\documentclass[12pt,a4paper,oneside,reqno,draft]{amsbook} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} %\usepackage[active]{srcltx} %\usepackage{graphicx} %\usepackage{floatflt} \tolerance 2630 \renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.} \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \DeclareMathOperator*{\grad}{grad} \DeclareMathOperator*{\Div}{div} \DeclareMathOperator*{\const}{const} \newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d} \newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}} \newcommand*{\Pc}{\mathcal P} \newcommand*{\Ac}{\mathcal A} \newcommand*{\Hc}{\mathcal H} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}} \newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d} \newcommand*{\ov}{\overline} \newtheorem{lemma}{Лемма} %\newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{theorem}{Теорема}[section] \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem{corollary}{Следствие} %\textwidth=160mm %\usepackage{remreset} %\makeatletter %\@removefromreset{section}{chapter} %\makeatother \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} %\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0pt}{3.5ex plus 1ex minus .2ex}% %%{2.3ex plus .2ex}{\S}} \makeatother %\renewcommand{\thesection}{\arabic{chapter}.\arabic{section}} %\newcounter{section} \renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}} \renewcommand{\thetheorem}{\arabic{section}.\arabic{theorem}} \renewcommand*{\thesection}{\S\arabic{section}} %\renewcommand*{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}} \newcounter{exam}[section] \renewcommand{\theexam}{\arabic{section}.\arabic{exam}} \newcommand*{\ex}{\par\refstepcounter{exam}% {\bf Пример \theexam.}\ } \renewcommand*{\thefigure}{} \begin{document} \renewcommand{\figurename}{} \bigskip \begin{center} МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ \vskip20pt \large МАТИ --- Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского \vskip50pt \rm Кафедра высшей математики \vskip70pt \Large ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ \vskip50pt \rm Методические указания к практическим занятиям по теме:\\ $\mathrm{MAPLE}^\circledR$ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА \vskip70pt \begin{flushright} \begin{tabular}{ll} Составители: & Агарева О.Ю.\\ & Введенская Е.В.\\ & Осипенко К.Ю. \end{tabular} \end{flushright} \vskip 90pt Москва 1999 г. \end{center} \thispagestyle{empty} \newpage \begin{center} \Large ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ \end{center} \bigskip \noindent I.\hspace{3pt} ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MAPLE \bigskip Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференцирования функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления простейшей производной следует в командном окне после приглашения Maple ввести команду следующего вида: \noindent\verb"diff(<функция>,<переменная>);" \noindent здесь \verb"<функция>" --- выражение, задающее функцию (не обязательно одной переменной), например, \noindent\verb"x^2+2*x+1" \noindent\verb"<переменная>" - имя переменной, по которой будет вестись дифференцирование, например, \noindent\verb"x" \noindent Примером вычисления производной может служить такая команда: \noindent\verb"diff(x^2+2*x+1,x);" Также можно вычислить дифференциал функции, используя следующую команду: \noindent\verb"D(<функция>);" \noindent где \verb"<функция>" --- выражение, задающее функцию. Например, \noindent\verb"D(arcsin(x));" С помощью команды \verb"diff" можно вычислять производные высших порядков. При этом команда имеет следующий формат: \noindent\verb"diff(<функция>,<переменная>$<порядок>);" \noindent где \verb"<порядок>" --- порядок вычисляемой производной. В решениях некоторых примеров этой главы с помощью MAPLE будут использованы дополнительные команды MAPLE. Кратко опишем их формат и назначение: \noindent\verb"<переменная>:=convert(<выражение>,polynom);" --- представить \verb"<выражение>" в виде полинома, присвоив значение \verb"<переменной>". \noindent\verb"factor(<выражение>);" --- разложить \verb"<выражение>" на множители. \noindent\verb"subs(=,<выражение>);" --- подставить выражение \verb"" на место \verb"" в \verb"<выражении>". \noindent\verb"<переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>);" --- присвоить \verb"<переменной>" значение выражения \verb"<выр2>", полученное разрешением уравнения \verb"<выр1>(<выр2>)=<значение>". \noindent\verb"simplify(<выражение>);" --- упростить \verb"<выражение>". \noindent\verb"taylor(,x=,+1);" --- разложить функцию $f(x)$ по формуле Тейлора с центром в точке $x0$ до порядка $n$ включительно. \newpage \noindent II.