\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 5900 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \DeclareMathOperator*{\grad}{grad} \DeclareMathOperator*{\Div}{div} \newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d} \newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}} \newcommand*{\Pc}{\mathcal P} \newcommand*{\Ac}{\mathcal A} \newcommand*{\Hc}{\mathcal H} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}} \newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem{corollary}{Следствие} \begin{document} \bigskip \begin{center}\bf \Large Федеральное агентство по образованию \smallskip \large Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ``МАТИ'' - Российский государственный технологический университет\\ им. К.Э.Циолковского \vskip50pt \rm Кафедра "Высшая математика" \vskip 70pt \bf К.~Ю.~Осипенко \vskip20pt Сферические гармоники, собственные функции оператора Лапласа и задачи восстановления \vskip 270pt Москва 2006 г. \end{center} \thispagestyle{empty} \newpage \section{Однородные многочлены} {\it Однородным многочленом степени} $k$ в пространстве $\Rd$ называется многочлен вида $$P(x)=\sk c_\alpha x^\alpha,$$ где $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ --- мультииндекс, $\alpha_j\in \mathbb Z_+$, $j=1,\ldots,d$, $|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_d$, $x^ \alpha=x_1^{\alpha_1}\ldots x_d^{\alpha_d}$, $c_\alpha\in\mathbb R$. Обозначим через $\Pc_k$ множество всех однородных многочленов степени $k$. Очевидно, что $\Pc_k$ --- линейное пространство. Положим $$D^\alpha=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_d^{\alpha_d}}.$$ Если $P\in\Pc_k$, то $$P(D)=\sk c_\alpha D^\alpha$$ --- дифференциальный оператор. В частности, если $$P(x)=|x|^2=|x_1|^2+\ldots+|x_d|^2,$$ то $P(D)=\Delta$ --- оператор Лапласа. Введем в пространстве $\Pc_k$ скалярное произведение, положив $$\la P,Q\ra=P(D)Q,\quad P,Q\in\Pc_k.$$ Проверим, что введенная операция действительно является скалярным произведением. Прежде всего заметим, что $$D^\alpha x^\beta=\begin{cases}0,&\alpha\ne\beta,\\ \alpha!=\alpha_1!\ldots\alpha_d!,&\alpha=\beta.\end{cases}$$ Тем самым $\la P,Q\ra$ принимает скалярные значения. Линейность функции $ \la P,Q\ra$ очевидна, а из равенства $$D^\alpha x^\beta=D^\beta x^\alpha$$ вытекает коммутативность. Поскольку $$\la P,P\ra=\sk|c_\alpha|^2\alpha!,$$ то $\la P,P\ra=0$ в том и только в том случае, если $P=0$. В пространстве $\Pc_k$ одночлены $x^\alpha$, $|\alpha|=k$, образуют ортогональную систему и, следовательно, являются ортогональным базисом этого пространства. Число таких одночленов $d_k$ равно числу различных мультииндексов $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$ таких, что $\alpha_1+ \ldots+\alpha_d=k$. Для нахождения этого числа рассмотрим $d+k-1$ урну, выберем наудачу $d-1$ урну, а в остальные положим по одному шару. \begin{figure}[h] $$\begin{picture}(300,43) \put(20,20){\circle*{6}} \put(26,20){$\ldots$} \put(45,20){\circle*{6}} \put(65,20){\circle{6}} \put(85,20){\circle*{6}} \put(91,20){$\ldots$} \put(110,20){\circle*{6}} \put(130,20){\circle{6}} \put(150,20){\circle*{6}} \put(156,20){$\ldots\ \ldots$} \put(195,20){\circle*{6}} \put(215,20){\circle{6}} \put(235,20){\circle*{6}} \put(241,20){$\ldots$} \put(260,20){\circle*{6}} \put(62,28){$1$} \put(127,28){$2$} \put(202,28){$d-1$} \put(28,0){$\alpha_1$} \put(92,0){$\alpha_2$} \put(166,0){$\ldots$} \put(242,0){$\alpha_d$} \end{picture}$$ \caption{} \end{figure} Нетрудно убедиться. что число $d_k$ равно числу способов выбора $d-1$ урны из $k+d-1$ урн, т.