\documentclass[12pt,a4paper,oneside,reqno,draft]{amsbook}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm,array,longtable}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphics}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother



%\renewcommand{\thefigure}{\thechapter.\arabic{figure}}

\tolerance 4700


\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\DeclareMathOperator*{\const}{const}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}}
\newcommand*{\Pc}{\mathcal P}
\newcommand*{\Ac}{\mathcal A}
\newcommand*{\Hc}{\mathcal H}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\ov}{\overline}

\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\Erf}{Erf}

\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
%\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]

\newtheorem{proposition}{Предложение}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\newcounter{exam}[section]
%\renewcommand{\theexam}{\arabic{section}.\arabic{exam}}
\newcommand*{\ex}{\par\refstepcounter{exam}%
{\bf Пример \theexam.}\ }

\newcounter{prob}[section]
\renewcommand{\theprob}{\arabic{section}.\arabic{prob}}
\newcommand*{\pro}{\par\refstepcounter{prob}%
{\bf Задача \theprob.}\ }



\renewcommand*{\thefigure}{}
\pagestyle{plain}

\begin{document}
\renewcommand*\contentsname{С О Д Е Р Ж А Н И Е}

\renewcommand{\thefigure}{\arabic{figure}}

\begin{center}
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.~М.В.~ЛОМОНОСОВА

\vskip10pt
\rule{125mm}{0,4pt}
\vskip-12pt
\rule{125mm}{0,4pt}
\vskip20pt
Факультет вычислительной математики и кибернетики\\
Кафедра вычислительной математики
\end{center}

\vskip90pt

\begin{center}
\underline{ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ФРЕНЕЛЯ}
\end{center}

\vskip120pt

\begin{flushright}
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА\\
студента V курса\\
ОСИПЕНКО~К.Ю.
\end{flushright}

\vskip20pt

\begin{flushright}
Научный руководитель ---\\
профессор Н.С.~БАХВАЛОВ
\end{flushright}


\vskip180pt
\begin{center}
Москва 1972
\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage

\tableofcontents

\setcounter{page}{1}
%\setcounter{chapter}{2}
%\setcounter{figure}{16}


%\renewcommand*{\chaptername}{ГЛАВА}



\section*{ВВЕДЕНИЕ}

В настоящей работе рассматривается метод вычисления интегралов Френеля вида:
\begin{gather*}
C(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\cos t}{\sqrt t}\,dt,\\
S(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\sin t}{\sqrt t}\,dt.
\end{gather*}
Предложенный метод, основанный на разложении интегралов Френеля по многочленам Чебышева, усовершенствуется в дальнейшем с помощью дробно-рациональных приближений.

Существующие методы вычисления интегралов Френеля используют при малых $x$ разложения $C(x)$ и $S(x)$ в ряды Тейлора, а при больших $x$ --- асимптотические разложения $C(x)$ и $S(x)$. Трудности возникают при вычислении интегралов в промежуточных точках. Здесь имеются различные подходы.

Существует метод, сводящий вычисления $C(x)$ и $S(x)$ к системе разностных уравнений, которая в дальнейшем решается методом стрельбы и прогонки. Недостаток этого метода в том, что он довольно сложен и требует большого числа операций.

Другой метод использует для вычисления $C(x)$ и $S(x)$ квадратурные формулы Гаусса. Недостаток этого метода в том, что он требует многократного вычисления функций $\cos t$ и $\sin t$.

Интересен метод, использующий разложения интегралов Френеля по функциям Бесселя
\begin{gather*}
C(x)=\sum_{k=0}^{\infty}J_{2k+\textstyle\frac12}(x),\\
S(x)=\sum_{k=0}^{\infty}J_{2k-\textstyle\frac12}(x).
\end{gather*}
Однако он требует большего числа операций, чем метод рассматриваемый в работе, для достижения той же точности.

Преимущества предлагаемого алгоритма в том, что он использует только два промежутка $[0,8)$ и $[8,\infty)$ и имеет сравнительно малое число операций.

\newpage

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. РАЗЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ФРЕНЕЛЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА}

Интегралы Френеля определяются следующим образом:
$$C(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\cos t}{\sqrt t}\,dt,\quad S(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{\sin t}{\sqrt t}\,dt.$$

Пусть $y\in[-1,1]$. Разложим $\cos ty$ и $\sin ty$ при фиксированном $t$ в ряды по многочленам Чебышева.

\noindent$\cos ty=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nT_n(y)$, где

\begin{align*}
a_0&=\frac1\pi\int_{-1}^1\frac{\cos ty}{\sqrt{1-y^2}}\,dy,\\
a_{2n+1}&=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{\cos tyT_{2n+1}(y)}{\sqrt{1-y^2}}\,dy=0,\\
a_{2n}&=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{\cos tyT_{2n}(y)}{\sqrt{1-y^2}}\,dy,
\end{align*}
и $\sin ty=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_nT_n(y)$, где

\begin{align*}
b_0&=\frac1\pi\int_{-1}^1\frac{\sin ty}{\sqrt{1-y^2}}\,dy=0,\\
b_{2n}&=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{\sin tyT_{2n}(y)}{\sqrt{1-y^2}}\,dy=0,\\
b_{2n+1}&=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{\sin tyT_{2n+1}(y)}{\sqrt{1-y^2}}\,dy.
\end{align*}

Покажем, что $a_0=J_0(t)$, $a_{2n}=2(-1)^nJ_{2n}(t)$, $n\ge1$, и $b_{2n+1}=2(-1)^nJ_{2n+1}(t)$, где $J_k(t)$ --- функции Бесселя I рода.