\hspace{3pt} ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ \bigskip {\bfseries\itshape Определение 1.} Производной функции $f(x)$ в точке $x$ называется \begin{flalign*} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}&&. \end{flalign*} Из определения следуют правила дифференцирования: \vskip-12pt \begin{flalign*} \quad1.&\ (u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x);&\\ \quad2.&\ (\alpha u(x)'=\alpha u'(x),\mbox{ где }\alpha=\const;&\\ \quad3.&\ (u(x)\cdot v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);&\\ \quad4.&\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)};&\\ \quad5.&\ f(g(x))'=f'(x)g'(x);&\\ \quad6.&\ \left(f^{-1}(x)\right)'=\frac1{f'(y)}\biggl|_{y=f^{-1}(x)},\mbox{ здесь $f^{-1}(x)$ --- функция},&\\ \quad\hphantom{6.}&\mbox{ обратная $f(x)$}&. \end{flalign*} На основании определения производной и формул 1) -- 6) вычисляются производные некоторых элементарных функций: \begin{flalign*} \quad7.&\ (c)'=0,\mbox{ где }c=\const;&\\ \quad8.&\ \left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1},\ \alpha=\const;&\\ \quad9.&\ \left(a^x\right)'=a^x\ln a\mbox{ при $a>0$, $a\ne1$; в частности, }\left(e^x\right)'=e^x;&\\ \quad10.&\ \left(\log_ax\right)'=\frac1{x\ln a};\mbox{ в частности, }\left(\ln x\right)'=\frac1x;&\\ \quad11.&\ \left(\sin x\right)'=\cos x;&\\ \quad12.&\ \left(\cos x\right)'=-\sin x;&\\ \quad13.&\ \left(\tg x\right)'=\frac1{\cos^2x};&\\ \quad14.&\ \left(\ctg x\right)'=-\frac1{\sin^2x};&\\ \quad15.&\ \left(\arcsin x\right)'=-\left(\arccos x\right)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}};&\\ \quad16.&\ \left(\arctg x\right)'=-\left(\arcctg x\right)'=\frac1{1+x^2};&\\ \quad17.&\ \left(\sh x\right)'=\ch x;&\\ \quad18.&\ \left(\ch x\right)'=\sh x;&\\ \end{flalign*} \begin{flalign*} \quad19.&\ \left(\th x\right)'=\frac1{\ch^2x};&\\ \quad20.&\ \left(\cth x\right)'=\frac1{\sh^2x};&\\ \end{flalign*} \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 1.} Доказать, используя лишь определение, что $\left(\ln x\right)'=\dfrac1x,\ x>0$. \noindent{\bfseries\itshape Доказательство:} $\displaystyle\left(\ln x\right)'=\lim_{\Delta x\to0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}$ \noindent$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\ln\left(\frac{x+\Delta x}{\Delta x}\right)^{\frac1{\Delta x}}=\lim_{\Delta x\to0}\ln\left(\left(\frac{x+\Delta x}{\Delta x}\right)^{\frac x{\Delta x}}\right)^{\frac1x}=\ln e^{\frac1x}=\frac1x$, что требовалось доказать. Вынося в последнем равенстве логарифм за знак предела, мы воспользовались непрерывностью функции $\ln x$ при $x>0$. Заметим, что условие $x>0$ гарантирует, что при достаточно малом $|\Delta x|$, $x+\Delta x$ тоже будет $>0$, что необходимо для существования $\ln(x+\Delta x)$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 2.} Вычислить $y'$, если $\displaystyle y=5^{2^{3^x}}$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y'=5^{2^{3^x}}\cdot\ln5\cdot2^{3^x}\cdot\ln2\cdot3^x\cdot\ln3=(\ln2\ln3\ln5)5^{2^{3^x}}2^{3^x}3^x$. \noindent Здесь использовались формулы 5) и 9). \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">diff(5^(2^(3^x)),x);"\\ \hspace{7pt}\verb"5^(2^(3^x))*2^(3^x)*3^x*ln(3)*ln(2)*ln(5)" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent III.\hspace{3pt} ПРИЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ \bigskip \noindent1. Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, --- необходимо применять прием логарифмического дифференцирования. Этот прием основан на соотношении $\left(\ln y(x)\right)'=\dfrac{y'(x)}{y(x)}$ $\Rightarrow$ \noindent$y'(x)=y(x)\left(\ln y(x)\right)'$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 3.