,k$. Тем самым для числа нулей $m_1$ функции $\varphi_1(z)$ в круге $K$ справедливо неравенство
\begin{equation}\label{15}
m_1\ge k-1.
\end{equation}

Учитывая, что $\varphi_1(1)=0$, из оценки для числа нулей разности произведений Бляшке, полученной в лемме~1.1 из работы \cite{12}, получаем
\begin{equation}\label{16}
m_1\le\frac{k+n-1}2.
\end{equation}
Из неравенств \eqref{15}, \eqref{16} следует, что $k\le n+1$. Однако, если $k=n+1$, то $\varphi_1(-1)=(-1)^{n+1}-(-1)^n=2(-1)^{n+1}$, а $(-1)^n\varphi_1(z_{n+1})>0$. Таким образом, на интервале $(-1,z_{n+1})$ найдется хотя бы один нуль функции $\varphi_1(z)$. Отсюда $m_1\ge n+1$, что при $k=n+1$ противоречит неравенству \eqref{16}. Тем самым доказано, что $k\le n$. Аналогично, рассматривая разность $\varphi_2(z)=B_{n-1}(z,l)-B_k(z)$ в точках $u_j=-l\sn^2\left[\dfrac{j-1}{n-1}L,l\right]$, $j=1,\ldots,n$, можно показать, что $k\ge n$. Учитывая предыдущую оценку, имеем $k=n$. Заметим, что $\Delta_n(l)<\delta_{n-1}(l)$, так как при $\delta_n(l)\le\delta\le\Delta_n(l)$ порядок экстремальной функции равен $n$.

Для доказательства утверждения $3)$ воспользуемся результатами работы \cite{5} (см. также \cite{6}), из которой следует неравенство
\begin{equation}\label{17}
\delta_n(l)\ge e^{-{\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}n},\quad n\ge0.
\end{equation}
Из равенства \eqref{5} имеем
\begin{equation}\label{18}
\delta_n(l)<2e^{-{\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}n},\quad n\ge0.
\end{equation}
Если $\delta\in(0,1)$, то найдется такое $n$, что $\delta_n(l)\le\delta<\delta_{n-1}(l)$. Используя неравенства \eqref{17}, \eqref{18}, получаем
$$e^{-{\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}n}\le\delta<2e^{-{\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}(n-1)}.$$
Отсюда следует неравенство \eqref{10}.

Положим
$$C_n=\delta_n(l)e^{{\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}n}.$$
Из \eqref{5} вытекает, что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}C_n=2$, кроме того, из \eqref{18} \ $C_n<2$ при всех $n\ge0$. Тем самым для любого $\varepsilon>0$ найдется $N(\varepsilon)$ такое, что для всех $n>N(\varepsilon)$ выполняется неравенство
\begin{equation}\label{19}
\delta_n(l)>2e^{-{\textstyle\frac{\pi L'}{2L}}(n+\varepsilon)}.
\end{equation}
Если $\delta\in(0,\delta_{N(\varepsilon)}(l))$, то найдется такое $n>N(\varepsilon)$, что $\delta\ge\delta_n(l)$. Последнее неравенство вместе с \eqref{19} дает неравенство \eqref{11}. Теорема доказана.
\end{proof}

Утверждение $2)$ отмечалось Хейнсом \cite{1}, однако оно приводится здесь для полноты изложения с доказательством, отличным от имеющегося у Хейнса.

