\documentclass[12pt,reqno,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\tolerance 3150
\makeatletter
\def\abstractname{}
\def\@maketitle{%
  \normalfont\normalsize
  \let\@makefnmark\relax  \let\@thefnmark\relax
  \ifx\@empty\@date\else \@footnotetext{\@setdate}\fi
  \ifx\@empty\@subjclass\else \@footnotetext{\@setsubjclass}\fi
  \ifx\@empty\@keywords\else \@footnotetext{\@setkeywords}\fi
  \ifx\@empty\thankses\else \@footnotetext{%
    \def\par{\let\par\@par}\@setthanks}\fi
  \@mkboth{\@nx\shortauthors}{\@nx\shorttitle}%
  \global\topskip42\p@\relax % 5.5pc   "   "   "     "     "
  %\@settitle
  \ifx\@empty\authors \else \@setauthors \fi
  \bigskip
  \@settitle
  \ifx\@empty\@dedicatory
  \else
    \baselineskip18\p@
    \vtop{\centering{\footnotesize\itshape\@dedicatory\@@par}%
      \global\dimen@i\prevdepth}\prevdepth\dimen@i
  \fi
  \@setabstract
  \normalsize
  \if@titlepage
    \newpage
  \else
    \dimen@34\p@ \advance\dimen@-\baselineskip
    \vskip\dimen@\relax
  \fi
} % end \@maketitle
\renewenvironment{abstract}{%
  \ifx\maketitle\relax
    \ClassWarning{\@classname}{Abstract should precede
      \protect\maketitle\space in AMS documentclasses; reported}%
  \fi
  \global\setbox\abstractbox=\vtop \bgroup
  \normalfont\footnotesize
  \advance \hsize -6pc
    \trivlist\item[]\hspace{-\labelsep}
\ignorespaces}{%
  \endtrivlist
  \egroup
  \ifx\@setabstract\relax \@setabstracta \fi
}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wm}{\widehat m}
\newcommand*{\tx}{\widetilde x}
\newcommand*{\wh}{\widehat h}
\newcommand*{\lr}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\Wr}{\mathcal W_2^1(\mathbb R)}
\newcommand*{\wt}{W_2^1(\mathbb R)}
\newcommand*{\Wi}{W_\infty^1([-1,1])}
\newcommand*{\Win}{W_\infty^2([-1,1])}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb T)}
\newcommand*{\Wt}{W_2^2(\mathbb T)}
\newcommand*{\sZ}{\sum\limits_{j\in\mathbb Z}}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\sN}{\sum\limits_{|j|\le N}}
\newcommand*{\lp}{L_2(\mathbb R,t^2)}
\newcommand*{\Wp}{W_2^1(\mathbb R,t^2)}
\newcommand*{\WP}{\mathcal W_2^1(\mathbb R,t^2)}
\newcommand*{\IR}{\int_{\mathbb R}}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\begin{document}

\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, В.~М.~Тихомиров}

\title[Неопределенность и точность восстановления]{Неопределенность знания
об объекте и точность методов его восстановления}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты 00--15--96109, 02-01-39012 и
02--01--00386), программы ``Университеты России" (УР.04.03.013), а также
при поддержке U.S.\ CRDF -- R.F.\ Ministry of Education Award VZ-010-0.}

\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}
\address{Московский государственный университет им.\ М.~В.~Ломоносова}

\begin{abstract}
Обсуждается один подход к задаче оптимального восстановления функционалов и
операторов на классах функций в условиях неопределенности знания о самих
функциях. Возможности данного подхода демонстрируются на ряде примеров. В
конце статьи приводится один общий результат об оптимальном восстановлении
линейных функционалов.
\end{abstract}

\maketitle

\section{Введение}

Многие стороны практической деятельности человека связаны с тем, что ему
приходится судить об изучаемых объектах по неполной и/или неточной
информации о них. По такой информации точно восстановить объект, как
правило, невозможно: возникает некоторая {\it неопределенность} обычно в
виде некоторой области, где объект может находиться. Иногда при уточнении
исходной информации можно все ближе и ближе приближаться к цели (в этом
случае можно считать, что объект ``познаваем"), но ``цена" этой
познаваемости нередко оказывается непомерно большой.

Долгое время считалось, что ``Мир познаваем", но сейчас как-то на этом не
настаивают, ибо были обнаружены принципиальные границы познаваемости (в
математической логике, в квантовой механике и т.п.). С другой стороны, если
имеется какая-то информация, то возникает желание максимально сузить
границы неопределенности изучаемого объекта, максимально полно использовав
эту информацию. Для этого применяется те или иные {\it методы
восстановления\/} объекта по той информации, которая находится в нашем
распоряжении. Если метод восстановления очерчивает границы для объекта,
совпадающие с мерой его неопределенности при данной информации, можно
говорить об оптимальности данного метода восстановления.

Андрея Николаевича Колмогорова на протяжении всей его творческой жизни
занимали подобные вопросы, и он так или иначе сталкивался с ними в своей
научной деятельности (в теории вероятностей, в теории информации, в теории
стрельбы и многих других вопросах). Ряд введенных им величин (скажем, $
\varepsilon$-емкость и $\varepsilon$-энтропия) являются характеристиками
мер неопределенности, а его результаты по экстраполяции случайных процессов
привели к соответствующим оптимальным методам восстановления.

В данной работе для достаточно широкого класса задач (вполне естественных с
точки зрения приложений) вводится понятие оптимальности метода
восстановления по различного рода информации. Этот подход демонстрируется
на ряде примеров, носящих иллюстративный характер и призванных показать
разнообразие задач, охватываемых предлагаемой постановкой.

\section{Постановка задач}

Общая постановка проблем неопределенности и восстановления, обсуждаемых
здесь, заключается в определении значений заданного функционала или
оператора на некоторых функциях. Об этих функциях мы располагаем двумя
типами информации. Один из них --- ``глобальный", характеризует класс
функций, которые только и могут встретиться; другой --- ``локальный"
(индивидуальный), связанной с характеризацией отдельной функции. Классы
обычно связывают со свойствами гладкости или аналитичности входящих в них
функций. Локальная информация обычно состоит в том, что исследователю
оказывается доступными некоторые характеристики функции (например, ее
значения в отдельных точках, моменты, коэффициенты Фурье или Тейлора,
преобразование Фурье и т.\ п.). Эта информация может задаваться точно или с
ошибками. По этим двум типам информации и производится оценка
неопределенности значения функционала или оператора и строится метод его
восстановления. Переходим к точным формулировкам.

