\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[german,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 300

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}

\begin{document}

\title[НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ]{НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ В ПОЛОСЕ ФУНКЦИЙ}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант \No~93-01-00237) и международного научного фонда (грант \No~MP~1000)}

\author{К.~Ю.~Осипенко}


\maketitle

{\bf 1. Постановка задачи и основные результаты.} В 1939 г. А.Н.~Колмогоров \cite{1} поставил и решил следующую задачу: среди всех функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до $(r-1)$-го порядка и удовлетворяющих условию
$$\|f\|_\infty\le A_0,\quad\|f^{(r)}\|_\infty\le A_r,$$
где $\|\cdot\|$ --- норма в пространстве $L_\infty(\mathbb R)$, найти
$$\sup\|f^{(k)}\|_\infty,\quad1\le k\le r-1.$$
Обзор результатов, касающихся этой задачи, можно найти в \cite{2}. В данной работе рассматривается аналог сформулированной задачи для функций, аналитически продолжаемых в полосу $S_\beta:=\{z\in\mathbb C:|\IM z|<\beta\}$.

Обозначим через $H_{\infty,\beta}^r$ класс аналитических в полосе $S_\beta$ функций, вещественных на вещественной оси и удовлетворяющих условию
$$|f^{(r)}(z)|\le1,\quad z\in S_\beta$$
(при $r=0$ соответствующий класс будем обозначать через $H_{\infty,\beta}$). Пусть $\Lambda$ и $\Lambda'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $\lambda\in(0,1)$ и $\lambda'=\sqrt{1-\lambda^2}$:
$$\Lambda:=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}},\quad
\Lambda':=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda'^2t^2)}}.$$
Рассмотрим функцию
$$\varphi_\lambda(z):=\sqrt\lambda\sn\left(\frac{\Lambda'}{2\beta}z,\lambda\right).$$
Из свойств эллиптических функций (см., например, \cite{3}) вытекает, что при всех $x\in\mathbb R$ \ $|\varphi_\lambda(x+i\beta)|=1$. Тем самым для любого $\lambda\in(0,1)$ \ $\varphi_\lambda\in H_{\infty,\beta}$.

Положим $\pph{0}(z)=\varphi_\lambda(z)$,
$$\begin{aligned}\pph{2j-1}(z)&=\int_{2\Lambda\beta/\Lambda'}^z\pph{2j-2}(u)\,du,
\\
\pph{2j}(z)&=\int_0^z\pph{2j-1}(u)\,du,
\end{aligned}
\quad j=1,2,\ldots\,\,.$$
Свойства функций $\pph{r}$ аналогичны свойствам идеальных сплайнов Эйлера (см. \cite[с.~104]{4}, \cite[с.~104]{5}). Пользуясь разложением эллиптического синуса в ряд Фурье \cite[с.~266]{3}
$$\sn\left(\frac{\Lambda'}{2\beta}z,\lambda\right)=\frac\pi{\lambda\Lambda}\sum_{n=0}^\infty\frac{
\sin\left((2n+1)\dfrac{\pi\Lambda'}{4\Lambda\beta}z\right)}
{\sh\left((2n+1)\dfrac{\pi\Lambda'}{2\Lambda}\right)},$$
находим
\begin{equation}\label{1}
\begin{aligned}
\pph{r}(z)=&\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda}\left(\frac{4\Lambda\beta}{\pi\Lambda'}
\right)^{\!\!r}\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{\pi\Lambda'}{4
\Lambda\beta}z-\dfrac{\pi r}2\right)}{(2n+1)^r\sh\left((2n+1)\dfrac{\pi
\Lambda'}{2\Lambda}\right)},\\
\|\pph{r}\|_\infty=&\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda}\left(\frac{4\Lambda\beta}{\pi\Lambda'}
\right)^{\!\!r}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n(r+1)}}{(2n+1)^r\sh\left((2n+1)
\dfrac{\pi\Lambda'}{2\Lambda}\right)}.
\end{aligned}
\end{equation}

