\documentclass[draft]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}




\tolerance 100

\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
%\newtheorem{theorem*}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{remark}{Змечания}
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
%\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand{\wx}{\widehat x}
\newcommand{\wu}{\widehat u}
\newcommand{\ov}{\overline}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\LL}{\mathcal L}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\lp}{L_p(T,\mu)}
\newcommand*{\lpk}{L_p(T)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}}
\newcommand*{\wdd}{\widetilde d}
\newcommand*{\vq}{\widetilde q}
\newcommand*{\wII}{\widetilde I}
\newcommand*{\wC}{\widetilde K}
\newcommand*{\wCC}{\widetilde C}
\newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\lpd}{L_p(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\lqd}{L_q(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\lrd}{L_r(\mathbb R^d)}
\newcommand*{\wL}{\widetilde L}
\newcommand*{\iRd}{\int_{\mathbb R^d}}
\newcommand*{\wM}{\widetilde M}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
%\newcommand*{\wps}{\widetilde w}
%\newcommand*{\wva}{\widetilde w}
\newcommand*{\ww}{\widetilde w}
\newcommand*{\lr}{L_r(T,\mu)}
\newcommand*{\lrk}{L_r(T)}
\newcommand*{\lqq}{L_q(T,\mu)}
\newcommand*{\lqk}{L_q(T)}
\newcommand*{\lpn}{L_p(T_0,\mu)}
\newcommand*{\iTn}{\int_{T_0}}
\newcommand*{\iTnn}{\int_{T_1}}
\newcommand*{\iT}{\int_T}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\wk}{\widetilde\kappa}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\theta}
\newcommand*{\wtt}{\widetilde t}
\newcommand*{\wwt}{\widehat t}
\newcommand*{\wg}{\widetilde\gamma}
\newcommand*{\wpp}{\widehat p}
\newcommand*{\wqq}{\widehat q}
\newcommand*{\wxi}{\widehat\xi}
\newcommand*{\wtw}{\widetilde w}
\newcommand*{\wwg}{\widehat\gamma}
\newcommand*{\wwq}{\widehat q^*}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\mes}{mes}

\begin{document}
\title{Точные неравенства типа Карлсона со многими весами}
\author{К.~Ю.~Осипенко}
\begin{abstract}
В работе рассматриваются точные неравенства типа Карл\-со\-на вида
$$\|w\cd x\cd\|_{L_q(T)}\le K\|w_0\cd x\cd\|_{L_p(T)}^{\gamma}\left(\max_{1\le j\le n}\|w_j\cd x\cd\|_{L_r(T)}\right)^{1-\gamma},$$
где $T$ --- конус в $\mathbb R^d$, а веса $w_j$, $j=1,\ldots,n$, обладают некоторым свойством симметрии.
\end{abstract}

\address{Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова}
\address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН}

\maketitle

\section{Введение}

Пусть $T$ --- некоторое непустое множество, $\Sigma$ --- $\sigma$-алгебра подмножеств $T$ и $\mu$ --- неотрицательная $\sigma$-аддитивная мера на $\Sigma$. Через $\lp$ обозначим совокупность всех $\Sigma$-измеримых функций со значениями в $\mathbb R$ или $\mathbb C$, для которых
$$\|x\cd\|_{\lp}=\begin{cases}\displaystyle\biggl(\int_T|x(t)|^p\,d\mu\biggr)^{1/p}
<\infty,&1\le p<\infty,\\[10pt]
\displaystyle\vraisup_{t\in T}|x(t)|<\infty,&p=\infty.\end{cases}$$
Для $T\subset\mathbb R^d$ и $d\mu=dt$, $t\in\mathbb R^d$, положим $L_p(T)=\lp$.

Неравенство Карлсона \cite{Ca}
\begin{equation*}
\|x(t)\|_{L_1(\mathbb R_+)}\le\sqrt\pi\|x(t)\|_{L_2(\mathbb R_+)}^{1/2}
\|tx(t)\|_{L_2(\mathbb R_+)}^{1/2},\quad\mathbb R_+=[0,+\infty),
\end{equation*}
обобщалось многими авторами (см. \cite{Le,An,Ar2,B,Lu,Os,Os21}). В работе \cite{Os} была найдена точная константа в неравенстве вида
\begin{equation}\label{K}
\|w\cd x\cd\|_{\lqq}\le K\|w_0\cd x\cd\|_{\lp)}^\gamma\|w_1\cd x\cd\|_{\lr}^{1-\gamma},
\end{equation}
где $T$ --- конус в линейном пространстве, $w\cd$, $w_0\cd$ и $w_1\cd$ --- однородные функции, $\mu$ --- однородная мера и $1\le q<p,r<\infty$ (при $T=\mathbb R^d$ точная константа была получена в работе \cite{B}). Напомним, что константа $K$ называется точной, если ее нельзя заменить на меньшую. Само неравенство в таком случае называется точным.