Известно \cite{2}, что
\begin{multline*}
J_k(t)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(t\sin y-ky)\,dy\\
=\frac1\pi\int_0^\pi\left(\cos(t\sin y)\cos ky+\sin(t\sin y)\sin ky\right)\,dy.
\end{multline*}
Поскольку
$$\frac1\pi\int_0^\pi\sin(t\sin y)\sin2ny\,dy=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(t\sin y)\cos(2n+1)y\,dy=0,$$
то
\begin{gather*}
J_{2n}(t)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(t\sin y)\cos2ny\,dy=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\cos(t\sin y)\cos2ny\,dy,\\
J_{2n+1}(t)=\frac1\pi\int_0^\pi\sin(t\sin y)\sin(2n+1)y\,dy\\
=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\sin(t\sin y)\sin(2n+1)y\,dy.
\end{gather*}
Отсюда
\begin{multline*}
a_0=\frac1\pi\int_{-1}^1\frac{\cos ty}{\sqrt{1-y^2}}\,dy=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(t\cos y)\,dy\\=\frac1\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(t\sin y)\,dy=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\cos(t\sin y)\,dy=J_0(t),
\end{multline*}
\begin{multline*}
a_{2n}=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{\cos ty\cos(2n\arccos y)}{\sqrt{1-y^2}}\,dy=\frac2\pi\int_0^\pi\cos(t\cos y)\cos2ny\,dy\\
=(-1)^n\frac2\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(t\sin y)\cos2ny\,dy\\
=(-1)^n\frac4\pi\int_0^{\pi/2}\cos(t\sin y)\cos2ny\,dy=2(-1)^nJ_{2n}(t),
\end{multline*}
\begin{multline*}
b_{2n+1}=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{\sin ty\cos[(2n+1)\arccos y]}{\sqrt{1-y^2}}\,dy\\
=\frac2\pi\int_0^\pi\sin(t\cos y)\cos(2n+1)y\,dy\\
=(-1)^n\frac2\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(t\sin y)\sin(2n+1)y\,dy=2(-1)^nJ_{2n+1}(t),
\end{multline*}

Пусть $0\le x\le a$. Представим интегралы Френеля в виде
\begin{equation}\label{1.1}
C(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}\int_0^1\frac{\cos tx}{\sqrt t}\,dt,\quad S(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}\int_0^1\frac{\sin tx}{\sqrt t}\,dt.
\end{equation}

Разложим $\cos tx$ и $\sin tx$ в ряды
\begin{align*}
\cos tx=&\sum_{n=0}^\infty a_{2n}T_{2n}\left(\frac xa\right),\\
\sin tx=&\sum_{n=0}^\infty b_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac xa\right),
\end{align*}
где $a_0=J_0(at)$, $a_{2n}=2(-1)^nJ_{2n}(at)$, $b_{2n+1}=2(-1)^nJ_{2n+1}(at)$. Подставляя в интегралы \eqref{1.1} соответствующие разложения, получим
\begin{gather*}
C(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}\biggl[\rho_0+2\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\rho_{2n}T_{2n}\left(\frac xa\right)\biggr],\\
S(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\rho_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac xa\right),
\end{gather*}
где
$$\rho_n=\int_0^1\frac{J_n(at)}{\sqrt t}\,dt.$$
Пусть $a\le x<\infty$. Тогда
$$C(x)+iS(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^x\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt
-\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt.$$
Известно, что
$$\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt=\frac12(1+i).$$
Рассмотрим
\begin{gather*}
J=\int_x^\infty\frac{e^{it}}{\sqrt t}\,dt.\\
J=2\int_{\sqrt x}^\infty e^{it^2}\,dt=2\int_0^\infty e^{i(u+\sqrt x)^2}\,du=2e^{ix}\int_0^\infty e^{i(u^2+2u\sqrt x)}\,du.
\end{gather*}

В последнем интеграле можно заменить интегрирование по действительной оси на интегрирование по мнимой оси от $0$ до $i\infty$
\begin{multline*}
J=2e^{ix}i\int_0^\infty e^{-it^2}e^{-2t\sqrt x}\,dt=i\frac{2e^{ix}}{\sqrt x}\int_0^\infty e^{-2t}e^{-i\textstyle\frac{t^2}x}\,dt\\
=-\frac2{\sqrt x}\left(\sin x\int_0^\infty e^{-2t}\cos\frac{t^2}x\,dt-\cos x\int_0^\infty e^{-2t}\sin\frac{t^2}x\,dt\right)\\
+i\frac2{\sqrt x}\left(\sin x\int_0^\infty e^{-2t}\sin\frac{t^2}x\,dt+\cos x\int_0^\infty e^{-2t}\cos\frac{t^2}x\,dt\right).
\end{multline*}
Отсюда
\begin{gather*}
C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}\int_0^\infty2e^{-2t}\cos\frac{t^2}x\,dt-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}\int_0^\infty2e^{-2t}\sin\frac{t^2}x\,dt,\\
S(x)=\frac12-\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}\int_0^\infty2e^{-2t}\sin\frac{t^2}x\,dt-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}\int_0^\infty2e^{-2t}\cos\frac{t^2}x\,dt.
\end{gather*}
Обозначим
\begin{gather*}
A\left(\frac ax\right)=\int_0^\infty2e^{-2t}\cos\frac{t^2}x\,dt=
\int_0^\infty2\sqrt ae^{-2\sqrt at}\cos\frac{t^2a}x\,dt,\\
B\left(\frac ax\right)=\int_0^\infty2e^{-2t}\sin\frac{t^2}x\,dt=
\int_0^\infty2\sqrt ae^{-2\sqrt at}\sin\frac{t^2a}x\,dt.
\end{gather*}

Разлагая $\cos\dfrac{t^2a}x$ и $\sin\dfrac{t^2a}x$ в ряды по многочленам Чебышева, получим
\begin{gather*}
A\left(\frac ax\right)=\gamma_0+2\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right),\\
B\left(\frac ax\right)=2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right),
\end{gather*}
где
$$\gamma_n=\int_0^\infty2\sqrt ae^{-2\sqrt at}J_n(t^2)\,dt.$$
Тогда для $C(x)$ и $S(x)$ будем иметь
\begin{multline*}
C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}\left[\gamma_0+2\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\right]\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right),
\end{multline*}
\begin{multline*}
C(x)=\frac12-\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right)\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}\left[\gamma_0+2\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\right].
\end{multline*}