Пусть задано множество (класс) $C$ и отображение $f\colon C\to Z$, где $(Z,
d)$ --- метрическое пространство. Принадлежность элемента классу $C$
составляет ``глобальную" информацию о нем. Кроме того, о самом элементе
имеется ``локальная" (индивидуальная) информация, состоящая в том, что
известно отображение (вообще говоря, многозначное, что соответствует
информации, заданной неточно) $F\colon C\to Y$, где $Y$ --- некоторое
множество. Отображение $F$ назовем {\it информационным оператором}.

Задача состоит в том, чтобы {\it восстановить по возможности наилучшим
способом значение $f(x)$, $x\in C$, по информации $y\in F(x)$}.

Примерами могут служить задачи о восстановлении значения функции в
некоторой точке по ее значениям в других точках или по ее коэффициентам
Фурье, или задача о восстановлении интеграла от функции, или ее производной
в отдельной точке, или восстановлении самой функции по той же или какой-то
иной информации.

Поясним смысл, которые мы вкладываем в слова ``восстановить по возможности
наилучшим способом".

Любое отображение $m\colon F(C)\to Z$ назовем {\it методом восстановления}.
Погрешностью такого метода назовем величину
$$e(f,C,F,m)=\sup_{x\in C,\ y\in F(x)}d(f(x),m(y)),$$
а {\it погрешность оптимального восстановления\/} ($f$ на $C$ по $F$),
которую обозначим $E(f,C,F)$, определим как значение следующей
экстремальной задачи:
\begin{equation}\label{f1}
\inf e(f,C,F,m),
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным отображениям 
$$m\colon F(C)\to Z.$$
Метод $\wm$, на котором достигается нижняя грань в \eqref{f1}, называется
{\it оптимальным методом восстановления}. Может оказаться, что имеется
возможность использовать различные типы информации, т.\ е. мы располагаем
семейством информационных отображений $\mathcal F$, и тогда под задачей о
выборе оптимальной информации понимается задача о нахождении величины
$$E(f,C,\mathcal F)=\inf_{F\in\mathcal F}E(f,C,F).$$

Впервые постановка задачи оптимального восстановления появилась в работе
Смоляка \cite{Sm} для случая, когда $C$ --- выпуклое и уравновешенное (т.е.
$C=\alpha C$ для всех $\alpha$ таких, что $|\alpha|=1$) подмножество
векторного пространства $X$, $Y$ --- конечномерное векторное пространство,
$f$ --- линейный функционал на $X$ и $F\colon X\to Y$ --- линейное
отображение. Смоляк доказал, что в этом случае среди оптимальных методов
есть линейный. Впоследствии проблематика, связанная с оптимальным
восстановлением развивалась достаточно интенсивно (см.\ \cite{MR}--\cite
{Os}). Результаты, относящиеся к кругу вопросов, рассматриваемых в данной
работе, можно найти в \cite{MT}--\cite{MO}, где, в частности, содержатся
различные обобщения большинства из тех примеров, которые обсуждаются ниже.

\section{Примеры}

{\bf 1. Восстановление значения функции в точке по ее значениям в других
точках.} Обозначим через $\Wi$ класс вещественных функций $x\cd$,
определенных на отрезке $[-1,1]$, абсолютно непрерывных и удовлетворяющую
условию
$$|x'(t)|\le1,\quad\mbox{для почти всех }t\in[-1,1].$$
Пусть $-1\le t_1<\ldots<t_n\le1$. Рассмотрим задачу оптимального
восстановления значения функции $x\cd\in\Wi$ в точке $\tau\in[-1,1]$ по ее
значениям в наборе точек $\bar t=(t_1,\ldots,t_n)$. В соответствии с общей
постановкой здесь $C=\Wi$, $Z=\mathbb R$, $f(x\cd)=x(\tau)$, $Y=\mathbb R^n
$ и $F_{\bar t}\colon C\to Y$, $F_{\bar t}x\cd=(x(t_1),\ldots,x(t_n))$.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные функции $m
\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$. Погрешность данного метода $m$ есть
величина
$$e(x(\tau),\Wi,F_{\bar t},m)=\sup_{x\cd\in\Wi}|x(\tau)-m(F_{\bar t}x\cd)|,
$$
а погрешность оптимального восстановления --- величина
$$E(x(\tau),\Wi,F_{\bar t})=\inf_{m\colon\mathbb R^n\to\mathbb R}E(x(\tau),
\Wi,F_{\bar t},m).$$
Найдем эту величину, а также оптимальный метод восстановления.

Обозначим через $\alpha(t)$ --- ближайшую к $t$ точку из множества $\{t_1,
\ldots,t_n\}$ (в случае, если $t$ лежит посередине между $t_i$ и $t_{i+1}$,
будем считать для определенности $\alpha(t)=t_i$). Положим
$$\wx(t)=|t-\alpha(t)|.$$
Очевидно, что $\wx\cd\in\Wi$, $-\wx\cd\in\Wi$ и $F_{\bar t}\wx\cd=F_{\bar t
}(-\wx\cd)=0$. Для любого метода $m$ имеем
$$2\wx(\tau)\le|\wx(\tau)-m(0)|+|-\wx(\tau)-m(0)|\le2e(x(\tau),\Wi,F_{\bar
t},m).$$
Откуда
$$E(x(\tau),\Wi,F_{\bar t})\ge\wx(\tau).$$

Пусть $\alpha(\tau)=t_k$ $1\le k\le n$. Определим метод $\wm$ равенством $
\wm(y)=y_k$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$. Тогда для любой функции $x\cd\in\Wi$
имеем
$$|x(\tau)-\wm(F_{\bar t}x\cd)|=|x(\tau)-x(t_k)|\le|\tau-t_k|=\wx(\tau).$$
Следовательно,
$$E(x(\tau),\Wi,F_{\bar t})=\wx(\tau),$$
а метод
$$x(\tau)\approx x(\alpha(\tau))$$
является оптимальным методом восстановления.