Основным результатом данной работы является

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть $\delta\in(0,\infty)$ при $r\ge1$ и $\delta\in(0,1)$ при $r=0$. Тогда для любого $1\le k\le r+1$
\begin{multline}\label{2}
\sup_{\substack{f\in H_{\infty,\beta}^r\\\|f\|_\infty\le\delta}}\|f^{(k)}\|_\infty=\|\pph{r}^{
(k)}\|_\infty\\
=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda}\left(\frac{4\Lambda\beta}{\pi\Lambda'}\right)^{\!\!r
-k}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n(r-k+1)}}{(2n+1)^{r-k}\sh\left((2n+1)
\dfrac{\pi\Lambda'}{2\Lambda}\right)},
\end{multline}
где $\lambda$ удовлетворяет равенству
\begin{equation}\label{3}
\|\pph{r}\|_\infty=\delta.
\end{equation}
\end{theorem}

Одной из отличительных черт рассматриваемой экстремальной задачи на классе $H_{\infty,\beta}^r$ является то, что мы можем ставить задачу об оценке нормы не только промежуточной производной (как  в гладком случае), но и производной любого порядка. Оказывается, что уже при $k=r+2$ равенство \eqref{2} справедливо лишь при малых $\delta$. Остановимся более подробно на этом случае.

Рассмотрим уравнение
\begin{equation}\label{4}
\frac{1-5\lambda^2}2\left(\frac{\Lambda'}\pi\right)^2=1.
\end{equation}
Из монотонного убывания $\Lambda'$ при $\lambda\in(0,1)$ следует, что это уравнение имеет единственное решение $\lambda_0\in(0,1)$ (вычисления показывают, что $\lambda_0=0{,}0460\ldots$). Положим
$$\delta_r:=\|\Phi_{\lambda_0,r,1}\|_\infty.$$

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $r\ge0$, а $\delta\in(0,\delta_r\beta^r]$. Тогда
$$\sup_{\substack{f\in H_{\infty,\beta}^r\\\|f\|_\infty\le\delta}}\|f^{(r+2)}\|_\infty=\|
\pph{0}''\|_\infty=\left(\frac{\Lambda'}{2\beta}\right)^{\!\!2}\sqrt\lambda(1-\lambda^
2),$$
где $\lambda$ удовлетворяет равенству \eqref{3}.
\end{theorem}

Приведем значения $\delta_r$ для $r=0,1$. В силу того, что
\begin{equation}\label{5}
\|\pph{0}\|_\infty=\sqrt\lambda,
\end{equation}
имеем
$$\delta_0=\sqrt{\lambda_0}=0{,}2145\ldots\,.$$
Для $r=1$ находим
\begin{multline*}
\|\Phi_{\lambda,1,1}\|_\infty=\int_0^{2\Lambda/\Lambda'}\sqrt\lambda\sn\left(\frac{
\Lambda'}2z,\lambda\right)\,dz\\
=\frac{2\sqrt\lambda}{\Lambda'}\int_0^\Lambda\sn(t,\lambda)\,dt=\frac1{\sqrt\lambda\Lambda'
}\ln\frac{1+\lambda}{1-\lambda}.
\end{multline*}
Учитывая равенство \eqref{4}, получаем
$$\delta_1=\frac1\pi\left(\frac{1-5\lambda_0^2}{2\lambda_0}\right)^{\!\!1/2}
\ln\frac{1+\lambda_0}{1-\lambda_0}=0{,}0961\ldots\,\,.$$

{\bf2. Доказательства основных результатов.} В доказательстве теоремы~\ref{T1} будем использовать индуктивную схему, применяемую в теореме сравнения Колмогорова  (см., например, \cite[с.~115]{4}). Однако, в отличие от гладкого случая здесь наиболее трудным является первый шаг индукции. Докажем сначала ряд предварительных результатов.