Из теоремы~\ref{T1} вытекает, что при достаточно малом $\delta$ порядок экстремальной функции равен либо $n$, либо $n+1$, где $n$ --- целая часть числа $\dfrac{2L}{\pi L'}\ln\dfrac2\delta$.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{20}
r_n(z_0,\delta,l)=\infp_{z_j\in[-l,0]}\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j)|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)|.
\end{equation}
Докажем сначала существование точек $z_1^0,\ldots,z_n^0$, на которых достигается нижняя грань в \eqref{20}. Для этого достаточно доказать, что функция
$$\varphi(\ov z)=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j)|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)|$$
является непрерывной при $\ov z=(z_1,\ldots,z_n)\in[-l,0]^n$. Положим $\|\ov z\|=\displaystyle\biggl(\sum_{j=1}^n|z_j|^2\biggr)^{1/2}$ и рассмотрим $\ov z^{(1)},\ov z^{(2)}\in[-l,0]^n$ такие, что $\|\ov z^{(1)}-\ov z^{(2)}\|\le\varepsilon\delta(1-l)$. Пусть $f\in B$ удовлетворяет условиям $|f(z_j^{(1)})|\le\delta$, $j=1,\ldots,n$. Из известной формулы Коши $|f'(z)|\le(1-l)^{-1}$ при $z\in[-l,0]$. Следовательно,
\begin{multline*}
|f(z_j^{(2)})|\le|f(z_j^{(1)})|+|f(z_j^{(2)})-f(z_j^{(1)})|\le\delta+
(1-l)^{-1}\|\ov z^{(1)}-\ov z^{(2)}\|\\
\le\delta(1+\varepsilon).
\end{multline*}
Функция $g(z)=(1+\varepsilon)^{-1}f(z)$ очевидно принадлежит классу $B$ и удовлетворяет неравенствам $|g(z_j^{(2)})|\le\delta$, $j=1,\ldots,n$. Таким образом,
$$|f(z_0)|=(1+\varepsilon)|g(z_0)|\le(1+\varepsilon)\varphi(\ov z^{(2)}).$$
Отсюда
$$\varphi(\ov z^{(1)})\le(1+\varepsilon)\varphi(\ov z^{(2)})\le\varphi(\ov z^{(2)})+\varepsilon.$$
Совершенно аналогично получаем
$$\varphi(\ov z^{(2)})\le\varphi(\ov z^{(1)})+\varepsilon.$$
Тем самым справедливо неравенство $|\varphi(\ov z^{(1)})-\varphi(\ov z^{(2)})|\le\varepsilon$, из которого следует непрерывность функции $\varphi$.

Назовем точки $z_1^0,\ldots,z_k^0$ минимальной экстремальной системой в задаче \eqref{20}, если они являются экстремальными для той же задачи при $n=k$ и $k$ --- наименьшее из чисел, для которых $r_k(z_0,\delta,l)=r_n(z_0,\delta,l)$.

\begin{theorem}\label{T2}
При $\delta_k(l)\le\delta<\delta_{k-1}(l)$, $k\le n$, экстремальная функция в задаче \eqref{20} есть произведение Бляшке порядка $k$, экстремальное в задаче Хейнса для отрезка $[-l,0]$. Единственной минимальной экстремальной системой является система из $k$ последовательных экстремумов $($начиная с нуля$)$ этого произведения. При $0<\delta<\delta_n(l)$ экстремальной
функцией является произведение Бляшке $B_n(z,l_0)$, где $l_0$ определяется из уравнения \eqref{8}, а единственной экстремальной системой является система точек \eqref{12}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $-l\le z_1^0\le\ldots\le z_n^0\le0$ --- экстремальная система в задаче \eqref{20}. Из работы \cite{12} следует, что в задаче о нахождении величины $\varphi(\ov z^{(0)})$ экстремальная функция, нормированная условием $f^*(z_0)>0$, имеет вид
$$f^*(z)=\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,0),\quad k\le n,$$
и существуют точки $z_{i_1}^0,\ldots,z_{i_k}^0$ такие, что
$$f^*(z_{i_m}^{0})=(-1)^{k+m}\delta,\quad m=1,\ldots,k.$$
При этом $f^*(z)=g_0(z,z_{i_1}^0,\ldots,z_{i_k}^0)$, где функция $g_0(z,u_1,\ldots,u_k)=g_0$ определяется из рекуррентных соотношений
\begin{multline}\label{21}
g_{m-1}(z)=\left[\frac{z-u_m}{1-u_mz}g_m+\delta_m^{(m-1)}\right]
\left[1+\delta_m^{(m-1)}\frac{z-u_m}{1-u_mz}g_m\right]^{-1},\\
m=1,\ldots,k;
\end{multline}
здесь $g_k=1$, $\delta_p^{(0)}=(-1)^{k+p}\delta$,
$$\delta_p^{(m)}=\frac{1-u_mu_p}{u_p-u_m}\cdot\frac{\delta_p^{(m-1)}-\delta_m^{(m-1)}}
{1-\delta_m^{(m-1)}\delta_p^{(m-1)}},\quad p=m+1,\ldots,k.$$