} Найти $y'$, где $\displaystyle y=(\ln x)^{\frac1{x^2}}$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle \ln y=\frac1{x^2}\ln\ln x;\ \left(\ln y\right)'=\dfrac{y'}y=-\frac2{x^3}\ln\ln x+\frac1{x^2}\frac1{\ln x}\frac1x$ \noindent$\displaystyle=\frac1{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right);\ y'=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)$. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">diff((ln(x))^(1/x^2),x);"\\ \hspace{7pt}\verb"ln(x)^(1/x^2)*(-2*(ln(ln(x))/x^3)+1/(x^3*ln(x)))" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 4.} Вычислить $y'$, если $\displaystyle y=\frac{(x-1)^{\frac12}(x+3)^5(x+2)^7}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)}}$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle \ln y=\frac12\ln(x-1)+5\ln(x+3)+7\ln(x+2)-\frac23\ln(x+1)$ \noindent$\displaystyle-\frac13\ln(x-2)$; \noindent$\displaystyle\left(\ln y\right)'=\dfrac{y'}y=\frac1{2(x-1)}+\frac5{x+3}+\frac7{x+2}-\frac2{3(x+1)}-\frac1{3(x-2)}$; \noindent$\displaystyle y'=\frac{(x-1)^{\frac12}(x+3)^5(x+2)^7}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)}}\biggl(\frac1{2(x-1)}+ \frac5{x+3}+\frac7{x+2}-\frac2{3(x+1)}$ \noindent$\displaystyle-\frac1{3(x-2)}\biggr)$. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">simplify(diff(((x-"\\ \hspace{7pt}\verb"1)^(1/2)*(x+3)^5*(x+2)^7)/((x+1)^2*(x-2))^"\\ \hspace{7pt}\verb"(1/3),x));"\\ \hspace{7pt}\verb"1/2*(23*x^4+12*x^3-143*x^2-"\\ \hspace{7pt}\verb"16*x+100)*(x+3)^4*(x+2)^6/((x+1)^2*"\\ \hspace{7pt}\verb"(x-2))^(1/3)/(x-2)/(x+1)/(x-1)^(1/2)" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent2. Дифференцирование параметрически заданных функций $y(x)$: $\displaystyle \begin{cases} &\hspace{-12pt}x=\varphi(t),\\ &\hspace{-12pt}y=\psi(t),\end{cases}$ производится по формуле $\displaystyle y'(x)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 5.} Вычислить $y'(x)$, если $\displaystyle\begin{cases} &\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\ &\hspace{-12pt}y=b\sin t.\end{cases}$ \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y'=\frac{(b\sin t)'}{(a\cos t)'}=-\frac{b\cos t}{a\sin t}=-\frac ba\ctg t$. Заметим, что $y'(x)$ представляет собой, как и $y(x)$, параметрически заданную функцию: $\displaystyle\begin{cases} &\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\ &\hspace{-12pt}y'(x)=-\dfrac ba\ctg t.\end{cases}$ \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">S:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);"\\ \hspace{7pt}\verb"S:=-b*cos(t)/a/sin(t)" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent3. Производную $y'(x)$ функции $y(x)$, заданной неявно в виде уравнения $F(x,y)=0$, можно вычислить (при условии $F'_y\ne0$), дифференцируя тождество, полученное при подстановке в уравнение его решения $y(x)$: $F(x,y(x))=0$ по $x$. Получим выражение, в которое линейно войдет $y'(x)$. Его можно разрешить относительно $y'(x)$. \noindent{\bfseries\itshape Пример 6.} Рассмотрим неявное задание эллипса из примера 5: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$. Найдем $y'(x)$, дифференцируя уравнение эллипса, полагая в нем $x$ независимой переменной, а $y$ --- функцией от $x$; получим $\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2yy'}{b^2}=0\Rightarrow\dfrac{2y}{b^2}y'=-\dfrac{2x}{a^2}\Rightarrow y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$. Заметим, что производная $y'(x)$ выражена не только через $x$, но и через $y$. Это естественно, так как на эллипсе значению $x\in(-a,a)$ соответствуют $2$ точки с ординатами $y_1=\dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}$ и $y_2=-\dfrac ba\sqrt{a^2-x^2}$. Производные $2$-х различных функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ в точке $x$, вообще говоря, различны. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">Z:=diff(x^2/a^2+y(x)^2/b^2,x);"\\ \hspace{7pt}\verb"Z:= 2*x/a^2+2*y(x)/b^2*diff(y(x),x)"\\ \verb">Q:=solve(Z=0,diff(y(x),x));"\\ \hspace{7pt}\verb"Q:= -x*b^2/y(x)/a^2"\\ \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent IV.