\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[french,english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
\tolerance 890
\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother
\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother


%\renewcommand{\thesection}{\bf\S\ \arabic{section}}
%\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\newcommand{\LLL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\BL}{BL_\infty}
\newcommand{\hhl}{(\F_\infty,L_\infty)}
\newcommand{\hhm}{(W,L_\infty)}
\newcommand{\hh}{h_\infty^\beta}
\newcommand{\HH}{H_\infty^\beta}
\newcommand{\HQ}{H_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\hQ}{h_\infty^{Q,\beta}}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcommand{\BO}{\hbox{\boldmath$\Omega$}}
%\newcommand{\at}[2]{{\substack{#1\\#2}}}
\newcommand{\bbbr}{\mathbb R}
\newcommand{\bbbt}{\mathbb T}
\newcommand{\bbbz}{\mathbb Z}
\newcommand{\bbbn}{\mathbb N}
\newcommand{\bbbc}{\mathbb C}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\wa}{\widetilde\alpha}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vrai\,sup}
\DeclareMathOperator*{\spa}{span}
\DeclareMathOperator*{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator*{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\In}{In}

\begin{document}
\noindent УДК 517.53

\bigskip

\title[Наилучшие методы приближения]{Наилучшие методы приближения аналитических
функций, заданных с погрешностью}
\author[]{\bf Осипенко~К.~Ю.}
\maketitle

\setcounter{section}{0}

\section*{Введение}

Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на вещественном линейном пространстве $X$, $W$ --- множество из $X$. В работах \cite{1}, \cite{2} была поставлена задача о наилучшем приближении функционала $L$ на множестве $W$ по значениям функционалов $l_1,\ldots,l_n$. Погрешностью наилучшего приближения называлась величина
$$r(L,l)=\infp_T\sup_{x\in W}|L(x)-T(lx)|,$$
где $lx=(l_1(x),\ldots,l_n(x))$, a $T\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$. Метод $T_0$ назывался наилучшим методом приближения, если выполнялось равенство
$$\sup_{x\in W}|L(x)-T_0(lx)|=r(L,l).$$

В этих же работах было доказано, что в случае, когда $W$ --- выпуклое и центрально-симметричное множество с центром симметрии $0$, имеет место равенство
$$r(L,l)=\sup_{x\in W_0}|L(x)|,$$
где $W_0=\{x\in W:lx=0\}$, причем среди наилучших методов существует линейный $\biggl(\mbox{т.~е. имеющий вид }T(lx)=\displaystyle\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)\biggr)$.

Эта задача, а также задача минимизации величины $r(L,l)$ за счет выбора функционалов $l_1,\ldots,l_n$ из некоторого множества рассматривались в работах \cite{3,4,5,6,7,8,9}.

В работе \cite{10} после обобщения данной постановки и соответствующих результатов на комплексный случай рассматривалась задача приближения аналитических функций по точным значениям в конечном числе точек.

В силу того, что в задачах приближения функционалы $l_1,\ldots,l_n$ часто бывают известны с погрешностью, в работе \cite{11} было предложено рассматривать задачу приближения функционала $L$ по значениям $\widetilde l_1,\ldots,\widetilde l_n$ таким, что $\widetilde l_i(x)=l_i(x)+\rho_i(x)$, где при всех $x\in W$ для $\rho(x)=(\rho_1(x),\ldots,\rho_n(x))$ справедливо неравенство $\|\rho(x)\|\le\delta$, а $\|\cdot\|$ --- какая-либо норма в $\mathbb R^n$. Погрешностью наилучшего приближения в этом случае называлась величина
\begin{equation}\label{01}
r(L,l,\delta)=\infp_T\sup_{x\in W}\sup_{\|\rho\|\le\delta}|L(x)-T(\widetilde lx)|,
\end{equation}
а наилучшим методом --- метод, на котором достигается нижняя грань в равенстве \eqref{01}.

Дальнейшее обобщение на бесконечномерный случай, а также многочисленные примеры применения данных задач к конкретным классам функций можно найти в работах \cite{12,13,14} (см. также \cite{15}, \cite{16}).

Сформулируем теперь результат, вытекающий из работ \cite{10,11,12}.

\newtheorem*{A}{Теорема~A}

\begin{A}\it
Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на вещественном $($комплексном$)$ линейном пространстве $X$. Множество $W\subset X$ является выпуклым и центрально-симметричным с центром симметрии $0$ $($выпуклым и круговым$)$. Тогда при всех $\delta\ge0$:

$1)$ справедливо равенство
$$r(L,l,\delta)=\sup_{x\in W_\delta}|L(x)|,$$
где $W_\delta=\{x\in W:\|lx\|\le\delta\}$, причем среди наилучших методов приближения
существует линейный, т.~е. имеющий вид
\begin{equation}\label{02}
L(x)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\widetilde l_j(x);
\end{equation}

$2)$ если функция $\displaystyle\varphi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{x\in A_j(\varepsilon,\delta)}\RE L(x)$ $($и $\displaystyle\psi_j(\varepsilon,\delta)=\varphi_j(i\varepsilon,\delta)$$)$, где $A_j(\varepsilon,\delta)=\{x\in W:\IM L(x)=0,\ \|lx-\varepsilon e_j\|\le\delta\|\}$, $\{e_j\}=\begin{cases}0,&j\ne k,\\
1,&j=k,\end{cases}$ дифференцируема в нуле по $\varepsilon$, то коэффициент $D_j(\delta)$ в линейном наилучшем методе \eqref{02} определен однозначно: $D_j(\delta)=\dfrac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}$ $\biggl( D_j(\delta)=\dfrac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}-
i\dfrac{\partial\psi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}\biggr)$;

$3)$ имеет место соотношение
\begin{equation}\label{03}
r(L,l,\delta)=\min_{D_j\in\mathbb R(\mathbb C)}\biggl\{\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)\biggr|+\delta\|D\|_*\biggr\},
\end{equation}
где
$$\|D\|_*=\sup_{\substack{y\in\mathbb R^n(\mathbb C^n)\\\|y\|\le1}}\biggl|\sum_{j=1}^nD_jy_j\biggr|,$$
а метод \eqref{02} является наилучшим тогда и только тогда, когда $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ минимизируют правую часть равенства \eqref{03}.
\end{A}

Для задач приближения по функционалам $l_1,\ldots,l_n$, заданным с погрешностью, характерен случай, когда информация о некоторых функционалах является лишней. Можно рассмотреть задачу приближения функционала $L$ по приближенным значениям некоторой подсистемы функционалов $l_\tau=(l_{i_1},\ldots,l_{i_k})$, $\tau=(i_1,\ldots,i_k)$, назвав погрешностью наилучшего приближения величину
$$r(L,l_\tau,\delta)=\infp_T\sup_{x\in W\vphantom{\|\rho\|}}\sup_{\|\rho\|\le\delta}|L(x)-T(P_\tau\widetilde lx)|,$$
где $T\colon\mathbb R^k\to\mathbb R$, а $P_\tau\widetilde lx=(\widetilde l_{i_1},\ldots,\widetilde l_{i_k})$. Для погрешности наилучшего приближения по подсистеме $l_\tau$ выполнено очевидное неравенство
\begin{equation}\label{04}
r(L,l_\tau,\delta)\ge r(L,l,\delta).
\end{equation}

В работе \cite{17} было введено понятие порядка информативности системы $\In(l_1,\ldots,l_n,\delta)$ как наименьшего числа функционалов в подсистемах, для которых соотношение \eqref{04} обращается в равенство. Подсистемы, обладающие этим свойством, число функционалов в которых равнялось порядку информативности, назывались полными информативными системами. Работа \cite{17} была посвящена исследованию этих понятий для случая, когда $X$ --- гильбертово пространство.

Эффект ``лишней информации'' был отмечен также в работе \cite{18}, в которой изучалась задача наилучшей интерполяции на классе гладких функций по неточным данным. Результаты этой работы и результаты, полученные в данной статье, несмотря на различия исследуемых классов функций, аналогичны. Аналогия между задачами приближения по точным данным на классах гладких функций, где существенную роль играют идеальные сплайны, и задачами приближения на классах аналитических функций, где соответствующую роль играют произведения Бляшке, отмечалась в работе  \cite{14}. Оказывается, что эта аналогия сохраняется и в случае приближения по неточным данным.

Следует отметить, что ситуация, когда информация о некоторых из функционалов не уменьшает погрешности наилучшего приближения, имеет место и для приближения по точным данным, хотя, видимо, не столь характерна, как в случае приближения по неточным данным. Так, например, если через $W^{(2n)}(M;a,b)$ обозначить класс функций, определенных на отрезке $[a,b]$ и удовлетворяющих неравенству $|f^{(2n)}(x)|\le M$, $x\in[a,b]$, то наилучшим методом приближения функционала $\displaystyle L(f)=\int_a^bf(x)p(x)\,dx$, $p(x)>0$, по точным значениям $f(x_1),f'(x_1),\ldots,f(x_n),f'(x_n)$ является проинтегрированная интерполяционная формула Эрмита
\begin{equation}\label{05}
\int_a^bf(x)p(x)\,dx\approx\sum_{j=1}^nC_jf(x_j)+\sum_{j=1}^nD_jf'(x_j)
\end{equation}
с погрешностью
$$r(x_1,\ldots,x_n)=\frac M{(2n)!}\int_a^b\prod_{j=1}^n(x-x_j)^2p(x)\,dx.$$
Этот результат нетрудно получить, используя метод, описанный в работе \cite{11} (коэффициенты $C_j$ и $D_j$ легко выписываются в явном виде).

Если теперь рассмотреть оптимальную квадратурную формулу (оптимальным называют метод, погрешность которого минимизирована за счет выбора узлов), то коэффициенты $D_j$ обратятся в нуль, и в полученной формуле, являющейся квадратурной формулой Гаусса, информация о значениях $f'(x_1^0),\ldots,f'(x_n^0)$ учитываться не будет. Интересно, что аналогичная ситуация возникает при построении оптимальной квадратурной формулы на классе аналитических функций (см. \cite{5}).