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ПРИ $0\le x\le a$}

При $0\le x\le a$ \ $C(x)$ и $S(x)$ можно представить в виде
\begin{gather*}
C(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}\biggl[\rho_0+2\sum_{n=1}^N(-1)^n\rho_{2n}T_{2n}\left(\frac xa\right)\biggr]+E_c^N(x),\\
S(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}2\sum_{n=0}^N(-1)^n\rho_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac xa\right)+E_s^N(x),
\end{gather*}
где
\begin{gather*}
E_c^N(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}2\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^n\rho_{2n}T_{2n}\left(\frac xa\right),\\
E_s^N(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}2\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^n\rho_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac xa\right).
\end{gather*}
Оценим величины $E_c^N(x)$ и $E_s^N(x)$. Очевидно, что
\begin{gather*}
|E_c^N(x)|\le2\sqrt{\frac x{2\pi}}\sum_{n=2N+2}^\infty|\rho_n|,\\
|E_s^N(x)|\le2\sqrt{\frac x{2\pi}}\sum_{n=2N+3}^\infty|\rho_n|.
\end{gather*}
Известно \cite{2}, что
$$J_n(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\frac1{(n+k)!}\left(\frac z2\right)^{2k+n}.$$
Следовательно,
\begin{multline*}
\rho_n=\int_0^1\frac{J_n(at)}{\sqrt t}\,dt=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\frac1{(n+k)!}\left(\frac a2\right)^{2k+n}\int_0^1t^{2k+n-\textstyle\frac12}\,dt\\
=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k!}\frac1{(n+k)!}\left(\frac a2\right)^{2k+n}\frac1{2k+n+\dfrac12}.
\end{multline*}
Обозначим
$$a_k=\frac1{k!(n+k)!}\left(\frac a2\right)^{2k+n}\frac1{2k+n+\dfrac12},$$
и рассмотрим $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$
$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\left(\frac a2\right)^2\frac1{(k+1)(n+k+1)}\frac1{1+\dfrac2{2k+n+\dfrac12}}<\left(\frac a2\right)^2\frac1{n+1}.$$
При $n+1\ge\left(\dfrac a2\right)^2$ \ $a_k$ монотонно убывают и, следовательно,
$$0<\rho_n<\frac1{n!}\left(\frac a2\right)^n\frac2{2n+1}.$$
Отсюда
$$\sum_{n=M}^\infty\rho_n<\sum_{n=M}^\infty\frac1{n!}\left(\frac a2\right)^n\frac2{2n+1}<\frac1{M!}\left(\frac a2\right)^M\frac2{2M+1}\cdot\frac1{1-\dfrac a{2(M+1)}}.$$
Таким образом,
\begin{equation}\label{2.1}
\begin{gathered}
|E_c^N(x)|\le2\sqrt{\frac x{2\pi}}\frac{\left(\dfrac a2\right)^{2N+2}}{(2N+2)!}\frac2{4N+5}\frac1{1-\dfrac a{2(2N+3)}},\\
|E_s^N(x)|\le2\sqrt{\frac x{2\pi}}\frac{\left(\dfrac a2\right)^{2N+3}}{(2N+3)!}\frac2{4N+7}\frac1{1-\dfrac a{2(2N+4)}},
\end{gathered}
\end{equation}
при условии, что
\begin{equation}\label{2.2}
2N+3\ge\left(\frac a2\right)^2.
\end{equation}

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА ПРИ $a\le x<\infty$}

При $a\le x<\infty$ \ $C(x)$ и $S(x)$ представляются в виде
\begin{multline*}
C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}\left[\gamma_0+2\sum_{n=1}^N(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\right]\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=0}^N(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right)+E_c^N(x),
\end{multline*}
\begin{multline*}
S(x)=\frac12-\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=0}^N(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right)\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}\left[\gamma_0+2\sum_{n=1}^N(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\right]+E_s^N(x),
\end{multline*}
где
\begin{multline*}
E_c^N(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right),
\end{multline*}
\begin{multline*}
E_s^N(x)=-\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right)\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=N+1}^\infty(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right),
\end{multline*}
Легко видеть, что
\begin{equation}\label{3.1}
|E_c^N(x)|,|E_s^N(x)|\le\frac1{\sqrt{2\pi x}}(|\sin x|+|\cos x|)\sum_{n=2N+2}^\infty|\gamma_n|.
\end{equation}
Известно \cite{3}, что
$$\int_0^\infty e^{-\sqrt{2a}t}J_n\left(\frac{t^2}2\right)\,dt=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^\infty
\frac{e^{-a\sh2t}}{(\cth t)^{n+\textstyle\frac12}}\,\frac{dt}{\sh t}.$$
Делая в последнем интеграле замену $x=\sh2t$, получаем
$$\gamma_n=\sqrt{\frac a\pi}\int_0^\infty\frac{e^{-ax}}{\sqrt x\sqrt{1+x^2}}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^n\,dx.$$
Обозначим
$$\varphi_M=\sum_{n=M}^\infty\gamma_n=\sum_{n=M}^\infty\sqrt{\frac a\pi}\int_0^\infty\frac{e^{-ax}}{\sqrt x\sqrt{1+x^2}}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^n\,dx.$$
Покажем, что ряд
\begin{equation}\label{3.2}
\sum_{n=M}^\infty\sqrt{\frac a\pi}\frac{e^{-ax}}{\sqrt x\sqrt{1+x^2}}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^n
\end{equation}
равномерно сходится на $[0,\infty)$.

В силу ограниченности функции
$$\sqrt{\frac a\pi}\frac{\sqrt x}{\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1+x^2})}$$
достаточно доказать, что равномерно сходится ряд
$$\sum_{n=M}^\infty f_n(x)=\sum_{n=M}^\infty e^{-ax}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^{n-1}.$$