{\bf2. Восстановление интеграла от функции по ее значениям в отдельных
точках.} Для того же класса $\Wi$ и того же информационного оператора $F_{
\bar t}$ рассмотрим теперь задачу оптимального восстановления значения
интеграла
$$Ix\cd=\int_{-1}^1x(t)\,dt.$$
В качестве методов восстановления будем по-прежнему рассматривать
всевозможные функции $m\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$. Здесь задача
оптимального восстановления состоит в нахождении величины
$$E(I,\Wi,F_{\bar t})=\infp_{m\colon\mathbb R^n\to\mathbb R\vphantom{\Wi}}
\sup_{x\cd\in\Wi}\left|\int_{-1}^1x(t)\,dt-m(F_{\bar t}x\cd)\right|$$
и оптимального метода восстановления $\wm_0$, на котором достигается нижняя
грань в этом равенстве.

Сохраняя обозначения для функции $\wx\cd$ из предыдущего примера, получаем,
что для любого метода $m$
\begin{multline*}
2\int_{-1}^1\wx(t)\,dt\le\left|\int_{-1}^1\wx(t)\,dt-m(0)\right|+\left|\int
_{-1}^1(-\wx(t))\,dt-m(0)\right|\\
\le2\sup_{x\cd\in\Wi}\left|\int_{-1}^1x(t)\,dt-m(F_{\bar t}x\cd)\right|.
\end{multline*}
Тем самым
$$E(I,\Wi,F_{\bar t})\ge\int_{-1}^1\wx(t)\,dt.$$
С другой стороны, положив
$$\wm_0(y)=\int_{-1}^1y(t)\,dt,$$
где
$$y(t)=\begin{cases} y_1,&-1\le t\le\dfrac{t_1+t_2}2,\\[5pt]
y_i,&\dfrac{t_{i-1}+t_i}2<t\le\dfrac{t_i+t_{i+1}}2,\ 2\le i\le n-1,\\[5pt]
y_n,&\dfrac{t_{n-1}+t_n}2<t\le1,\end{cases}$$
при всех $\wx\cd\in\Wi$ будем иметь
\begin{multline*}
\left|\int_{-1}^1x(t)\,dt-\wm_0(F_{\bar t}x\cd)\right|=\left|\int_{-1}^1(x(
t)-x(\alpha(t)))\,dt\right|\\
\le\int_{-1}^1|t-\alpha(t)|\,dt=\int_{-1}^1\wx(t)\,dt.
\end{multline*}
Следовательно,
\begin{multline*}
E(I,\Wi,F_{\bar t})=\int_{-1}^1\wx(t)\,dt\\
=\frac{(t_1+1)^2}2+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{(t_{j+1}-t_j)^2}4+\frac{(1-t_n)^2}
2,
\end{multline*}
а
\begin{multline*}
\int_{-1}^1x(t)\,dt\approx\wm_0(F_{\bar t}x\cd)\\
=\left(\frac{t_1+t_2}2+1\right)x(t_1)+\sum_{j=2}^{n-1}\frac{t_{j+1}-t_{j-1}
}2x(t_j)+\left(1-\frac{t_{n-1}+t_n}2\right)x(t_n)
\end{multline*}
--- оптимальный метод восстановления.

Если в наших возможностях выбирать систему точек $\bar t=(t_1,\ldots,t_n)$,
в которых будут измеряться значения функций $x\cd\in\Wi$ (иначе говоря,
есть возможность выбора исходной информации), то естественно выбрать эти
точки так, чтобы величина $E(I,\Wi,F_{\bar t})$ была по возможности меньше.
Нетрудно убедиться, что
$$\inf_{\bar t}E(I,\Wi,F_{\bar t})=\frac1n,$$
а оптимальные точки (т.\ е. точки, на которых достигается нижняя грань)
таковы
$$\widehat t_j=-1+\frac{2j-1}n,\quad j=1,\ldots,n.$$

В рассмотренных выше примерах информация о функции хотя и была неполной, но
задавалась точно. Реально, любая исходная информация содержит ту или иную
погрешность. Дальнейшие примеры посвящены случаям, когда информация о
функциях задается с некоторой ошибкой.

{\bf3. Восстановление производной функции в точке по приближенным значениям
в других точках.} Обозначим через $\Win$ множество функций $x\cd$,
определенных на отрезке $[-1,1]$, для которых $x'\cd\in\Wi$. Пусть для
функции $x\cd\in\Win$ известны приближенные значения $x(-h)$ и $x(h)$, $0<h
\le1$. Требуется восстановить оптимальным образом значение $x'(0)$. Будем
считать, что для каждой функции $x\cd\in\Win$ нам известны значения $\tx_{-
1}$ и $\tx_1$ такие, что
\begin{equation}\label{Fx}
|x(jh)-\tx_j|\le\delta,\quad j=-1,1,
\end{equation}
где $\delta>0$ --- погрешность исходной информации. Здесь информационный
оператор уже многозначное отображение $F_{h,\delta}$, ставящее в
соответствие каждой функции $x\cd\in\Win$ множество $F_{h,\delta}x\cd=\{(
\tx_{-1},\tx_1)\}$, где $\tx_{-1}$ и $\tx_1$ удовлетворяют условию \eqref
{Fx}. Рассмотрим в качестве методов восстановления произвольные функции $m
\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$. Погрешностью данного метода $m$ назовем
величину
\begin{multline*}
e(x'(0),\Win,F_{h,\delta},m)\\
=\sup_{x\cd\in\Win}\sup_{\substack{\tx_{-1},\tx_1\\|x(jh)-\tx_j|\le\delta,\
j=-1,1}}|x'(0)-m(\tx_{-1},\tx_1)|.
\end{multline*}
Нас будет интересовать погрешность оптимального восстановления
$$E(x'(0),\Win,F_{h,\delta})=\inf_{m\colon\mathbb R^2\to\mathbb R}e(x'(0),
\Win,F_{h,\delta},m)$$
и оптимальный метод восстановления, т.е. метод, на котором эта нижняя грань
достигается.