Рассмотрим постановку задачи, которая будет исследоваться в данной работе. Пусть $B$ --- класс аналитических в единичном круге $K=\{z:|z|<1\}$ функций, удовлетворяющих условию $|f(z)|\le1$, $z\in K$. Положим в \eqref{01} $W=B$, $L(f)=f(z_0)$, $l_j(f)=f(z_j)$, $j=1,\ldots,n$, где $z_0\in K$, $z_1,\ldots,z_n$ --- различные точки из круга $K$, а $\displaystyle\|\rho\|=\max_j|\rho_j|$. Погрешность наилучшего приближения в силу этого будем обозначать через $r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$. Требуется найти величину $r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$, наилучший метод приближения, порядок информативности системы $f(z_1),\ldots,f(z_n)$, который будем обозначать через $\In(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$, и полные информативные системы (узлы). Будем рассматривать поставленную задачу для случая, когда точки $z_0,z_1,\ldots,z_n$ лежат на вещественной оси.

В сформулированной задаче большую роль играет обобщенная экстремальная задача Хейнса--Уолша (см. \cite{19}) о нахождении величины
\begin{equation}\label{06}
\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta<1,\ z\in E}}|f(z_0)|.
\end{equation}

\newtheorem*{B}{Теорема~B}

\begin{B}\it
Пусть $E\subset(-1,1)$ --- замкнутое множество. При $\delta>0$ экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06}, где $z_0\in(-1,1)\setminus E$, единственна с точностью до множителя $e^{i\alpha}$, $\alpha\in\mathbb R$, и имеет вид
$$f^*(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1).$$
При этом существует множество $D_N=\{z_1,\ldots,z_N\}$, $z_j\in E$, такое, что $|f(z)|=\delta$, $z\in D_N$, и решение задачи \eqref{06} на множестве $E$ совпадает с решением на множестве $D_N$.
\end{B}

\begin{proof}
Из теоремы~4.7 работы \cite{19} следует, что экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06} единственна с точностью до множителя $e^{i\alpha}$ и имеет вид
$$f^*(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov \alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1.$$
Существование множества $D_N$ вытекает из теоремы~6.1 той же работы. Остается доказать вещественность нулей $f^*(z)$. Рассмотрим функцию
$$g(z)=\prod_{\substack{j=1\\j\ne k}}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov \alpha_jz}\cdot\frac{z-\ov\alpha_k}{1-\alpha_kz}.$$
Из очевидного равенства при $z\in(-1,1)$
$$\left|\frac{z-\ov\alpha_k}{1-\alpha_kz}\right|=\left|\frac{z-\alpha_k}{1-\ov\alpha_kz}\right|$$
следует, что $g(z)$ также является экстремальной функцией в задаче \eqref{06}. Таким образом, при некотором $\beta\in\mathbb R$ должно выполняться равенство $e^{i\beta}g(z)=f^*(z)$, из которого следует, что $\alpha_k=\ov\alpha_k$. Теорема доказана.
\end{proof}

\refstepcounter{section}
\section*{\S\arabic{section}. Погрешность наилучшего приближения и порядок информативности}

Докажем сначала несколько вспомогательных утверждений.

\begin{lemma}\label{L11}
Положим
$$B_1(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^n\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\ |\alpha_j|<1,\quad B_2(z)=e^{i\beta}\prod_{j=1}^k\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},\ |\beta_j|<1.$$
Пусть разность $\Phi(z)=B_1(z)-B_2(z)$ обращается в нуль в $l$ точках на единичной окружности $|z|=1$. Тогда если $B_1(z)\not\equiv B_2(z)$, то число нулей $m$ $($с учетом кратности$)$ функции $\Phi(z)$ в круге $K=\{z:|z|<1\}$ удовлетворяет неравенству
\begin{equation}\label{11}
m\le\frac{n+k-l}2.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Нетрудно видеть, что
$$\Phi(z)=p(z)\biggl[\prod_{j=1}^n(1-\ov\alpha_jz)\prod_{j=1}^k(1-\ov\beta_jz)\biggr]^{-1},$$
где
$$p(z)=e^{i\alpha}\prod_{j=1}^n(z-\alpha_j)\prod_{j=1}^k(1-\ov\beta_jz)-e^{i\beta}\prod_{j=1}^k
(z-\beta_j)\prod_{j=1}^n(1-\ov\alpha_jz).$$
При всех $z\ne0$ имеем
\begin{equation}\label{12}
\ov{p\left(\frac1{\ov z}\right)}=-e^{-i(\alpha+\beta)}p(z)z^{-(n+k)}.
\end{equation}
В силу того, что $p(z)$ является многочленом степени не выше $n+k$, справедливо представление
$$p(z)=Cz^p\prod_{j=1}^s(z-a_j)^{k_j},\quad p+\sum_{j=1}^sk_j\le n+k,$$
где $a_1,\ldots,a_s$ различны и не равны нулю. Из равенства \eqref{12} имеем
$$\ov Cz^{-p}\prod_{j=1}^s\left(\frac1z-\ov a_j\right)^{k_j}=-e^{-i(\alpha+\beta)}z^{-(n+k)}Cz^p\prod_{j=1}^s(z-a_j)^{k_j}.$$
Отсюда получаем
$$z^{n+k}\prod_{j=1}^s\left(z-\frac1{\ov a_j}\right)^{k_j}=z^{2p+\sum\limits_{j=1}^sk_j}\prod_{j=1}^s(z-a_j)^{k_j}.$$
Следовательно, $n+k=2p+\sum\limits_{j=1}^sk_j$ и, если $a_j$ --- корень $p(z)$ кратности $k_j$, то $\ov a_j^{\,-1}$ также корень кратности $k_j$. Пусть $r$ --- число нулей функции $\Phi(z)$, а следовательно, и функции $p(z)$, лежащих в круге $K$ и отличных от нуля. Тогда
$$p+2r+l\le p+\sum_{j=1}^sk_j=n+k-p.$$
Из последнего соотношения, учитывая, что общее число нулей в круге $K$ равно $p+r$, получаем неравенство \eqref{11}. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L12}
Пусть $-1<a_1<b_1<a_2<b_2<a_3<b_3<1$, $z_0\in(b_2,a_3)$ и $f(z)=\dfrac{z-\alpha_1}{1-\alpha_1z}\cdot\dfrac{z-\alpha_2}{1-\alpha_2z}$, где $b_1<\alpha_1\le\alpha_2<a_2$. Тогда существует функция $g(z)\in B$, удовлетворяющая неравенствам
\begin{equation}\label{13}
|g(z)|\le|f(z)|,\ z\in[a_i,b_i],\ i=1,2,3,\quad|g(z_0)|>|f(z_0)|.
\end{equation}
При $b_2<\alpha_1\le\alpha_2<a_3$ и $z_0\in(b_1,a_2)$ также существует функция $g(z)\in B$,
удовлетворяющая неравенствам \eqref{13}.
\end{lemma}

\begin{proof}
Рассмотрим сначала случай, когда $b_1<\alpha_1<\alpha_2<a_2$ и $z_0\in(b_2,a_3)$. Положим $z_1=b_2$, $z_2=a_3$,
$$A_i=f(z_i),\quad A_i(\beta)=A_i\frac{1-\beta z_i}{\beta-z_i},\quad i=1,2.$$
Покажем, что при $\beta$, достаточно близких к единице, существуют $\gamma_1$, $\gamma_2$, близкие к $\alpha_1$, $\alpha_2$, такие, что
\begin{equation}\label{14}
\frac{z_i-\gamma_1}{1-\gamma_1z_i}\cdot\frac{z_i-\gamma_2}{1-\gamma_2z_i}=A_i(\beta),\quad i=1,2.
\end{equation}
Равенства \eqref{14} эквивалентны системе
$$z_i\left[A_i(\beta)-1\right]p+\left[1-A_i(\beta)z_i^2\right]q=A_i(\beta)-z_i^2,\quad i=1,2,$$
где $p=\gamma_1+\gamma_2$, $q=\gamma_1\gamma_2$. Можно убедиться, что определитель этой системы при $\beta\to1$ стремится к величине, отличной от нуля. Следовательно, при $\beta$, достаточно близких к единице, значения $p$ и $q$ будут определены и близки к значениям $\alpha_1+\alpha_2$ и $\alpha_1\alpha_2$. В силу того, что $\alpha_1\ne\alpha_2$, при $\beta$, достаточно близких к единице, $p^2-4q>0$. Таким образом, $\gamma_1$, $\gamma_2$ будут вещественны и близки к $\alpha_1$, $\alpha_2$. Выберем $\beta\in(b_3,1)$ так, чтобы $\gamma_1,\gamma_2\in(b_1,a_2)$.

Рассмотрим теперь функцию
$$g(z)=\frac{z-\gamma_1}{1-\gamma_1z}\cdot\frac{z-\gamma_2}{1-\gamma_2z}\cdot\frac{\beta-z}{1-
\beta z}.$$
Вследствие выбора $\gamma_1$, $\gamma_2$ разность $g(z)-f(z)$ обращается в нуль при $z=b_2,a_3,-1$. Из леммы~\ref{L11} следует, что в круге $K$ у этой разности лишь два корня $b_2$ и $a_3$ (оба кратности единица). Следовательно, $g(z)-f(z)\le0$ при $z\in[a_i,b_i]$, $i=1,2,3$, и $g(z)-f(z)>0$ при $z\in(b_2,a_3)$. Из того, что $\gamma_1,\gamma_2\in(b_1,a_2)$, а $\beta\in(b_3,1)$, вытекает неравенство $g(z)>0$ при $z\in[a_i,b_i]$, $i=1,2,3$. Тем самым неравенства \eqref{13} для функции $g(z)$ доказаны.

Пусть теперь $b_1<\alpha_1=\alpha_2<a_2$, $z_0\in(b_2,a_3)$. Рассмотрим функцию
$$f_1(z)=\frac{f(z)-\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2f(z)}=\frac{z-\wa_1}{1-\wa_1z}\cdot
\frac{z-\wa_2}{1-\wa_2z},$$
где $\wa_1=\dfrac{\alpha_1+\varepsilon}{1+\varepsilon\alpha_1}$, $\wa_2=\dfrac{\alpha_1-\varepsilon}{1-\varepsilon\alpha_1}$. При достаточно малых $\varepsilon>0$ будут выполнены неравенства $b_1<\wa_1<\wa_2<a_2$. Следовательно, найдется функция $g_1(z)\in B$ такая, что
\begin{equation}\label{15}
0<g_1(z)\le f_1(z),\ z\in[a_i,b_i],\ i=1,2,3,\quad g_1(z_0)>f_1(z_0).
\end{equation}
Рассмотрим функцию $g(z)=\dfrac{g_1(z)+\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2g_1(z)}$. Из неравенств \eqref{15} и того, что $f(z)=\dfrac{f_1(z)+\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2f_1(z)}$, следует справедливость неравенств \eqref{15} для функций $g(z)$ и $f(z)$, а тем самым справедливость  соотношений \eqref{13} для рассматриваемого случая.