Нетрудно показать, что при всех $z\in(-1,1)$ и точках $\ov u=(u_1,\ldots,u_k)$, достаточно близких к точке $(z_{i_1}^0,\ldots,z_{i_k}^0)$, функция $g_0(z,u_1,\ldots,u_k)$ дифференцируема и является экстремальной в задаче о нахождении $\varphi(\ov u)$. Из экстремальности точек $z_1^0,\ldots,z_n^0$ следует, что в точке $(z_0,z_{i_1}^0,\ldots,z_{i_k}^0)$
\begin{equation}\label{22}
\frac{\partial g_0}{\partial u_j}=0,\quad j=1,\ldots,k,
\end{equation}
при $-l<z_{i_1}^0$, $z_{i_k}^0<0$. Если $z_{i_1}^0=-l$ или $z_{i_k}^0=0$, то соответствующие равенства из \eqref{22} заменяются на неравенства
$$\frac{\partial g_0}{\partial u_1}\ge0,\quad\frac{\partial g_0}{\partial u_k}\le0.$$
Из равенств $g_0(u_j,u_1,\ldots,u_k)=(-1)^{k+j}\delta$ вытекает, что в точках $(u_j,u_1,\ldots,u_k)$ справедливы соотношения
\begin{equation}\label{23}
\frac{\partial g_0}{\partial z}+\frac{\partial g_0}{\partial u_j}=0.
\end{equation}
Пользуясь рекуррентными соотношениями \eqref{21}, можно получить, что
$$\frac{\partial g_0}{\partial u_j}=\Phi_j(z,u_1,\ldots,u_k)P_j(u_1,\ldots,u_k)\prod_{\substack{m=1\\m\ne j}}^k(z-u_m),$$
где $\Phi_j$ и $P_j$ --- некоторые функции, причем $\Phi_j>0$, а $P_j$ не зависит от $z$. Из последнего равенства, учитывая \eqref{22}, \eqref{23}, получаем
$${f^*}'(z_{i_j}^0)=0,\quad j=1,\ldots,k,$$
при $-l<z_{i_1}^0$, $z_{i_k}^0<0$. Если $z_{i_1}^0=-l$ или $z_{i_k}^0=0$, то вместо соответствующих равенств имеем
$$(-1)^k{f^*}'(z_{i_1}^0)\ge0,\quad{f^*}'(z_{i_k}^0)\ge0.$$
При $z>z_{i_k}^0$ \ $f^*(z)>\delta$, поэтому ${f^*}'(z_{i_k}^0)>0$ и, следовательно, $z_{i_k}^0=0$.

В силу того, что $f^*(z_{i_1}^0)=(-1)^{k+1}\delta$, $f^*(-1)=(-1)^k$, a $(-1)^kf^*(z_{i_1}^0)\ge0$, найдется точка $\xi\in(-1,z_{i_1}^0]$, в которой ${f^*}'(\xi)=0$. Так как ${f^*}'(z)$ имеет в круге $K$ ровно $k-1$ нуль (см.\ \cite[теорема~7.2]{3}), то на интервале $(-1,1)$ функция $f^*(z)$ имеет экстремумы только в точках $\xi,z_{i_2}^0,\ldots,z_{i_{k-1}}^0$. Отсюда $|f^*(z)|\le\delta$ при $z\in[z_{i_1}^0,0]$. В силу очевидных соотношений
$$f^*(z_0)=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j)|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)|\ge\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in[z_{i_1}^0,0]}}|f(z_0)|\ge f^*(z_0)$$
функция $f^*(z)$ является решением задачи Хейнса для отрезка $[z_{i_1}^0,0]$. Заметим, что при $z_{i_1}^0>-l$ \ ${f^*}'(z_{i_1}^0)=0$ и функция $f^*(z)$ является наименее уклоняющимся от нуля произведением Бляшке порядка $k$ на отрезке $[-l_0,0]$, где $l_0$ определяется из уравнения \eqref{8}.