Обозначим через $H_\infty^{\mathbb R}$ множество аналитических в единичном круге $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ функций, вещественных на вещественной оси, для которых $|f(z)|<1$, $z\in D$. Положим для заданного $\lambda\in(0,1)$
$$\beta_n:=\th\left(n\frac{\pi\Lambda}{\Lambda'}\right),\quad n=1,2,\ldots,\quad B_1(z):=z
\prod_{n=1}^\infty\frac{\beta_n^2-z^2}{1-\beta_n^2z^2}.$$

\begin{proposition}\label{P1}
Пусть $f\in H_\infty^{\mathbb R}$ и при некотором $\lambda\in(0,1)$
\begin{equation}\label{6}
\|f\|_{C(-1,1)}\le\|B_1\|_{C(-1,1)},
\end{equation}
где $\|x\|_{C(-1,1)}:=\sup_{t\in(-1,1)}|x(t)|$. Если $\xi\in(-1,1)$ и $f(\xi)=B_1(\xi)$, то
$$|f'(\xi)|\le|B'_1(\xi)|.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Положим
\begin{align*}\alpha_n:=&\thh\left((2n-1)\frac{\pi\Lambda}{2\Lambda'}\right),\quad n=1,2,\ldots,\\
B_2(z):=&\prod_{n=1}^\infty\frac{\alpha_n^2-z^2}{1-\alpha_n^2z^2},\\
h(z):=&\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{1-\beta_n^2z^2}{1-\alpha_n^2z^2}\right)^2.
\end{align*}
В работе \cite{6} было показано, что имеют место равенства
\begin{equation}\label{7}
\begin{aligned}
B_1(z)=&\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2\Lambda'}\pi\arth z,\lambda\right),\\
B_2(z)=&\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2\Lambda'}\pi\arth z+\Lambda,\lambda\right),\\
h(z)=&(1-z^2)\dn^{-2}\left(\frac{2\Lambda'}\pi\arth z,\lambda\right).
\end{aligned}
\end{equation}
В силу равенств
\begin{equation}\label{8}
\|B_1\|_{C(-1,1)}=\sqrt\lambda,\quad B_1(\pm\alpha_n)=\pm(-1)^{n+1}\sqrt\lambda.
\end{equation}
утверждение предложения очевидно для $\xi=\pm\alpha_n$, $n=1,2,\ldots \,\,$. Для
$f\in H_\infty^{\mathbb R}$ и $\xi\ne\pm\alpha_n$, $n=1,2,\ldots\,\,$, положим
$$Jf:=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{h(z)f(z)\,dz}{B_2(z)(z-\xi)^2(1-\xi z)^2}.$$
Из леммы~1 работы \cite{7} (см. также \cite{6}) получаем
\begin{multline*}
Jf=\left[\frac{h(z)f(z)}{B_2(z)(1-\xi z)^2}\right]'_{\big|z=\xi}\\
+\sum_{n=1}^\infty\frac{h(\alpha_n)}{B_2^{\,'}(\alpha_n)}\left[\frac{f(\alpha_n)}{(\alpha_n-\xi)^2(1
-\xi\alpha_n)^2}-\frac{f(-\alpha_n)}{(\alpha_n+\xi)^2(1+\xi\alpha_n)^2}\right].
\end{multline*}
В силу \eqref{7}
$$h(\alpha_n)=\frac{1-\alpha_n^2}{1-\lambda^2},\quad B'_2(\alpha_n)=(-1)^n\sqrt\lambda\frac{2\Lambda'}{\pi(1-\alpha_n^2)}.$$
Тем самым имеем
\begin{multline}\label{9}
f'(\xi)=-C(\xi)\left[\frac{h(z)}{B_2(z)(1-\xi z)^2}\right]'_{\big|z=\xi}f(\xi)+\frac{\pi C(\xi)}{2\sqrt\lambda\Lambda'(1-\lambda^2)}\\
\times\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n+1}(1-\alpha_n^2)^2\left[\frac{f(\alpha_n)}{(\alpha_n-\xi)^2
(1-\xi\alpha_n)^2}-\frac{f(-\alpha_n)}{(\alpha_n+\xi)^2(1+\xi\alpha_n)^2}\right]\\
+C(\xi)Jf,
\end{multline}
где
$$C(\xi):=\frac{B_2(\xi)(1-\xi^2)^2}{h(\xi)}.$$
Положив
$$\psi(z):=\frac{B_1(z)h(z)}{zB_2(z)},\quad\psi_1(z):=\frac{z^2}{(z-\xi)^2(1-\xi z)^2}$$
и учитывая, что $|B_1(\ei)|=1$ почти всюду, будем иметь
$$Jf=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ov{B_1(\ei)}\psi(\ei)\psi_1(\ei)f(\ei)\,d\theta.$$
В лемме~2 работы \cite{6} доказано, что функция $\psi(\ei)$ ограничена и почти всюду положительна. Очевидно этим же свойством обладает функция $\psi(\ei)$. Таким образом, для всех $f\in H_\infty^{\mathbb R}$
\begin{equation}\label{10}
|Jf|\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\psi(\ei)\psi_1(\ei)\,d\theta=JB_1.
\end{equation}