Пусть $b_2<\alpha_1\le\alpha_2<a_3$, $z_0\in(b_1,a_2)$. Рассматривая отрезки $[-b_i,-a_i]$,
$i=1,2,3$, точку $-z_0\in(-a_2,-b_1)$ и функцию $f_1(z)=\dfrac{z+\alpha_1}{1+\alpha_1z}\cdot\dfrac{z+\alpha_2}{1+\alpha_2z}$, можно построить функцию $g_1(z)\in B$, удовлетворяющую неравенствам\rule{0pt}{8pt}
$$|g_1(z)|\le|f_1(z)|,\ z\in[-b_i,-a_i],\ i=1,2,3,\quad|g_1(-z_0)|>|f_1(-z_0)|.$$
Нетрудно видеть, что функция $g(z)=g_1(-z)$ будет удовлетворять неравенствам \eqref{13}, так как $f(z)=-f_1(-z)$. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L13}
Пусть $-1<a_1<b_1<a_2<b_2<1$, $z_0\in(b_1,a_2)$ и $f(z)=\dfrac{z-\alpha}{1-\alpha z}$, где $\alpha\in(b_1,a_2)$. Тогда существует функция $g(z)\in B$, удовлетворяющая неравенствам
\begin{equation}\label{16}
|g(z)|\le|f(z)|,\ z\in[a_i,b_i],\ i=1,2,\quad|g(z_0)|>|f(z_0)|.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Предположим, что $\alpha\le z_0$. Положим
$$\gamma=\frac{a_2-A}{1-Aa_2},\quad A=\frac{a_2-\alpha}{1-\alpha a_2}\cdot\frac{1-\beta a_2}{\beta-a_2}.$$
В силу того, что $\gamma\to\alpha-0$, если $\beta\to1-0$, можно выбрать $\beta\in(b_2,1)$ так, чтобы $\gamma\in(b_1,\alpha)$. Рассмотрим функцию
$$g(z)=\frac{z-\gamma}{1-\gamma z}\cdot\frac{\beta-z}{1-\beta z}.$$
Вследствие выбора $\gamma$ разность $g(z)-f(z)$ обращается в нуль при $z=a_2,-1$. Из леммы~\ref{L11} следует, что в круге $K$ у этой разности лишь один корень $a_2$. Следовательно, $f(z)-g(z)\ge0$ при $a_2\le z<1$ и $f(z)-g(z)\le0$ при $-1<z\le a_2$. Так как $g(z)>0$ при $z\in(\gamma,b_2)$, имеем
$$|g(z)|\le|f(z)|,\ z\in[a_2,b_2],\quad|g(z_0)|>|f(z_0)|.$$
Неравенство $|g(z)|\le|f(z)|$, $z\in[a_1,b_1]$, следует из того, что $f(z)\le g(z)<0$ при $z\in(-1,b_1]$.

Случай $\alpha>z_0$ рассматривается путем перехода к отрезкам $[-b_i,-a_i]$, $i=1,2$, аналогично тому, как это было сделано при доказательстве леммы~\ref{L12}. Лемма доказана.
\end{proof}

Обозначим через $B_0$ класс функций из $B$, вещественных на интервале $(-1,1)$.

\begin{lemma}\label{L14}
Пусть $-1=z_0<z_1<\ldots<z_n<z_{n+1}=1$.

$1)$ Если функция $f(z)\in B_0$, удовлетворяющая условиям
\begin{equation}\label{17}
f(z_j)=\delta_j^{(0)},\quad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
единственна, то она имеет вид
$$f(z)=\lambda\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1,$$
где $k<n$, а $\lambda=1$ или $-1$.

$2)$ Если множество функций из $B_0$, удовлетворяющих условиям \eqref{17}, содержит более одной функции, то оно содержит функцию вида
\begin{equation}\label{18}
g_0(z)=(-1)^{n+p}\prod_{j=1}^n\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1,\quad0\le p\le n,
\end{equation}
которая может быть получена из рекуррентных соотношений
\begin{equation}\label{19}
g_{m-1}(z)=\left[\frac{z-z_m}{1-z_mz}g_m(z)+\delta_m^{(m-1)}\right]
\left[1+\delta_m^{(m-1)}\frac{z-z_m}{1-z_mz}g_m(z)\right]^{-1},
\end{equation}
где $g_n(z)=(-1)^{n+p}$,
$$\delta_k^{(m)}=\frac{1-z_mz_k}{z_k-z_m}\cdot\frac{\delta_k^{(m-1)}-\delta_m^{(m-1)}}
{1-\delta_m^{(m-1)}\delta_k^{(m-1)}},\ k=m+1,\ldots,n,\ m=1,\ldots,n-1.$$

$3)$ Если функция $g_0\in B_0$ имеет вид \eqref{18}, то для любой функции $g(z)\in B_0$, удовлетворяющей условиям
\begin{equation}\label{110}
\begin{gathered}
(-1)^{j+p}[g(z_j)-g_0(z_j)]\le0,\quad j=1,\ldots,p,\\
(-1)^{j+p+1}[g(z_j)-g_0(z_j)]\le0,\quad j=p+1,\ldots,n,
\end{gathered}
\end{equation}
и для любого $z^*\in(z_p,z_{p+1})$ справедливо неравенство
$$g(z^*)\le g_0(z^*).$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Для того чтобы существовала функция $f(z)\in B_0$, удовлетворяющая условиям \eqref{17}, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих двух условий:
\begin{gather}\label{111}
|\delta_1^{(0)}|<1,\ldots,|\delta_k^{(k-1)}|<1,\quad|\delta_{k+1}^{(k)}|=1,\quad \delta_{k+1}^{(k)}=\ldots=\delta_n^{(k)};\\
|\delta_1^{(0)}|<1,\ldots,|\delta_n^{(n-1)}|<1.\label{112}
\end{gather}
В случае выполнения условий \eqref{111} функция $f(z)$ единственна и получается из формул \eqref{19} при $m=1,\ldots,k$, где $g_k(z)=\delta_{k+1}^{(k)}$, а $f(z)=g_0(z)$. В случае выполнения условий \eqref{112} функция $f(z)$ не единственна. Все такие функции и только такие функции получаются из формул \eqref{19}, где $g_n(z)$ --- произвольная функция из $B_0$, а $f(z)=g_0(z)$. Эти утверждения очевидным образом вытекают из соответствующих утверждений для класса $B$ (см.\ \cite[с.~344]{20}).

Для доказательства первых двух пунктов леммы остается доказать, что для функции
$$g(z)=\frac{B_m(z)+\alpha}{1+\alpha B_m(z)},\quad\alpha\in(-1,1),$$
где $B_m(z)\in B_0$ и имеет вид
$$B_m(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},\quad|\beta_j|<1,$$
а $\lambda=1$ или $-1$, справедливо представление
$$g(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\ov\alpha_jz},\quad|\alpha_j|<1.$$
Последнее нетрудно установить, пользуясь равенством $\ov{B_m(1/\ov z)}=B_m^{-1}(z)$.

Пусть существует более одной функции из класса $B_0$,  удовлетворяющей равенствам \eqref{17}. Положим $\varphi(t)=g_0(z^*)$, где $g_0(z^*)$ определяется из равенств \eqref{19} при $g_n(z^*)=t$. Имеем
$$\varphi'(t)=\prod_{j=1}^n\frac{z^*-z_j}{1-z_jz^*}\left[1-\left(\delta_j^{(j-1)}\right)^2\right]
\left[1+\delta_j^{(j-1)}\frac{z^*-z_j}{1-z_jz^*}g_j(z^*)\right]^{-2}.$$
Таким образом, при $z^*\in(z_p,z_{p+1})$ функция $\varphi(t)$ принимает максимальное значение на отрезке $[-1,1]$ в точке $t=(-1)^{n+p}$. Следовательно, среди всех функций из класса $B_0$, удовлетворяющих равенствам \eqref{17} (если существует более одной такой функции), максимальное значение в точке $z^*\in(z_p,z_{p+1})$ принимает функция вида \eqref{18}.

Предположим, что для некоторой функции $g(z)\in B_0$, удовлетворяющей условиям \eqref{110}, где $g_0(z)\in B_0$ и имеет вид \eqref{18}, выполняется неравенство $g(z^*)>g_0(z^*)$. Покажем, что разность $\Phi(z):=g(z)-g_0(z)$ при $z\in(-1,1)$ имеет не менее $n$ нулей. Положим $u_j=z_j$, $j=1,\ldots,p$, $u_{p+1}=z^*$, $u_j=z_{j-1}$, $j=p+2,\ldots,n+1$. Тогда $(-1)^{j+p}\Phi(u_j)\le0$, $j=1,\ldots,n+1$. Если
\begin{equation}\label{113}
\Phi(u_k)\ne0,\quad\Phi(u_{k+1})=\ldots=\Phi(u_{k+s})=0,\quad\Phi(u_{k+s+1})\ne0,
\end{equation}
то $\Phi(u_k)$ и $(-1)^{s+1}\Phi(u_{k+s+1})$ имеют одинаковые знаки. Поэтому число нулей разности $\Phi(z)$ в интервале $(u_k,u_{k+s+1})$ имеет ту же четность, что и число $s+1$. Из \eqref{113} следует, что число нулей в интервале $(u_k,u_{k+s+1})$ есть по крайней мере $s+1$. Если $\Phi(u_1)=\ldots=\Phi(u_{k-1})=0$, $\Phi(u_k)\ne0$ или $\Phi(u_{n-k+2})\ne0$, $\Phi(u_{n-k+3})=\ldots=\Phi(u_{n+1})=0$, то на промежутке $[u_1,u_k)$ или, соответственно, $(u_{n-k+2},u_{n+1}]$ число нулей есть по крайней мере $k-1$. Тем самым доказано, что функция $\Phi(z)$ имеет не менее $n$ нулей в интервале $(-1,1)$.