Пусть $\delta_k(l)\le\delta<\delta_{k-1}(l)$ при некотором $k\le n$. Из теоремы~\ref{T1} следует существование экстремальной функции $f^*(z)$ в задаче Хейнса порядка $k$. Пусть $z_1^0,\ldots,z_k^0$ --- ее $k$ последовательных экстремумов ($z_k^0=0$). Для
любых точек $z_1,\ldots,z_n\in[-l,0]$ имеем
\begin{multline*}
f^*(z_0)=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j^0)|\le\delta,\ j=1,\ldots,k}}|f(z_0)|=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in[-l,0]}}|f(z_0)|\\
\le\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j)|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)|.
\end{multline*}
Тем самым $z_1^0,\ldots,z_k^0$ --- экстремальная система. Покажем, что она является единственной минимальной системой. Предположим, что $z_1,\ldots,z_m$ --- минимальная экстремальная система, a $g(z)$ --- соответствующая ей экстремальная функция (с нормировкой $g(z_0)>0$). Как было отмечено, $g(z)$ является решением задачи Хейнса на отрезке $[z_1,0]\subset[-l,0]$. В силу единственности решения задачи Хейнса $f^*(z)\equiv g(z)$, а система $z_1,\ldots,z_m$ совпадает с системой $z_1^0,\ldots,z_k^0$.

Пусть теперь $0<\delta<\delta_n(l)$. Экстремальная функция в задаче Хейнса в этом случае имеет порядок больше $n$. Поэтому остается рассмотреть наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке $[-l_1,0]$, $l_1<l$, произведения Бляшке $f^*_k(z)$ порядка $k\le n$ с уклонением $\delta$. Нетрудно убедиться, что $f^*_k(z_0)>f^*_n(z_0)$ при $k<n$. Тем самым единственной экстремальной
системой является система точек \eqref{12}, где $l_0$ --- решение уравнения \eqref{8}. Теорема доказана.
\end{proof}

Заметим, что из теорем~\ref{T1}, \ref{T2} при $\delta_k(l)\le\delta\le\Delta_k(l)$ следует, что минимальная экстремальная система имеет вид
\begin{equation}\label{24}
z_j=-l_0\sn^2\left[\frac{j-1}kL_0,l_0\right],\quad j=1,\ldots,k,
\end{equation}
где $l_0$ определяется равенством $\delta_k(l_0)=\delta$.

Обозначим через $r_n(z_0,\delta)$ выражение \eqref{20}, в котором нижняя грань берется по точкам $z_1,\ldots,z_n\in(1,0]$. Из теоремы~\ref{T2} непосредственно вытекает

\begin{corollary}\label{C1}
При всех $l\in[-z_n,1)$ и всех $z_0\in(0,1)$ имеют место равенства
$$r_n(z_0,\delta)=r_n(z_0,\delta,l)=B_n(z_0,l_0),$$
где $l_0$ определяется из уравнения $\eqref{8}$. Экстремальная система узлов $z_1,\ldots,z_n$
единственна и имеет вид $\eqref{12}$.
\end{corollary}

\refstepcounter{section}
\section*{\bf\S\ \arabic{section}. Оптимальная экстраполяция аналитических функций, заданных с ошибкой}

Рассмотренные задачи тесно связаны с задачей приближения аналитических функций, заданных с ошибкой. Пусть в некоторых точках $z_1,\ldots,z_n$ из круга $K$ заданы значения функции $f\in B$ с погрешностью $\delta$, т. е. известны значения $f_1,\ldots,f_n$, удовлетворяющие неравенствам
$$|f(z_j)-f_j|\le\delta,\quad j=1,\ldots,n.$$
Требуется восстановить значение функции в некоторой точке $z_0\in K$. Погрешностью наилучшего приближения назовем величину
\begin{equation}\label{25}
r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\infp_S\sup_{f\in B}\sup_{\substack{f_1,\ldots,f_n\\|f(z_j)-f_j|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)-S(f_1,\ldots,f_n)|,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам приближения) $S\colon\mathbb C^n\to\mathbb C$. Назовем метод $S_0$ наилучшим, если на нем достигается нижняя грань в равенстве \eqref{25}.

Можно рассмотреть задачу минимизации погрешности наилучшего приближения за счет выбора узлов $z_1,\ldots,z_n$ из некоторого множества $E\subset K$, т.е. задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{26}
R_n(z_0,\delta,E)=\inf_{z_1,\ldots,z_n\in E}r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta).
\end{equation}

Если на точках $z_1^0,\ldots,z_n^0$ достигается нижняя грань в равенстве \eqref{26}, то назовем их оптимальными узлами для данного $n$ на множестве $E$. Наилучший метод приближения по оптимальным узлам будем называть оптимальным для данного $n$.