Нахождение точной константы в неравенстве \eqref{K} тесно связано со следующей экстремальной задачей:
$$\|w\cd x\cd\|_{\lqq}\to\max,\quad\|w_0\cd x\cd\|_{\lp)}\le\delta,\quad
\|w_1\cd x\cd\|_{\lr}\le1,$$
где $\delta>0$. В этой работе изучается экстремальная задача
\begin{multline}\label{ex1}
\|w\cd x\cd\|_{\lqq}\to\max,\quad\|w_0\cd x\cd\|_{\lp)}\le\delta,\\\|w_j\cd x\cd\|_{\lr}\le1,\ j=1,\ldots,n,
\end{multline}
где $w\cd$, $w_0\cd$ и $w_j\cd$, $j=1,\ldots,n$, --- однородные функции с некоторыми дополнительными свойствами симметрии на функции $w_j\cd$, $j=1,\ldots,n$. Полученные результаты применяются для получения точных неравенств типа Карлсона со многими весами.

\section{Однородные весовые функции на конусе в линейном пространстве}

Пусть $T$ --- конус в линейном пространстве, $\mu\cd$ --- однородная мера порядка $d$, $|w\cd|$, $|w_0\cd|$ --- однородные функции порядков $\theta$, $\theta_0$, а $|w_j\cd|$, $j=1,\ldots,n$, --- однородные функции порядка $\theta_1$. Будем предполагать, что $w(t),w_0(t)\ne0$ и $\sum_{j=1}^n|w_j(t)|\ne0$ для почти всех $t\in T$.
Если $1\le q<p,r<\infty$, то при $k\in[0,1)$ функция $k^{\frac1{p-q}}(1-k)^{-\frac1{r-q}}$ монотонно возрастает от $0$ до $+\infty$. Следовательно существует функция $k\cd$ такая, что для почти всех $t\in T$
\begin{equation}\label{kk}
\frac{k^{\frac1{p-q}}(t)}{(1-k(t))^{\frac1{r-q}}}=\left|\frac{w(t)}{w_0(t)}\right|
^{\frac{q(p-r)}{(p-q)(r-q)}}\biggl(\sum_{j=1}^n\left|
\frac{w_j(t)}{w_0(t)}\right|^r\biggr)^{-\frac1{r-q}}.
\end{equation}
Положим
\begin{equation}\label{gam}
\gamma=\frac{\theta_1-\theta-d(1/q-1/r)}{\theta_1-\theta_0+d(1/r-1/p)}.
\end{equation}

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $1\le q<p,r<\infty$ и $\theta_0-\theta_1+d(1/p-1/r)\ne0$. Предположим, что
\begin{align*}
I_1&=\iT\left|\frac{w(z)}{w_0(z)}\right|^{\frac{pq}{p-q}}k^{\frac p{p-q}}(z)\,d\mu(z)<\infty,\\
I_{j+1}&=\iT\frac{|w(z)|^{\frac{qr}{p-q}}}{|w_0(z)|^{\frac{pr}{p-q}}}|w_j(z)|^rk^{\frac r{p-q}}(z)\,d\mu(z)<\infty,\quad j=1,\ldots,n,
\end{align*}
и, кроме того, $I_2=\ldots=I_{n+1}$. Тогда для всех $x\cd\ne0$ таких, что $w_0\cd x\cd\in\lp$ и $w_j\cd x\cd\in\lr$, $j=1,\ldots,n$, имеет место точное неравенство
\begin{equation}\label{CCC}
\|w\cd x\cd\|_{\lqq}\le K\|w_0\cd x\cd\|_{\lp}^{\gamma}\left(\max_{1\le j\le n}\|\omega_j\cd x\cd\|_{\lr}\right)^{1-\gamma},
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{exK}
K=I_1^{-\gamma/p}I_2^{-(1-\gamma)/r}(I_1+nI_2)^{1/q}.
\end{equation}
\end{theorem}

Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы. Первая из них по сути является достаточным условием экстремума из теоремы Каруша--Куна--Таккера (см., например, \cite[с.~39]{Osb} (в силу простоты ее доказательства, состоящего из одной выкладки, оно приведено).

Пусть $f_j\colon A\to\mathbb R$, $j=0,1,\ldots,k$, --- функции, определенные на некотором множестве $A$. Рассмотрим экстремальную задачу
\begin{equation}\label{ex0}
f_0(x)\to\max,\quad f_j(x)\le0,\quad j=1,\ldots,k,\quad x\in A,
\end{equation}
и ее функцию Лагранжа
$$\LL(x,\lambda)=-f_0(x)+\sum_{j=1}^k\lambda_jf_j(x),\quad
\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_k).$$

\begin{lemma}\label{L1}
Пусть существуют $\wl_j\ge0$, $j=1,\ldots,k$, и допустимый в задаче \eqref{ex0} элемент $\wx\in A$, для которых
\begin{align*}
(a)&\quad\min_{x\in A}\LL(x,\wl)=\LL(\wx,\wl),\quad\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_k),\\
(b)&\quad\wl_jf_j(\wx)=0,\quad j=1,\ldots,k.
\end{align*}
Тогда $\wx$ --- экстремальный элемент в задаче \eqref{ex0}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Для любого допустимого в задаче \eqref{ex0} элемента $x\in A$ имеем
$$-f_0(x)\ge\LL(x,\wl)\ge\LL(\wx,\wl)=-f_0(\wx).$$
\end{proof}

Вторая лемма --- частный случай леммы~3 из работы \cite{Os}.