Если множество функций из класса $B_0$, принимающих в точках $z_j$ значения $g(z_j)$, состоит лишь из одной функции $g(z)$, то, как было показано,
$$g(z)=\lambda\prod_{j=1}^k\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},$$
где $k<n$. Из леммы~\ref{L11} следует, что число нулей функции $\Phi(z)=g(z)-g_0(z)$ в круге $K$ должно быть меньше $n$.

Если множество функций из класса $B_0$, принимающих в точках $z_j$ значения $g(z_j)$, состоит более, чем из одной функции, то в нем содержится функция вида
$$g_1(z)=(-1)^{n+p}\prod_{j=1}^n\frac{z-\beta_j}{1-\ov\beta_jz},$$
для которой $g_1(z^*)\ge g(z^*)>g_0(z^*)$. Следовательно, разность $\Phi_1(z)=g_1(z)-g_0(z)$ имеет не менее $n$ нулей в интервале $(-1,1)$. По лемме~\ref{L11} число нулей функции $\Phi_1(z)$ в круге $K$ меньше $n$ (имеется два корня $z=\pm1$ на окружности $|z|=1$). Полученные противоречия доказывают п.~$3$ леммы. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T11}
Пусть $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$, $E\subset(-1,1)$, $z_0\in(-1,1)\setminus E$ и $z_1<\ldots<z_n$. Функция
$$f^*(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1),$$
нормированная условием $f^*(z_0)>0$, является экстремальной в задаче \eqref{06} тогда и только тогда, когда при всех $z\in E$ выполнено неравенство $|f^*(z)|\le\delta$ и найдутся точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ такие, что
\begin{equation}\label{114}
f^*(z_{i_k})=\begin{cases}(-1)^{p+k}\delta,&k=1,\ldots,p,\\
(-1)^{p+k+1}\delta,&k=p+1,\ldots,m,\end{cases}
\end{equation}
где $p$ таково, что $z_0\in(z_{i_p},z_{i_{p+1}})$, а $\lambda=(-1)^{m+p}$; здесь $z_{i_0}=-1$, $z_{i_{m+1}}=1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $f^*(z)$ --- экстремальная функция в задаче \eqref{06}, нормированная условием $f^*(z_0)>0$. При $\delta=0$ утверждение теоремы следует из равенства
$$f^*(z)=(-1)^{n+p}\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-z_jz}$$
(см.\ \cite{10}), где $p$ таково, что $z_0\in(z_p,z_{p+1})$. Пусть $0<\delta<1$. Из теоремы~В следует, что найдутся такие точки $u_1<\ldots<u_N$, $u_j\in E$, для которых $|f^*(u_j)|=\delta$, $j=1,\ldots,N$, и решения задачи \eqref{06} на множествах $E$ и $D=\{u_1,\ldots,u_N\}$ совпадают. Положим $u_0=-1$, $u_{N+1}=l$. Пусть $s$ таково, что $z_0\in(u_s,u_{s+1})$. Покажем, что $f^*(z)$ не имеет нулей при $z\in(u_s,u_{s+1})$. Пусть при некотором $j$ \ $\alpha_j\in(u_s,u_{s+1})$. Введем обозначения
\begin{gather*}
a_1=\left[\min(u_1,z_0,\alpha_j)-1\right]/2,\quad b_1=\left[\max(z_0,\alpha_j)+\max(u_s,a_1)\right]/2,\\
b_2=\left[\max(u_N,z_0,\alpha_j)+1\right]/2,\quad a_2=\left[\max(z_0,\alpha_j)+\min(u_{s+1},b_2)\right]/2.
\end{gather*}
Поскольку $D\subset[a_1,b_1]\cup[a_2,b_2]$ и $\alpha_j,z_0\in(b_1,a_2)$, то в силу леммы~\ref{L13} найдется функция $g(z)\in B$ такая, что
\begin{equation}\label{115}
|g(z)|\le\left|\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right|,\ z\in D,\quad|g(z_0)|>\left|\frac{z_0-\alpha_j}{1-\alpha_jz_0}\right|.
\end{equation}

Рассмотрим функцию
$$f_1(z)=g(z)\prod_{\substack{i=1\\i\ne j}}^m\frac{z-\alpha_i}{1-\alpha_iz}.$$
Из \eqref{115} имеем
\begin{equation}\label{116}
|f_1(z)|\le\delta,\ z\in D,\quad|f_1(z_0)|>|f^*(z_0)|,
\end{equation}
т.е.\ $f^*(z)$ не является экстремальной функцией. Полученное противоречие показывает, что в интервале $(u_s,u_{s+1})$ нет нулей функции $f^*(z)$.

Покажем теперь, что между любыми двумя нулями функции $f^*(z)$ найдется по крайней мере одна точка из множества $D$. Пусть $\alpha_i\le\alpha_j$ и в интервале $(\alpha_i,\alpha_j)$ нет точек множества $D$. Тогда найдется $k$, $0\le k\le N$, такое, что $u_k<\alpha_i\le\alpha_j<u_{k+1}$. Очевидно, что $k\ne s$, так как  на интервале $(u_s,u_{s+1})$ нет нулей функции $f^*(z)$. Пусть $k<s$. Положим
\begin{gather*}
a_1=\left(\min(u_1,\alpha_i)-1\right)/2,\quad b_1=\left(\max(u_k,a_1)+\alpha_i\right)/2,\\
a_2=(\alpha_j+u_{k+1})/2,\quad b_2=(u_s+z_0)/2,\\
b_3=\left(\max(u_N,z_0)+1\right)/2,\quad a_3=\left(z_0+\min(u_{s+1},b_3\right)/2.
\end{gather*}
Тогда $D\subset[a_1,b_1]\cup[a_2,b_2]\cup[a_3,b_3]$, $\alpha_i,\alpha_j\in(b_1,a_2)$, а $z_0\in(b_2,a_3)$. По лемме~\ref{L12} найдется функция $g(z)\in B$ такая, что
$$|g(z)|\le\left|\frac{z-\alpha_i}{1-\alpha_iz}\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right|,\ z\in D,\quad|g(z_0)|>\left|\frac{z_0-\alpha_i}{1-\alpha_iz_0}\frac{z_0-\alpha_j}
{1-\alpha_jz_0}\right|.$$
Положим
$$f_1(z)=g(z)\prod_{\substack{r=1\\r\ne i,j}}^m\frac{z-\alpha_r}{1-\alpha_rz}.$$
Для функции $f_1(z)$ выполнены неравенства \eqref{116}, что противоречит экстремальности $f^*(z)$. Аналогично рассматривается случай $k>s$.

Итак, доказано, что все нули функции $f^*(z)$ простые и между любыми двумя найдется хотя бы одна точка множества $D$.

Пусть нули функции $f^*(z)$ упорядочены по возрастанию: $\alpha_1<\ldots<\alpha_m$ и $z_0\in(\alpha_p,\alpha_{p+1})$, $0\le p\le m$ ($\alpha_0=-1$, $\alpha_{m+1}=1$). Поскольку в интервале $(u_s,u_{s+1})$ нет нулей функции $f^*(z)$, то $\alpha_p\le u_s<z_0<u_{s+1}\le\alpha_{p+1}$. Положим $z_{i_p}=u_s$, $z_{i_{p+1}}=u_{s+1}$. В каждом интервале $(\alpha_k,\alpha_{k+1})$, $k=1,\ldots,p-1$, $(\alpha_{k-1},\alpha_k)$, $k=p+2,\ldots,m$, найдется точка $z_{i_k}\in D$. Нетрудно видеть, что в точках $z_{i_1},\ldots,z_{i_m}$ будут выполнены равенства \eqref{114}. Равенство $\lambda=(-1)^{m+p}$ вытекает из нормировки $f^*(z_0)>0$.

Пусть есть функция
$$f^*(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz}$$
такая, что $|f^*(z)|\le\delta$, $z\in E$, и существуют точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$, $z_{i_k}\in E$, удовлетворяющие условию \eqref{114}, причем $\lambda=(-1)^{m+p}$. Из теоремы~B следует, что в задаче о нахождении величины
\begin{equation}\label{117}
R=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z_{i_k})|\le\delta,\ k=1,\ldots,m}}|f(z_0)|
\end{equation}
существует экстремальная функция из класса $B_0$. Таким образом, из п.~3 леммы~\ref{L14} вытекает, что $f^*(z)$ является экстремальной функцией в задаче \eqref{117}. В силу очевидного неравенства
$$R\ge\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in E}}|f(z_0)|$$
и того, что $|f^*(z)|\le\delta$, $z\in E$, функция $f^*(z)$ является экстремальной и в задаче \eqref{06}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T12}
Пусть $z_1,\ldots,z_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$, $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$ и $z_0\in(-1,1)$. Для порядка информативности справедливо равенство
\begin{equation}\label{118}
\In(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\begin{cases}0&\mbox{при }\delta\ge1,\\
1&\mbox{при }0\le\delta<1,\ z_0\in E,\\
m&\mbox{при }0\le\delta<1,\ z_0\notin E,\end{cases}
\end{equation}
где $m$ --- число листов многолистного круга, на который экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06} отображает единичный круг $K$.