Положим
$$\wx(t)=\begin{cases}-\dfrac{t^2}2+\left(\dfrac h2+\dfrac\delta h\right)t,&
\phantom-0\le t\le1,\\[15pt]
\phantom-\dfrac{t^2}2+\left(\dfrac h2+\dfrac\delta h\right)t,&-1\le t<0.
\end{cases}$$
Нетрудно убедиться, что $\pm\wx\cd\in\Win$ и $\wx(-h)=-\delta$, $\wx(h)=
\delta$. Для любого метода $m$ имеем
\begin{multline*}
2\wx'(0)\le|\wx'(0)-m(0,0)|+|-\wx'(0)-m(0,0)|\\
\le2e(x'(0),\Win,F_{h,\delta},m).
\end{multline*}
Следовательно,
\begin{equation}\label{wx'}
E(x'(0),\Win,F_{h,\delta})\ge\wx'(0)=\frac h2+\frac\delta h.
\end{equation}

Рассмотрим метод
\begin{equation}\label{met}
\wm(\tx_{-1},\tx_1)=\frac{\tx_1-\tx_{-1}}{2h}.
\end{equation}
Учитывая, что $\tx_j=x(jh)+\delta_j$, где $|\delta_j|\le\delta$, $j=-1,1$,
будем иметь
\begin{multline*}
e(x'(0),\Win,F_{h,\delta},\wm)\\
=\sup_{x\cd\in W_\infty^2}\,\sup_{|\delta_j|\le\delta,\ j=-1,1}\left|x'(0)-
\frac{x(h)-x(-h)}{2h}-\frac{\delta_1-\delta_{-1}}{2h}\right|\\
\le\sup_{x\cd\in\Win}\left|x'(0)-\frac{x(h)-x(-h)}{2h}\right|+\frac\delta h
.
\end{multline*}
Пользуясь равенствами
\begin{align*}
x(h)&=x(0)+x'(0)h+M_1\frac{h^2}2,\\
x(-h)&=x(0)-x'(0)h+M_{-1}\frac{h^2}2,
\end{align*}
где $M_1,M_{-1}\in[-1,1]$, получаем
$$\left|x'(0)-\frac{x(h)-x(-h)}{2h}\right|=\frac h4|M_1-M_{-1}|\le\frac h2.
$$
Тем самым
$$e(x'(0),\Win,F_{h,\delta},\wm)\le\frac h2+\frac\delta h.$$
Учитывая \eqref{wx'}, находим, что
$$E(x'(0),\Win,F_{h,\delta})=\frac h2+\frac\delta h,$$
а метод \eqref{met} является оптимальным.

Можно поставить вопрос об оптимизации исходной информации за счет выбора
шага $h$. Несложные вычисления показывают, что
$$\min_{0<h\le1}E(x'(0),\Win,F_{h,\delta})=\begin{cases}\sqrt{2\delta},&\delta<1/2
,\\
\delta+1/2,&\delta\ge1/2,\end{cases}$$
при этом значение шага, на котором достигается минимум таково:
$$\wh=\begin{cases}\sqrt{2\delta},&\delta<1/2,\\
1&\delta\ge1/2.\end{cases}$$

{\bf4. Восстановление производной функции по ее приближенным
коэффициентам Фурье.} Обозначим через $\mathbb T$ единичную окружность,
реализованную как отрезок $[-\pi,\pi]$ с идентифицированными концами. Через
$\lt$ обозначим совокупность функций $x\cd$ на $\mathbb T$, суммируемых с
квадратом, с нормой
$$\|x\cd\|_{\lt}=\left(\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2
}.$$
Класс $\Wt$ --- это совокупность $2\pi$-периодических функций $x\cd$, у
которых первая производная абсолютно непрерывна и $\|x''\cd\|_{\lt}\le1$.

На этом классе рассмотрим задачу восстановления первой производной функции
$x\cd$ в метрике $\lt$ по конечному набору ее коэффициентов Фурье
$$x_j=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tx(t)e^{-ijt}\,dt,$$
заданных с погрешностью. Точнее говоря, будем предполагать, что для каждой
функции $x\cd\in\Wt$ нам известны числа $y_j$, $|j|\le N$, такие, что
\begin{equation}\label{y}
|x_j-y_j|\le\delta,\quad|j|\le N,\quad\delta>0.
\end{equation}
Здесь информационным оператором  является многозначное отображение $F^N_
\delta$, ставящее в соответствие каждой функции $x\cd\in\Wt$ множество $F^N
_\delta x\cd=\{y_j\}_{|j|\le N}$, где $y_j$ удовлетворяют условию \eqref{y}.
Задача заключается в нахождении величины
$$E(x'\cd,\Wt,F^N_\delta)=\infp_{m\colon\mathbb C^{2N+1}\to\lt}\,\sup_{
\substack{x\cd\in\Wt\\y\in F^N_\delta x\cd}}\|x'\cd-m(y)\cd\|_{\lt}$$
и соответствующего оптимального метода.

Аналогично предыдущему нетрудно получить оценку снизу
$$E(x'\cd,\Wt,F^N_\delta)\ge\sup_{\substack{x\cd\in\Wt\\|x_j|\le\delta,\ |j
|\le N}}\|x'\cd\|_{\lt}.$$
Задача справа в силу равенства Парсеваля записывается в виде (для удобства
мы переходим к квадрату нормы)
\begin{equation}\label{R}
\sZ j^2u_j\to\max,\quad\sZ j^4u_j\le1,\quad0\le u_j\le\delta^2,\ |j|\le N,
\end{equation}
где $u_j=|x_j|^2$, $j\in\mathbb Z$.