Рассмотрим $f_n'(x)$ при $x\in[0,\infty)$
$$f_n'(x)=e^{-ax}\frac{x^{n-2}}{(1+\sqrt{1+x^2})^{n-1}}\frac1{\sqrt{1+x^2}}
(n-1-ax\sqrt{1+x^2}).$$
Отсюда $f_n(x)$ имеет максимум в точке, удовлетворяющей уравнению
$$n-1=ax\sqrt{1+x^2}.$$
Решение этого уравнения:
\begin{equation}\label{3.3}
x_n=\sqrt{\frac{n-1}a\sqrt{1+\frac{a^2}{4(n-1)^2}}-\frac12}.
\end{equation}
Следовательно,
\begin{multline*}
\sum_{n=M}^\infty f_n(x)\le\sum_{n=M}^\infty f_n(x_n)=\sum_{n=M}^\infty e^{-ax_n}\left(\frac{x_n}{1+\sqrt{1+x_n^2}}\right)^{n-1}\\
<\sum_{n=M}^\infty e^{-ax_n}<\infty.
\end{multline*}
Отсюда следует равномерная сходимость ряда \eqref{3.2} и, следовательно, справедливость равенств:
\begin{multline*}
\varphi_M=\sqrt{\frac a\pi}\int_0^\infty\frac{e^{-ax}}{\sqrt x\sqrt{1+x^2}}\sum_{n=M}^\infty\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^n\,dx\\
=\sqrt{\frac a\pi}\int_0^\infty\frac{e^{-ax}}{\sqrt x\sqrt{1+x^2}}\frac{x^M}{(1+\sqrt{1+x^2})^M}\frac1{1-\dfrac x{1+\sqrt{1+x^2}}}\,dx.
\end{multline*}
Поскольку для всех $x\in[0,\infty)$ выполнены неравенства
\begin{gather*}
\frac1{1-\dfrac x{1+\sqrt{1+x^2}}}\cdot\frac1{\sqrt{1+x^2}}=
\frac12\left(\frac{x+1}{\sqrt{1+x^2}}+1\right)\le\frac{1+\sqrt2}2,\\
\frac1{\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}}\le\frac1{\sqrt2},
\end{gather*}
для $\varphi_M$ будем иметь
\begin{equation}\label{3.4}
\varphi_M<\sqrt{\frac a\pi}\frac{1+\sqrt2}{2\sqrt2}\int_0^\infty e^{-ax}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^{M-\textstyle\frac12}\,dx.
\end{equation}
Из \eqref{3.3} находим точку, в которой подынтегральная функция принимает максимум
$$\xi=\sqrt{\frac{M-\dfrac12}a\sqrt{1+\frac{a^2}
{4\left(M-\dfrac12\right)^2}}-\frac12}.$$
Отметим, что
\begin{equation}\label{3.5}
\begin{gathered}
\xi<\xi_1=\sqrt{\frac{M-\dfrac12}a},\\
\xi>\xi_2=\sqrt{\frac{M-\dfrac12}a-\frac12}.
\end{gathered}
\end{equation}
Рассмотрим
$$I=\int_0^\infty e^{-ax}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^{M-\textstyle\frac12}\,dx.$$
Этот интеграл можно представить в виде
\begin{multline*}
I=\int_0^{2\xi}e^{-ax}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^{M-\textstyle\frac12}\,dx\\
+\int_{2\xi}^\infty e^{-ax}\left(\frac x{1+\sqrt{1+x^2}}\right)^{M-\textstyle\frac12}\,dx.
\end{multline*}
Отсюда
$$I<e^{-a\xi}\left(\frac\xi{1+\sqrt{1+\xi^2}}\right)^{M-\textstyle\frac12}2\xi+
\frac{e^{-2a\xi}}a.$$
Так как $\xi$ удовлетворяет уравнению $a\xi\sqrt{1+\xi^2}=M-\dfrac12$, то
$$\frac\xi{1+\sqrt{1+\xi^2}}=\frac\xi{1+\dfrac{M-\dfrac12}{a\xi}}\le
\frac{\xi_1}{1+\dfrac{M-\dfrac12}{a\xi_1}}=\frac{\sqrt{M-\dfrac12}}{\sqrt a+\sqrt{M-\dfrac12}}.$$

Учитывая неравенства \eqref{3.5}, имеем
$$I<e^{-2a\xi_2}\left[2\xi_1e^{a\xi_2+\left(M-\textstyle\frac12\right)\ln
\frac{\sqrt{M-\textstyle\frac12}}{\sqrt a+\sqrt{M-\textstyle\frac12}}}+\frac1a\right].$$
Обозначим
$$\tau(M,a)=\sqrt{a\left(M-\dfrac12\right)-\frac{a^2}2}+\left(M-\frac12\right)\ln
\frac{\sqrt{M-\dfrac12}}{\sqrt a+\sqrt{M-\dfrac12}}.$$
Тогда из \eqref{3.4} получим
\begin{multline*}
\varphi_M<\sqrt{\frac a\pi}\frac{1+\sqrt2}{2\sqrt2}e^{-2a\sqrt{\frac{M-\frac12}a-\frac12}}
\left[2\sqrt{\frac{M-\dfrac12}a}e^{\tau(M,a)}+\frac1a\right]\\
=\frac{1+\sqrt2}{2\sqrt{2\pi}}e^{-2a\sqrt{\frac{M-\frac12}a-\frac12}}
\left[2\sqrt{M-\frac12}e^{\tau(M,a)}+\frac1{\sqrt a}\right].
\end{multline*}
Наконец, из \eqref{3.1} и последнего неравенства будем иметь
\begin{multline}\label{3.6}
|E_c^N(x)|,|E_s^N(x)|\le\frac1{\sqrt x}(|\sin x|+|\cos x|)\frac{1+\sqrt2}{4\pi}e^{-2a\sqrt{\frac{2N+\frac32}a-\frac12}}\\
\times\left[2\sqrt{2N+\frac32}e^{\tau(2N+2,a)}+\frac1{\sqrt a}\right],
\end{multline}
где
$$\tau(2N+2,a)=\sqrt{a\left(2N+\frac32\right)-\frac{a^2}2}+\left(2N+\frac32\right)\ln
\frac{\sqrt{2N+\dfrac32}}{\sqrt a+\sqrt{2N+\dfrac32}}.$$

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. АЛГОРИТМ}

При $0\le x<8$ \ $C(x)$ и $S(x)$ вычисляем по формулам
\begin{gather*}
C(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}\biggl[\rho_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\rho_{2n}T_{2n}\left(\frac x8\right)\biggr],\\
S(x)=\sqrt{\frac x{2\pi}}2\sum_{n=0}^N(-1)^{12}\rho_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac x8\right).
\end{gather*}
Так как неравенство \eqref{2.2} для $N=12$, $a=8$ выполняется, для погрешностей $E_c^{12}(x)$ и $E_s^{12}(x)$ из \eqref{2.1} будем иметь
\begin{gather*}
|E_c^{12}(x)|\le2\sqrt{\frac x{2\pi}}\,\frac{4^{26}}{26!}\,\frac2{53}\,\frac{27}{23}<\sqrt x\,4.0\cdot10^{-13},\\
|E_s^{12}(x)|\le2\sqrt{\frac x{2\pi}}\,\frac{4^{27}}{27!}\,\frac2{55}\,\frac76<\sqrt x\,5.7\cdot10^{-14}.
\end{gather*}
При $8\le x<\infty$ \ $C(x)$ и $S(x)$ вычисляем по формулам
\begin{multline*}
C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}\left[\gamma_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\right]\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=0}^{12}(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right),
\end{multline*}
\begin{multline*}
C(x)=\frac12-\frac{\sin x}{\sqrt{2\pi x}}2\sum_{n=0}^{12}(-1)^n\gamma_{2n+1}T_{2n+1}\left(\frac ax\right)\\
-\frac{\cos x}{\sqrt{2\pi x}}\left[\gamma_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\gamma_{2n}T_{2n}\left(\frac ax\right)\right].
\end{multline*}
Из \eqref{3.6} для погрешностей $E_c^{12}(x)$ и $E_s^{12}(x)$ имеем
\begin{multline*}
|E_c^N(x)|,|E_s^N(x)|\le\frac1{\sqrt x}(|\sin x|+|\cos x|)\frac{1+\sqrt2}{4\pi}e^{-4\sqrt{43}}\\
\times\left[\sqrt{102}e^{2\sqrt{43}+\textstyle\frac{51}2
\ln\frac{\sqrt{51}}{4+\sqrt{51}}}+\frac1{2\sqrt2}\right]<\frac1{\sqrt x}(|\sin x|+|\cos x|)\cdot1.5\cdot10^{-10}.
\end{multline*}

Значения $\rho_n$ и $\gamma_n$ ($n=0,1,\ldots,25$) приведены в \cite{1}. Для вычисления линейных комбинаций многочленов Чебышева используется модификация метода, предложенного в \cite{4}.