При $0\le\delta<1$ и $z_0=z_k$, $1\le k\le n$, единственной полной информативной системой является система из одной точки $z_k$. При $0\le\delta<1$ и $z_0\notin E$ точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ являются полной информативной системой тогда и только тогда, когда для экстремальной функции $f^*(z)$, нормированной условием $f^*(z)>0$, выполняется равенство \eqref{114}, где $z_0\in(z_{i_p},z_{i_{p+1}})$ $(z_{i_0}=-1$, $z_{i_{m+1}}=1)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Из теоремы~А следует равенство
\begin{equation}\label{119}
r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\sup_{\substack{f\in B\\|f(z)|\le\delta,\ z\in E}}|f(z_0)|.
\end{equation}
При $\delta\ge1$ \ $r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=1$ и утверждение теоремы очевидно. Пусть $0\le\delta<1$ и $z_0=z_k$, $1\le k\le n$. Из равенства \eqref{119} следует, что
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=r(z_0,z_k,\delta)=\delta.$$
С другой стороны, при $l\ne k$ функция
$$f(z)=\frac{\delta+W(z)}{1+\delta W(z)},\mbox{ где }W(z)=\frac{z-z_l}{1-z_lz}\sign\frac{z_0-z_l}{1-z_lz_0}$$
принадлежит классу $B$ и удовлетворяет условию $f(z_l)=\delta$. Следовательно,
$$r(z_0,z_l,\delta)\ge f(z_0)>\delta.$$
Пусть теперь $0\le\delta<1$, $z_0\notin E$, a $m$ — число листов многолистного круга, на который экстремальная функция $f^*(z)$ в задаче \eqref{06} отображает единичный круг. По теореме~\ref{T11} найдутся точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ такие, что решения задачи \eqref{06} на множествах $E$ и $E_1=\{z_{i_1},\ldots,z_{i_m}\}$ совпадают. Таким образом,
$$r(z_0,z_{i_1},\ldots,z_{i_m},\delta)=r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta).$$
Для любых узлов $z_{j_1},\ldots,z_{j_k}$, $k<m$, из теоремы~\ref{T11} имеем
$$r(z_0,z_{j_1},\ldots,z_{j_k},\delta)=\prod_{j=1}^l\left|\frac{z_0-\beta_j}
{1-\beta_jz_0}\right|,$$
где $l\le k$. В силу единственности экстремальной функции с точностью до множителя $e^{i\alpha}$ имеем
$$r(z_0,z_{j_1},\ldots,z_{j_k},\delta)>r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta).$$
Тем самым равенство \eqref{118} доказано.

Система $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ является полной информативной системой тогда и только тогда, когда решения задачи \eqref{06} на множествах $E$ и $E_1$ совпадают. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда для точек $z_{i_1},\ldots,z_{i_m}$ и экстремальной функции $f^*(z)$, нормированной условием $f^*(z)>0$, справедливы равенства \eqref{114}. Теорема доказана.
\end{proof}

\section{Наилучший метод приближения}

Задача построения линейного наилучшего метода приближения значения $f(z_0)$ по значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$, заданным с погрешностью $\delta$, на классе функций $B$ эквивалентна соответствующей задаче на классе $B_0$ в силу следующей теоремы.

\begin{theorem}\label{T21}
Если точки $z_0,z_1,\ldots,z_n$ лежат в интервале $(-1,1)$, то метод
\begin{equation}\label{21}
f(z_0)\approx\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\widetilde f(z_j)
\end{equation}
является наилучшим методом приближения значения $f(z_0)$ no значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$,
заданным с погрешностью $\delta$, на классе $B$ тогда и только тогда, когда он является наилучшим методом для соответствующей задачи на классе $B_0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Обозначим погрешность наилучшего приближения на классе $B_0$ через $r_0(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)$. В силу теоремы~B существует экстремальная функция в задаче \eqref{06}, принадлежащая классу $B_0$. Из теоремы~A имеем
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=r_0(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=R;$$
кроме того, из той же теоремы следует, что
\begin{equation}\label{22}
\min_{C_j\in S}\biggl[\sup_{f\in H}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nC_jf(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|C_j|\biggr]=R
\end{equation}
для $H=B$, $S=\mathbb C$ и $H=B_0$, $S=\mathbb R$; причем метод \eqref{21} является наилучшим
для соответствующего класса тогда и только тогда, когда коэффициенты $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ минимизируют левую часть равенства \eqref{22}.

Пусть метод \eqref{21} является наилучшим на классе $B$. Тогда справедливы соотношения
\begin{multline}\label{23}
R=\sup_{f\in B}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|D_j(\delta)|\\
\ge\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^n\RE D_j(\delta)f(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|\RE D_j(\delta)|.
\end{multline}
Если хотя бы для одного коэффициента $\IM D_j(\delta)\ne0$, то неравенство в
соотношении \eqref{23} строгое, чего не может быть в силу равенств \eqref{22}. Таким образом, все коэффициенты $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ вещественны и метод \eqref{21} является наилучшим методом на классе $B_0$.

Пусть теперь метод \eqref{21} наилучший на классе $B_0$, т.~е.\ справедливо равенство
$$\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|+\delta\sum_{j=1}^n|D_j(\delta)|=R$$
и $D_1(\delta),\ldots,D_n(\delta)$ вещественны. Если доказать равенство
\begin{equation}\label{24}
\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|=\sup_{f\in B}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|,
\end{equation}
то отсюда будет следовать, что метод \eqref{21} является наилучшим на классе $B$. В силу включения $B_0\subset B$ достаточно доказать неравенство
\begin{equation}\label{25}
\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|\ge\sup_{f\in B}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|.
\end{equation}
Пусть $f(z)\in B$. Положим $\alpha=\arg\biggl[f(z_0)-\sum\limits_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr]$ и рассмотрим функции $f^*(z)=e^{-i\alpha}f(z)$, $f_1(z)=\left[f^*(z)+\ov{f^*(\ov z)}\right]\Big/\big/2$. Очевидно, что $f_1(z)\in B_0$.
Из равенств
\begin{multline*}
\biggl|f_1(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f_1(z_j)\biggr|=\frac12\biggl|f^*(z_0)-\sum_{j=1}^n
D_j(\delta)f^*(z_j)\\
+\ov{f^*(z_0)}-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\ov{f^*(z_j)}\biggr|=\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^n
D_j(\delta)f(z_j)\biggr|
\end{multline*}
при всех $f\in B$ имеем
$$\sup_{f\in B_0}\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|\ge
\biggl|f(z_0)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)f(z_j)\biggr|.$$
Отсюда следует неравенство \eqref{25}. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T22}
Пусть $z_{i_1}<\ldots<z_{i_m}$ --- полная информативная система на множестве $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$, $E\subset(-1,1)$, для задачи наилучшего приближения на классе $B$ величины $f(z_0)$ по значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$, заданным с погрешностью $\delta<1$. Тогда метод
\begin{equation}\label{26}
f(z_0)\approx\sum_{j=1}^m\frac{\omega_j(z_0)}{\omega_j(z_{i_j})}\left[1-W_j^2(z_0)\right]
\frac{q_{j0}^2(z_{i_j},\delta)}{q_{j0}^2(z_0,\delta)}\widetilde f(z_{i_j})
\end{equation}
является наилучшим методом. Если в задаче \eqref{06} существует экстремальная функция $f^*(z)$ такая, что $|f^*(z)|<\delta$ при $z\in E\{z_{i_1},\ldots,z_{i_m}\}$, то метод \eqref{26} является единственным линейным наилучшим методом. В частности, так будет, если $m=n$ или $z_0\in E$.

Для погрешности наилучшего метода имеют место равенства
\begin{equation}\label{27}
r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=\frac{p_{10}(z_0,\delta)}{q_{10}(z_0,\delta)}=\ldots=
\frac{p_{m0}(z_0,\delta)}{q_{m0}(z_0,\delta)}.
\end{equation}
Здесь приняты следующие обозначения:
$$\omega_j(z)=\prod_{\substack{k=1\\k\ne j}}^mW_k(z),\quad W_k(z)=\frac{z-z_{i_k}}{1-z_{i_k}z},$$
величины $p_{j0}(z,\delta)$ и $q_{j0}(z,\delta)$ находятся из рекуррентных соотношений
\begin{equation}\label{28}
\begin{gathered}
p_{j,k-1}(z,\delta)=W_{jk}(z)p_{jk}(z,\delta)+\delta_{jk}^{(k-1)}q_{jk}(z,\delta),\\
q_{j,k-1}(z,\delta)=q_{jk}(z,\delta)+\delta_{jk}^{(k-1)}W_{jk}(z)p_{jk}(z,\delta),\quad k=1,\ldots,m,\\
p_{jm}(z,\delta)=\sign\prod_{k=1}^mW_k(z_0),\quad q_{jm}(z,\delta)=1,
\end{gathered}
\end{equation}
где
\begin{gather*}
\delta_{jk}^{(l)}=W_{jl}^{-1}(u_{jk})\frac{\delta_{jk}^{(l-1)}-\delta_{jl}^{(l-1)}}
{1-\delta_{jl}^{(l-1)}\delta_{jk}^{(l-1)}},\quad k=l+1,\ldots,m,\quad l=1,\ldots,m,\\
\delta_{jk}^{(0)},W_{jk},u_{jk}=\begin{cases}\Delta_k,W_k,z_{i_k}&\mbox{при }k\ne j,m,\\
\Delta_m,W_m,z_{i_m}&\mbox{при }k=j,\\
\Delta_j,W_j,z_{i_j}&\mbox{при }k=m,\end{cases}\\
\Delta_l=\delta\sign\frac{\omega_l(z_0)}{\omega_l(z_{i_l})},\quad l=1,\ldots,m.
\end{gather*}
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу теоремы~\ref{T21} достаточно доказать, что метод \eqref{26} является наилучшим для класса $B_0$. При $z_0=z_k$, $1\le k\le n$ из теоремы~\ref{T12} вытекают равенства
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n,\delta)=r(z_0,z_0,\delta)=\delta.$$
Рассмотрим функцию
$$\varphi(\varepsilon,\delta)=\sup_{\substack{f\in B_0\\|f(z_0)-\varepsilon|\le\delta}} f(z_0)=\min\{\delta+\varepsilon,1\}.$$
Вследствие равенства $\partial\varphi(0,\delta)/\partial\varepsilon=1$ из теоремы~A получаем, что метод \eqref{26}, который в данном случае имеет вид $f(z_0)\approx\widetilde f(z_0)$, является наилучшим методом.