Предположим, что $C(\xi)>0$. Тогда в силу \eqref{8}, \eqref{9} и \eqref{10} имеем
\begin{multline}\label{11}
f'(\xi)\le-C(\xi)\left[\frac{h(z)}{B_2(z)(1-\xi z)^2}\right]'_{\big|z=\xi}f(\xi)
+\frac{\pi C(\xi)}{2\Lambda'(1-\lambda^2)}\\
\times\sum^\infty_{n=1}(1-\alpha_n^2)^2\left
[\frac1{(\alpha_n-\xi)^2(1-\xi\alpha_n)^2}+\frac1{(\alpha_n+\xi)^2(1+\xi\alpha_n)^2}\right]\\
+C(\xi)JB_1.
\end{multline}
Если $f(\xi)=B_1(\xi)$, то правая часть последнего неравенстве совпадает с $B_1'(\xi)$ (см. \eqref{9}). Таким образом,
\begin{equation}\label {12}
f'(\xi)\le B_1'(\xi).
\end{equation}

Положим
$$g(z):=f\left(\frac{\alpha-z}{1-\alpha z}\right),\quad\alpha:=\frac{2\xi}{1+\xi^2}.$$
Очевидно, что $g\in H_\infty^{\mathbb R}$ и удовлетворяет условию \eqref{6}. Кроме того,
$g(\xi)=f(\xi)$ и $g'(\xi)=-f'(\xi)$. Поэтому, применяя неравенство \eqref{12} к функции $g$, получаем
$$-f'(\xi)\le B_1'(\xi).$$
Случай $C(\xi)<0$ рассматривается аналогично, заменяя неравенство \eqref{11} на противоположное.
Предложение доказано.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{P2}
Пусть $f\in H_{\infty,\beta}$ и при некотором $\lambda\in(0,1)$
$$\|f\|_\infty\le\|\varphi_\lambda\|_\infty.$$
Если $a,b\in\mathbb R$ и $f(a)=\varphi_\lambda(b)$, то
$$|f'(a)|\le|\varphi_\lambda'(b)|.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
Без ограничения общности можно считать, что $a=b$. Положим $w(z):=\dfrac{4\beta}\pi\arth z$. Эта функция конформно отображает единичный круг $D$ на полосу $S_\beta$. Тем самым $f(w(z))\in H_\infty^{\mathbb R}$. Так как $\varphi_\lambda(w(z))=B_1(z)$ (см.~\eqref{7}), то положив $\xi=\th\dfrac{\pi a}{4\beta}$, из предложения~\ref{1} получаем
$$|f'(w(\xi))w'(\xi)|\le|\varphi_\lambda'(w(\xi))w'(\xi)|.$$
Отсюда следует, что $|f'(a)|\le|\varphi_\lambda'(a)|$. Предложение доказано.
\end{proof}