Для вычисления значений
$$\mathcal P_{2N}(x)=\sum_{j=0}^Na_jT_{2j}(x)$$
запоминаем
\begin{multline*}
c_0=v_0=\frac{a_N}2,\quad c_1=\frac{a_{N-1}}2,\quad c_n=\frac{a_{N-n}-a_{N-n+2}}2,\\ n=2,\ldots,N-1,\quad c_N=a_0-\frac{a_2}2.
\end{multline*}
При заданном $x$ находим $y=4x^2-2$, $v_1=yv_0+c_1$, затем последовательно $v_2,\ldots,v_N$ по рекуррентной формуле
$$v_n=yv_{n-1}-v_{n-2}+c_n.$$
Нетрудно проверить, что
$$v_n=\frac{a_{N-n}}2+\sum_{j=1}^na_{N-n+j}T_{2j}(x),\quad n=0,\ldots,N-1,$$
и
$$v_N=\mathcal P_{2N}(x).$$
Для вычисления значений
$$\mathcal P_{2N+1}(x)=\sum_{j=0}^Nb_jT_{2j+1}(x)$$
запоминаем
$$d_0=v_0=b_N,\quad d_n=b_{N-n}-b_{N-n+1},\quad n=1,\ldots,N.$$
При заданном $x$ находим $y=4x^2-2$, $v_1=yv_0+d_1$, затем последовательно $v_2,\ldots,v_N$ по рекуррентной формуле
$$v_n=yv_{n-1}-v_{n-2}+d_n.$$
Нетрудно проверить, что
$$v_n=\frac1x\sum_{j=0}^nb_{N-n+j}T_{2j+1}(x),\quad n=0,\ldots,N.$$
Отсюда
$$\mathcal P_{2N+1}(x)=xv_N.$$
Таким образом, вместо $\rho_n$ запоминаем
\begin{gather*}
c_0=\rho_{24},\quad c_1=-\rho_{22},\quad c_n=(-1)^n[\rho_{24-2n}-\rho_{28-2n}],\quad n=2,\ldots,12,\\
d_0=2\rho_{25},\quad d_n=2(-1)^n[\rho_{25-2n}-\rho_{27-2n}],\quad n=1,\ldots,12.
\end{gather*}
Аналогично вместо $\gamma_n$ запоминаем
\begin{gather*}
c_0=\gamma_{24},\quad c_1=-\gamma_{22},\quad c_n=(-1)^n[\gamma_{24-2n}-\gamma_{28-2n}],\quad n=2,\ldots,12,\\
d_0=2\gamma_{25},\quad d_n=2(-1)^n[\gamma_{25-2n}-\gamma_{27-2n}],\quad n=1,\ldots,12.
\end{gather*}
Значения $c_n$ и $d_n$ приведены в таблице~1.

\refstepcounter{section}
\section*[\ ]{\S\arabic{section}. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФРЕНЕЛЯ}

После того, как была составлена программа вычисления интегралов Френеля, использующая алгоритмы из \S~4, был поставлен вопрос: можно ли с помощью дробно-рациональных приближений сократить число операций при той же точности?

Для решения этой задачи был взят алгоритм из \cite{5}, который для заданных непрерывной функции $f(x)$, непрерывной и монотонной функции $\phi(x)$, $x\in[a,b]$, строит рациональную функцию при заданных $l$ и $m$
$$R^*_{l,m}[\phi(x)]=\frac{P_l[\phi(x)]}{Q_m[\phi(x)]}=\frac{p_0+p_1\phi(x)+\ldots+
p_l[\phi(x)]^l}{q_0+q_1\phi(x)+\ldots+q_m[\phi(x)]^m},$$
которая почти минимизирует величину
$$\max_{x\in[a,b]}|f(x)-R_{l,m}[\phi(x)]|.$$

В качестве приближаемых функций были взяты функции
\begin{align*}
f_1(t)&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\biggl[\rho_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\rho_{2n}T_{2n}\left(\frac x8\right)\biggr],\\
f_2(t)&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1{8t}\biggl[2\sum_{n=0}^N(-1)^{12}\rho_{2n+1}
T_{2n+1}\left(\frac x8\right)\biggr],\\
f_3(t)&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\biggl[\gamma_0+2\sum_{n=1}^{12}(-1)^n\gamma_{2n}
T_{2n}\left(\frac x8\right)\biggr],\\
f_4(t)&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1{8t}\biggl[2\sum_{n=0}^N(-1)^{12}\gamma_{2n+1}
T_{2n+1}\left(\frac x8\right)\biggr],\quad t\in[0,1],
\end{align*}
а в качестве монотонного преобразования отрезка $[0,1]$ --- функция $\psi(t)=t^2$.

Нетрудно проверить, что значения интегралов Френеля, получаемые по алгоритму из \S~4, связаны с $f_1(t),\ldots,f_4(t)$ следующим образом:

\noindent при $0\le x<8$
\begin{gather*}
C(x)=\sqrt xf_1\left(\frac x8\right),\\
S(x)=x\sqrt xf_2\left(\frac x8\right),
\end{gather*}

\noindent при $8\le x<\infty$
\begin{equation}\label{5.1}
\begin{gathered}
C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt x}f_3\left(\frac x8\right)-\frac{\cos x}{x\sqrt x}f_4\left(\frac x8\right),\\
S(x)=\frac12-\frac{\sin x}{x\sqrt x}f_4\left(\frac x8\right)-\frac{\cos x}{\sqrt x}f_3\left(\frac x8\right).
\end{gathered}
\end{equation}

Результаты дробно-рациональных приближений для функций $f_1(t),\ldots,f_4(t)$ приведены в таблицах~2,3,4 и 5. В этих таблицах приводятся значения $\displaystyle\lambda\approx\max_{t\in[0,1]}|f_i(x)-R^* _{l,m}(t^2)|$ для $1\le l\le7$, $0\le m\le7$. Символом $*$ обозначено наилучшее приближение из таблицы при фиксированном числе коэффициентов. Символ $P$ означает расходимость алгоритма.