Эта задача выпуклого программирования. Легко убедиться, что для нахождения
ее решения достаточно найти такие $\wl\ge0$, $\wl_j\ge0$, $|j|\le N$, и
допустимую последовательность $\{\wu_j\}_{j\in\mathbb Z}$, для которых при
всех $u_j\ge0$, $j\in\mathbb Z$,
\begin{align*}
(a)&\quad\sZ(-j^2+\wl j^4+\wl_j\chi_j)u_j\ge\sZ(-j^2+\wl j^4+\wl_j\chi_j)
\wu_j\\
\intertext{и}
(b)&\quad\wl\biggl(\sZ j^4\wu_j-1\biggr)=0,\quad\wl_j(\wu_j-\delta_j^2)=0,\
|j|\le N,
\end{align*}
где $\chi_j=1$, если $|j|\le N$, и нулю в остальных случаях.
Пусть
$$p_0=\max\Bigl\{\,p\in\mathbb Z_+:\delta^2\sum_{|j|\le p}j^4<1,\ 0\le p\le
N\,\Bigr\}.$$
Положим $\wl=(p_0+1)^{-2}$,
$$\wl_j=\begin{cases} j^2-(p_0+1)^{-2}j^4,& |j|\le p_0,\\
0,&p_0+1\le|j|\le N.\end{cases}$$
Последовательность $\{\wu_j\}_{j\in\mathbb Z}$ определим равенством
$$\wu_j=\begin{cases}\delta^2,&|j|\le p_0,\\
\dfrac{1-\delta^2\sum_{|k|\le p_0}k^4}{2(p_0+1)^4},&|j|=p_0+1,\\
0,&|j|>p_0+1.\end{cases}$$
Легко проверить, что последовательность $\wu=\{\wu_j\}_{j\in\mathbb Z}$
допустима и выполняются условия $(a)$ и $(b)$. Таким образом, $\wu$ ---
решение задачи \eqref{R}. Подставляя $\wu$ в максимизируемый функционал и
извлекая квадратный корень, получаем
\begin{equation}\label{LB}
E(x'\cd,\Wt,F^N_\delta)\ge\frac{\left(1+\delta^2\sum_{|j|\le p_0}\left(j^2(
p_0+1)^2-j^4\right)\right)^{1/2}}{p_0+1}.
\end{equation}

Исходя из аналогичных соображений достаточности можно убедиться, что $\wu$
является также решением и такой задачи
\begin{equation}\label{R1}
\sZ j^2u_j\to\max,\quad\wl\sZ j^4u_j+\sN\wl_ju_j\le\wl+\delta^2\sN\wl_j,\ u
_j\ge0.
\end{equation}
Следовательно, значения задач \eqref{R} и \eqref{R1} совпадают.

Положим
$$\wx_j=\begin{cases} y_0,&j=0,\\
\dfrac{\wl_j}{\wl j^4+\wl_j}y_j,&1\le|j|\le p_0,\\
0,&|j|>p_0.\end{cases}$$
Непосредственной проверкой легко убедиться, что для всех $x\cd\in\Wt$ имеет
место равенcтво
\begin{multline*}
\wl\sZ j^4|x_j-\wx_j|^2+\sN\wl_j|x_j-\wx_j|^2+\wl\sZ j^4|\wx_j|^2+\sN\wl_j|
\wx_j-y_j|^2\\
=\wl\sZ j^4|x_j|^2+\sN\wl_j|x_j-y_j|^2.
\end{multline*}
Если $x\cd\in\Wt$ и $|x_j-y_j|\le\delta$, то, положив $v_j=|x_j-\wx_j|^2$,
будем иметь
$$\wl\sZ j^4v_j+\sN\wl_jv_j\le\wl\sZ j^4|x_j|^2+\sN\wl_j|x_j-y_j|^2\le\wl+
\delta^2\sN\wl_j.$$
Отсюда
\begin{multline*}
\biggl\|x'(t)-\sN ij\wx_je^{ijt}\biggr\|^2_{\lt}=\sZ j^2v_j\\
\le\sup\biggl\{\,\sZ j^2u_j:\wl\sZ j^4u_j+\sN\wl_ju_j\le\wl+\delta^2\sN\wl_j,\ u
_j\ge0\,\biggr\}.
\end{multline*}
Поскольку значение экстремальной задачи в правой части, являющейся задачей
\eqref{R1}, совпадает со значением задачи \eqref R, то для погрешности
оптимального восстановления получаем оценку сверху, совпадающую с оценкой
снизу \eqref{LB}. Таким образом,
$$E(x'\cd,\Wt,F^N_\delta)=\frac{\left(1+\delta^2\sum_{|j|\le p_0}\left(j^2(
p_0+1)^2-j^4\right)\right)^{1/2}}{p_0+1},$$
а метод
$$x'(t)\approx\sN ij\wx_je^{ijt}=\sum_{|j|\le p_0}ij\left(1-\left(\frac j{p
_0+1}\right)^2\right)y_je^{ijt}$$
является оптимальным.

Отметим, что если $p_0<N$, то дальнейшее увеличение числа коэффициентов
Фурье, известных с той же погрешностью, не приводит к уменьшению
погрешности оптимального восстановления. Тем самым при фиксированном $
\delta$ набор из $2N(\delta)$ коэффициентов Фурье (нулевой коэффициент не
используется в оптимальном методе), где
$$N(\delta)=\max\Bigl\{\,N\in\mathbb Z_+:\delta^2\sum_{|j|\le N}j^4<1\,
\Bigr\},$$
позволяет максимально точно восстановить производную функции из $\lt$.
Приведем некоторые значения функции $N(\delta)$ и соответствующей
погрешности оптимального восстановления.
$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\delta^2}&\rule{0pt}{20pt}N(\delta)&E^2\left(x'\cd,\Wt
,F^{N(\delta)}_\delta\right)\\[10pt]
\hline
\rule{0pt}{20pt}\biggl[\dfrac12,+\infty\biggr)&0&1\\[10pt]
\hline
\rule{0pt}{20pt}\biggl[\dfrac1{34},\dfrac12\biggr)&1&\dfrac{1+6\delta^2}4
\\[10pt]
\hline
\rule{0pt}{20pt}\biggl[\dfrac1{196},\dfrac1{34}\biggr)&2&\dfrac{1+56\delta^
2}9\\[10pt]
\hline
\rule{0pt}{20pt}\biggl[\dfrac1{1446},\dfrac1{196}\biggr)&3&\dfrac{1+252
\delta^2}{16}\\[10pt]
\hline
\end{array}$$

В общем случае, если
$$\biggl(\sum_{|j|\le k+1}j^4\biggr)^{-1/2}\le\delta<\biggl(\sum_{|j|\le k}
j^4\biggr)^{-1/2},$$
то $N(\delta)=k$ и
$$E\left(x'\cd,\Wt,F^{N(\delta)}_\delta\right)=\frac{\left(1+\delta^2\sum_{
|j|\le k}\left(j^2(k+1)^2-j^4\right)\right)^{1/2}}{k+1}.$$