Из предложения~\ref{P2}, применяя индуктивную схему доказательства теоремы сравнения  Колмогорова, получаем следующий результат.

\begin{theorem}\label{T3}
Пусть $f\in H_{\infty,\beta}^r$, $r\ge0$ и при некотором $\lambda\in(0,1)$
\begin{equation}\label{13}
\|f\|_\infty\le\|\pph{r}\|_\infty.
\end{equation}
Если $a,b\in\mathbb R$ и $f(a)=\pph{r}(b)$, то
$$|f'(a)|\le|\pph{r}'(b)|.$$
\end{theorem}

В силу определения
$$\pph{r}^{(k)}(z)=\pph{r-k}(z),\quad k=1,\ldots,r.$$
Таким образом, из теоремы~\ref{T3} вытекает

\begin{corollary}\label{C1}
Пусть $f\in H_{\infty,\beta}^r$, $r\ge0$, и при некотором $\lambda\in(0,1)$ выполнено неравенство \eqref{13}. Тогда при всех $1\le k\le r+1$
$$\|f^{(k)}\|_\infty\le\|\pph{r}^{(k)}\|_\infty.$$
\end{corollary}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T1}$]
Положим $\pph{-1}(z):=\pph{0}'(z)$. Не\-трудно убедиться, что равенства \eqref{1} имеют место и для  $r=-1$. Тем самым, используя следствие~\ref{C1}, достаточно доказать существование $\lambda\in(0,1)$, удовлетворяющего равенству \eqref{3}. При $r=0$ из \eqref{5} вытекает, что  $\lambda=\delta^2$. Пусть $r\ge1$. Из \eqref{1} следует, что $\|\pph{r}\|_\infty$
непрерывно зависит от $\lambda$. При $\lambda\to0$ \ $\Lambda'\to\infty$, $\Lambda\to\pi/2$ и, кроме того,
$$\lim_{\lambda\to0}\sqrt\lambda\exp\left(\frac{\pi\Lambda'}{4\Lambda}\right)=\frac12$$
(см. \cite[с.~116]{3}). Отсюда получаем, что для всех $n\ge0$
$$\sqrt\lambda\sh\left((2n+1)\frac{\pi\Lambda'}{2\Lambda}\right)\to\infty.$$
Тем самым $\|\pph{r}\|_\infty\to0$ при $\lambda\to0$. Если $\lambda\to1$, то $\Lambda'
\to\pi/2$, а $\Lambda\to\infty$. В этом случае из \eqref{1} следует, что $\|\pph{r}\|_\infty\to\infty$. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T2}$]
В работе \cite{7} при $0<\lambda\le\lambda_0$ доказано равенство
\begin{equation}\label{14}
\sup_{\substack{f\in H_{\infty,\beta}\\\|f\|_\infty\le\sqrt\lambda}}\|f''\|_\infty=\|\pph{0}''\|_
\infty=\left(\frac{\Lambda'}{2\beta}\right)^{\!\!2}\sqrt\lambda(1-\lambda^2).
\end{equation}
(там же найдено решение этой задачи при $\lambda_0<\lambda<1$, которое мы не приводим из-за его сложного вида). Из \eqref{1} следует, что
$$\|\Phi_{\lambda_0,r,\beta}\|_\infty=\delta_r\beta^r.$$
Аналогично доказательству теоремы~\ref{T1} можно показать, что при $\delta\in(0,\delta_r\beta^r]$ существует $\lambda\in(0,\lambda_0]$, удовлетворяющее равенству \eqref{3}. Теперь утверждение теоремы вытекает из теоремы~\ref{T1} и равенства \eqref{14}. Теорема доказана.
\end{proof}