\begin{lemma}\label{L3}
Для всех $a,b\ge0$ таких, что $a+b>0$, и всех $1\le q<p,r<\infty$ существует единственное решение  $\wu>0$ уравнения
%\begin{equation}\label{lem}
$$q+pau^{p-q}+rbu^{r-q}=0.$$
%\end{equation}
При этом для всех $u\ge0$
$$-\wu^q+a\wu^p+b\wu^r\le-u^q+au^p+bu^r.$$
\end{lemma}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{T1}]
Положим
$$\wx(t)=|w_0(t)|^{-\frac p{p-q}}\left(\frac{q|w(t)|^q}{p\lambda_0}\right)^{\frac1{p-q}}k^{\frac1{p-q}}(\xi t),$$
где параметры $\lambda_0,\xi>0$ подберем так, чтобы выполнялись равенства
\begin{equation}\label{eI}
\iT|w_0(t)|^p\wx^p(t)\,d\mu(t)=\delta^p,\quad\iT|w_j(t)|^r\wx^r(t)\,d\mu(t)
=1,\ j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Сделав замену $z=\xi t$ и учитывая однородность функций $w\cd$, $w_0\cd$, $w_j\cd$, $j=1,\ldots,n$, а также меры $\mu\cd$, получаем
$$\iT|w_0(t)|^p\wx^p(t)\,d\mu(t)=\left(\frac q{p\lambda_0}\right)^{\frac p{p-q}}I_1\xi^{(\theta_0-\theta)\frac{qp}{p-q}-d}.$$
Аналогично находим
$$\iT|w_j(t)|^r\wx^r(t)\,d\mu(t)=\left(\frac q{p\lambda_0}\right)^{\frac r{p-q}}I_{j+1}\xi^{(\theta_0-\theta)\frac{qr}{p-q}+r(\theta_0-\theta_1)-d},\quad j=1,\ldots,n.$$
Таким образом, равенства \eqref{eI} имеют вид
\begin{align*}
\left(\frac q{p\lambda_0}\right)^{\frac p{p-q}}I_1\xi^{(\theta_0-\theta)\frac{qp}{p-q}-d}
&=\delta^p,\\
\left(\frac q{p\lambda_0}\right)^{\frac r{p-q}}I_{j+1}
\xi^{(\theta_0-\theta)\frac{qr}{p-q}+r(\theta_0-\theta_1)-d}&=1,\ j=1,\ldots,n.
\end{align*}
Нетрудно убедиться, что при
\begin{align*}
\xi&=\left(\delta I_1^{-1/p}I_2^{1/r}\right)^{\frac1{\theta_1-\theta_0+d(1/r-1/p)}},\\
\lambda_0&=\frac qpI_1^{1-q/p}\xi^{(\theta_0-\theta)q-d(1-q/p)}\delta^{q-p},
\end{align*}
эти равенства выполняются.

Рассмотрим экстремальную задачу, эквивалентную задаче \eqref{ex1}
\begin{multline}\label{ebas}
\iT|w(t)|^q|x(t)|^q\,d\mu(t)\to\max,\quad\iT|w_0(t)|^p|x(t)|^p\,d\mu(t)\le\delta^p,\\
\iT|w_j(t)|^r|x(t)|^r\,d\mu(t)\le1,\quad j=1,\ldots,n.
\end{multline}
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
$$\LL(x\cd,\ov\lambda))=\iT L(t,x(t),\ov\lambda)\,d\mu(t),\quad\ov\lambda=(\lambda_0,\lambda_1,\ldots\lambda_n),$$
где
$$L(t,x(t),\ov\lambda)=-|w(t)|^q|x(t)|^q+\lambda_0|w_0(t)|^p|x(t)|^p+
|x(t)|^r\sum_{j=1}^n\lambda_j|w_j(t)|^r.$$