{\bf5. Восстановление функции в точке по самой функции, заданной с
погрешностью в $L_2$-норме.} Обозначим через $\lr$ пространство функций $x
\cd$, определенных на $\mathbb R$, для которых
$$\|x\cd\|_{\lr}=\left(\IR|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}<\infty.$$
Через $\Wr$ будем обозначать пространство функций $x\cd\in\lr$, для которых
$\|x'\cd\|_{\lr}<\infty$, а через $\wt$ --- класс функций из $\Wr$, для
которых $\|x'\cd\|_{\lt}\le1$. На классе $\wt$ рассмотрим задачу
оптимального восстановления значения $x(0)$ по информации о самой функции $
x\cd$, заданной с погрешностью $\delta>0$ в норме $\lr$. Иными словами, мы
считаем, что для любой функции $x\cd\in\wt$ нам известна функция $y\cd\in
\lr$, такая, что
\begin{equation}\label{Inf}
\|x\cd-y\cd\|_{\lr}\le\delta.
\end{equation}
Тем самым здесь в качестве информационного оператора $F_\delta$
рассматривается многозначное отображение, которое каждой функции $x\cd\in
\wt$ ставит в соответствие множество функций $y\cd\in\lr$, удовлетворяющих
условию \eqref{Inf}. Нас, как и в предыдущих примерах, интересует
погрешность оптимального восстановления
$$E(x(0),\wt,F_\delta)=\infp_{m\colon\lr\to\mathbb R\vphantom{W_2^1}}\,\sup
_{\substack{x\cd\in\wt,\ y\cd\in\lr\\\|x\cd-y\cd\|_{\lr}\le\delta}}|x(0)-m(
y\cd)|,$$
а также оптимальный метод восстановления (метод, на котором достигается
нижняя грань).

В точности так же, как и раньше, доказывается оценка
$$E(x(0),\wt,F_\delta)\ge\sup_{\substack{x\cd\in\wt\\\|x\cd\|_{\lr}\le
\delta}}|x(0)|.$$
Поскольку функция
$$\wx(t)=\sqrt\delta e^{-|t|/\delta}$$
принадлежит классу $\wt$ и, кроме того, $\|\wx\cd\|_{\lr}=\delta$, то
$$E(x(0),\wt,F_\delta)\ge\wx(0)=\sqrt\delta.$$

Для нахождения оптимального метода восстановления воспользуемся легко
проверяемым тождеством
\begin{equation}\label{to}
x(0)=\frac1{2\delta}\IR e^{-|t|/\delta}x(t)\,dt-\frac12\IR e^{-|t|/\delta}
x'(t)\sign t\,dt,
\end{equation}
справедливым для всех $x\cd\in\Wr$. Рассмотрим метод
\begin{equation}\label{met1}
m(y\cd)=\frac1{2\delta}\IR e^{-|t|/\delta}y(t)\,dt.
\end{equation}
Воспользовавшись тождеством \eqref{to} и применяя неравенство
Коши-Буняковского, будем иметь
\begin{multline*}
E(x(0),\wt,F_\delta)\\
=\sup_{x\cd\in\wt}\sup_{\substack{y\cd\in\lr\\\|x\cd-y\cd\|_{\lr}\le\delta}
}\left|x(0)-\frac1{2\delta}\IR e^{-|t|/\delta}x(t)\,dt\right.\\
\left.-\frac1{2\delta}\IR e^{-|t|/\delta}(y(t)-x(t))\,dt\right|\le\sup_{x
\cd\in\wt}\left|\frac12\IR e^{-|t|/\delta}x'(t)\sign t\,dt\right|\\
+\frac{\sqrt\delta}2\le\sqrt\delta.
\end{multline*}
Отсюда и соответствующей оценки снизу вытекает равенство
$$E(x(0),\wt,F_\delta)=\sqrt\delta$$
и оптимальность метода \eqref{met1}.

Кроме того, из доказанного следует, что значение задачи
\begin{equation}\label{*}
x(0)\to\max,\quad\|x\cd\|_{\lr}\le\delta,\quad\|x'\cd\|_{\lr}\le1,
\end{equation}
равно $\sqrt\delta$. Функция $x\cd/\|x'\cd\|_{\lr}$ для всех $x\cd\in\Wr$
является допустимой в задаче \eqref* с $\delta=\|x\cd\|_{\lr}/\|x'\cd\|_{
\lr}$. Следовательно, для всех $x\cd\in\Wr$ справедливо неравенство
$$\frac{|x(0)|}{\|x'\cd\|_{\lr}}\le\frac{\|x\cd\|_{\lr}^{1/2}}{\|x'\cd\|_{
\lr}^{1/2}},$$
т.е.
$$|x(0)|\le\|x\cd\|_{\lr}^{1/2}\|x'\cd\|_{\lr}^{1/2}.$$
В силу инвариантности нормы относительно сдвига точку $0$ можно заменить на
любую точку $\tau\in\mathbb R$.

Полученное неравенство можно рассматривать как некоторый принцип
неопределенности для функций из $\Wr$, означающий, что при фиксированном
значении функции в произвольной точке нормы функции и ее производной не
могут быть одновременно малы --- их произведение всегда не меньше квадрата
этого значения.

{\bf6. Восстановление функции по ее приближенным значениям в весовой
норме.} Обозначим через $\lp$ пространство функций $x\cd$, определенных на
$\mathbb R$, для которых
$$\|x\cd\|_{\lp}=\left(\IR t^2|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}<\infty.$$
Через $\WP$ обозначим пространство функций из $\lp$, для которых $x'\cd\in
\lr$. Положим
$$\Wp=\{\,x\cd\in\WP:\|x'\cd\|_{\lr}\le1\,\}.$$
На классе $\Wp$ рассмотрим задачу оптимального восстановления функции $x\cd
$ по информации о ее приближенным значениям в норме пространства $\lp$. Мы
считаем, что для любой функции $x\cd\in\Wp$ нам известна функция $y\cd\in
\lp$, такая, что
\begin{equation}\label{Inf1}
\|x\cd-y\cd\|_{\lp}\le\delta.
\end{equation}
Здесь в качестве информационного оператора $F_\delta$ рассматривается
многозначное отображение, которое каждой функции $x\cd\in\Wp$ ставит в
соответствие множество функций $y\cd\in\lp$, удовлетворяющих условию \eqref
{Inf1}. Нас интересует погрешность оптимального восстановления
\begin{multline*}
E(x\cd,\Wp,F_\delta)\\
=\infp_{m\colon\lp\to\lr\vphantom{W_2^1}}\,\sup_{\substack{x\cd\in\Wp,\ y
\cd\in\lp\\\|x\cd-y\cd\|_{\lp}\le\delta}}\|x\cd-m(y)\cd\|_{\lr},
\end{multline*}
а также оптимальный метод восстановления.