е. $$d_k=C_{d+k-1}^{d-1}=\frac{(d+k-1)!}{(d-1)!k!}.$$ \section{Однородные гармонические многочлены} {\it Однородными гармоническими многочленами степени} $k$ называются такие многочлены $P\in\Pc_k$, что $\Delta P=0$. Множество однородных гармонических многочленов степени $k$ обозначим через $\Ac_k$. Ясно, что $ \Ac_k\subset\Pc_k$. \begin{theorem}\label{T1} Всякий многочлен $P\in\Pc_k$ представим в виде \begin{equation}\label{*} P(x)=P_0(x)+|x|^2P_1(x)+\ldots+|x|^{2l}P_l(x), \end{equation} где $P_j\in\Ac_{k-2j}$, $j=0,\ldots,l$. \end{theorem} \begin{proof} Будем считать, что $k\ge2$ (при $k=0,1$ \ $\Pc_k=\Ac_k$). Рассмотрим линейное подпространство $$|x|^2\Pc_{k-2}=\{\,P\in\Pc_k:P(x)=|x|^2Q(x),\ Q\in\Pc_{k-2}\,\}.$$ Докажем, что его ортогональным дополнением является $\Ac_k$. Пусть $P_1\in \Pc_k$ и для всех $Q\in\Pc_{k-2}$ \begin{equation}\label{11} \la R,P_1\ra=0, \end{equation} где $R(x)=|x|^2Q(x)$. Но \begin{equation}\label{1} \la R,P_1\ra=\Delta Q(D)P_1=Q(D)\Delta P_1=\la Q,\Delta P_1\ra. \end{equation} Выберем $Q\in\Pc_{k-2}$ так, чтобы $Q=\Delta P_1$. Из \eqref1 вытекает, что $$\la\Delta P_1,\Delta P_1\ra=0.$$ Следовательно, $\Delta P_1=0$ и $P_1\in\Ac_k$. Из \eqref1 вытекает также, что верно и обратное, т.е. если $\Delta P_1=0$, то для всех $Q\in\Pc_{k-2}$ выполняется равенство \eqref{11}. Итак, доказано, что \begin{equation}\label{dim} \Pc_k=\Ac_k\oplus|x|^k\Pc_{k-2}. \end{equation} Пусть $P\in\Pc_k$. Тогда найдутся такие однородные многочлены $P_0\in\Ac_k$ и $Q_1\in\Pc_{k-2}$, что $$P(x)=P_0(x)+|x|^2Q_1(x).$$ Если $k\ge4$, то можно в аналогичном виде представить $Q_1$ $$Q_1(x)=P_1(x)+|x|^2Q_2(x),\quad P_1\in\Ac_{k-2},\quad Q_1\in\Pc_{k-4}.$$ Тем самым $$P(x)=P_0(x)+|x|^2P_1(x)+|x|^4Q_1(x).$$ Продолжая этот процесс, приходим к представлению \eqref*. \end{proof} \begin{corollary} При всех $k\ge2$ \begin{equation}\label{dim1} a_k=\dim\Ac_k=d_k-d_{k-2}=(d+2k-2)\frac{(d+k-3)!}{(d-2)!k!}. \end{equation} \end{corollary} \begin{proof} Из \eqref{dim} имеем $$d_k=\dim\Pc_k=\dim\Ac_k+\dim|x|^k\Pc_{k-2}=\dim\Ac_k+d_{k-2}.$$ Отсюда следует \eqref{dim1}. \end{proof} В силу того, что $\Ac_k=\Pc_k$ при $k=0,1$, имеем $$a_0=\dim\Ac_0=1,\quad a_1=\dim\Ac_1=d.$$ \section{Сферические гармоники} Множество многочленов из $\Ac_k$, суженное на сферу $$\Sd=\{\,x\in\Rd:|x|=1\,\}$$ называется {\it сферическими гармониками порядка} $k$ и обозначается через $\Hc_k$. Рассмотрим сужение $Y$ многочлена $P\in\Ac_k$ (при $x'\in\Sd$ \ $Y (x')=P(x')$). В силу однородности $P(x)=|x|^kY(x/|x|)$ при $x\ne0$. Тем самым рассматриваемое сужение является изоморфизмом. Поэтому $$\dim\Hc_k=\dim\Ac_k=a_k.