Из приведенных таблиц видно, что для $f_1(t)$ и $f_2(t)$ существенного улучшения алгоритма с помощью дробно-линейных приближений добиться нельзя.

Для $f_3(t)$ и $f_4(t)$ при $l=m=3$ существуют достаточно хорошие приближения.

Для $f_3(t)$
\begin{multline*}
R_3(t)=\frac{0.3989422804+0.6051068615t^2+0.1661805811t^4}
{1+1.528496698t^2+0.4328633506t^4+0.01615472133t^6}\\
+\frac{0.00515296899t^6}{1+1.528496698t^2+0.4328633506t^4+0.01615472133t^6},
\end{multline*}
для $f_4(t)$
\begin{multline*}
R_3(t)=\frac{0.1994711398+0.3703941275t^3+0.126890305t^4}
{1+1.915474243t^2+0.7339567627t^4+0.04516091093t^6}\\
+\frac{0.004349819078t^6}{1+1.915474243t^2+0.7339567627t^4+0.04516091093t^6}.
\end{multline*}

Чтобы проверить точность приближения функций $f_3(t)$ и $f_4(t)$ функциями $R_3(t)$ и $R_4(t)$, были сосчитаны $\delta_3(t_i)=|f_3(t_i)-R_3(t_i)|$ и $\delta_4(t_i)=|f_4(t_i)-R_4(t_i)|$ в точках $t_i=\dfrac i{200}$, $i=0,1,\ldots,200$. Оказалось, что
\begin{gather*}
\max_i\delta_3(t_i)\le9.92\cdot10^{-11},\\
\max_i\delta_4(t_i)\le3.40\cdot10^{-10}.
\end{gather*}
Считая, что
\begin{gather*}
\max_{t\in[0,1]}|f_3(t)-R_3(t)|\le9.92\cdot10^{-11},\\
\max_{t\in[0,1]}|f_4(t)-R_4(t)|\le3.40\cdot10^{-10},
\end{gather*}
и заменяя $f_3\left(\dfrac8x\right)$ и $f_4\left(\dfrac8x\right)$ на соответствующие дробно-рациональ\-ные приближения, из \eqref{5.1} будем иметь
\begin{gather*}
|C(x)-\widetilde C(x)|\le\frac1{\sqrt x}\left(9.92|\sin x|+\frac{34.0}x|\cos x|\right)10^{-11}<4.96\cdot10^{-11},\\
|S(x)-\widetilde S(x)|\le\frac1{\sqrt x}\left(\frac{34.0}x|\cos x|+9.92|\sin x|\right)10^{-11}<4.96\cdot10^{-11},
\end{gather*}
где
\begin{gather*}
\widetilde C(x)=\frac12+\frac{\sin x}{\sqrt x}R_3\left(\frac x8\right)-\frac{\cos x}{x\sqrt x}R_4\left(\frac x8\right),\\
\widetilde S(x)=\frac12-\frac{\sin x}{x\sqrt x}R_4\left(\frac x8\right)-\frac{\cos x}{\sqrt x}R_3\left(\frac x8\right).
\end{gather*}

Таким образом, используя дробно-рациональные приближения при $x\in[8,\infty)$, можно существенно сократить число операций.

\renewcommand{\bibname}{Л И Т Е Р А Т У Р А}  
\begin{thebibliography}{11}
\selectlanguage{english}
\bibitem{1} G.~N\'EMETH. Chebyshev expansions for Fresnel integrals. Numer. Math., 1965, 7,\selectlanguage{russian} \No~4, 310--312.

\bibitem{2} Е.~ЯНКЕ, Ф.~ЭМДЕ, Ф.~ЛЕШ. Специальные функции, ``Наука'', 1968.

\bibitem{3} И.С.~ГРАДШТЕЙН, И.М.~РЫЖИК. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, ``Наука'', 1971.

\bibitem{4} Н.С.~БАХВАЛОВ. Об устойчивом вычислении значений многочленов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1971, 11, \No~6, I568--1574.
\selectlanguage{english}
\bibitem{5} W.J.~CODY, W.~FRASER, and J.F.~HART. Rational Chebyshev approximation user linear equations. Numer. Math., 1968, 12,\selectlanguage{russian} \No~4, 242--252.

\end{thebibliography}

\newpage

\section*[\ ]{Таблицы}

\begin{flushright}
Таблица~1
\end{flushright}

\begin{center}
Для $\rho_n$:
\end{center}

$$\arraycolsep=1.71em\begin{array}{ll}
c_0=0.10\cdot10^{-10}&d_0=0.4\cdot10^{-11}\\
c_1=-0.366\cdot10^{-9}&d_1=-0.128\cdot10^{-9}\\
c_2=0.10898\cdot10^{-7}&d_2=0.4206\cdot10^{-8}\\
c_3=-0.267681\cdot10^{-6}&d_3=-0.115070\cdot10^{-6}\\
c_4=0.5276080\cdot10^{-5}&d_4=0.2562196\cdot10^{-5}\\
c_5=-0.81056841\cdot10^{-4}&d_5=-0.45321924\cdot10^{-4}\\
c_6=0.933990129\cdot10^{-3}&d_6=0.617430236\cdot10^{-3}\\
c_7=-0.7651297534\cdot10^{-2}&d_7=-0.6220184292\cdot10^{-2}\\
c_8=0.41140949487\cdot10^{-1}&d_8=0.43868192558\cdot10^{-1}\\
c_9=-0.127133929270&d_9=-0.200717449332\\
c_{10}=0.174360773295&d_{10}=0.538666617980\\
c_{11}=-0.80811186046\cdot10^{-1}&d_{11}=-0.799616840492\\
c_{12}=0.547910386743&d_{12}=1.053859157204
\end{array}$$

\bigskip

\begin{center}
Для $\gamma_n$:
\end{center}

$$\arraycolsep=1.71em\begin{array}{ll}
c_0=0.10\cdot10^{-11}&d_0=0.2\cdot10^{-11}\\
c_1=-0.4\cdot10^{-11}&d_1=-0.6\cdot10^{-11}\\
c_2=0.14\cdot10^{-10}&d_2=0.18\cdot10^{-10}\\
c_3=-0.54\cdot10^{-10}&d_3=-0.72\cdot10^{-10}\\
c_4=0.239\cdot10^{-9}&d_4=0.298\cdot10^{-9}\\
c_5=-0.1176\cdot10^{-8}&d_5=-0.1346\cdot10^{-8}\\
c_6=0.6545\cdot10^{-8}&d_6=0.6798\cdot10^{-8}\\
c_7=-0.42829\cdot10^{-7}&d_7=-0.39518\cdot10^{-7}\\
c_8=0.347441\cdot10^{-6}&d_8=0.275996\cdot10^{-6}\\
c_9=-0.3810219\cdot10^{-5}&d_9=-0.2475448\cdot10^{-5}\\
c_{10}=0.66275081\cdot10^{-4}&d_{10}=0.32029670\cdot10^{-4}\\
c_{11}=-0.2617529549\cdot10^{-2}&d_{11}=-0.755202944\cdot10^{-3}\\
c_{12}=0.944548822473&d_{12}=0.60881924150\cdot10^{-1}
\end{array}$$