Рассуждения, аналогичные проводимым в предыдущих примерах, приводят к
неравенству
$$E(x\cd,\Wp,F_\delta)\ge\sup_{\substack{\|x\cd\|_{\lp}\le\delta\\\|x'\cd\|
_{\lr}\le1}}\|x\cd\|_{\lr}.$$
Для решения экстремальной задачи
\begin{equation}\label{Ex}
\|x\cd\|^2_{\lr}\to\max,\quad\|x\cd\|^2_{\lp}\le\delta^2,\quad\|x'\cd\|_{
\lr}^2\le1,
\end{equation}
рассмотрим функцию Лагранжа
$$\mathcal L(x\cd,\lambda_1,\lambda_2)=-\IR x^2(t)\,dt+\lambda_1\IR t^2x^2(
t)\,dt+\lambda_2\IR {x'}^2(t)\,dt.$$
Несложно показать, что для того чтобы функция $\wx\cd\in\Wp$ была решением
задачи \eqref{Ex} достаточно, чтобы нашлись $\wl_1,\wl_2\ge0$, для которых
$$\min_{x\cd\in\Wp}\mathcal L(x\cd,\wl_1,\wl_2)=\mathcal L(\wx\cd,\wl_1,\wl
_2)$$
и
$$\wl_1\left(\IR t^2\wx^2(t)\,dt-\delta^2\right)=0,\quad\wl_2\left(\IR\wx{
'}^2(t)\,dt-1\right)=0.$$

Положим $\wl_1=\delta^{-1}$ и $\wl_2=\delta$. Интегрируя по частям первое
слагаемое в функции Лагранжа, получим
$$\mathcal L(x\cd,\wl_1,\wl_2)=\frac1\delta\IR\left(tx(t)+\delta x'(t)
\right)^2\,dt.$$
Очевидно, что на функции
$$\wx(t)=\sqrt2\left(\frac\delta\pi\right)^{1/4}e^{-\frac{t^2}{2\delta}}$$
функция Лагранжа обращается в ноль, т.е.\ на этой функции достигается
минимум. В силу того, что
$$\IR t^2x^2(t)\,dt=\delta^2,\quad\IR{x'}^2(t)\,dt=1,$$
$\wx\cd$ --- решение задачи \eqref{Ex}. Тем самым
$$E(x\cd,\Wp,F_\delta)\ge\left(\IR\wx^2(t)\,dt\right)^{1/2}=\sqrt{2\delta}.
$$
Из аналогичных соображений достаточности вытекает, что функция $\wx\cd$
является также решением экстремальной задачи
\begin{equation}\label{**}
\|x\cd\|^2_{\lr}\to\max,\quad\delta^{-1}\|x\cd\|^2_{\lp}+\delta\|x'\cd\|_{
\lr}^2\le2\delta.
\end{equation}

Перейдем к построению оптимального метода восстановления. Положим
$$\psi_n(t)=H_n\left(\frac t{\sqrt\delta}\right)e^{-\frac{t^2}{2\delta}},
\quad n=0,1,\ldots,$$
где $H_n\cd$ --- полиномы Чебышева--Эрмита ($\{H_n\cd\}_{n=0}^\infty$ ---
ортогональная на $\mathbb R$ система полиномов для веса $e^{-x^2}$ со
старшими коэффициентами $a_n=2^n$). Функции $\psi_n\cd$, $n=0,1,\ldots$,
образуют ортогональный базис в $\lr$. Пусть $y\cd\in\lp$ и
$$ty(t)=\sum_{n=0}^\infty y_n\psi_n(t).$$
Положим
$$\wx(t)=\sum_{n=0}^\infty\wx_n\psi_n(t),$$
где
$$\wx_0=\frac{y_1}{\sqrt\delta},\quad\wx_n=\frac{(n+1)y_{n+1}+y_{n-1}/2}{
\sqrt\delta(2n+1)},\quad n=1,2,\ldots\,\,.$$
Пользуясь свойствами полиномов Чебышева--Эрмита, можно показать, что для
всех $z\cd\in\WP$ имеет место равенство
$$\frac1\delta\IR t^2(\wx(t)-y(t))z(t)\,dt+\delta\IR\wx'(t)z'(t)\,dt=0.$$
Откуда вытекает, что для любого $x\cd\in\Wp$
\begin{multline*}
\frac1\delta\IR t^2(x(t)-\wx(t))^2\,dt+\delta\IR(x'(t)-\wx'(t))^2\,dt+\frac
1\delta\IR t^2(\wx(t)-y(t))^2\,dt\\
+\delta\IR\wx'{}^2(t)\,dt=\frac1\delta\IR t^2(x(t)-y(t))^2\,dt+\delta\IR{x'
}^2(t)\,dt.
\end{multline*}
Если $x\cd\in\Wp$ и $\|x\cd-y\cd\|_{\lp}\le\delta$, то, положив $z\cd=x\cd-
\wx\cd$, будем иметь
\begin{multline*}
\frac1\delta\IR t^2z^2(t)\,dt+\delta\IR{z'}^2(t)\,dt\\
\le\frac1\delta\IR t^2(x(t)-y(t))^2\,dt+\delta\IR{x'}^2(t)\,dt\le2\delta.
\end{multline*}
Отсюда
\begin{multline*}
\|x\cd-\wx\cd\|_{\lr}=\|z\cd\|_{\lr}\\
\le\sup\left\{\,\|x\cd\|_{\lr}:\delta^{-1}\|x\cd\|^2_{\lp}+\delta\|x'\cd\|_
{\lr}^2\le2\delta\,\right\}.
\end{multline*}
Квадрат значения экстремальной задачи в правой части совпадает со значением
задачи \eqref{**} и тем самым со значением задачи \eqref{Ex}.
Следовательно, для погрешности оптимального восстановления получена оценка
сверху, совпадающая с оценкой снизу. Таким образом,
\begin{equation}\label{Del}
E(x\cd,\Wp,F_\delta)=\sqrt{2\delta},
\end{equation}
а метод
$$x(t)\approx\sum_{n=0}^\infty\wx_n\psi_n(t)=\frac1{\sqrt\pi}\sum_{n=0}^
\infty\alpha_nH_n\left(\frac t{\sqrt\delta}\right)e^{-\frac{t^2}{2\delta}},
$$
где
$$\alpha_n=\frac1{(2n+1)2^nn!}\IR y(t)H_n\left(\frac t{\sqrt\delta}\right)e
^{-\frac{t^2}{2\delta}}t^2\,dt,$$
является оптимальным.