Из определения функции $\wx\cd$ получаем
\begin{equation}\label{k1}
p\lambda_0|w_0(t)|^p\wx^{p-q}(t)=q|w(t)|^qk(\xi t)
\end{equation}
и
$$r\sum_{j=1}^n|w_j(t)|^r\wx^{r-q}(t)=r\sum_{j=1}^n|w_j(t)|^r|w_0(t)|^{-\frac{p(r-q)}{p-q}}
\left(\frac{q|w(t)|^q}{p\lambda_0}\right)^{\frac{r-q}{p-q}}k^{\frac{r-q}{p-q}}(\xi t).$$
Из \eqref{kk} и однородности функций $|w\cd|$, $|w_0\cd|$, $w_j\cd$, $j=1,\ldots,n$, вытекает, что
\begin{multline*}
k^{\frac{r-q}{p-q}}(\xi t)=\left|\frac{w(\xi t)}{w_0(\xi t)}\right|
^{\frac{q(p-r)}{p-q}}\biggl(\sum_{j=1}^n\left|\frac{w_j(\xi t)}{w_0(\xi t)}\right|^r\biggr)^{-1}(1-k(\xi t))\\
=\xi^{(\theta-\theta_0)\frac{q(p-r)}{p-q}-(\theta_1-\theta_0)r}\left|\frac{w(t)}{w_0(t)}\right|
^{\frac{q(p-r)}{p-q}}\biggl(\sum_{j=1}^n\left|\frac{w_j(t)}{w_0(t)}\right|^r\biggr)^{-1}(1-k(\xi t)).
\end{multline*}
Таким образом,
$$r\sum_{j=1}^n|w_j(t)|^r\wx^{r-q}(t)=r\left(\frac q{p\lambda_0}\right)^{\frac{r-q}{p-q}}\xi^{(\theta-\theta_0)\frac{q(p-r)}{p-q}-(\theta_1-\theta_0)r}
|w(t)|^q(1-k(\xi t)).$$
Положим
$$\lambda=\frac qr\left(\frac q{p\lambda_0}\right)^{-\frac{r-q}{p-q}}\xi^{(\theta_0-\theta)\frac{q(p-r)}{p-q}+
(\theta_1-\theta_0)r}.$$
Тогда
\begin{equation}\label{k2}
r\lambda\sum_{j=1}^n|w_j(t)|^r\wx^{r-q}(t)=q|w(t)|^q(1-k(\xi t)).
\end{equation}
Складывая \eqref{k1} и \eqref{k2}, получаем
\begin{equation}\label{er}
p\lambda_0|w_0(t)|^p\wx^{p-q}(t)+r\lambda\sum_{j=1}^n|w_j(t)|^r\wx^{r-q}(t)=q|w(t)|^q.
\end{equation}
Из леммы~\ref{L3} вытекает тогда, что для всех допустимых в \eqref{ebas} функций $x\cd$ и почти всех $t\in T$ при $\ov\lambda=(\lambda_0,\lambda,\ldots,\lambda)$ имеет место неравенство
$$L(t,\wx(t),\ov\lambda)\le L(t,x(t),\ov\lambda).$$
Следовательно,
$$\LL(\wx\cd,\ov\lambda))\le\LL(x\cd,\ov\lambda)).$$
Учитывая выполнение равенств \eqref{eI}, из леммы~\ref{L1} получаем, что $\wx\cd$ --- экстремальная функция в задаче \eqref{ebas}.
Принимая во внимание равенства \eqref{er} и \eqref{eI}, находим
\begin{multline}\label{EE}
\sup_{\substack{\|w_0\cd x\cd\|_{\lp}\le\delta\\\|w_j\cd x\cd\|_{\lr}\le1,\ j=1,\ldots,n}}
\|w\cd x\cd\|_{\lqq}^q=
\iT|w(t)|^q|\wx(t)|^q\,d\mu(t)\\
=q^{-1}\iT\biggl(p\lambda_0|w_0(t)|^p\wx^p(t)+
r\lambda\sum_{j=1}^n|w_j(t)|^r\wx^r(t)\biggr)\,d\mu(t)\\
=\frac{p\lambda_0\delta^p+nr\lambda}q=I_1^{1-q/p}\xi^{(\theta_0-\theta)q-d(1-q/p)}\delta^q+
n\left(\frac{p\lambda_0}q\right)^{\frac{r-q}{p-q}}
\xi^{(\theta_0-\theta)\frac{q(p-r)}{p-q}+
(\theta_1-\theta_0)r}\\
=I_1^{1-q/p}\xi^{(\theta_0-\theta)q-d(1-q/p)}\delta^q+nI_1^{r/p-q/p}
\xi^{(\theta_0-\theta)q-d(r/p-q/p)+(\theta_1-\theta_0)r}\delta^{q-r}\\
=\delta^{q\gamma}K^q.
\end{multline}

Пусть $x\cd\ne0$, $w_0\cd x\cd\in\lp$ и $w_j\cd x\cd\in\lr$, $j=1,\ldots,n$. Положим
$$A=\max_{1\le j\le n}\|w_j\cd x\cd\|_{\lr},\quad\delta=A^{-1}\|w_0\cd x\cd\|_{\lp}.$$
Тогда из \eqref{EE} вытекает, что
$$A^{-q}\|w\cd x\cd\|_{\lqq}^q\le\delta^{q\gamma}K^q.$$
Отсюда вытекает неравенство \eqref{CCC}. Если предположить, что существует постоянная $K_1<K$, для которой тоже выполняется неравенство \eqref{CCC}, то тогда
$$\sup_{\substack{\|w_0\cd x\cd\|_{\lp}\le\delta\\\|w_j\cd x\cd\|_{\lr}\le1,\ j=1,\ldots,n}}
\|w\cd x\cd\|_{\lqq}^q\le K_1^q\delta^{q\gamma}<K^q\delta^{q\gamma},$$
что противоречит \eqref{EE}.
\end{proof}

При $n=1$ утверждение теоремы~\ref{T1} было доказано в \cite{Os}.

\section{Однородные весовые функции на конусе в $\mathbb R^d$}

Пусть $T$ --- конус в $\mathbb R^d$, $d\mu(t)=dt$, $|w\cd|$, $|w_0\cd|$ --- однородные функции порядков $\theta$, $\theta_0$, а $|w_j\cd|$, $j=1,\ldots,n$, --- однородные функции порядка $\theta_1$. Будем по-прежнему предполагать, что $w(t),w_0(t)\ne0$ и $\sum_{j=1}^n|w_j(t)|\ne0$ для почти всех $t\in T$. Рассмотрим сферическую систему координат
$$\arraycolsep=0.08em
\begin{array}{rcl}
t_1&=&\rho\cos\omega_1,\\
t_2&=&\rho\sin\omega_1\cos\omega_2,\\
\hdotsfor{3}\\
t_{d-1}&=&\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\cos\omega_{d-1},\\
t_d&=&\rho\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}.
\end{array}$$
Положим $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_{d-1})$. Для любой функции $f\cd$, заданной на $\mathbb R^d$, введем следующее обозначение
%\begin{equation}\label{wtw}
$$\widetilde f(\omega)=|f(\cos\omega_1,\ldots,\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}
\sin\omega_{d-1})|.$$
%\end{equation}
Заметим, что если $|f\cd|$ однородная функция порядка $\kappa$, то $f(\omega)=\rho^{-\kappa}|f(t)|$. Обозначим через $\Omega$ область изменения $\omega$, когда $t\in T$. Из того, что $T$ --- конус, следует, что $\Omega$ не зависит от $\rho$. Положим
$$J(\omega)=\sin^{d-2}\omega_1\sin^{d-3}\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}.$$