$$ \begin{theorem}\label{T2} Множество всех конечных линейных комбинаций из $\cup_{k=0}^\infty\Hc_k$ плотно в $L_2(\Sd)$. \end{theorem} \begin{proof} Так как пространство непрерывных функций плотно в $L_2(\Sd)$, достаточно доказать, что любая непрерывная функция может быть приближена конечными линейными комбинациями из $\cup_{k=0}^\infty\Hc_k$. По теореме Вейерштрасса любая непрерывная функция может быть приближена в норме $L_\infty(\Sd)$ (а значит, и в норме $L_2(\Sd)$) многочленами, суженными на $\Sd$. В силу теоремы~\ref{T1} эти сужения являются конечными линейными комбинациями элементов из $\cup_{k=0}^\infty\Hc_k$. \end{proof} \begin{theorem} Пусть $Y^{(k)}\in\Hc_k$ и $Y^{(l)}\in\Hc_l$. Тогда $$\int_{\Sd}Y^{(k)}(x')Y^{(l)}(x')dx'=0.$$ \end{theorem} \begin{proof} Положим при $x\ne0$ $$u(x)=|x|^kY^{(k)}\left(\frac x{|x|}\right),\quad v(x)=|x|^lY^{(l)}\left( \frac x{|x|}\right).$$ Если $x=0$ и $k\ne0$, положим $u(0)=0$. При $k=0$ \ $Y^{(k)}\equiv C$, поэтому в этом случае полагаем $u(0)=C$. Аналогично доопределяется значение $v$ в нуле. Вектор $n=(x_1,\ldots,x_d)$ при $x=(x_1,\ldots,x_d)\in\Sd$ является единичным вектором внешней нормали к $\Sd$ в точке $x$. При всех $ x\in\Sd$ \begin{equation}\label{od} (\grad u(x),n)=\sum_{j=1}^dx_j\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}=ku(x) \end{equation} (здесь $(\cdot,\cdot)$ --- стандартное скалярное произведение в $\Rd$). Аналогично получаем, что для всех $x\in\Sd$ $$(\grad v(x),n)=lv(x).$$ Пользуясь формулой Гаусса $$\int_{\Sd}(F(x'),n)\,dx'=\int_{\Bd}\Div F(x)\,dx,$$ где $$\Bd=\{\,x\in\Rd:|x|<1\,\},$$ получаем \begin{multline*} (k-l)\int_{\Sd}u(x')v(x')\,dx'\\ =\int_{\Sd}(v(x')\grad u(x')-u(x')\grad v(x'),n)\,dx'\\ =\int_{\Bd}\Div((v(x')\grad u(x')-u(x')\grad v(x'))\,dx\\ =\int_{\Bd}\sum_{j=1}^d\frac\partial{\partial x_j}\left(v(x)\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}-u(x)\frac{\partial v(x)}{\partial x_j}\right)\,dx\\ =\int_{\Bd}(v(x)\Delta u(x)-u(x)\Delta v(x))\,dx=0. \end{multline*} Таким образом, $$\int_{\Sd}Y^{(k)}(x')Y^{(l)}(x')dx'=\int_{\Sd}u(x')v(x')\,dx'=0.$$ \end{proof} Будем рассматривать $\Hc_k$ как подпространство $L_2(\Sd)$ со скалярным произведением $$(f,g)_{L_2(\Sd)}=\int_{\Sd}f(x')g(x')\,dx'.$$ Пусть $Y_1^{(k)},\ldots,Y_{a_k}^{(k)}$ --- ортонормированный базис в $\Hc_k $. Тогда из теоремы~\ref{T2} вытекает, что система однородных сферических гармоник $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, является ортонормированным базисом в $L_2(\Sd)$. Тем самым для любой функции $f\in L _2(\Sd)$ имеет место равенство $$f=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)},$$ где $$c_{kj}=(f,Y_j^{(k)})_{L_2(\Sd)}=\int_{\Sd}f(x')Y_j^{(k)}(x')\,dx'.$$ \section{Зональные гармоники} Пусть $Y_1^{(k)},\ldots,Y_{a_k}^{(k)}$ --- ортонормированный базис в $\Hc_k $. Зафиксируем $x'\in\Sd$. Сферическая гармоника $$Z_{x'}^{(k)}(t')=\sum_{j=1}^{a_k}Y_j^{(k)}(x')Y_j^{(k)}(t')$$ называется {\it зональной гармоникой степени $k$ с полюсом в точке} $x'$. \begin{lemma} Для любых $Y\in\Hc_k$ $$Y(x')=(Y,Z_{x'}^{(k)})_{L_2(\Sd)}.$$ \end{lemma} \begin{proof} Имеем $$(Y,Z_{x'}^{(k)})_{L_2(\Sd)}=\sum_{j=1}^{a_k}Y_j^{(k)}(x')(Y,Y_j^{(k)})_{L _2(\Sd)}=Y(x').$$ \end{proof} {\it Вращением\/} называется линейное преобразование $\rho\colon\Rd\to\Rd$ такое, что \begin{enumerate} \item для всех $x,y\in\Rd$ \ $(\rho x,\rho y)=(x,y)$; \item $\det\rho=1$. \end{enumerate} \begin{lemma}\label{L2} Если $\rho$ --- вращение, то $$Z_{\rho x'}^{(k)}(\rho t')=Z_{x'}^{(k)}(t').