Положим
\begin{equation}\label{27}
R(z_0,\delta,E)=\inf_nR_n(z_0,\delta,E).
\end{equation}
Если существует конечное число, на котором достигается нижняя грань в равенстве \eqref{27}, то минимальное из таких чисел будем называть порядком информативности множества $E$ для данных $\delta$ и $z_0$. В противном случае будем считать порядок информативности равным бесконечности. Оптимальные узлы и метод для конечного порядка информативности назовем оптимальными узлами и методом, соответственно, на множестве $E$.

Известно (см., например, \cite{12}), что
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_j)|\le\delta,\ j=1,\ldots,n}}|f(z_0)|.$$
Таким образом, при $z_0\in(0,1)$ имеют место равенства
$$R_n(z_0,\delta,[-l,0])=r_n(z_0,\delta,l),\quad R_n(z_0,\delta,(-1,0])=r_n(z_0,\delta),$$
а из теоремы~\ref{T2} вытекает

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть при некотором $n$ \  $\delta_n(l)\le\delta<\delta_{n-1}(l)$. Тогда

$1)$ порядок информативности отрезка $[-l,0]$ равен $n$ при всех $z_0\in(0,1)$, а оптимальными узлами отрезка $[-l,0]$ являются $n$ последовательных экстремумов (начиная с нуля) экстремальной функции $f^*(z)$ в задаче Хейнса для этого отрезка. При этом
$$R(z_0,\delta,l)=f^*(z_0);$$

$2)$ при $k<n$ имеет место равенство
$$R_k(z_0,\delta,l)=B_k(z_0,l_0),$$
где $l_0$ удовлетворяет равенству $\delta_k(l_0)=\delta$, а оптимальные узлы для данного $k$ имеют вид \eqref{24}.
\end{theorem}

Обозначим через $z_1,\ldots,z_k$ и $u_1,\ldots,u_k$ оптимальные узлы и нули экстремальной функции в задаче о нахождении величины $R_k(z_0,\delta,l)$, где $k$ не превосходит порядка информативности отрезка $[-l,0]$. Из работы \cite{12} следует, что оптимальный метод приближения для данного $k$ имеет вид
$$f(z_0)\approx\sum_{j=1}^k\frac{\omega_j(z_0)}{\omega_j(z_j)}f_j,$$
где
$$\omega_j(z)=\prod_{\substack{m=1\\m\ne j}}^k(z-z_m)\prod_{m=1}^k\frac{1-z_mz}{(1-u_mz)^2}.$$

Этот метод может быть записан также в виде
\begin{equation}\label{28}
f(z_0)\approx\sum_{j=1}^k\frac{\omega(z_0)}{(z_0-z_j)\omega'(z_j)}f_j,
\end{equation}
где
$$\omega(z)=\prod_{m=1}^k\frac{(z-z_m)(1-z_mz)}{(1-u_mz)^2}.$$

Если $\delta_n(l)\le\delta<\delta_{n-1}(l)$ и $k<n$ или $k=n$ и $\delta_n(l)\le\delta<\Delta_n(l)$, то для оптимальных узлов справедливы равенства \eqref{24}, а нули экстремальной функции
$$u_j=-l_0\sn^2\left[\frac{2j-1}{2k}L_0,l_0\right],\quad j=1,\ldots,k;$$
здесь $l_0$ находится из условия $\delta_k(l_0)=\delta$. Сама экстремальная функция имеет вид
$$f^*(z)=B_k(z,l_0).$$
Можно показать, что в рассматриваемом случае
$$\omega(z)=Cz{f^*}'(z),$$
где $C$ --- некоторая постоянная, которая несущественна, так как из вида оптимального метода \eqref{28} следует, что функцию $\omega(z)$ можно определить с точностью до постоянного множителя.

Рассмотрим теперь величину $R(z_0,\delta,(-1,0])$. Из следствия~\ref{C1} вытекает справедливость неравенства
$$R_n(z_0,\delta,(-1,0])>R_{n+1}(z_0,\delta,(-1,0]),\quad n=1,2,\ldots.$$
Тем самым
$$R(z_0,\delta,(-1,0])=\lim_{n\to\infty}R_n(z_0,\delta,(-1,0]),$$
а порядок информативности полуинтервала $(-1,0]$ равен бесконечности.