Переходя к сферическим координатам, для функции $k\cd$ будем иметь равенство
\begin{equation}\label{kkr}
\frac{k^{\frac1{p-q}}(\rho,\omega)}{(1-k(\rho,\omega))^{\frac1{r-q}}}=
\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)q(p-r)-(\theta_1-\theta_0)r(p-q)}{(p-q)(r-q)}}
\frac{\ww^{\frac{q(p-r)}{(p-q)(r-q)}}(\omega)\ww_0^{\frac p{p-q}}(\omega)}
{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)\right)^{\frac1{r-q}}}.
\end{equation}

Предположим, что $\gamma\in(0,1)$, где $\gamma$ определено формулой \eqref{gam}. Положим
%\begin{equation}\label{qu}
$$\frac1{q^*}=\frac1q-\frac\gamma p-\frac{1-\gamma}r.$$
%\end{equation}
Нетрудно убедиться, что $q^*>q\ge1$. Кроме того,
$$q^*=\frac{pqr(\theta_1-\theta_0+d(1/r-1/p))}{(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)}.$$

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $1\le q<p,r<\infty$ и $\gamma\in(0,1)$. Предположим, что
$$I=\int_\Omega\frac{\ww^{q^*}(\omega)}{\ww_0^{q^*\gamma}(\omega)\left(\sum_{k=1}^n
\ww_k^r(\omega)\right)^{q^*(1-\gamma)/r}}J(\omega)\,d\omega<\infty$$
и $I'_1=\ldots=I'_n$, где
$$I'_j=\int_\Omega\frac{\ww^{q^*}(\omega)\ww_j^r(\omega)}{\ww_0^{q^*\gamma}(\omega)
\left(\sum_{k=1}^n\ww_k^r(\omega)\right)^{q^*(1-\gamma)/r+1}}J(\omega)\,d\omega,\ j=1,\ldots,n.$$
Тогда для всех $x\cd\ne0$ таких, что $w_0\cd x\cd\in\lpk$ и $w_j\cd x\cd\in\lrk$, $j=1,\ldots,n$, имеет место точное неравенство
%\begin{equation}\label{CCC1}
$$\|w\cd x\cd\|_{\lqk}\le\wC\|w_0\cd x\cd\|_{\lpk}^{\gamma}\left(\max_{1\le j\le n}\|\omega_j\cd x\cd\|_{\lrk}\right)^{1-\gamma},$$
%\end{equation}
где
\begin{equation}\label{wC}
\wC=\gamma^{-\frac\gamma p}\left(\frac{1-\gamma}n\right)^{-\frac{1-\gamma}r}\Biggl(\frac{B
\left(q^*\gamma/p,q^*(1-\gamma)/r\right)I}{|\theta_1-\theta_0+d(1/p-1/r)|(\gamma r+(1-\gamma)p)}\Biggr)^{1/q^*},
\end{equation}
а $B(\cdot,\cdot)$ --- $B$-функция Эйлера.
\end{theorem}