$$ \end{lemma} \begin{proof} Сделав замену переменных $w'=\rho t'$, для всех $Y\in\Hc_k$ будем иметь \begin{multline*} \int_{\Sd}Z_{\rho x'}^{(k)}(\rho t')Y(t')\,dt'=\int_{\Sd}Z_{\rho x'}^{(k)}( w')Y(\rho^{-1}w')\,dw'\\ =Y(\rho^{-1}(\rho x'))=Y(x')=\int_{\Sd}Z_{x'}^{(k)}(t')Y(t')\,dt'. \end{multline*} Отсюда следует, что функции $Z_{\rho x'}^{(k)}(\rho t')$ и $Z_{x'}^{(k)}(t' )$ совпадают. \end{proof} \begin{lemma}\label{L3} Для всех $x'\in\Sd$ $$\sum_{j=1}^{a_k}|Y_j^{(k)}(x')|^2=\frac{a_k}{\omega_{d-1}},$$ где $$\omega_{d-1}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$$ --- площадь сферы $\Sd$. \end{lemma} \begin{proof} Пусть $x_1$ и $x_2$ --- произвольные точки на $\Sd$. Существует вращение $ \rho$ такое, что $x_2=\rho x_1$. Тогда из леммы~\ref{L2} $$Z_{x_2}^{(k)}(x_2)=Z_{\rho x_1}^{(k)}(\rho x_1)=Z_{x_1}^{(k)}(x_1).$$ Следовательно, при всех $x'\in\Sd$ $$Z_{x'}^{(k)}(x')=c.$$ Из определения зональных гармоник $$\sum_{j=1}^{a_k}|Y_j^{(k)}(x')|^2=Z_{x'}^{(k)}(x')=c.$$ В силу ортонормированности системы $Y_1^{(k)},\ldots,Y_{a_k}^{(k)}$ имеем $$c\omega_{d-1}=\int_{\Sd}\sum_{j=1}^{a_k}|Y_j^{(k)}(x')|^2\,dx'=a_k.$$ Отсюда $$c=\frac{a_k}{\omega_{d-1}}.$$ \end{proof} \section{Задача Дирихле} Классическая задача Дирихле для единичного шара в $\Rd$ состоит в нахождении функции, непрерывной при $|x|\le1$ и гармонической при $|x|<1$, совпадающей на границе с заданной непрерывной функцией $f(x)$. Хорошо известно, что решение этой задачи существует, единственно и дается {\it интегралом Пуассона} $$u(x)=\int_{\Sd}p(s,x)f(s)\,ds,$$ где $$p(s,x)=\frac1{\omega_{d-1}}\frac{1-|x|^2}{|x-s|^d}$$ --- {\it ядро Пуассона для единичного шара}. Пусть $f\in L_2(\Sd)$. Рассмотрим следующую задачу Дирихле: найти функцию $ u$, гармоническую внутри единичного шара, для которой $$\lim_{r\to1-0}\int_{\Sd}|u(rx')-f(x')|^2\,dx'=0.$$ Пусть $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, --- ортонормированный базис в $L_2(\Sd)$. Тогда $$f(x')=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(x')$$ и $$\|f\|_{L_2(\Sd)}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2.$$ Докажем, что функция \begin{equation}\label{R} u(x)=\sum_{k=0}^\infty|x|^k\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}\left(\frac x{| x|}\right) \end{equation} (доопределенная в нуле по непрерывности) является решением поставленной задачи. Из леммы~\ref{L3} вытекает, что при всех $x$ $$\left|Y_j^{(k)}\left(\frac x{|x|}\right)\right|\le\sqrt{\frac{a_k}{\omega _{d-1}}}.$$ Тем самым при всех $x$ таких, что $|x|\le r$, $00$. Выберем $N$ так, чтобы $$\sum_{k=N}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2<\varepsilon.$$ Тогда $$a(r)<\sum_{k=0}^N(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2+\varepsilon.$$ Из того, что $$\lim_{r\to1-0}\sum_{k=0}^N(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2=0,$$ вытекает существование $r_\varepsilon\in(0,1)$ такого, что для всех $r\in(r _\varepsilon,1)$ $$\sum_{k=0}^N(r^k-1)^2\sum_{j=1}^{a_k}|c_{kj}|^2<\varepsilon.$$ Тем самым $a(r)<2\varepsilon$. Отсюда следует, что $$\lim_{r\to1-0}\|u(rx')-f(x')\|^2_{L_2(\Sd)}=\lim_{r\to1-0}a(r)=0.$$ Докажем единственность решения поставленной задачи Дирихле. Для этого достаточно доказать, что гармонической внутри единичного шара функция $u$ при выполнении условия \begin{equation}\label{A} \lim_{r\to1-0}\|u(rx')\|_{L_2(\Sd)}=0 \end{equation} тождественно равна нулю. Если $|x|=r<1$, то $$p(s,x)\le\frac1{\omega_{d-1}(1-r)^{d-1}}.