Пусть $z_0\notin E$. Тогда найдется такое $p$, $0\le p\le m$, что $z_0\in(z_{i_p},z_{i_{p+1}})$ ($z_{i_0}=-1$, $z_{i_{m+1}}=1$). Рассмотрим функцию
$$\varphi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{f\in A_j(\varepsilon,\delta)}f(z_0),$$
где $A_j(\varepsilon,\delta)=\{f\in B_0:|f(z_{i_k})|\le\delta,\ k\ne j,\ |f(z_{i_j})-\varepsilon|\le\delta\}$. Из теоремы~\ref{T12} следует существование в задаче \eqref{06} экстремальной функции, удовлетворяющей условиям \eqref{114}. В силу п.~1 леммы~\ref{L14} существует более одной функции из класса $B_0$, удовлетворяющей условиям \eqref{114}, которые в принятых обозначениях можно записать в виде $f^*(z_{i_k})=\Delta_k$, $k=1,\ldots,m$. Необходимым и достаточным условием существования более одной функции из класса $B_0$, удовлетворяющей последним равенствам, является положительная определенность матрицы
$$\left\|\frac{1-\Delta_k\Delta_l}{1-z_{i_k}z_{i_l}}\right\|_1^m$$
(см.\ \cite[с.~100, 273]{21}). Из того, что эта матрица будет положительно определенная в некоторой окрестности точки $(\Delta_1,\ldots,\Delta_m)$, следует существование более одной функции из класса $B_0$, удовлетворяющей при достаточно малых $|\varepsilon|$ условиям
$$f(z_{i_k})=\Delta_k,\quad k\ne j,\quad f(z_{i_j})=\Delta_j+\varepsilon.$$

Из леммы~\ref{L14} получаем, что при достаточно малых $|\varepsilon|$ \ $\varphi_j(\varepsilon,\delta)=g_{j0}(z_0,\varepsilon)$, где
\begin{gather*}
g_{j,k-1}(z,\varepsilon)=\left[W_{jk}(z)g_{j,k}(z,\varepsilon)+d_{jk}^{(k-1)}\right]
\left[1+d_{jk}^{(k-1)}W_{jk}(z)g_{j,k}(z,\varepsilon)\right]^{-1},\\
k=1,\ldots,m,\\
g_{j,m}(z,\varepsilon)=(-1)^{m+p}=\sign\prod_{j=1}^mW_k(z_0),\\
d_{jk}^{(l)}=W_{jl}^{-1}(u_{jk})\frac{d_{jk}^{(l-1)}-d_{jl}^{(l-1)}}
{1-d_{jl}^{(l-1)}d_{jk}^{(l-1)}},\quad k=l+1,\ldots,m,\quad l=1,\ldots,m,\\
d_{jk}^{(0)}=\delta_{jk}^{(0)},\quad k=1,\ldots,m-1,\quad d_{jm}^{(0)}=\delta_{jm}^{(0)}+\varepsilon.
\end{gather*}
Введя функции $s_{jk}(z,\delta,\varepsilon)$, $t_{jk}(z,\delta,\varepsilon)$, определенные равенствами
\begin{equation}\label{29}
\begin{gathered}
s_{j,k-1}(z,\delta,\varepsilon)=W_{jk}(z)s_{jk}(z,\delta,\varepsilon)+d_{jk}^{(k-1)}
t_{jk}(z,\delta,\varepsilon),\\
t_{j,k-1}(z,\delta,\varepsilon)=t_{jk}(z,\delta,\varepsilon)+d_{jk}^{(k-1)}W_{jk}(z)
s_{jk}(z,\delta,\varepsilon),\quad k=1,\ldots,m,\\
s_{jm}(z,\delta,\varepsilon)=\sign\prod_{k=1}^mW_k(z_0),\quad t_{jm}(z,\delta,\varepsilon)=1,
\end{gathered}
\end{equation}
можно показать, что
\begin{equation}\label{210}
\varphi_j(\varepsilon,\delta)=\frac{s_{j0}(z_0,\delta,\varepsilon)}
{t_{j0}(z_0,\delta,\varepsilon)}.
\end{equation}

Рассмотрим функции
$$\Phi_j(z,\delta,\varepsilon)=\frac{s_{j0}(z,\delta,\varepsilon)}
{t_{j0}(z,\delta,\varepsilon)}.$$
Из соотношений \eqref{28}, \eqref{29} и равенств
$$s_{jk}(z,\delta,0)=p_{jk}(z,\delta),\quad t_{jk}(z,\delta,0)=q_{jk}(z,\delta),\quad k=0,\ldots,m,$$
учитывая, что $d_{jk}^{(k-1)}$ при $k<m$ не зависят от $\varepsilon$, имеем
$$\frac{\partial\Phi_j(z,\delta,0)}{\partial\varepsilon}=\omega_j(z)\left[1-W_j^2(z)\right]
\frac{\alpha(\delta)}{q_{j0}^2(z,\delta)},$$
где
$$\alpha(\delta)=\frac{\partial d_{jm}^{(m-1)}}{\partial\varepsilon}\bigg|_{\varepsilon=0}
\prod_{k=1}^{m-1}\left[1-\left(\delta_{jk}^{(k-1)}\right)^2\right].$$
В силу равенства $\Phi_j(z_{i_j},\delta,\varepsilon)=\Delta_j+\varepsilon$ получаем
$$\frac{\partial\Phi_j(z_{i_j},\delta,0)}{\partial\varepsilon}=\omega_j(z_{i_j})
\frac{\alpha(\delta)}{q_{j0}^2(z_{i_j},\delta)}=1.$$
Отсюда находится $\alpha(\delta)$. Тем самым
\begin{equation}\label{211}
\frac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}=\frac{\partial\Phi_j(z_0,\delta,0)}
{\partial\varepsilon}=\frac{\omega_j(z_0)}{\omega_j(z_{i_j})}\left[1-W_j^2(z_0)\right]
\frac{q_{j0}^2(z_{i_j},\delta)}{q_{j0}^2(z_0,\delta)}.
\end{equation}
Из теоремы~A следует, что метод \eqref{26} является наилучшим для задачи приближения величины $f(z_0)$ по значениям $f(z_{i_1}),\ldots,f(z_{i_m})$, заданным с погрешностью $\delta$, а вследствие полной информативности системы $z_{i_1},\ldots,z_{i_m}$ и для исходной задачи. Равенства \eqref{27} вытекают из \eqref{210}, теоремы~A и очевидных равенств
$$\varphi_1(0,\delta)=\ldots=\varphi_m(0,\delta).$$

Покажем, что при $z_0=z_k$, $1\le k\le n$, в задаче \eqref{06} найдется экстремальная функция $f^*(z)\in B_0$, для которой будет выполнено неравенство $|f^*(z)|<\delta$, $z\in E\setminus\{z_k\}$. Искомой функцией будет любая функция из класса $B_0$, удовлетворяющая при достаточно малом $\varepsilon>0$ равенствам $f(z_j)=\delta-\varepsilon$, $j\ne k$, $f(z_k)=\delta$. Существование таких функций следует из положительной определенности матрицы
$$\left\|\frac{1-\delta^2}{1-z_iz_j}\right\|_1^n.$$

Предположим, что в задаче \eqref{06} существует экстремальная функция $f^*(z)$, удовлетворяющая условию: $|f^*(z)|<\delta$, $z\in E\setminus\{z_{i_1},\ldots,z_{i_m}\}$. В силу теоремы~B и предыдущих рассуждений можно считать, что $f^*(z)\in B_0$. Рассмотрим функции
$$\psi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{f\in C_j(\varepsilon,\delta)}f(z_0),$$
где $C_j(\varepsilon,\delta)=\{f\in B_0:|f(z_k)|\le\delta,\ k\ne j,\ |f(z_j)-\varepsilon|\le\delta\}$. Пусть $j$ таково, что $z_j\in E\setminus\{z_{i_1},\ldots,z_{i_m}\}$. Тогда при достаточно малых $|\varepsilon|$ \ $\psi_j(\varepsilon,\delta)=|f^*(z_0)|$ и, следовательно,
$$\frac{\partial\psi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}=0.$$
Таким образом, всякий линейный наилучший метод для исходной задачи на классе $B_0$ является линейным наилучшим методом для задачи приближения величины $f(z_0)$ на классе $B_0$ по значениям $f(z_{i_1}),\ldots,f(z_{i_m})$, заданным с погрешностью $\delta$. Последний единствен в силу равенств \eqref{211} и теоремы~A. Единственность для класса $B$ вытекает из теоремы~\ref{T21}. Теорема доказана.
\end{proof}

Существенной частью в построении наилучшего метода приближения является нахождение полной  информативной системы. Из теоремы~\ref{T12} следует, что порядок информативности $\In(u,z_1,\ldots,z_n,\linebreak\delta)$ при фиксированных $z_1<\ldots<z_n$ и $\delta<1$ зависит лишь от того, в какой из интервалов $(-1,z_1),(z_1,z_2),\ldots,(z_n,1)$ попадает значение $u$. Поэтому в дальнейшем удобнее обозначить порядок информативности через $\In_s(z_1,\ldots,z_n,\delta)$ при $z_1<\ldots<z_n$, $u\in(z_s,z_{s+1})$, $0\le s\le n$ ($z_0=-1$, $z_{n+1}=1$). Отметим также, что если $u\in(z_s,z_{s+1})$ и $f^*(z)$ --- экстремальная функция в задаче \eqref{06} при $z_0=u$, нормированная условием $f^*(u)>0$, то точки $z_{i_p}$, $z_{i_{p+1}}$ в равенствах \eqref{114} совпадают с точками $z_s$, $z_{s+1}$ соответственно. Это следует из того, что у функции $[f^*(z)]'$ число нулей в круге $K$ равно $m-1$ (см.\ \cite[теорема~7.2]{19}) и, следовательно, $f^*(z)>\delta$, $z\in(z_{i_p},z_{i_{p+1}})$.