\begin{proof}
Вычислим величину $I_1$ из теоремы~\ref{T1} с помощью перехода к сферическим координатам. Имеем
\begin{multline*}
I_1=\iT\left|\frac{w(z)}{w_0(z)}\right|^{\frac{pq}{p-q}}k^{\frac p{p-q}}(z)\,dz\\
=\int_\Omega\left(\frac{\ww(\omega)}{\ww_0(\omega)}\right)^{\frac{qp}{p-q}}J(\omega)\,d\omega
\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qp}{p-q}+d-1}k^{\frac p{p-q}}(\rho,\omega)\,d\rho.
\end{multline*}
Из \eqref{kkr} следует, что
$$\rho^{(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)}=\frac{(1-k(\rho,\omega))^{p-q}}
{k^{r-q}(\rho,\omega)}\frac{\ww^{q(p-r)}(\omega)\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}
{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)\right)^{p-q}}
.$$
Зафиксируем $\omega\in\Omega$. Тогда
\begin{multline*}
d\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qp}{p-q}+d}=\left(\frac{\ww^{q(p-r)}(\omega)\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}
{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^\zeta\,d\frac{(1-k)^{(p-q)
\zeta}}{k^{(r-q)\zeta}}\\
=-\zeta\left(\frac{\ww^{q(p-r)}(\omega)\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}
{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^\zeta\frac
{(1-k)^{(p-q)\zeta-1}}{k^{(r-q)\zeta+1}}(r-q+(p-r)k)\,dk,
\end{multline*}
где
$$\zeta=\frac{(\theta-\theta_0)qp+d(p-q)}{(p-q)((\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r))}=
\frac{q^*(1-\gamma)}{r(p-q)}.$$
Если $\rho$ меняется от $0$ до $+\infty$, то $k$ будет меняться от $0$ до $1$ при  $(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)<0$ и от $1$ до $0$ при $(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)>0$. Поэтому
\begin{multline*}
\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qp}{p-q}+d-1}k^{\frac p{p-q}}(\rho,\omega)\,d\rho\\
=\frac{p-q}{(\theta-\theta_0)qp+d(p-q)}\int_0^{+\infty}
k^{\frac p{p-q}}(\rho,\omega)\,d\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qp}{p-q}+d}\\
=\frac1{|(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)|}\left(\frac{\ww^{q(p-r)}(\omega)
\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^\zeta\\
\times\int_0^1k^{\frac p{p-q}}
\frac{(1-k)^{(p-q)\zeta-1}}{k^{(r-q)\zeta+1}}(r-q+(p-r)k)\,dk\\
=\frac1{|(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)|}\left(\frac{\ww^{q(p-r)}
(\omega)\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^\zeta(K_1+K_2),
\end{multline*}
где
\begin{align*}
K_1&=(r-q)\int_0^1k^{\wpp}(1-k)^{\wqq-1}\,dk=(r-q)B(\wpp+1,\wqq),\\
K_2&=(p-r)\int_0^1k^{\wpp+1}(1-k)^{\wqq-1}\,dk=(p-r)B(\wpp+2,\wqq)\\
&\hspace{176pt}=(p-r)\frac{\wpp+1}{\wpp+\wqq+1}B(\wpp+1,\wqq),\\
\wpp&=\frac{(\theta_1-\theta)qr-d(r-q)}{(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)}
=q^*\frac{\gamma}p,\\
\wqq&=\frac{(\theta-\theta_0)qp+d(p-q)}{(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)}
=q^*\frac{1-\gamma}r.
\end{align*}
Таким образом,
\begin{multline*}
K_1+K_2=p\frac{(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)}{(\theta_1-\theta_0)pr+d(p-r)}
B(\wpp+1,\wqq)=\frac{pq}{q^*}B(\wpp+1,\wqq)\\
=\frac{q\gamma}{q^*}\left(\frac\gamma p+\frac{1-\gamma}r\right)^{-1}B(\wpp,\wqq).
\end{multline*}
Отсюда
$$I_1=\frac\gamma{pr|\theta_1-\theta_0+d(1/r-1/p)|}\left(\frac\gamma p+\frac{1-\gamma}r\right)^{-1}B(\wpp,\wqq)I.$$

Теперь найдем $I_2$. Имеем
\begin{multline*}
I_2=\iT\frac{|w(z)|^{\frac{qr}{p-q}}}{|w_0(z)|^{\frac{pr}{p-q}}}|w_1(z)|^rk^{\frac r{p-q}}(z)\,dz\\
=\int_\Omega\frac{\ww^{\frac{qr}{p-q}}(\omega)}{\ww_0^{\frac{pr}{p-q}}(\omega)}\ww_1^r(\omega)
J(\omega)\,d\omega
\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qr}{p-q}+(\theta_1-\theta_0)r+d-1}k^{\frac r{p-q}}(\rho,\omega)\,d\rho.
\end{multline*}
Зафиксируем $\omega\in\Omega$. Тогда
\begin{multline*}
d\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qr}{p-q}+(\theta_1-\theta_0)r+d}=\left(\frac{\ww^{q(p-r)}(\omega)
\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}
{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^{\zeta_1}\,d\frac{(1-k)^{(p-q)
\zeta_1}}{k^{(r-q)\zeta_1}}\\
=-\zeta_1\left(\frac{\ww^{q(p-r)}(\omega)\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}
{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^{\zeta_1}\frac
{(1-k)^{(p-q)\zeta_1-1}}{k^{(r-q)\zeta_1+1}}(r-q+(p-r)k)\,dk,
\end{multline*}
где
$$\zeta_1=\frac{(\theta-\theta_0)qr+((\theta_1-\theta_0) r+d)(p-q)}{(p-q)((\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r))}=\frac{q^*(1-\gamma)}{r(p-q)}+
\frac1{p-q}.$$
Имеем
\begin{multline*}
\int_0^{+\infty}\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qr}{p-q}+(\theta_1-\theta_0)r+d-1}k^{\frac r{p-q}}(\rho,\omega)\,d\rho\\
=\frac{p-q}{(\theta-\theta_0)qr+((\theta_1-\theta_0) r+d)(p-q)}\int_0^{+\infty}k^{\frac r{p-q}}(\rho,\omega)\,d\rho^{\frac{(\theta-\theta_0)qr}{p-q}+(\theta_1-\theta_0)r+d}\\
=\frac1{|(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)|}\left(\frac{\ww^{q(p-r)}
(\omega)\ww_0^{p(r-q)}(\omega)}{\left(\sum_{j=1}^n\ww_j^r(\omega)
\right)^{p-q}}\right)^{\zeta_1}(L_1+L_2),
\end{multline*}
где
\begin{align*}
L_1&=(r-q)\int_0^1k^{\wpp-1}(1-k)^{\wqq}\,dk=(r-q)B(\wpp,\wqq+1),\\
L_2&=(p-r)\int_0^1k^{\wpp}(1-k)^{\wqq}\,dk=(p-r)B(\wpp+1,\wqq+1)\\
&\hspace{176pt}=(p-r)\frac{\wpp}{\wpp+\wqq+1}B(\wpp,\wqq+1).
\end{align*}
Таким образом,
\begin{multline*}
L_1+L_2=r\frac{(\theta_1-\theta_0)r(p-q)-(\theta-\theta_0)q(p-r)}{(\theta_1-\theta_0)pr+d(p-r)}
B(\wpp,\wqq+1)=\frac{qr}{q^*}B(\wpp,\wqq+1)\\
=\frac{q(1-\gamma)}{q^*}\left(\frac\gamma p+\frac{1-\gamma}r\right)^{-1}B(\wpp,\wqq).
\end{multline*}
Следовательно,
$$I_2=\frac{1-\gamma}{pr|\theta_1-\theta_0+d(1/r-1/p)|}\left(\frac\gamma p+\frac{1-\gamma}r\right)^{-1}B(\wpp,\wqq)I_1'.$$
Из того, что
$$I_1'+\ldots+I_n'=I,$$
вытекает, что $I_j'=I/n$, $j=1,\ldots,n$. Тем самым
$$I_2=\frac{1-\gamma}{pr|\theta_1-\theta_0+d(1/r-1/p)|}\left(\frac\gamma p+\frac{1-\gamma}r\right)^{-1}B(\wpp,\wqq)\frac In.$$
Остается подставить выражения для $I_1$ и $I_2$ в формулу \eqref{exK}.
\end{proof}