\hspace{3pt} СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ \bigskip Определение производной $n$-го порядка функции $y(x)$ имеет индуктивный характер. {\bfseries\itshape Определение 2.} Производной порядка $n>1$ функции $y(x)$ называется $y^{(n)}(x)=\left(y^{(n-1)}(x)\right)'$. Таким образом, $n$-я производная определяется и вычисляется через $(n-1)$-ю, та --- через $(n-2)$-ю, и т.д. \noindent{\bfseries\itshape Пример 7.} Вычислить производную $n$-го порядка функции $y=\sin2x$. \bigskip \begin{flushleft} \begin{tabular}{lll} \hspace{-5pt}{\bfseries\itshape Решение:}&$y'=2\cos2x$;&$y''=-4\sin2x$;\\ &$y'''=-8\cos2x$;&$y^{(4)}=16\sin2x$;\\ &\ldots&\\ &$y^{(n)}=2^n\sin\left(2x+\dfrac\pi2n\right)$.& \end{tabular} \end{flushleft} Последняя формула является предположением, основанным на предыдущих $4$-х строчках. Для $n=1,2,3,4$ она выполняется. Предположим, что ``угаданная'' формула для производной $(n-1)$-го порядка верна. Покажем, что тогда она верна и для $n$-й производной. Пусть $y^{(n-1)}=2^{n-1}\sin\left(2x+\dfrac\pi2(n-1)\right)$. Продифференцируем последнее равенство по $x$: \begin{multline*} y^{(n)}=\left(y^{(n-1)}\right)'=2^n\cos\left(2x+\dfrac\pi2-\dfrac\pi2\right) =\sin\left(2x+\dfrac\pi2n\right),\\ \mbox{т.к. }\cos\left(\alpha-\dfrac\pi2\right)=\sin\alpha. \end{multline*} \begin{figure}[h] $$\begin{picture}(300,200) \put(70,95){\line(1,0){160}} \put(150,15){\line(0,1){160}} \qbezier(150,170)(220,165)(225,95) \qbezier(225,95)(220,25)(150,20) \qbezier(150,20)(80,25)(75,95) \qbezier(75,95)(80,165)(150,170) {\thicklines \put(150,95){\line(0,1){67.4}} \put(150,95){\line(1,0){67.4}} } \put(150,95){\line(1,2){33.5}} \put(150,95){\line(2,-1){67}} \put(183.7,162.4){\circle*{2}} \put(217.2,61.3){\circle*{2}} \multiput(183.1,162.4)(-3,0){12}{\circle*{1}} \multiput(217.2,61.9)(0,3){12}{\circle*{1}} \put(160,101){$\cos\left(\alpha-\frac\pi2\right)$} \put(120,124){$\sin\alpha$} \put(186,164){$\alpha$} \put(220,58){$\alpha-\frac\pi2$} \put(104,-2){$\mbox{\it Рис. к примеру 7}$} \end{picture}$$ %\caption{} \end{figure} Примененный способ доказательства называется методом полной математической индукции. Впрочем, по индукции можно доказать формулу $\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac\pi2\right)$, а затем, применив ее и формулу $y^{(n)}=2^n\sin\left(2x+\dfrac\pi2n\right)$, получить выражение для $\left(\sin2x\right)^{(n)}$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 8.} Посчитаем $2$-ю производную из примера 3, проиллюстрировав применение логарифмического дифференцирования для нахождения старших производных. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y=(\ln x)^{\frac1{x^2}}$, $\displaystyle y'=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)$. \noindent Продифференцируем $\displaystyle y'\Rightarrow y''=\frac{\left((\ln x)^{\frac1{x^2}}\right)'x^3-3x^2(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^6}\cdot\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)+\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(-\frac1{x\ln^2x}-\frac2{x\ln x}\right)$ \noindent$\displaystyle=\Biggl(\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^6}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)-\frac3{x^4}(\ln x)^{\frac1{x^2}}\Biggr)\cdot\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right) -\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{x\ln^2x}+\frac2{x\ln x}\right)=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^4}\biggl(\left(\frac1{x^2\ln x}-\frac{2\ln\ln x}{x^2}-3\right)\cdot$ \noindent$\displaystyle\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)-\frac1{\ln^2x}-\frac2{\ln x}\biggr)$. При вычислении $y''$ использовалась уже найденная в примере 3 $\displaystyle y'=\frac{(\ln x)^{\frac1{x^2}}}{x^3}\left(\frac1{\ln x}-2\ln\ln x\right)$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">factor(diff(ln(x)^(1/x^2),x$2));"\\ \hspace{7pt}\verb"ln(x)^(1/x^2)*(4*ln(ln(x))^2*ln(x)^2-"\\ \hspace{7pt}\verb"4*ln(ln(x))*ln(x)+1+6*x^2*ln(ln(x))*ln(x)^2-"\\ \hspace{7pt}\verb"5*x^2*ln(x)-x^2)/"\\ \hspace{7pt}\verb"x^6/ln(x)^2" \end{tabular} \end{flushleft} \noindent Операция \verb"factor" использована здесь для разложения результата на множители. \noindent{\bfseries\itshape Пример 9.