$$ Зафиксируем $x_0$, $|x_0|=r_0<1$. Функция $u(rx)$ при всех $r<1$ является гармонической в единичном шаре и непрерывной при $|x|\le r$. Поэтому ее можно представить в виде $$u(rx)=\int_{\Sd}p(s,x)u(rs)\,ds.$$ Тем самым $$u(x_0)=\int_{\Sd}p\left(s,\frac{x_0}r\right)u(rs)\,ds.$$ Отсюда $$|u(x_0)|\le\frac1{\omega_{d-1}}\left(1-\frac{r_0}r\right)^{1-d}\int_{\Sd} |u(rs)|\,ds.$$ Для $r$ достаточно близких к единице, пользуясь неравенством Коши--Буняковского, получаем $$|u(x_0)|\le\frac2{\sqrt{\omega_{d-1}}(1-r_0)^{d-1}}\|u(rs\|_{L_2(\Sd)}.$$ Из условия \eqref{A} вытекает, что $u(x_0)=0$. \section{Собственные функции оператора Лапласа--Бельтрами} {\it Сферический лапласиан\/} или {\it оператор Лапласа--Бельтрами\/} $ \Delta_S$ определяется для функций, заданных на единичной сфере, следующим образом $$\Delta_SY(x')=\Delta Y\left(\frac x{|x|}\right)_{\big|x=x'}.$$ \begin{proposition} Пусть $Y^{(k)}\in\Hc_k$. Тогда $$\Delta_SY^{(k)}=-\Lambda_kY^{(k)},$$ где $$\Lambda_k=k(k+d-2).$$ \end{proposition} \begin{proof} Имеем \begin{multline*} \Delta_SY^{(k)}=\Delta(|x|^{-k}Y^{(k)}(x))=Y^{(k)}\Delta(|x|^{-k})+|x|^{-k} \Delta Y^{(k)}\\ +2\sum_{j=1}^d\frac\partial{\partial x_j}|x|^{-k}\frac\partial{\partial x_j }Y^{(k)}=Y^{(k)}\Delta(|x|^{-k})-\frac{2k}{|x|^{k+2}}\sum_{j=1}^dx_j\frac \partial{\partial x_j}Y^{(k)}\\ =(\Delta(|x|^{-k})-2k^2|x|^{-k-2})Y^{(k)}. \end{multline*} Остается воспользоваться легко проверяемым равенством $$\Delta(|x|^{-k})=(k^2+2k-dk)|x|^{-k-2}.$$ \end{proof} Пусть $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, --- ортонормированный базисом в $L_2(\Sd)$. Для $\alpha>0$ оператор $(-\Delta_S)^{\alpha/2}$ определяется равенством $$(-\Delta_S)^{\alpha/2}Y=\sum_{k=1}^\infty\Lambda_k^{\alpha/2}\sum_{j=1}^{ a_k}c_{kj}Y_j^{(k)},$$ где $$Y=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}.$$ Пусть $f\in L_2(\Sd)$. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию $u(x',t) $, $x'\in\Sd$, удовлетворяющую при $t>0$ уравнению \begin{equation}\label{Tep} u_t+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0, \end{equation} для которой \begin{equation}\label{cond} \lim_{t\to0}\int_{\Sd}|u(x',t)-f(x')|^2\,dx'=0. \end{equation} Отметим, что при $\alpha=2$ уравнение \eqref{Tep} переходит в уравнение теплопроводности. Пусть $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1,\ldots,a_k$, --- ортонормированный базис в $L_2(\Sd)$ и $$f(x')=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k)}(x').$$ Тогда, используя метод Фурье и рассуждения аналогичные тем, которые приводились для задачи Дирихле, можно показать, что решением поставленной задачи является функция $$u(x',t)=\sum_{k=0}^\infty e^{-\Lambda_k^{\alpha/2}t}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj }Y_j^{(k)}(x').