При $n=1$ утверждение теоремы~\ref{T2} было доказано в \cite{B}.

Приведем пример весов, для которых выполнены условия теоремы~\ref{T2}. Пусть $T=\mathbb R^d_+$,
\begin{equation}\label{wei}
w(t)=(t_1^2+\ldots+t_d^2)^{\theta/2},\quad w_0(t)=(t_1^2+\ldots+t_d^2)^{\theta_0/2},\quad w_j(t)=t_j^{\theta_1},\ j=1,\ldots,d.
\end{equation}
Будем считать, что $\gamma\in(0,1)$. Это эквивалентно тому, что $\theta_1+d(1/r-1/q)>\theta>\theta_0+d(1/p-1/q)$ или $\theta_1+d(1/r-1/q)<\theta<\theta_0+d(1/p-1/q)$.

Нетрудно убедиться, что $\wtw\cd=\wtw_0\cd=1$, а $\wtw_j(\omega)={\wtt_j\hspace{-2pt}}^{\theta_1}(\omega)$, $j=1,\ldots,d$, где
\begin{equation*}
\arraycolsep=0.08em
\begin{array}{rcl}
\wtt_1(\omega)&=&\cos\omega_1,\\
\wtt_2(\omega)&=&\sin\omega_1\cos\omega_2,\\
\hdotsfor{3}\\
\wtt_{d-1}(\omega)&=&\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\cos\omega_{d-1},\\
\wtt_d(\omega)&=&\sin\omega_1\sin\omega_2\ldots\sin\omega_{d-2}\sin\omega_{d-1}.
\end{array}
\end{equation*}
Заметим, что
$$\sum_{k=1}^d\wtt_k^2(\omega)=1.$$

Для величины $I$ из теоремы~\ref{T2} имеем
\begin{equation}\label{wII}
I=\int_{\Pi_+^{d-1}}\frac{J(\omega)\,d\omega}{\left(\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^{r\theta_1}(\omega)\right)^{q^*(1-\gamma)/r}},
\quad\Pi_+^{d-1}=[0,\pi/2]^{d-1}.
\end{equation}
Если $r\theta_1\le2$, то
\begin{equation}\label{etd1}
\sum_{k=1}^d{\wtt_k\hspace{-3pt}}^{r\theta_1}(\omega)\ge\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^2(\omega)=1.
\end{equation}
Если же $r\theta_1>2$, то по неравенству Гельдера
$$1=\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^2(\omega)\le\biggl(\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^{r\theta_1}(\omega)\biggr)^{\frac2{r\theta_1}}d^{1-\frac2{r\theta_1}}.$$
Тем самым
\begin{equation}\label{etd2}
\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^{r\theta_1}(\omega)\ge d^{1-\frac{r\theta_1}2}.
\end{equation}
Из \eqref{etd1} и \eqref{etd2} вытекает, что $I<\infty$.

Для $I'_j$ имеем
$$I'_j=\int_{\Pi_+^{d-1}}\frac{\wtt_j\hspace{-3pt}^{r\theta_1}J(\omega)\,d\omega}
{\left(\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^{r\theta_1}(\omega)\right)^{q^*(1-\gamma)/r+1}},\ j=1,\ldots,d.$$
Рассмотрим интегралы
\begin{equation*}
M_j=\int_{\mathbb R_+^d\cap\mathbb B^d}\frac{\left(\sum_{k=1}^dt_k^2\right)^{\theta_1q^*(1-\gamma)/2}t_j^{r\theta_1}}
{\left(\sum_{k=1}^dt_k^{r\theta_1}\right)^{q^*(1-\gamma)/r+1}}\,dt,\ j=1,\ldots,d,
\end{equation*}
где $\mathbb B^d$ --- единичный шар в $\mathbb R^d$. Если сделать замену переменных в интеграле $M_j$, поменяв местами переменные $t_j$ и $t_k$, то интеграл $M_j$ перейдет в интеграл $M_k$. Следовательно, $M_1=\ldots=M_d$. Переходя к сферическим координатам, получим, что $M_j=I'_j/d$, $j=1,\ldots,d$. Таким образом, $I'_1=\ldots=I'_d$.