\newpage

\begin{flushright}
Таблица~2
\end{flushright}
$$f_1(t)$$

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&1&2&3&4\\
\hline
0&2.36\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-1}*&1.18\cdot10^{-1}*&3.47\cdot10^{-2}&6.26\cdot10^{-3}\\
\hline
1&P&2.95\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-2}*&4.23\cdot10^{-3}*&3.85\cdot10^{-4}*\\
\hline
2&5.20\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-2}&P&6.62\cdot10^{-4}&3.14\cdot10^{-5}\\
\hline
3&P&2.50\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-3}&1.00\cdot10^{-4}&2.72\cdot10^{-6}\\
\hline
4&P&3.45\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-4}&1.64\cdot10^{-5}&2.37\cdot10^{-7}\\
\hline
5&P&3.80\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-5}&3.18\cdot10^{-6}&2.00\cdot10^{-8}\\
\hline
6&P&1.56\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-6}&8.44\cdot10^{-7}&1.59\cdot10^{-9}\\
\hline
7&P&8.22\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-7}&P&P\\
\hline
\end{array}$$

\bigskip

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&5&6&7\\
\hline
0&7.55\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-4}&6.52\cdot10^{-5}&4.23\cdot10^{-6}\\
\hline
1&2.63\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-5}*&1.41\cdot10^{-6}&6.06\cdot10^{-8}\\
\hline
2&1.28\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-6}*&4.47\cdot10^{-8}*&1.33\cdot10^{-9}*\\
\hline
3&7.00\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-8}&1.64\cdot10^{-9}&3.11\cdot10^{-11}*\\
\hline
4&3.96\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&6.44\cdot10^{-11}&P\\
\hline
5&2.23\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-10}&P&P\\
\hline
6&3.45\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-8}*&P&P\\
\hline
7&2.88\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-11}*&P&P\\
\hline
\end{array}$$

\newpage

\begin{flushright}
Таблица~3
\end{flushright}
$$f_2(t)$$

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&1&2&3&4\\
\hline
0&6.55\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-2}*&2.16\cdot10^{-2}&4.53\cdot10^{-3}&6.31\cdot10^{-4}\\
\hline
1&1.31\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-2}*&2.85\cdot10^{-3}*&3.30\cdot10^{-4}*&2.63\cdot10^{-5}*\\
\hline
2&P\rule{0pt}{12pt}&6.09\cdot10^{-4}&3.43\cdot10^{-5}&1.58\cdot10^{-6}*\\
\hline
3&3.65\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-3}&1.27\cdot10^{-4}&3.81\cdot10^{-6}&1.05\cdot10^{-7}\\
\hline
4&P&1.93\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-5}&4.25\cdot10^{-7}&7.25\cdot10^{-8}\\
\hline
5&1.04\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-3}&2.35\cdot10^{-6}&4.93\cdot10^{-8}&4.98\cdot10^{-10}\\
\hline
6&P&2.44\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-7}&6.23\cdot10^{-9}&3.35\cdot10^{-11}\\
\hline
7&P&1.94\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-8}&P&1.35\cdot10^{-12}*\\
\hline
\end{array}$$

\bigskip

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&5&6&7\\
\hline
0&6.22\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-5}&4.55\cdot10^{-6}&2.56\cdot10^{-7}\\
\hline
1&1.59\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-6}&7.64\cdot10^{-8}&2.98\cdot10^{-9}\\
\hline
2&6.07\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-8}*&1.97\cdot10^{-9}*&5.41\cdot10^{-11}*\\
\hline
3&2.66\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&5.98\cdot10^{-11}&P\\
\hline
4&1.23\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-10}&7.59\cdot10^{-13}*&P\\
\hline
5&P\rule{0pt}{12pt}&P&P\\
\hline
6&P&1.01\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-12}*&P\\
\hline
7&P\rule{0pt}{12pt}&P&P\\
\hline
\end{array}$$

\newpage

\begin{flushright}
Таблица~4
\end{flushright}
$$f_3(t)$$

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&1&2&3&4\\
\hline
0&5.33\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-5}*&3.10\cdot10^{-6}&2.87\cdot10^{-7}&3.60\cdot10^{-8}\\
\hline
1&1.75\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-6}*&1.08\cdot10^{-7}&9.65\cdot10^{-9}&1.13\cdot10^{-9}\\
\hline
2&1.01\cdot10^{-7}*\rule{0pt}{12pt}&6.77\cdot10^{-9}*&5.97\cdot10^{-10}&6.62\cdot10^{-11}\\
\hline
3&9.01\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&5.70\cdot10^{-10}*&5.05\cdot10^{-11}*&5.82\cdot10^{-12}\\
\hline
4&1.06\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&6.27\cdot10^{-11}&5.10\cdot10^{-12}&P\\
\hline
5&1.55\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-10}&1.31\cdot10^{-12}*&P&1.46\cdot10^{-12}*\\
\hline
6&2.60\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-11}&4.25\cdot10^{-12}&3.65\cdot10^{-12}&P\\
\hline
7&4.75\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-12}&P&P&P\\
\hline
\end{array}$$

\bigskip

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&5&6&7\\
\hline
0&5.61\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&1.03\cdot10^{-9}&2.14\cdot10^{-10}\\
\hline
1&1.63\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-10}&2.73\cdot10^{-11}&7.53\cdot10^{-12}\\
\hline
2&8.57\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-12}&2.45\cdot10^{-14}*&2.03\cdot10^{-11}\\
\hline
3&P\rule{0pt}{12pt}&P&4.77\cdot10^{-12}*\\
\hline
4&P\rule{0pt}{12pt}&P&P\\
\hline
5&P\rule{0pt}{12pt}&P&P\\
\hline
6&P\rule{0pt}{12pt}&P&P\\
\hline
7&9.86\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-13}*&P&P\\
\hline
\end{array}$$