{\bf3. Связь с задачами восстановления.} Изучаемая экстремальная задача тесно связана с задачами оптимального восстановления производных функции по неточно заданной информации о самой функции. Обозначим через $C^b(\mathbb R)$ множество непрерывных ограниченных функций на $\mathbb R$ и
рассмотрим задачу о нахождении величины
$$e_k(H_{\infty,\beta}^r,\delta):=\infp_{A\colon C^b(\mathbb R)\to\mathbb R}\sup_
{f\in H_{\infty,\beta}^r}\sup_{\substack{y\in C^b(\mathbb R)\\\|f-y\|_\infty\le\delta}}|f^{(k)}(0)-Ay|.$$
Эта величина есть погрешность оптимального восстановления значения
$f^{(k)}(0)$ по следу $f_{|\mathbb R}$, известному с погрешностью $\delta$ в равномерной норме. Из общих утверждений, касающихся задач восстановления (см.~\cite{8},\cite{9}), и инвариантности относительно сдвига имеем
$$e_k(H_{\infty,\beta}^r,\delta)=\sup_{\substack{f\in H_{\infty,\beta}^r\\\|f\|_\infty\le\delta}}|f^{(k)}(0)|=\sup_{\substack{f\in H_{\infty,\beta}^r\\\|f\|_\infty\le\delta}}\|f^{(k)}\|_\infty.$$

Рассмотрим еще одну экстремальную задачу, в общем случае поставленную С.~Б.~Стечкиным \cite{10}. Требуется найти величину
$$E_k(H_{\infty,\beta}^r,N):=\infp_{\substack{A\in C^b(\mathbb R)^*\\\|A\|\le N}}\sup_{f\in H_{\infty,\beta}^r}|f^{(k)}(0)-Af_{|\mathbb R}|.$$
Из результатов В.~Н.~Габушина \cite{11} (см. также \cite{8}) следует, что имеет место равенство
$$E_k(H_{\infty,\beta}^r,N)=\sup_{\delta\ge0}\left(e_k(H_{\infty,\beta}^r,\delta)-N\delta\right).$$

\bigskip

\noindent Московский государственный \hfill Поступило\\
авиационный технологический\hfill 18.11.93\\ 
университет им. К.Э.Циолковского

\bigskip

\renewcommand{\refname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} Колмогоров А.~Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Уч. зап. МГУ. 1939. \No30. С.~3--16.

\bibitem{2} Тихомиров В.~М., Магарил-Ильяев Г.Г. Неравенства для производных // Колмогоров А.Н. Избр. труды. Математика, механика. М.: Наука, 1985. С.~387--390.

\bibitem{3} Ахиезер Н.~И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

\bibitem{4} Корнейчук Н.~П. Экстремальные задачи теории приближения.  М.:
    Наука, 1976.

\bibitem{5} Корнейчук Н.~П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.

\bibitem{6} Осипенко К.~Ю., Стесин М.~И. Оптимальное восстановление производных ограниченных аналитических и гармонических функций по неточным данным // Матем. заметки. 1993. Т.~53, \No5. С.~87--97.
\bibitem{7} Осипенко К.~Ю. Об $n$-поперечниках, оптимальных квадратурных формулах и оптимальном восстановлении функций, аналитических в полосе // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т.~58, \No4. С.~55--79.
 
\bibitem{8} Арестов В.~В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН. 1989. Т.~189. С.~3--20.

\bibitem{9} Магарил-Ильяев Г.~Г., Осипенко К.~Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по  неточным данным // Матем. заметки. 1991. Т.~50. \No6. С.~85--93.

\bibitem{10} Стечкин С.~Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. 1967. Т.1, \No2. С.~137--148.
    
\bibitem{11} Габушин В.~Н. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах // Матем. заметки. 1970. Т.8, \No5. С.~551--562.

\end{thebibliography}
\end{document}