Для рассматриваемого случая из теоремы~\ref{T2} получаем

\begin{corollary}
Пусть $1\le q<p,r<\infty$ и выполнено неравенство $\theta_1+d(1/r-1/q)>\theta>\theta_0+d(1/p-1/q)$ или $\theta_1+d(1/r-1/q)<\theta<\theta_0+d(1/p-1/q)$. Тогда для весов \eqref{wei} и всех $x\cd$, для которых $w_0\cd x\cd\in L_p(\mathbb R_+^d)$ и $w_j\cd x\cd\in L_r(\mathbb R_+^d)$, $j=1,\ldots,d$, имеет место точное неравенство
\begin{equation*}
\|w\cd x\cd\|_{L_q(\mathbb R_+^d)}\le\wC\|w_0\cd x\cd\|_{L_p(\mathbb R_+^d)}^{\wg}\left(\max_{1\le j\le d}\|\omega_j\cd x\cd\|_{L_r(\mathbb R_+^d)}\right)^{1-\wg},
\end{equation*}
где величина $\wC$ определена равенством \eqref{wC}, в котором значение $I$ определено равенством \eqref{wII}.
\end{corollary}

Приведем еще одно результат для весов \eqref{wei}.

\begin{corollary}\label{cor7}
Пусть $1\le q<p,r<\infty$. Веса \eqref{wei} таковы, что $\theta=d(1-1/q)$, $\theta_0=d-(\lambda+d)/p$, $\theta_1=d+(\mu-d)/r$, где $\lambda,\mu>0$. Положим
\begin{equation*}
\alpha=\frac\mu{p\mu+r\lambda},\quad\beta=\frac\lambda{p\mu+r\lambda}.
\end{equation*}
Тогда для всех $x\cd$, для которых $w_0\cd x\cd\in L_p(\mathbb R_+^d)$ и $w_j\cd x\cd\in L_r(\mathbb R_+^d)$, $j=1,\ldots,d$, имеет место точное неравенство
$$\|w\cd x\cd\|_{L_q(\mathbb R_+^d)}\le C\|w_0\cd x\cd\|_{L_p(\mathbb R_+^d)}^{p\alpha}\left(\max_{1\le j\le d}\|w_j\cd x\cd\|_{L_r(\mathbb R_+^d)}\right)^{r\beta},$$
где
$$C=\frac{d^\beta}{(p\alpha)^\alpha(r\beta)^\beta}\left(\frac I{\lambda+\mu}
B\left(\frac\alpha{1/q-\alpha-\beta},\frac\beta{1/q-\alpha-\beta}\right)
\right)^{1/q-\alpha-\beta},$$
а
$$I=\int_{\Pi_+^{d-1}}\frac{J(\omega)\,d\omega}{\left(\sum_{k=1}^d
{\wtt_k\hspace{-3pt}}^{r(d-1)+\mu}(\omega)\right)^{\frac\beta{1/q-\alpha-\beta}}}.$$
\end{corollary}

При $d=1$ и $q=1$ утверждение следствия~\ref{cor7} было получено в \cite{Le}.

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Ca} {\bf Carlson~F.} Une in\'egalit\'e // Ark. Mat. Astr. Fysik. 1934. Vol.~25B. P.~1--5.

\bibitem{Le} {\bf Левин~В.И.} Точные константы в неравенствах типа Карлсона // Докл. АН СССР. 1948. Т.~59. С.~635--638.

\bibitem{An} {\bf Андрианов~Ф.И.} Многомерные аналоги неравенства Карлсона и его обобщения // Изв. вузов. Мат. 1967. \No1. С.~3--7.

\bibitem{Ar2} {\bf Арестов~В.~В.} Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1975. Т.~138. С.~29--42.
%%% Арестов~В.~В. Approximation of operators that are invariant under a shift. {\it Proc. Steklov Inst. Math.} 1977. vol.~138. P.~31–44.

\bibitem{B} {\bf Barza~S., Burenkov~V., Pe\v cari\'c~J., Persson~L.-E.} Sharp multidimentional multiplicative inequalities for weighted $L_p$ spaces with homogeneous weights // Math. Ineq. Appl. 1998. Vol.~1, no.~1. P.~53--67. doi: 10.7153/mia-01-04

\bibitem{Lu} {\bf Luo~M.-J., Raina~R.~K.} A new extension of Carlson’s inequality // Math. Ineq. Appl. 2016. Vol.~19, no.~2. P.~417--424. doi: 10.7153/mia-19-33

\bibitem{Os} {\bf Osipenko~K.~Yu.} Optimal recovery of operators and multidimensional Carlson type inequalities // J. Complexity. 2016. Vol.~32, no.~1. P.~53--73. doi: 10.1016/j.jco.2015.07.004

\bibitem{Os21} {\bf Osipenko~K.~Yu.} Inequalities for derivatives with the Fourier transform // Appl. Comp. Harm. Anal. 2021. Vol.~53. P.~132--150. doi: 10.1016/j.acha.2021.02.001

\bibitem{Osb} {\bf Осипенко~К.~Ю.} Выпуклый анализ. М.: УРСС, 2022. 144~с.
% ISBN 978-5-9710-9724-2


\end{thebibliography}
\end{document}