%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Abstract for the International Conference "Differential Equations and Topology"
% dedicated to the 100th Anniversary of L.S.Pontryagin,
% 17th - 22nd June, 2008
% Moscow, Russia
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Please do not change the definitions and
% do NOT introduce your own commands/macros!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\textwidth=114mm%
\textheight=180mm%
% Temporal definitions for previewing
\renewcommand{\title}[1]{\hrule\begin{center}{\bfseries #1}\par}
\renewcommand{\author}[1]{\medskip{#1}\par\smallskip}
\newcommand{\affiliation}[1]{{\itshape #1}\par}
\newcommand{\email}[1]{e-mail:~\texttt{#1}\par}
\renewcommand{\maketitle}{\end{center}\hrule\par\bigskip}
\renewcommand{\abstract}{\relax}
\renewcommand{\endabstract}{\relax}
%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Please do not alter the layout!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%% Title of your talk
\title{Об оптимальном восстановлении
решений эволюционных уравнений} % required
%
%% First author
\author{Г.Г. Магарил-Ильяев} % required
\affiliation{Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), пр. Вернадского, 78, Москва, 119454, Россия} % required
\email{magaril@mirea.ru} % optional
%
% Additional affiliations in the same form...

%% Second author
\author{К.Ю. Осипенко}%
\affiliation{``МАТИ'' --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского, ул. Оршанская, 3, Москва, 121552, Россия}%
\email{kosipenko@yahoo.com}%

%%% Additional authors...

\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{abstract}
Рассматривается задача оптимального восстановления решения
абстрактной задачи Коши
$$\frac{dx}{dt}+Ax=0,\eqno(1)$$
$$x_{\big|t=0}=x_0(\cdot)\eqno(2)$$
по неточным его измерениям в отдельные моменты времени. Здесь
оператор $A$ действует из $\left\{\,x(\cdot)\in L_2(\mathbb
R^d):\int_{\mathbb R^d}\psi^2(\xi)|Fx(\xi)|^2\,d\xi<
\infty\,\right\}$ в $L_2(\mathbb R^d)$ по правилу
$Ax(\cdot)=F^{-1}(\psi(\cdot) Fx(\cdot))(\cdot)$, где $\psi(\cdot)$
--- непрерывная вещественная функция на $\mathbb R^d$ такая, что
$\sup_{\xi\in\mathbb R^d}\psi(\xi)=+\infty$ и $\min_{\xi\in\mathbb
R^d}\psi(\xi)=a>-\infty$, а $F$ и $F^{-1}$ --- прямое и обратное
преобразования Фурье.

Под решением задачи $(1)$--$(2)$ понимается дифференцируемая функция
$t\to x(t,\cdot)$ на $(0,\infty)$ со значениями в $L_2(\mathbb
R^d)$, удовлетворяющая $(1)$ и такая, что $x(t,\cdot)\to x_0(\cdot)$
при $t\downarrow 0$ в $L_2(\mathbb R^d)$. Нетрудно проверить, что
функция $t\to P_t^\psi
x_0(\cdot)=F^{-1}(e^{-\psi(\cdot)t}Fx_0(\cdot))(\cdot)$ является
единственным решением данной задачи.

Пусть в моменты времени $0\le t_1<\ldots<t_n$ известны приближенные
решения задачи $(1)$--$(2)$, т.~е. известны такие функции
$y_j(\cdot)\in L_2(\mathbb R^d)$, что $\|P_{t_j}^\psi
x_0(\cdot)-y_j(\cdot)\|_{L_2(\mathbb R^d)}\le\delta_j$, где
$\delta_j>0$, $j=1,\ldots,n$. Требуется по этой информации
восстановить решение в момент времени $\tau\ne t_j$. В качестве
методов восстановления рассматриваем произвольные отображения
$m\colon(L_2(\mathbb R^d))^n\to L_2(\mathbb R^d)$. Погрешностью
метода $m$ назовем величину ($\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$,
$y=(y_1(\cdot),\ldots,y_n(\cdot))$)
$$e(\tau,A,\delta,m)=\sup_{\substack{x_0(\cdot),y_1(\cdot),\ldots,y_n(\cdot)\in L_2(\mathbb R^d)\\
\|P_{t_j}^\psi x_0(\cdot)-y_j(\cdot)\|_{L_2(\mathbb
R^d)}\le\delta_j,\ j=1,\ldots,n}} \|P_\tau^\psi
x_0(\cdot)-m(y)(\cdot)\|_{L_2(\mathbb R^d)}.$$ Нас интересует
величина
$$E(\tau,A,\delta)=\inf_{m\colon(L_2(\mathbb R^d))^n\to L_2(\mathbb R^d)}e(\tau,A,\delta,m),$$
которая называется погрешностью оптимального восстановления и метод,
на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом
восстановления.

Обозначим $M={\rm co}\,\{\,(t_j,\ln(1/\delta_j),\,\,1\le j\le
n\,\}+\{\,(\gamma,a\gamma)\mid\,\,\gamma\ge0\,\}$, где ${\rm co}\,
C$
--- выпуклая оболочка множества $C$. Пусть функция $\theta(\cdot)$ на
$[0,\infty)$ определена равенством: $\theta(t)= \max\{\,x : (t,x)\in
M\,\}$. Ясно, что $\theta(\cdot)$ --- ломаная на $[t_1,\infty)$. Пусть
$t_{s_1}<\ldots<t_{s_k}$ --- ее точки излома, которые, очевидно,
являются подмножеством точек $\{t_1,\ldots, t_n\}$.

{\bf Теорема.} {\it Пусть $\tau\in (t_{s_j},t_{s_{j+1}})$, $1\le
j\le k-1$. Тогда $$E(\tau,A,\delta)=e^{-\theta(\tau)}$$ и $$\widehat
m(y)(\cdot)=P_\tau^\psi(K*(\lambda_{s_j}P_{t_{s_j}}^\psi
y_{s_j}+\lambda_{s_{j+1 }}P_{t_{s_{j +1}}}^\psi
y_{s_{j+1}}))(\cdot)$$
--- оптимальный метод, где
$$FK(\cdot)=\frac1{\lambda_{s_j}e^{-2\psi(\cdot)t_{s_j}}+\lambda_{s_{j+1}}
e^{-2\psi(\cdot)t_{s_{j+1}}}}$$ и
$$\lambda_{s_j}=\frac{t_{s_{j+1}}-\tau}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}
\left(\frac{\delta_{s_{j+1}}}{\delta_{s_j}}\right)^{2\frac{\tau-t_{s_j}}
{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}},\quad\lambda_{s_{j+1}}=\frac{\tau-t_{s_j}}{t_{s_{j+1}}
-t_{s_j}}
\left(\frac{\delta_{s_j}}{\delta_{s_{j+1}}}\right)^{2\frac{t_{s_{j+1}}-\tau}
{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}},$$ если
$\theta(t_{s_{j+1}})-\theta(t_{s_j})>a(t_{s_{j+1}}-t_{s_j})$ и
$\lambda_{s_j}=e^{-2a(\tau-t_{s_j})}$, $\lambda_{s_{j+1}}=0$ в
противном случае.}

Рассмотренная здесь задача относится к так называемым задачам
оптимального восстановления линейных операторов. Подробнее см.
\cite{MO1} и \cite{MO2}.

\begin{thebibliography}{5}
\bibitem{MO1}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью'', \textit{Матем. сб.}, 193, No.~3, 79--100 (2002).

\bibitem{MO2}Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, ``Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных'', \textit{Функц. анализ и его прилож.}, 37, 51--64 (2003).
\end{thebibliography}
%%
\end{abstract}

\end{document}