$$ Пусть теперь заданы две функции $f_0,f_1\in L_2(\Sd)$. Можно рассмотреть задачу о нахождении функции $u(x',t)$, $x'\in\Sd$, удовлетворяющую при $t>0 $ уравнению \begin{equation}\label{V} u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0, \end{equation} для которой \begin{align*} u_{\big|t=0}&=f_0,\\ {u_t}_{\big|t=0}&=f_1. \end{align*} Начальные условия здесь также следует понимать в смысле равенства \eqref {cond}. При $\alpha=2$ уравнение \eqref{V} переходит в волновое уравнение. Применение метода Фурье дает решение этой задачи в виде \begin{multline*} u(x',t)=c_{00}^{(0)}+c_{00}^{(1)}t\\ +\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\left(c_{kj}^{(0)}\cos\Lambda_k^{\alpha/4 }t+\frac{c_{kj}^{(1)}}{\Lambda_k^{\alpha/4}}\sin\Lambda_k^{\alpha/4}t\right )Y_j^{(k)}(x'), \end{multline*} где $$f_i(x')=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}^{(i)}Y_j^{(k)}(x'),\quad i=0,1.$$ Рассмотрим еще одну задачу. Пусть $f\in L_2(\Sd)$. Требуется найти решение уравнения $$(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=f.$$ Решение этой задачи может быть записано в виде $$u(x')=\sum_{k=0}^\infty\Lambda_k^{-\alpha/2}\sum_{j=1}^{a_k}c_{kj}Y_j^{(k )}(x'),$$ где $c_{kj}$ --- коэффициенты Фурье функции $f$. \section{Собственные функции оператора Лапласа в шаре} Пусть $Y\in\Ac_k$. Будем искать собственные функции оператора Лапласа в виде $$u(x)=F(r)Y(x),\quad r=|x|.$$ Имеем $$\Delta u=Y\Delta F+2\sum_{j=1}^d\frac{\partial F}{\partial x_j}\frac{ \partial Y}{\partial x_j}.$$ В силу того, что $$\frac{\partial F}{\partial x_j}=F'(r)\frac{x_j}r,$$ используя однородность $Y$ (см.~\eqref{od}), получаем $$\Delta u=Y\Delta F+2kY\frac{F'(r)}r.$$ Из того, что функция $u$ должна быть собственной, т.е. при некотором $ \lambda$ должно иметь место равенство $$\Delta u=-\lambda u,$$ получаем уравнение на $F$ \begin{equation}\label{FF} \Delta F+2k\frac{F'(r)}r+\lambda F(r)=0. \end{equation} Имеем \begin{multline*} \Delta F=\sum_{j=1}^d\frac\partial{\partial x_j}\left(F'(r)\frac{x_j}r \right)=\sum_{j=1}^d\left(\left(\frac{F'(r)}r\right)'\frac{x_j^2}r+\frac{F' (r)}r\right)\\ =\left(\frac{F'(r)}r\right)'r+\frac drF'(r)=F''(r)+\frac{d-1}rF'(r). \end{multline*} Тем самым уравнение \eqref{FF} принимает вид $$F''(r)+\frac{2k+d-1}rF'(r)+\lambda F(r)=0.$$ Положим $$F(r)=f(r)r^{-p},\quad p=k+\frac{d-2}2.$$ Тогда для функции $f$ получим уравнение $$r^2f''(r)+rf'(r)+(\lambda r^2-p^2)f(r)=0.$$ Положив $y(t)=f(t/\sqrt\lambda)$, для функции $y$ получим уравнение $$t^2y''(t)+ty'(t)+(t^2-p^2)y(t)=0,$$ которое является уравнением Бесселя $p$-го порядка. Пусть $J_p(x)$ --- функция Бесселя первого рода $p$-го порядка (являющаяся решением этого уравнения). Тогда функции $$\frac{J_p(r)}{r^{d/2-1}}Y(x'),\quad p=k+d/2-1,\quad x'=\frac x r,$$ где $\mu_s^{(p)}$ --- $s$-й корень функции Бесселя $J_p$, при всех $Y\in\Hc _k$ являются собственными функциями оператора Лапласа, равными нулю на $\Sd $, отвечающие собственным значениям $-(\mu_s^{(p)})^2$. Выбрав ортонормированный базис в $L_2(\Sd)$ \ $Y_j^{(k)}$, $k=0,1,\ldots$, $j=1, \ldots,a_k$, получаем ортогональную систему собственных функций \begin{multline*} Z_{ksj}(x)=\frac{J_p(\mu_s^{(p)}r)}{r^{d/2-1}}Y_j^{(k)}(x'),\\ k=0,1,\ldots,\ s=1,2,\ldots,\ j=1,\ldots,a_k. \end{multline*} Эта система является базисом в $L_2(\Bd)$. Ее можно ортонормировать, положив $$Y_{ksj}(x)=\frac1{\|Z_{ksj}\|_{L_2(\Bd)}}Z_{ksj}(x).$$ Нетрудно убедиться, что $$\|Z_{ksj}\|_{L_2(\Bd)}^2=\int_0^1J_p^2(\mu_s^{(p)}r)r\,dr.$$ Пусть $f\in L_2(\Bd)$ и $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x). $$ Определим оператор $(-\Delta)^{\alpha/2}$ следующим образом: $$(-\Delta)^{\alpha/2}f=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty(\mu_s^{(p)})^ \alpha\sum_{j=1}^{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x).