Докажем две леммы, с помощью которых будет описан алгоритм построения полной информативной системы.

\begin{lemma}\label{L21}
Пусть для точек $z_{i_1}<\ldots<z_{i_k}$ из множества $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$ существует функция $f(z)\in B_0$, имеющая вид
$$f(z)=(-1)^{k+s}\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1),$$
и удовлетворяющая равенствам
\begin{equation}\label{212}
f(z_{i_j})=\begin{cases}(-1)^{j+s}\delta,&j=1,\ldots,s,\\
(-1)^{j+s+1}\delta,&j=s+1,\ldots,k,\end{cases}\mbox{ где }i_s=p,\quad i_{s+1}=p+1.
\end{equation}
Тогда
$$\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)\ge k-\nu_p;$$
здесь
$$\nu_p=\begin{cases}0,&\mbox{при }p=0,n,\\
2,&\mbox{при }0<p<n.\end{cases}$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Предположим, что $\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)=m$. Тогда существует функция
$$f^*(z)=\lambda\prod_{j=1}^m\frac{z-\beta_j}{1-\beta_jz},\quad\beta_j\in(-1,1),$$
$\lambda=1$ или $-1$, для которой выполняются неравенства $|f^*(z)|\le\delta$, $z\in E$, $f^*(z)>0$, $z\in(z_p,z_{p+1})$. По теореме~\ref{T11} для функции $f(z)$ также справедливо неравенство
\begin{equation}\label{213}
f(z)>0,\quad z\in(z_p,z_{p+1}).
\end{equation}

Рассмотрим функцию $\Phi(z)=f(z)-f^*(z)$. Имеем
\begin{multline}\label{214}
(-1)^{j+s}\Phi(z_{i_j})\ge0,\ j=1,\ldots,s,\quad(-1)^{j+s+1}\Phi(z_{i_j})\ge0,\\ j=s+1,\ldots,k.
\end{multline}
Предположим, что $\lambda=(-1)^{k+s+1}$. В силу неравенства \eqref{213} $p<n$. Таким образом,
$$(-1)^{k+s+1}\Phi(z_{i_k})\ge0,\quad(-1)^{k+s}\Phi(1)>0.$$
Если $\lambda=(-1)^{k+s}$, а $m$ и $n$ разной четности, то $p>0$ и
$$(-1)^{s+1}\Phi(z_{i_1})\ge0,\quad(-1)^s\Phi(-1)>0.$$
Аналогично тому, как это было сделано при доказательстве леммы~\ref{L14}, можно показать, что в рассматриваемых случаях у функции $\Phi(z)$ число нулей в интервале $(-1,1)$ по крайней мере равно $k-1$, а при $p=0,n$ равно $k$. Из \eqref{11} получаем $m\ge k-2$ и $m\ge k$, если $p=0,n$. В случае $\lambda=(-1)^{k+s}$, а $m$ и $n$ одинаковой четности из \eqref{214} следует, что число нулей у функции $\Phi(z)$ в интервале $(-1,1)$ не менее $k-2$, а при $p=0,n$ --- не менее $k-1$. Учитывая, что $\Phi(\pm1)=0$, из неравенства \eqref{11} получаем утверждение леммы в этом случае. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{L22}
Пусть $\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)=k$. Тогда при $z^*\in(-1,z_1)$, $0<p\le n$ имеют место неравенства
$$k-\nu_p\le\In_{p+1}(z^*,z_1,\ldots,z_n,\delta)\le k+1.$$
Эти же неравенства справедливы для $\In_p(z_1,\ldots,z_n,z^*,\delta)$ при $z^*\in(z_n,1)$, $0\le p<n$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Оценки снизу непосредственно вытекают из леммы~\ref{L21}. Докажем оценки сверху. Пусть $z^*\in(-1,z_1)$ и $p>0$. Предположим, что $\In_{p+1}(z^*,z_1,\ldots,z_n,\delta)=m$. Тогда существует функция
$$f^*(z)=(-1)^{m+s}\prod_{j=1}^m\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1),$$
и точки $u_1<\ldots<u_m$ из множества $\{z^*,z_1,\ldots,z_n\}$ такие, что
$$f^*(u_j)=\begin{cases}(-1)^{j+s}\delta,&j=1,\ldots,s,\\
(-1)^{j+s+1}\delta,&j=s+1,\ldots,m,\end{cases}$$
где $u_s=z_p$, $u_{s+1}=z_{p+1}$. Кроме того, так как $\In_p(z_1,\ldots,z_n\delta)=k$, то существует функция
$$f(z)=\lambda\prod_{j=1}^k\frac{z-\beta_j}{1-\beta_jz},\quad\beta_j\in(-1,1),$$
$\lambda=1$ или $-1$, для которой $|f(z_j)|\le\delta$, $j=1,\ldots,n$, и $f(z)>0$, $z\in(z_p,z_{p+1})$. Для  функции $f(z)$ будут также выполнены неравенства $|f(u_j)|\le\delta$, $j=2,\ldots,m$, $f(u)\ge f^*(u)$, $u\in(z_p,z_{p+1})$. Отсюда следует, что для разности $\Phi(z)=f^*(z)-f(z)$ справедливы соотношения
\begin{equation}\label{215}
\begin{gathered}
(-1)^{j+s}\Phi(u_j)\ge0,\ j=2,\ldots,s,\quad\Phi(u)\le0,\ u\in(z_p,z_{p+1}),\\
(-1)^{j+s+1}\Phi(u_j)\ge0,\ j=s+1,\ldots,m.
\end{gathered}
\end{equation}
Тем самым число нулей функции $\Phi(z)$ на отрезке $[u_2,u_m]$ не менее $m-1$. Из неравенства \eqref{11} имеем оценку $m\le k+2$.

Покажем, что случай $m=k+2$ невозможен. Если $\lambda=(-1)^{m+s+1}$, то $p<n$ и
$$(-1)^{m+s+1}\Phi(u_m)\ge0,\quad(-1)^{m+s}\Phi(1)>0.$$
Последнее соотношение вместе с неравенствами \eqref{215} показывает, что функция $\Phi(z)$ имеет в интервале $(-1,1)$ не менее $m$ нулей, а это противоречит неравенству \eqref{11}. При $\lambda=(-1)^{m+s}$ функция $\Phi(z)$ обращается в нуль в точках $\pm1$, что снова противоречит  неравенству \eqref{11}. Аналогично рассматривается случай, когда $z^*\in(z_n,1)$ и $p<n$. Лемма доказана.
\end{proof}

Из леммы~\ref{L22} вытекает алгоритм построения полной информативной системы. Пусть для точек
$z_r<\ldots<z_p<z_{p+1}<\ldots<z_{p+s}$ уже построена полная информативная система $z_{i_1},\ldots,z_{i_k}$. Если она не остается таковой при добавлении точки $z_{r-1}<z_r$ (или $z_{p+s+1}>z_{p+s}$), то в полную информативную систему на новом множестве будут входить точки $z_{r-1}$ (или $z_{p+s+1}$), $z_p$, $z_{p+1}$. Остальные точки находятся из множества $z_r,\ldots,z_{p-1},z_{p+2},\ldots,z_{p+s}$ перебором по $m$ точкам, где $m=k-2,k-3,k-4,k-5$ при $0<p<n$ и $m=k-1,k-2$ при $p=0,n$, используя следующий факт, вытекающий из теорем~\ref{T11}, \ref{T12}. Точки $z_{i_1},\ldots,z_{i_k}$ являются полной информативной системой при заданных $p$ и $\delta$ на множестве $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$ тогда и только тогда, когда существует более одной функции $f(z)\in B_0$, удовлетворяющей условиям \eqref{212} (что эквивалентно выполнению неравенств вида \eqref{112}), и для функции $g_0(z)$, определенной
равенствами, аналогичными \eqref{19}, справедливо неравенство $|g_0(z)|\le\delta$, $z\in E$.

Для нахождения приближенного значения $f(z_0)$ по значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$, заданным с погрешностью $\delta$, можно воспользоваться методом, являющимся наилучшим при $\delta=0$, построенным в работе \cite{10} (этот метод может быть получен при $\delta=0$ из теоремы~\ref{T22}:
\begin{equation}\label{216}
f(z_0)\approx\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(z_0)}{\omega_j(z_j)}\left[1-W_j^2(z_0)\right]\widetilde f(z_j),
\end{equation}
здесь $W_j(z)=\dfrac{z-z_j}{1-z_jz}$, $\displaystyle\omega_j(z)=\prod_{\substack{k=1\\k\ne j}}^nW_k(z)$. Для погрешности этого метода справедливо равенство
$$r_T(z_0,z_1,\ldots,z_n\delta)=|W(z_0)|+\delta\sum_{j=1}^n\left|\frac{\omega_j(z_0)}
{\omega_j(z_j)}\left[1-W_j^2(z_0)\right]\right|,$$
где $\displaystyle W(z)=\prod_{k=1}^nW_k(z)$.

С помощью равенств \eqref{27}, \eqref{28} можно показать, что для погрешности наилучшего приближения справедливо равенство
$$r(z_0,z_1,\ldots,z_n\delta)=|W(z_0)|+\delta\sum_{j=1}^n\left|\frac{\omega_j(z_0)}
{\omega_j(z_j)}\left[1-W_j^2(z_0)\right]\right|+O(\delta^2).$$
Тем самым метод \eqref{216} дает погрешность, отличающуюся от погрешности наилучшего приближения на величину $O(\delta^2)$.

\section{Зависимость порядка информативности от погрешности задания функции}

Пусть $H$ --- класс функций, аналитических и ограниченных в единичном круге $K$, принимающих вещественные значения на вещественной оси. Положим
$$\|f\|=\sup_{|z|<1}|f(z)|.$$
Известно (см.\ \cite[\S~10.3]{20}), что среди функций из класса $H$, принимающих значения $\delta_1^{(0)},\ldots,\delta_n^{(0)}$ в различных точках $z_1,\ldots,z_n$ из интервала $(-1,1)$, существует единственная функция $f_0(z)$, для которой норма принимает минимальное значение. Величина $M=\|f_0\|$ может быть найдена из определенным образом записанного уравнения
\begin{equation}\label{31}
|\delta_n^{(n-1)}|=M,
\end{equation}
где
\begin{multline*}
\delta_k^{(m)}=M^2\frac{1-z_mz_k}{z_k-z_m}\cdot\frac{\delta_k^{(m-1)}-\delta_m^{(m-1)}}
{M^2-\delta_m^{(m-1)}\delta_k^{(m-1)}},\quad k=m+1,\ldots,n,\\
m=1,\ldots,n-1.
\end{multline*}
Искомое значение $M$ является тем наименьшим корнем уравнения \eqref{31}, для которого при некотором $m\le n-1$ выполнены соотношения
$$|\delta_1^{(0)}|<M,\ldots,|\delta_m^{(m-1)}|<M,\quad|\delta_{m+1}^{(m)}|=M,\quad \delta_{m+1}^{(m)}=\ldots=\delta_n^{(m)}.$$

Рассматриваемая величина $M$ может быть найдена также как наибольший корень уравнения
$$\det\left\|\frac{M^2-\delta_m^{(0)}\delta_k^{(0)}}{1-z_kz_m}\right\|_1^n=0$$
(см.\ \cite[с.~100]{21}).

