\documentclass[12pt,draft]{amsart} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 800 \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator{\co}{co} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\Lia}{L_\infty(\mathbb R_+)} \newcommand*{\Li}{L_\infty(\mathbb R)} \newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\wm}{\widehat m} \newcommand*{\ld}{L_2(\Sd)} \newcommand*{\Sd}{\mathbb R^{d}} \newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R^d}} \newcommand*{\mL}{\mathcal L} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wf}{\widehat f} \newcommand*{\wu}{\widehat u} \newcommand*{\ws}{\widehat\sigma} \newtheorem*{theorem}{Теорема} \begin{document} \begin{center} ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ ФУРЬЕ \end{center} \medskip \begin{flushright} К.Ю.~Осипенко \end{flushright} \medskip \begin{center} МАТИ-РГТУ им. К.Э.~Циолковского \end{center} \medskip Пусть с фиксированной погрешностью известен конечный набор коэффициентов Фурье некоторой периодической функции. Что можно сказать о самой функции и о ее производных на основании этой информации? Вопрос достаточно естественный и далеко не новый. Как поступают на практике? Высокочастотные коэффициенты Фурье отбрасывают, а остальные фильтруют, т.е. умножают на некоторые сглаживающие коэффициенты. С математической точки зрения эта задача может быть решена с помощью метода регуляризации. Однако при этом возникает ряд вопросов, которые не решаются при использовании этого метода. Мы будем использовать другой подход. Пользуясь некоторой априорной информацией о принадлежности функции некоторому множеству (классу), мы будем искать в определенном смысле самый лучший метод, перебирая все возможные методы. На первый взгляд эта задача кажется очень сложной --- как же перебрать все методы? Наша цель --- показать, что во многих случаях и, в частности, в задаче восстановления функции по неточно заданным коэффициентам Фурье, такая постановка позволяет дойти до конкретных методов. Перейдем к точным формулировкам. Положим $$X_p=\biggl\{\,x=(x_0,x_1,\ldots):\sum_{j=0}^\infty\nu_j|x_j|^p<\infty\,\biggr\},\quad1\le p<\infty,$$ где $x_j\in K$, $K=\mathbb R$ или $K=\mathbb C$, а $\nu_j\ge0$, причем лишь конечное число $\nu_j$ обращается в ноль. Если $\nu_0=\nu_1=\ldots=1$, то соответствующее пространство $X_p$ обычно обозначают через $l_p$, при этом \begin{equation}\label{1} \|x\|_p=\biggl(\sum_{j=0}^\infty|x_j|^p\biggr)^{1/p}. \end{equation} Пусть задан оператор $T\colon X_p\to l_p$ $$Tx=(\mu_0x_0,\mu_1x_1,\ldots),$$ где $\mu_j\in K$, а последовательность $|\mu_j|^p/\nu_j$ для достаточно больших $j$ ограничена (из этого условия вытекает, что $Tx\in l_p$ для всех $x\in X_p$). Рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора $T$ на множестве $$W_p=\biggl\{\,x\in X_p:\sum_{j=0}^\infty\nu_j|x_j|^p\le1\,\biggr\}$$ по неточно заданным координатам $x_0,\ldots,x_N$. Точнее, предполагается, что для любого $x\in W_p$ известен вектор $y=(y_0,\ldots,y_N)$, $y_j\in K$, $j=0,\ldots,N$, такой, что $\|I^Nx-y\|_{l_p^N}\le\delta$, где $I^Nx=(x_0,\ldots,x_N)$, а $\|\cdot\|_{l_p^N}$ определяется равенством \eqref{1}, в котором суммирование ведется до $N$. По вектору $y$ надо восстановить наиболее точно значение $Tx$. Под методами восстановления понимаются всевозможные отображения $m\colon K^N\to l_p$. Для данного метода $m$ его погрешностью называется величина $$e_N(T,W_p,\delta,m)=\sup_{\substack{x\in W_p,\ y\in K^N\\\|I^Nx-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|Tx-m(y)\|_p.$$ Величина $$E_N(T,W_p,\delta)=\inf_{m\colon K^N\to l_p}e_N(T,W_p,\delta,m)$$ называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, --- оптимальным. Будем предполагать, что $\nu_j>0$ для всех $j\ge N+1$. Положим \begin{gather*} A=\sup_{j\ge N+1}\frac{|\mu_j|^p}{\nu_j},\\ M=\co\{(0,0)\cup\{(\nu_j,|\mu_j|^p)\}_{j\in\mathbb N}\}+\{(t,tA)\mid t\ge0\}, \end{gather*} где $\co\Omega$ --- выпуклая оболочка множества $\Omega$. Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ по правилу: $\theta(t)=\max\{x\mid(t,x)\in M\}$. Ясно, что $\theta\cd$ --- вогнутая ломаная. \begin{theorem} При всех $\delta>0$ $$E_N(T,W_p,\delta)=\delta\theta^{1/p}(\delta^{-p}).$$ Пусть $\delta^{-p}$ принадлежит тому промежутку на $\mathbb R_+$, где $\theta\cd$ задается уравнением $\theta(t)=\wl_1+\wl_2t$. Если $\wl_1,\wl_2>0$, то для всех $\alpha_j$, $0\le j\le N$, удовлетворяющих условию $$\begin{cases}\dfrac{|\mu_j-\alpha_j|^q} {\nu_j^{q/p}\wl_2^{q/p}}+\dfrac{|\alpha_j|^q}{\wl_1^{q/p}} \le1,&1