$$ Рассмотрим ряд задач, аналогичных тем, которые были рассмотрены для сферического лапласиана. 1. Обобщенная задача Пуассона. Пусть $f\in L_2(\Bd)$. Требуется найти функцию $u(x)$, удовлетворяющую уравнению $$(-\Delta)^{\alpha/2}u=f$$ и граничному условию $$u_{\big|x\in\Sd}=0.$$ Решение этой задачи дается равенством $$u(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty(\mu_s^{(p)})^{-\alpha}\sum_{j=1}^ {a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x),$$ где $c_{ksj}$ --- коэффициенты Фурье функции $f$. 2. Обобщенное уравнение теплопроводности. Пусть $f\in L_2(\Bd)$. Требуется найти функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую уравнению $$u_t+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0$$ с начальным условием $$u_{\big|t=0}=f$$ Решение этой задачи дается равенством $$u(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty e^{-(\mu_s^{(p)})^\alpha}\sum_{j= 1}^{a_k}c_{ksj}Y_{ksj}(x),$$ где $c_{ksj}$ --- коэффициенты Фурье функции $f$. 3. Обобщенное волновое уравнение. Пусть $f_0, f_1\in L_2(\Bd)$. Требуется найти функцию $u(x,t)$, удовлетворяющую уравнению $$u_{tt}+(-\Delta)^{\alpha/2}u=0$$ с начальными условиями \begin{align*} u_{\big|t=0}&=f_0,\\ {u_t}_{\big|t=0}&=f_1, \end{align*} и граничным условием $$u_{\big|x\in\Sd}=0.$$ Решение этой задачи дается равенством $$u(x)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{s=1}^\infty\sum_{j=1}^{a_k}\left(c_{ksj}^{(0) }\cos(\mu_s^{(p)})^{\alpha/2}t+\frac{c_{ksj}^{(1)}}{(\mu_s^{(p)})^{\alpha/2 }}\sin(\mu_s^{(p)})^{\alpha/2}t\right)Y_{ksj}(x),$$ где $c_{ksj}^{(i)}$ --- коэффициенты Фурье функции $f_i$, $i=0,1$. \section{Задачи восстановления на сфере} {\it Соболевским классом} $W_2^\alpha(\Sd)$ называется множество функций $f \in L_2(\Sd)$, для которых $$\|(-\Delta_S)^{\alpha/2}f\|_{L_2(\Sd)}\le1.$$ \medskip 1. Восстановить решение уравнения $$(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=f$$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функции $f$ на классе $W_2^\beta(\Sd)$. Более точно, найти величину $$E_{Np}^{(1)}(\alpha,W_2^\beta(\Sd),\delta)=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L _2(\Sd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Sd),\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N }\le\delta}}\|u-\varphi(y)\|_{L_2(\Sd)}$$ и метод, на котором достигается нижняя грань (здесь $I_Nf=\{c_{kj}\}$, $k=0 ,1,\ldots,n$, $j=1,\ldots,a_k$, $N=a_0+\ldots+a_n$, $c_{kj}$ --- коэффициенты Фурье $f$, $p=2,\infty$). \medskip 2. Восстановить решение задачи \begin{gather*} u_t+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\ u_{\big|t=0}=f, \end{gather*} в момент времени $\tau$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функции $f$ на классе $W_2^\beta(\Sd)$, т.е. найти величину \begin{multline*} E_{Np}^{(2)}(\tau,\alpha,W_2^\beta(\Sd),\delta)\\ =\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L_2(\Sd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Sd), \ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N}\le\delta}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(y)\|_{L_ 2(\Sd)} \end{multline*} и соответствующий оптимальный метод восстановления ($p=2,\infty$). \medskip 3. Восстановить решение задачи \begin{gather*} u_t+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\ u_{\big|t=0}=f, \end{gather*} в момент времени $\tau$ по неточно заданным решениям в моменты времени $t=0 $ и $t=T$, т.