} Найдем $2$-ю производную $y''$ для верхней и нижней половин эллипса, заданного параметрически, из примера 5: $\displaystyle\begin{cases} &\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\ &\hspace{-12pt}y=b\sin t,\end{cases}$ $\displaystyle\begin{cases} &\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\ &\hspace{-12pt}y'(x)=-\dfrac ba\ctg t.\end{cases}$ \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle y''=\dfrac{\dfrac d{dt}y'(x)}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\dfrac ba\dfrac1{\sin^2t}}{-a\sin t}=-\dfrac b{a^2}\dfrac1{\sin^3t}$. Заметим, что вторая производная, как и первая, задана параметрически: $\displaystyle\begin{cases} &\hspace{-12pt}x=a\cos t,\\ &\hspace{-12pt}y''(x)=-\dfrac b{a^2}\dfrac1{\sin^3t}.\end{cases}$ \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">diff(S,t)/diff(a*cos(t),t);"\\ \hspace{7pt}\verb"-(b/a+b*cos(t)^2/a/sin(t)^2)/a/sin(t)" \end{tabular} \end{flushleft} \noindent{\small$^*$значение $S$ было присвоено в примере 5} \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 10.} Найдем $y''$ для верхней и нижней половин эллипса, заданного неявно (см. пример 6): $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, $y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} Продифференцируем $y'$ по $x$: $\displaystyle y''=\left(-\dfrac{b^2x}{a^2y}\right)'=-\dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{y-y'x}{y^2}= -\dfrac{b^2}{a^2y^2}\left(y+\dfrac{b^2x^2}{a^2y}\right)$. Итак, $\displaystyle y''=-\dfrac{b^2}{a^2y^2}\left(y+\dfrac{b^2x^2}{a^2y}\right)$. $2$-я производная неявной функции, как и первая, выражается как через $x$, так и через $y$. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">subs(diff(y(x),x)=Q,diff(Q,x));"\\ \hspace{7pt}\verb"-b^2/y(x)/a^2-x^2*b^4/y(x)^3/a^4" \end{tabular} \end{flushleft} \noindent{\small$^*$значение $Q$ было присвоено в примере 6} \bigskip \noindent V.\hspace{3pt} ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ \bigskip {\bfseries\itshape Определение 3.} Если приращение функции $y=f(x)$: $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$, может быть представлено в виде $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\Delta x+o(\Delta x)$, где $A$ не зависит от $\Delta x$, но зависит, вообще говоря, от $x$, то функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x$. Здесь $o(\Delta x)$ --- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем $\Delta x$, т.е. $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0$. Можно доказать, что $A=\dfrac{df(x)}{dx}$. Таким образом, существование производной у функции $f(x)$ в точке $x$ эквивалентно ее дифференцируемости в этой точке по определению 3. {\bfseries\itshape Определение 4.} Главная линейная часть приращения дифференцируемой функции $A\Delta x=f'(x)dx$ называется ее дифференциалом. Дифференциал $df(x)$ является функцией двух аргументов --- $x$ и $\Delta x$. Рассмотрев функцию $y=x$, убедимся, что $dx\equiv\Delta x$ (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифференциалы старших порядков определяются индуктивно. {\bfseries\itshape Определение 5.} Дифференциалом $n$-го порядка функции $f(x)$ ($n\ge2$) называется дифференциал от $(n-1)$-го дифференциала этой функции. При этом $d^{(n-1)}f$ считается функцией только $x$ (но не $dx\equiv\Delta x$), т.е. $d^nf=d\left(d^{(n-1)}f\right)=d\left(f^{(n-1)}(x)(dx)^{(n-1)}\right)=f^{(n)}(x)(dx)^n$. Соотношение $d^{(n-1)}f=f^{(n-1)}(x)(dx)^{(n-1)}$ выполняется, например, для $n-1=1$. Методом индукции из этого следует справедливость аналогичного выражения для $n$-го дифференциала при любом $n\ge2$. \noindent{\bfseries\itshape Пример 11.} Вычислить $1$-й и $2$-й дифференциалы функции $y=\sqrt{1-x^2}\arcsin x$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $\displaystyle dy=y'dx=\left(\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx$ \noindent$=\left(1-\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx$. \noindent$\displaystyle d^2y=y''(dx)^2=\left(1-\dfrac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)'(dx)^2$ \noindent$\displaystyle=-\dfrac{\left(\dfrac x{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin x\right)\sqrt{1-x^2}+ \dfrac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}}(dx)^2$ \noindent$\displaystyle=-\dfrac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x(1-x^2+x^2)}{(1-x^2)^{3/2}}(dx)^2$ \noindent$\displaystyle=-\dfrac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}}(dx)^2.