\newpage

\begin{flushright}
Таблица~5
\end{flushright}
$$f_4(t)$$

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&1&2&3&4\\
\hline
0&2.08\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-4}*&1.63\cdot10^{-5}&1.85\cdot10^{-6}&2.70\cdot10^{-7}\\
\hline
1&7.43\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-6}*&5.80\cdot10^{-7}&6.20\cdot10^{-8}&8.37\cdot10^{-9}\\
\hline
2&4.72\cdot10^{-7}*\rule{0pt}{12pt}&3.76\cdot10^{-8}*&3.86\cdot10^{-9}&4.81\cdot10^{-10}\\
\hline
3&4.87\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-8}&3.31\cdot10^{-9}*&3.26\cdot10^{-10}*&3.76\cdot10^{-11}\\
\hline
4&6.64\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&3.92\cdot10^{-10}&3.33\cdot10^{-11}*&8.29\cdot10^{-12}*\\
\hline
5&1.09\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&5.60\cdot10^{-11}&8.39\cdot10^{-12}&P\\
\hline
6&2.03\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-10}&1.05\cdot10^{-11}&6.89\cdot10^{-12}&1.05\cdot10^{-12}\\
\hline
7&4.36\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-11}&6.58\cdot10^{-12}&5.94\cdot10^{-12}&P\\
\hline
\end{array}$$

\bigskip

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\put(-8,16){\line(4,-5){16}}
\put(3,7){\scriptsize$l$}
\put(-5,-2){\scriptsize$m$}
&5&6&7\\
\hline
0&4.73\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-8}&9.57\cdot10^{-9}&2.16\cdot10^{-9}\\
\hline
1&1.34\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-9}&2.45\cdot10^{-10}&5.12\cdot10^{-11}\\
\hline
2&6.92\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-11}&P&6.81\cdot10^{-12}\\
\hline
3&P\rule{0pt}{12pt}&6.69\cdot10^{-12}&6.41\cdot10^{-12}\\
\hline
4&5.81\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-12}*&4.24\cdot10^{-13}*&3.10\cdot10^{-12}\\
\hline
5&9.89\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-13}&3.09\cdot10^{-12}*&P\\
\hline
6&3.54\rule{0pt}{12pt}\cdot10^{-12}&P&P\\
\hline
7&P\rule{0pt}{12pt}&P&P\\
\hline
\end{array}$$

\newpage

\section*[\ ]{Программа к \S~4}

\newcolumntype{R}{>{$}l<{$}}


%\tabcolsep=0.05em
\begin{longtable}{rl}
2.&\_PROCEDURE CS(C,S,X);\\
3.&\_VALUE X:$'$REAL C,S,X;\\
4.&$'$BEGIN $'$INTEGER I;$'$REAL Z,H,Y,F,D,E,B;\\
5.&$'$ARRAY A[1:26],RK,RL[1:13];Z:=ABS(X);\_IF Z<8.0\_THEN \_BEGIN\\
6.&A[1]:=$_{10}$-11;A[2]:=-0.366$_{10}$-9;A[3]:=0.10898$_{10}$-7;A[4]:=-0.267681$_{10}$-6;\\
7.&A[5]:=0.527608$_{10}$-5;A[6]:=-0.81056841$_{10}$-4;A[7]:=0.933990129$_{10}$-3;\\
8.&A[8]:=-0.007651297534;A[9]:=0.041140949487;A[10]:=-0.12713392927;\\
9.&A[11]:=0.174360773295;A[12]:=-0.080811186046;A[13]:=0.547910386743;\\
10.&A[14]:=0.4$_{10}$-11;A[15]:=-0.128$_{10}$-9;A[16]:=0.4206$_{10}$-8;A[17]:=-0.11507
$_{10}$-6;\\
11.&A[18]:=0.2562196$_{10}$-5;A[19]:=-0.45321924$_{10}$-4;A[20]:=0.617420236$_{10}$-3;\\
12.&A[21]:=-0.006220184292;A[22]:=0.4043868192558;A[23]:=-0.200717449332;\\
13.&A[24]:=0.53866661798;A[25]:=-0.799616840492;A[26]:=1.053859157204;\\
14.&H:=Z/8.0$'$END \_ELSE \_BEGIN\\
15.&A[1]:=0.1$_{10}$-11;A[2]:=-0.4$_{10}$-11;A[3]:=0.14$_{10}$-10;A[4]:=-0.54$_{10}$-10;\\
16.&A[5]:=0.239$_{10}$-9;A[6]:=-0.1176$_{10}$-8;A[7]:=0.6545$_{10}$-8;\\
17.&A[8]:=-0.42829$_{10}$-7;A[9]:=0.347441$_{10}$-6;A[10]:=-0.3810219$_{10}$-5;\\
18.&A[11]:=0.66275081$_{10}$-4;A[12]:=-0.002617529549;A[13]:=0.994548822473;\\
19.&A[14]:=0.2$_{10}$-11;A[15]:=-0.6$_{10}$-11;A[16]:=0.18$_{10}$-10;A[17]:=-0.72
$_{10}$-10;\\
20.&A[18]:=0.298$_{10}$-9;A[19]:=-0.1346$_{10}$-8;A[20]:=0.6798$_{10}$-8;\\
21.&A[21]:=-0.39518$_{10}$-7;A[22]:=0.275996$_{10}$-6;A[23]:=-0.2475448$_{10}$-5;\\
22.&A[24]:=0.3202967$_{10}$-4;A[25]:=-0.755202944$_{10}$-3;A[26]:=0.06088192415;\\
23.&H:=8.0/Z$'$END ;Y:=4.0$*$H$*$H-2.0;\\
24.&RK[1]=A[1];RK[2]:=Y$*$RK[1]+A[2];\\
25.&RL[1]:=A[14];RL[2]:=Y$*$RL[1]+A[15];\\
26.&$'$FOR I:=3$'$STEP 1$'$UNTIL 13\_DO\\
27.&\_BEGIN RK[I]:=Y$*$RK[I-1]-RK[I-2]+A[I];\\
28.& RL[I]:=Y$*$RL[I-1]-RL[I-2]+A[I+13]\_END ;\\
29.&F:=0.398942280401;D:=F$*$RK[13];E:=F$*$RL[13]$*$H;B:=SQRT(Z);\\
30.&\_IF Z<8.0$'$THEN \_ C:=D$*$B;S:=F$*$B\_END\\
31.&\_ELSE $'$BEGIN Y:=SIN(Z);H:=COS(Z);\\
32.&C:=0.5+(C$*$Y-E$*$H)/B;S:=0.5-(E$*$Y+D$*$H)/B\_END \_END;
\end{longtable}
\end{document}