е. найти величину \begin{multline*} E_T^{(3)}(\alpha,L_2(\Sd),\delta_0,\delta_T)\\ =\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f,y_0,y_T\in L_2(\Sd)\\\|f-y_0\|_{L_2(\Sd)} \le\delta_0\\\|u(\cdot,T)-y_T\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_T}}\|u(\cdot,\tau)- \varphi(y_0,y_T)\|_{L_2(\Sd)}, \end{multline*} где $\varphi\colon L_2(\Sd)\times L_2(\Sd)\to L_2(\Sd)$, и соответствующий оптимальный метод восстановления. \medskip 4. Восстановления решения задачи \begin{gather*} u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\ \begin{aligned} u_{\big|t=0}&=f_0,\\ {u_t}_{\big|t=0}&=f_1, \end{aligned} \end{gather*} в момент времени $\tau$ по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функций $f_0$ и $f_1$ на классах $W_2^{\beta_1}(\Sd)$, $W_2^{\beta_2} (\Sd)$ соответственно, т.е. найти величину \begin{multline*} E_{Np}^{(4)}(\tau,\alpha,W_2^{\beta_1}(\Sd),W_2^{\beta_2}(\Sd),\delta_0, \delta_1)\\ =\inf_{\varphi\colon l_p^N\times l_p^N\to L_2(\Sd)}\sup_{\substack{f_i\in W _2^{\beta_i}(\Sd),\ y_i\in l_p^N,\ i=1,2\\\|I_Nf_i-y_i\|_{l_p^N}\le\delta_i ,\ i=1,2}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(y_0,y_1)\|_{L_2(\Sd)} \end{multline*} и соответствующий оптимальный метод восстановления ($p=2,\infty$). Частные случаи этой задачи, когда одна из функций $f_0$ или $f_1$ фиксирована, в частности, равна нулю. \medskip 5. Аналог постановки в п.3 для задачи \begin{gather*} u_{tt}+(-\Delta_S)^{\alpha/2}u=0,\\ \begin{aligned} u_{\big|t=0}&=f_0,\\ {u_t}_{\big|t=0}&=f_1. \end{aligned} \end{gather*} Здесь много вариантов постановок. Например (не самый общий), следующий: восстановить решение задачи в момент времени $\tau$ по неточно заданным решениям в моменты времени $t=0$ и $t=T$, если известно, что $f_1=0$, т.е. найти величину \begin{multline*} E_T^{(5)}(\alpha,L_2(\Sd),\delta_0,\delta_T)\\ =\inf_{\varphi}\sup_{\substack{f_0,y_0,y_T\in L_2(\Sd)\\\|f_0-y_0\|_{L_2( \Sd)}\le\delta_0\\\|u(\cdot,T)-y_T\|_{L_2(\Sd)}\le\delta_T}}\|u(\cdot,\tau) -\varphi(y_0,y_T)\|_{L_2(\Sd)}, \end{multline*} где $\varphi\colon L_2(\Sd)\times L_2(\Sd)\to L_2(\Sd)$, и соответствующий оптимальный метод восстановления. \section{Задачи восстановления в шаре} {\it Соболевским классом} $W_2^\alpha(\Bd)$ называется множество функций $f \in L_2(\Bd)$, для которых $$\|(-\Delta)^{\alpha/2}f\|_{L_2(\Bd)}\le1.$$ \medskip 6. Восстановить решение задачи \begin{gather*} \Delta u=0,\\ u_{\big|\Sd}=f \end{gather*} по неточно заданному конечному набору коэффициентов Фурье функции $f$ на классе $W_2^\beta(\Sd)$. Более точно, найти величину $$E_{Np}^{(6)}(\alpha,W_2^\beta(\Sd),\delta)=\inf_{\varphi\colon l_p^N\to L _2(\Bd)}\sup_{\substack{f\in W_2^\beta(\Sd),\ y\in l_p^N\\\|I_Nf-y\|_{l_p^N }\le\delta}}\|u-\varphi(y)\|_{L_2(\Bd)}$$ и метод, на котором достигается нижняя грань ($p=2,\infty$). \medskip 7. Теорема о трех сферах. Восстановить решение задачи \begin{gather*} \Delta u=0,\\ u_{\big|\Sd}=f \end{gather*} на сфере радиуса $r$ по неточно заданным решениям на сферах радиусов $r_1$ и $r_2$, $r_1