Из \eqref{Del} по тем же соображениям, что и в предыдущем примере, вытекает
следующее точное неравенство
\begin{equation}\label{G}
\IR x^2(t)\,dt\le2\left(\IR t^2x^2(t)\,dt\right)^{1/2}\left(\IR {x'}^2(t)
\,dt\right)^{1/2}.
\end{equation}
Если рассматривать функции $x\cd$, нормированные условием
$$\IR x^2(t)\,dt=1,$$
то из \eqref G вытекает неравенство
$$\IR t^2x^2(t)\,dt\IR {x'}^2(t)\,dt\ge1/4,$$
которое известно как принцип неопределенности Гейзенберга.

\section {Теория}

Приведенные выше примеры были решены непосредственно, без привлечения
каких-либо общих утверждений. Мы это сделали сознательно, чтобы
сосредоточить внимание читателя только на самих примерах. Здесь же мы
приведем один общий результат, связанный с оптимальным восстановлением
линейных функционалов (в некоторых примерах мы, фактически, им
пользовались).

Пусть в обозначениях п.2 $C$ --- подмножество вещественного или
комплексного пространства $X$, $X'$ --- сопряженное к $X$ и $f=x'\in X'$,
т.~е. $Z=\mathbb R$ или $\mathbb C$. Значение линейного функционала $x'$
на элементе $x\in X$ обозначаем $\langle x',x\rangle$. Пусть, далее, $Y$
--- другое вещественное или комплексное векторное пространство, $Y'$ --- его
сопряженное и $F\colon C\to Y$ --- (вообще говоря, многозначное)
отображение. Задача состоит в том, чтобы восстановить значения линейного
функционала $x'$ на множестве $C$ по информации $F$.

Будем для определенности считать, что $X$ и $Y$ --- комплексные векторные
пространства. Любое отображение $m\colon F(C)\to \mathbb C$, как и раньше,
назовем {\it методом восстановления}. Погрешностью такого метода называется
величина
\begin{equation}\label{T1}
e(x',C,F,m)=\sup_{x\in C,\ y\in F(x)}|\langle x',x\rangle-m(y)|,
\end{equation}
а {\it погрешность оптимального восстановления\/} ($x'$ на $C$ по $F$),
обозначаемую $E(x',C,F)$, определим как значение задачи:
\begin{equation}\label{T2}
e(x',C,F,m)\to\min,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным отображениям 
$$m\colon F(C)\to\mathbb C.$$ 
Любой метод $\wm$, который является решением этой задачи
называется {\it оптимальным методом восстановления}.

Сопоставим задаче \eqref{T2} следующую экстремальную задачу
\begin{equation}\label{T3}
{\rm Re}\,\langle x',x\rangle\to\max,\quad x\in F^{-1}(0),\quad x\in C,
\end{equation}
где $F^{-1}(y)=\{x\in C\mid y\in F(x)\}$.

Функцию
$$
{\mathcal L}\left((x,y),\lambda_0,y'\right)=\lambda_0{\rm Re}\,\langle
 x',x\rangle+{\rm Re}\,\langle y',y\rangle.
$$
назовем функцией Лагранжа задачи \eqref{T3}, а число $\lambda_{0}$ и
функционал $y'\in Y'$ --- множителями Лагранжа.


\begin{theorem}
Пусть в задаче \eqref{T3} множества $C$ и ${\rm gr} F=\{(x,y):x\in
C,\,\,y\in F(x)\}$ выпуклы и уравновешены. Тогда допустимая в \eqref{T3}
точка $\widehat x$ является решением этой задачи в том и только в том
случае, когда найдется такой множитель Лагранжа $\widehat y'\in Y'$,
что
$$
\min_{\substack{x\in C\\y\in F(x)}}{\mathcal L}\left((x,y),-1,\widehat
y'\right)= {\mathcal L}\left((\widehat x,0),-1,\widehat y'\right).
$$
При этом $\widehat y'$ --- оптимальный метод восстановления в задаче
\eqref{T2} и $E(x',C,F)={\rm Re}\,\langle x',\widehat x\rangle.$
\end{theorem}

Из этой теоремы видно, что для нахождения оптимального метода в \eqref{T2}
достаточно решить задачу \eqref{T3}, которая является выпуклой. Решая ее
стандартными методами выпуклой оптимизации, мы находим заодно и множители
Лагранжа, т.~е. находим оптимальный метод восстановления (который
оказывается линейным). С точки зрения выпуклой двойственности это
означает, что задачи \eqref{T2} и \eqref{T3} двойственны друг к другу.

При оптимальном восстановлении линейных операторов оценка снизу величины
оптимальной погрешности также сводится к решению задачи, аналогичной
\eqref{T3}, но оценка сверху требует отдельных рассуждений. На этот счет
имеются некоторые соображения общего характера, но здесь мы на них
не будем останавливаться (см.\ \cite{MO}).

Доказательство сформулированной теоремы можно найти в \cite{MT1}.

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Sm} {\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965.

\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli
and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{TW}{\it Traub J.~F., Wo\'zniakowski H.} A General Theory of
Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin:
Springer--Verlag, 1985.

\bibitem{Ar}{\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.

\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991.
Т.~50. 6. С.~85--93.

\bibitem{Os} {\it Osipenko K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions,
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000.

\bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} О неравенствах для
производных колмогоровского типа // Матем. сб. 1997. Т.~188. 12.
С.~73--106.

\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и
его приложения. Москва: Эдиториал УРСС, 2000.

\bibitem{MO} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью // Матем. сб. 2002. Т.~193. С.~79--100.

\end{thebibliography}

\end{document}