$ \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">X:=subs(D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),D(sqrt(1-"\\ \hspace{7pt}\verb"x^2)*arcsin(x)));"\\ \hspace{7pt}\verb"X := -D(x)*x/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)+D(x)"\\ \verb">F:=subs(D(D(x))=0,D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),"\\ \hspace{7pt}\verb"D(X));"\\ \hspace{7pt}\verb"F:=-D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x^2/(1-"\\ \hspace{7pt}\verb"x^2)^(3/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x/(1-x^2)"\\ \verb">simplify(F);"\\ \hspace{7pt}\verb"(x*(1-x^2)^(1/2)+arcsin(x))*D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)/(-"\\ \hspace{7pt}\verb"1+x^2)" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent VI.\hspace{3pt} ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ \bigskip 1. Формула Тейлора. \noindent Приближение функции в окрестности точки $x_0$ многочленом может быть удобно в работе с этой функцией. $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac12f''(x_0)(x-x_0)^2+\ldots$ \noindent$+\dfrac1{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x)$, где остаточный член $R_n(x)$ , например, в форме Лагранжа, имеет вид $\displaystyle R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, где $0<\theta<1$ (вообще говоря, $\theta$ зависит от $x$ и $x_0$). Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при $x_0=0$) для некоторых элементарных функций: \begin{flalign*} \quad1.&\ e^x\approx\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}+R_n.&\\ \quad2.&\ \sin x\approx\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+R_n.&\\ \quad3.&\ \cos x\approx\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+R_n.&\\ \quad4.&\ (1+x)^\alpha\approx1+\sum_{k=1}^n\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdot\ldots\cdot(\alpha-k+1)}{k!}\cdot x^k+R_n.&\\ \quad5.&\ \arctg x\approx\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}+R_n.&\\ \quad6.&\ \ln(1+x)\approx\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{x^k}k+R_n.& \end{flalign*} \noindent{\bfseries\itshape Пример 12.} Разложить многочлен $y=x^3+x^2+2x-3$ по степеням $(x+1)$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $y'=3x^2+2x+2$, $y''=6x+2$, $y'''=6$, $y(-1)=-5$, $y'(-1)=3$, $y''(-1)=-4$, $y'''(-1)=6$, $y=-5+3(x+1)-2(x+1)^2+(x+1)^3$. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">taylor(x^3+x^2+2*x-3,x=-1,4);"\\ \hspace{7pt}\verb"-5+3*(x+1)-2*(x+1)^2+1*(x+1)^3" \end{tabular} \end{flushleft} \noindent Формула Тейлора n-го порядка точна для многочлена порядка $n$ ($R_n=0$). \noindent{\bfseries\itshape Пример 13.} Вычислить приближенно с помощью первого дифференциала $\tg5^\circ$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $5^\circ=\dfrac\pi{36}$, $y=\tg x$, $x_0=0$, $\Delta x=\dfrac\pi{36}$, $\Delta y=\tg\dfrac\pi{36}-\tg0=\tg\dfrac\pi{36}\approx dy=(\tg x)'\cdot\Delta x=\dfrac1{\cos^2x}\biggl|_{x=0}\cdot\dfrac\pi{36}=\dfrac\pi{36}\approx0,087$. Итак, $\tg5^\circ\cong0,087$. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">convert(subs(x=(Pi/36),taylor(tan(x),x=0,2)),polynom);"\\ \hspace{7pt}\verb"1/36*Pi" \end{tabular} \end{flushleft} В примере 13 неизвестна точность приближенного вычисления. Покажем, как с помощью формулы Тейлора можно производить вычисления с гарантированной точностью. \noindent{\bfseries\itshape Пример 14.} Вычислить с точностью $\varepsilon=10^{-5}$ $\sin28^\circ$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $y=\sin x$, $x_0=30^\circ=\dfrac\pi6$, $\Delta x=-2^\circ=\dfrac\pi{90}$, \noindent$|R_n|=\dfrac{\left|(\sin y)^{(n+1)}\right|}{(n+1)!}\biggl|_{y=x_0+\theta(x-x_0)=x_0+\theta\Delta x}\cdot\left(\dfrac\pi{90}\right)^{n+1}$ \noindent$\le\dfrac1{(n+1)!