Пользуясь следствием~\ref{C1} и равенствами \eqref{6}, получаем при всех $z\in(0,1)$
$$R_n(z_0,\delta,(-1,0])=\delta\sn\left[\frac{K'}{L'}v+K,\delta^2\right],$$
где
\begin{equation}\label{29}
z=-l\sn^2[v,l],
\end{equation}
а $l$ удовлетворяет уравнению \eqref{8}; здесь $K$, $K'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $\delta^2$, $\sqrt{1-\delta^4}$ соответственно. Если $n\to\infty$, то $l\to1$ и равенство \eqref{29} переходит в равенство
\begin{equation}\label{30}
z=-\th^2v,
\end{equation}
кроме того, $\displaystyle\lim_{l\to1}L'=\pi/2$ (см.\ \cite[с.~116, 117]{14}). Таким образом, при всех $z\in(0,1)$
\begin{equation}\label{31}
R(z_0,\delta,(-1,0])=\delta\sn\left[\frac2\pi K'v+K,\delta^2\right],
\end{equation}
где $v$ определяется равенством \eqref{30}.

Следует отметить, что функция \eqref{31} является при всех $z_0\in(0,1)$ экстремальной в задаче Мию о нахождении величины
$$\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in(-1,0]}}|f(z_0)|,$$
которая была решена Хейнсом в работе \cite{2} (см. также \cite{3}). Экстремальная функция в этой задаче единственна с точностью до множителя $e^{i\alpha}$ и является бесконечным произведением Бляшке с нулями в точках
$$u_j=-\th^2\frac{\pi K}{2K'}(2j-1),\quad j=1,2,\ldots.$$

\renewcommand{\refname}{\bf Литература}
\begin{thebibliography}{11}
\selectlanguage{english}
\bibitem{1} {\it Heins~M.} On a problem of Walsh concerning the Hadamard three circles theorem.--- Trans. Amer. Math. Soc, 1944, v.~55,\selectlanguage{russian} \No~3,\selectlanguage{english} p.~349--372.

\bibitem{2} {\it Heins~M.} The problem of Milloux for functions analytic throughout the interior of the unit circle.--- Amer. Journ. Math., 1945, v.~67,\selectlanguage{russian} \No~2, p.~212--234.

\bibitem{3} {\it Хавинсон~С.~Я.} Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области.--- УМН, 1963, т.~18, вып.~2, с.~25--98.

\bibitem{4} {\it Золотарев~Е.~И.} Приложения эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее уклоняющихся от нуля. т.~2. М., 1932, с.~1--59.

\bibitem{5} {\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек.--- Матем. заметки. 1976, т.~19, \No~1, с.~29--40.

\bibitem{6} {\it Гончар~А.~А.} О задачах Е.~И.~Золотарева, связанных с рациональными функциями.--- Матем. сб., 1969, т.~78(120), с.~640--654.

\bibitem{7} {\it Тихомиров~В.~М.} Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976.

\bibitem{8} {\it Ахиезер~Н.~И.} Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.
\selectlanguage{english}
\bibitem{9} {\it Karlin~S.} Oscillatory perfect spolines and related extremum problems. Studies in spline functions and approximation theory. N.~Y.: Acad. Press, 1976, p.~371--460.

\bibitem{10} {\it Pinkus~A.} Some extremal properties of perfect splines and the pointwise Landau problem on the finite interval.--- J. Approxim. Theory, 1979, v.~23,\selectlanguage{russian} \No~1, p.~37--67.
\selectlanguage{english}
\bibitem{11} {\it Rivlin~T.~J.} A survey of recent results on optimal recovery. Polynom and spline approximat. Proc. NATO Adv. Study Inst., Calgary, 1978, Dordrecht e.~a., 1979, p.~225--245.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{12} {\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшие методы приближения аналитических функций, заданных с погрешностью.--- Матем. сб., 1982, т.~118(160), с.~350--370.
\bibitem{13} {\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций.--- Матем. заметки, 1972, т.~12, \No~4, с.~465--476.

\bibitem{14} {\it Ахиезер~Н.~И.} Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.
\end{thebibliography}

\bigskip

\bigskip

\noindent Московский авиационный \hfill Поступила в редакцию\\
технологический институт\hfill 22.III.1984

\end{document}