Пусть $z_1<\ldots<z_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$. Для данного $p$, $0\le p\le n$, положим
$$\delta_{p1}=1,\quad\delta_{pk}^{-1}=\min_{(i_1,\ldots,i_k)\in I_k^p}\min_{f\in A_{i_1,\ldots,i_k}^p}\|f\|,\quad k=2,\ldots,n,$$
где $A_{i_1,\ldots,i_k}^p$ --- множество функций из $H$, удовлетворяющих равенствам
$$f(z_{i_j})=\begin{cases}(-1)^{j+s},&j=1,\ldots,s,\\
(-1)^{j+s+1},&j=s+1,\ldots,k,\end{cases}$$
при $i_s=p$, $i_{s+1}=p+1$ ($i_0=0$, $i_{k+1}=n+1$), a $I_k^p$ --- множество индексов $1\le i_1\le\ldots\le i_k\le n$, для которых определены $A_{i_1,\ldots,i_k}^p$. Отметим, что
подобные величины при $k=n$ для аналогичных задач на классах гладких функций вводились в работе \cite{18}.

Нетрудно убедиться, что $\delta_{p2}=1$ при $p=1,\ldots,n-1$. Кроме того, из включений $A_{i_1,\ldots,i_{k+1}}^p\subset A_{i_2,\ldots,i_{k+1}}^p$ при $i_1<p$ и $A_{i_1,\ldots,i_{k+1}}^p\subset A_{i_1,\ldots,i_k}^p$ при $i_1\ge p$ (через $A_{i_1}^p$ будем обозначать множество функций из $H$, удовлетворяющих равенству $f(z_{i_1})=1$) следуют неравенства $\delta_{p,k+1}\le\delta_{pk}$, $k=1,\ldots,n-1$.

\begin{lemma}\label{L31}
Имеют место неравенства
$$\delta_{p,k+2}<\delta_{pk},\quad k=1,\ldots,n-2.$$
При $p=0,n$
$$\delta_{p,k+1}<\delta_{pk},\quad k=1,\ldots,n-1.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Предположим, что при некотором $k$ и $r$, $1\le k\le n-r$, $1\le r\le2$, $\delta_{p,k+r}=\delta_{pk}$. Пусть $i_1,\ldots,i_{k+r}$ таковы, что
\begin{equation}\label{32}
\delta_{p,k+r}^{-1}=\min_{f\in A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p}\|f\|.
\end{equation}
Если $i_1<p$, $i_{k+r}>p+1$, то $A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p\subset A_{i_1,\ldots,i_{k+1}}^p$, если $i_1\ge p$, то $A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p\subset A_{i_1,\ldots,i_k}^p$, наконец, если $i_{k+r}\le p+1$, то $A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p\subset A_{i_{r+1},\ldots,i_{k+r}}^p$. Таким  образом, всегда найдутся $j_1,\ldots,j_k$ такие, что
\begin{equation}\label{33}
A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p\subset A_{j_1,\ldots,j_k}^p.
\end{equation}
Отсюда имеем
$$\delta_{p,k+r}^{-1}\ge\min_{f\in A_{j_1,\ldots,j_k}^p}\|f\|\ge\delta_{pk}^{-1}.$$
Следовательно,
\begin{equation}\label{34}
\min_{f\in A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p}\|f\|=\min_{f\in A_{j_1,\ldots,j_k}^p}\|f\|.
\end{equation}

Пусть $f^*(z)$ --- функция, на которой достигается минимум в равенстве \eqref{32}. Из равенства \eqref{34} и включения \eqref{33} следует минимальность $\|f^*\|$ среди функций из множества $A_{j_1,\ldots,j_k}^p$. Из единственности функции $f^*(z)$ следует, что она является рациональной функцией степени, строго меньшей $k$. С другой стороны, $f^*\in A_{i_1,\ldots,i_{k+r}}^p$ и имеет не менее $k+r-2$ нулей, если $0<p<n$, и не менее $k+r-1$ нулей, если $p=0,n$. Отсюда следует утверждение леммы. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T31}
Пусть при некоторых $p$ и $k$, $0\le p\le n$, $1\le k\le n-1$, выполнено неравенство $\delta_{p,k+1}\le\delta<\delta_{pk}$. Тогда для порядка информативности справедливо соотношение
$$k-\nu_p\le\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)\le k,$$
где $\nu_p$ определены в лемме~$\ref{L21}$. При $0\le\delta<\delta_{pn}$ имеет место равенство
$$\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)=n.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)=k$. Тогда существует функция
\begin{equation}\label{35}
f^*(z)=(-1)^{k+s}\prod_{j=1}^k\frac{z-\alpha_j}{1-\alpha_jz},\quad\alpha_j\in(-1,1),
\end{equation}
и точки $z_{i_1}<\ldots<z_{i_k}$ такие, что имеют место равенства \eqref{212}. Из леммы~\ref{L14} вытекает существование функции $f(z)\in B_0$, удовлетворяющей равенствам \eqref{212} и неравенству $\|f\|<1$. Тогда для функции $\delta^{-1}f\in A_{i_1,\ldots,i_k}^p$ имеем $\delta^{-1}_{pk}\le\|\delta^{-1}f\|<\delta^{-1}$. Тем самым доказано, что $\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)\le k$ при $\delta\ge\delta_{p,k+1}$.

Пусть теперь $\delta<\delta_{pk}$. Тогда существуют точки $z_{i_1},\ldots,z_{i_k}$, для которых
\begin{equation}\label{36}
\min_{f\in A_{i_1,\ldots,i_k}^p}\|f\|<\delta^{-1}.
\end{equation}
Пусть минимум в левой части неравенства \eqref{36} достигается для функции $f_1\in A_{i_1,\ldots,i_k}^p$. Тогда функция $\delta f_1(z)\in B_0$ удовлетворяет равенствам \eqref{212}, причем является не единственной такой функцией из класса $B_0$. Из леммы~\ref{L14} следует существование функции вида \eqref{35}, удовлетворяющей равенствам \eqref{212}. В силу леммы~\ref{L21} имеем
$$\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)\ge k-\nu_p.$$
При $k=n$ из теоремы~\ref{T12} следует, что $\In_p(z_1,\ldots,z_n,\delta)=n$. Теорема доказана.
\end{proof}

Следует отметить, что теорема~\ref{T31} в силу равенства \eqref{118} дает оценку для числа листов многолистного круга, на который экстремальная функция в задаче \eqref{06} при $E=\{z_1,\ldots,z_n\}$ отображает единичный круг $K$.

\renewcommand{\refname}{\bf Литература}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} {\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Канд. дисс. М: МГУ, 1965.

\bibitem{2} {\it Бахвалов~Н.~С.} Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций. --- ЖВМ и МФ., 1971, т.~11, \No4, с.~1014--1018.
\bibitem{3} {\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций. --- Матем. заметки, 1972, т.~12, вып.~4, с.~465--476.

\bibitem{4} {\it Боянов~Б.~Д.} Оптимальная скорость интегрирования и $\varepsilon$-энтропия одного класса аналитических функций. --- Матем. заметки, 1973, т.~14, вып.~1, с.~3--10.
\selectlanguage{english}
\bibitem{5} {\it Bojanov~B.~D.} Best quadrature formula for a certain class of analytic functions. --- Zastos Mat., 1974, v.~14, \selectlanguage{russian}\No~3, p.~441--447.
\selectlanguage{english}
\bibitem{6} {\it Bojanov~B.~D.} Optimal methods of interpolation in $W^{(r)}L_q(M;a,b)$. --- \selectlanguage{russian}ДАН Болг., 1974, т.~27, \No~7, с.~885--888.

\bibitem{7} {\it Боянов~Б.~Д.} Наилучшие методы интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций. --- Матем. заметки, 1975, т.~17, вып.~4, с.~511--524.
\selectlanguage{english}
\bibitem{8} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J., Winograd~S.} The optimal recovery of smooth functions. --- Numer. Math., 1976, v.~26, \selectlanguage{russian}\No~2, p.~191--200.

\bibitem{9} {\it Тихомиров~В.~М., Боянов~Б.~Д.} О некоторых выпуклых задачах теории приближений. --- Сердика. Бълг. мат. списание, 1979, т.~5, \No~1, с.~83--86.

\bibitem{10} {\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек. --- Матем. заметки. 1976, т.~19, вып.~1, с.~29--40.

\bibitem{11} {\it Марчук~А.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек.--- Матем. заметки. 1975, т.~17, вып.~3, с.~359--368.
\selectlanguage{english}
\bibitem{12} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal recovery, Optimal estimation in approximation theory. N.~Y.: Plenum press, 1977, 1--54.

\bibitem{13} {\it Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A.} Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data. --- SIAM J. Numer. Anal., 1979, v.~16, \selectlanguage{russian}\No~1, p.~87--105.
\selectlanguage{english}
\bibitem{14} {\it Rivlin~T.~J.} A survey of recent results on optimal recovery. Polynom and spline approximat. Proc. NATO Adv. Study Inst., Calgary, 1978, Dordrecht e.~a., 1979, p.~225--245.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{15} {\it Габушин~В.~Н.} Оптимальные методы вычисления значений оператора $Ux$, если $x$ задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определенных с ошибкой. --- Тр.
Матем. ин-та им.~В.~А.~Стеклова АН СССР, т.~CXLV, 1980, 63--78.

\bibitem{16} {\it Субботин~Ю.~Н.} Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации. --- Тр. Матем. ин-та им.~В.~А.~Стеклова АН СССР, 1980, т.~CXLV, с.~152--168.

\bibitem{17} {\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшие методы приближения и порядок информативности систем. --- Матем. сб., 1980, т.~111~(153), с.~532--556.
\selectlanguage{english}
\bibitem{18} {\it Micchelli~C.~A.} Optimal estimation of smooth functions from inaccurate data.  --- J. Inst. Math. and Appl., 1979, v.~23, \selectlanguage{russian}\No~4, p.~473--495.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{19} {\it Хавинсон~С.~Я.} Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области. --- УМН. 1963. т.~18, вып.~2 (110), с.~25--98.

\bibitem{20} {\it Уолш~Дж.~Л.} Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961.

\bibitem{21} {\it Крейн~М.~Г., Нудельман~А.~А.} Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.
\end{thebibliography}

\bigskip

\bigskip

\noindent Москва \hfill Поступила в редакцию\\
\hphantom{a} \hfill 17.IV.1981

\end{document}