}\left(\dfrac\pi{90}\right)^{n+1}$. \noindent$|R_1|\le\dfrac{\pi^2}{90\cdot180}\approx\dfrac9{16200}>10^{-5}$. $|R_2|\le\dfrac{\pi^3}{90^3\cdot6}\approx\dfrac{27}{90^3\cdot6}=\dfrac1{162000}<10^{-5}$. Итак, $n=2$ гарантирует заданную точность. \noindent$\sin28^\circ\approx\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}2\dfrac\pi{90}- \dfrac14\left(\dfrac\pi{90}\right)^2=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3\pi}{180}-\dfrac{\pi^2}{32400}\cong \dfrac12-0,03023$ \vskip5pt \noindent$-0,00030\approx46947$. \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">C:=taylor(sin(x),x=Pi/6,5);"\\ \hspace{7pt}\verb"C:=series(1/2+(1/2*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)-1/4*(x-"\\ \hspace{7pt}\verb"1/6*Pi)^2+(-"\\ \hspace{7pt}\verb"1/12*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)^3+1/48*(x-1/6*Pi)^4+O((x-"\\ \hspace{7pt}\verb"1/6*Pi)^5),x="\\ \hspace{7pt}\verb"-(-1/6*Pi),5)"\\ \verb">V:=subs(x=7/45*Pi,C); convert(evalf(V),polynom);"\\ \hspace{7pt}\verb"V:=1/2-1/180*3^(1/2)*Pi-1/32400*Pi^2+1/8748000*3^(1/2)*"\\ \hspace{7pt}\verb"Pi^3+1/3149280000*Pi^4+O(-1/5904900000*Pi^5)"\\ \hspace{7pt}\verb".4694715632" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip 2. Правило Лопиталя. Справедлива теорема: \noindent{\bfseries\itshape Теорема 1.} Пусть в некоторой окрестности точки $x_0$, кроме, быть может, самой этой точки, $2$ функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, одновременно бесконечно малые или бесконечно большие, дифференцируемы и $\psi'(x)\ne0$. При этом, если $\exists\ \displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{\varphi'(x)}{\psi'(x)}$, то $\exists\ \displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)}$ и они равны. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 15.} Вычислить $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(\cos x)}{\ln(\cos2x)}$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} \noindent$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(\cos x)}{\ln(\cos2x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{ -\dfrac{\sin x}{\cos x}}{-\dfrac{2\sin2x}{\cos2x}}=\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x\cos2x}{\sin2x\cos x} =\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{\sin2x}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\cos2x}{\cos x} =\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{2\cos2x}\cdot1=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14.$ \medskip \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">limit(ln(cos(x))/ln(cos(2*x)),x=0);"\\ \hspace{7pt}\verb"1/4" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 16.} Вычислить $\displaystyle\lim_{x\to1}(2-x)^{\tg\frac{\pi x}2}=A$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} \medskip \noindent$\displaystyle\ln A=\lim_{x\to1}\ln(2-x)^{\tg\frac{\pi x}2}=\lim_{x\to1}\tg\frac{\pi x}2\ln(2-x)=\lim_{x\to1}\dfrac{\sin\dfrac{\pi x}2}{\cos\dfrac{\pi x}2}\ln(2-x)=\lim_{x\to1}\sin\dfrac{\pi x}2\cdot\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(2-x)}{\cos\dfrac{\pi x}2}= \lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac1{2-x}}{\dfrac\pi2\sin\dfrac{\pi x}2}=\dfrac2\pi\Rightarrow A=e^{\frac2\pi}.$ \medskip \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">limit((2-x)^tan(Pi*x/2),x=1);"\\ \hspace{7pt}\verb"exp(2/Pi)" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 17.} Вычислить $\displaystyle\lim_{x\to0}x\ctg\pi x$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} \medskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} \medskip \noindent$\displaystyle\lim_{x\to0}x\ctg\pi x=\lim_{x\to0}\dfrac{\ctg\pi x}{\dfrac1x}=\lim_{x\to0}\dfrac{-\dfrac\pi{\sin^2\pi x}}{-\dfrac1{x^2}}=\lim_{x\to0}\dfrac{\pi x^2}{\sin^2\pi x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\pi^2x^2}{\sin^2\pi x}\cdot\dfrac1\pi=\dfrac1\pi.$ \medskip \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">limit(x*cot(Pi*x),x=0);"\\ \hspace{7pt}\verb"1/Pi" \end{tabular} \end{flushleft} \bigskip 3. Рассмотрим некоторые геометрические приложения производной. Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$ имеет вид $y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)$. Если $f'(x_0)=\infty$, то уравнение касательной $x=x_0$. Уравнение нормали к графику в этой точке --- $y=y_0-\dfrac1{f'(x_0)}(x-x_0)$. Если $f'(x_0)=0$, то уравнение нормали $x=x_0$. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 18.} Написать уравнения касательной и нормали к графику функции $x^2+y^2=1$ в точке $M=\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$. \noindent{\bfseries\itshape Решение:} Вычислим \noindent$y'(x):\ 2x+2yy'=0\Rightarrow y'=-\dfrac xy,\ y'(M)=-1;\ y_{\mbox{к}}=\dfrac1{\sqrt2}-\left(x-\dfrac1{\sqrt2}\right)$ \noindent$=\dfrac1{\sqrt2}-x$ --- уравнение касательной; $y_{\mbox{н}}=\dfrac1{\sqrt2}+\left(x-\dfrac1{\sqrt2}\right)=x$ --- уравнение нормали. \medskip \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">V:=diff(x^2+y(x)^2,x);"\\ \hspace{7pt}\verb"V:=2*x+2*y(x)*diff(y(x),x)"\\ \verb">W:=solve(V=0,diff(y(x),x));"\\ \hspace{7pt}\verb"W:=-x/y(x)"\\ \verb">subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W);"\\ \hspace{7pt}\verb"-1" \end{tabular} \end{flushleft} Здесь найден только угловой коэффициент касательной. \bigskip \noindent{\bfseries\itshape Пример 19.} Под какими углами пересекаются кривые $y_1=x$ и $y_2=x^3$? \medskip \noindent{\bfseries\itshape Решение:} $x=x^3;\ x(x-1)(x+1)=0;\ x_1=0,\ x_2=-1,\ x_3=1.\ y_1'=1,\ y_2'=3x^2.$ \begin{figure}[h] $$\begin{picture}(300,150) \put(30,70){\vector(1,0){250}} \put(150,4){\vector(0,1){146}} \put(272,62){$x$} \put(140,144){$y$} {\thicklines \qbezier(150,70)(175,68)(190,110) \qbezier(190,110)(195,120)(199,142) \put(80,0){\line(1,1){140}} \qbezier(150,70)(125,72)(110,30) \qbezier(110,30)(105,20)(101,-2) } \put(190,110){\line(2,5){18}} \put(190,110){\line(-2,-5){16}} \put(150,110){\line(1,0){90}} \put(190,110){\circle{2}} \put(152,60){$0$} \qbezier(175.8,74.5)(179,74)(179,70) \qbezier(194,114)(196.5,112.5)(196,110) \qbezier(194.6,114.6)(197,113)(196.8,110) \put(180,74){$\alpha$} \put(198,113){$\alpha_1$} \put(54,26){$y=y_1(x)$} \put(103,-3){$y=y_2(x)$} \put(100,-20){$\mbox{\it Рис. к примеру 7}$} \end{picture}$$ %\caption{} \end{figure} \bigskip \noindent$1.\ x_1=0,\ y_1'=1,\ y_2'=0,\ \tg\alpha_1=\dfrac{1-0}{1+0}=1,\Rightarrow\alpha_1=\dfrac\pi4.$ \noindent$2.\ x_3=1,\ y_1'=1,\ y_2'=3,\ \tg\alpha_3=\dfrac{3-1}{3+1}=\dfrac12,\Rightarrow\alpha_3=\arctg\dfrac12.$ \noindent3. В силу симметрии кривых $\alpha_3=\alpha_2=\arctg\dfrac12$. \noindent Здесь использована формула $$\tg(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{\tg\alpha_1-\tg\alpha_2}{1+\tg\alpha_1\tg\alpha_2}$$ \noindent(см. Рис.). \medskip \noindent{\bfseries\itshape Пример решения с использованием Maple:} \begin{flushleft} \begin{tabular}{|l} \verb">solve(x=x^3,x);"\\ \hspace{7pt}\verb"0 1 -1"\\ \verb">a:=diff(x,x); b:=diff(x^3,x);"\\ \hspace{7pt}\verb"a:=1"\\ \hspace{7pt}\verb"b:=3*x^2"\\ \verb">arctan(subs(x=0,(a-b)/(1+a*b)));"\\ \hspace{7pt}\verb"1/4*Pi"\\ \verb">arctan(subs(x=1,(b-a)/(1+a*b)));"\\ \hspace{7pt}\verb"arctan(1/2)"\\ \verb">arctan(subs(x=-1,(b-a)/(1+a*b)));"\\ \hspace{7pt}\verb"arctan(1/2)" \end{tabular} \end{flushleft} \newpage \begin{center} \Large\sc ОГЛАВЛЕНИЕ \end{center} \bigskip \noindent{\bf Дифференцирование функций одной переменной}\dotfill2 I.\hspace{11pt}Дифференцирование с помощью пакета Maple\dotfill3 II.\hspace{7pt}Определение производной. Правила \noindent\hspace{38pt}дифференцирования. Таблица производных\dotfill4 III.\hspace{3pt}Приемы дифференцирования\dotfill6 IV.\hspace{3pt}Старшие производные функции одной переменной\dotfill8 V.\hspace{7pt}Дифференциалы\dotfill11 VI.\hspace{3pt}Приложения производных и дифференциалов\dotfill12 \newpage \begin{flushright} \begin{tabular}{l} Ольга Юрьевна Агарева\\ Елена Викторовна Введенская\\ Константин Юрьевич Осипенко \end{tabular} \end{flushright} \vskip150pt \begin{center} {\Large ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ} \vskip90pt Методические указания к практическим занятиям по теме:\\ ``MAPLE в курсе математического анализа'' \end{center} \vskip190pt \noindent Редактор\hspace{15pt} М.А. Соколова \noindent Подписано в печать 21.6.99. Объем 1,5 п.л. \noindent Тираж 75 экз. Заказ \bigskip \hrule \bigskip \noindent Ротапринт МАТИ-РГТУ, Берниковская наб., 14 \bigskip \hrule \end{document}