\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{cite} %\usepackage{abstract} %\usepackage{srctex} \tolerance 1000 \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem*{lemma}{Лемма} \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem*{corollary}{Следствие} \renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}} \newtheorem*{theorem1}{Теорема~$\mathbf1'$} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup} \DeclareMathOperator*{\IM}{Im} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator*{\spann}{span} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\ctn}{ctn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\arth}{arth} \DeclareMathOperator{\thh}{th} \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff} \DeclareMathOperator{\co}{co} \DeclareMathOperator{\bco}{bco} \DeclareMathOperator*{\ulim}{\underline{\lim}} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\ei}{e^{i\theta}} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta} \newcommand*{\wl}{\widetilde l} \newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}} \begin{document} \pagestyle{plain} \begin{flushright} УДК 517.5 \end{flushright} \bigskip \title{НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ С ПОГРЕШНОСТЬЮ В КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ ТОЧЕК} \author{А.~Г.~Марчук, К.~Ю.~Осипенко} \maketitle \begin{center} \parbox{10.2cm}{\footnotesize \hspace{20pt}Доказывается, что для выпуклых и центрально-сим\-мет\-рич\-ных классов функций среди наилучших в определенном смысле методов приближения по значениям, заданным с погрешностью в конечном числе точек, существует линейный метод. Для некоторых простейших классов строятся линейные наилучшие методы и оценивается их погрешность. Библ. 3 назв.} \end{center} \bigskip {\bf1.} Рассмотрим задачу приближения функции $f(x)$, $x\in[a, b]$ из некоторого класса $W$ по ее приближенным значениям $f_k=f(x_k)+\rho_k$, $x_k\in[a, b]$, $k=1,\ldots,n$, при условии $\|\rho\|\le\delta$; здесь $\|\cdot\|$ --- какая-либо норма в пространстве векторов $\rho=(\rho_1,\ldots,\rho_n)$. Всякий метод приближения функции $f(x)$, использующий информацию только о значениях $f_1,\ldots,f_n$, может быть представлен в виде некоторой функции $f(x)\approx S(x,\delta,f_1,\ldots,f_n)$. Погрешностью данного метода в точке $x\in[a,b]$ на классе $W$ назовем величину $$r_S(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)=\sup_{\substack{f\in W\\\|\rho\|\le\delta}}|f(x)-S(x,\delta,f_1,\ldots,f_n)|.$$ Величину $$r(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)=\inf_Sr_S(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)$$ будем называть наилучшей оценкой погрешности в точке $x$, а метод $S_0(x,\delta,f_1,\ldots,f_n)$ --- наилучшим методом, если при всех $x\in[a,b]$ имеет место равенство $$r(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)=r_{S_0}(x,\delta,x_1,\ldots,x_n).$$ Интересно рассмотреть задачу минимизации наилучшей оценки погрешности в точках $x\in[a,b]$ за счет выбора точек $x_1,\ldots,x_n$. Назовем величину $$r_n(\delta)=\inf_{\{x_k\}}\|r(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)\|_{C[a, b]}$$ наилучшей оценкой погрешности приближения на $[a,b]$, а точки $x_1^0,\ldots,x_n^0$ --- оптимальными узлами, если имеет место равенство $$r_n(\delta)=\|r(x,\delta,x_1^0,\ldots,x_n^0)\|_{C[a, b]}.$$ Для случая $\delta=0$ (приближение по точным значениям) соответствующие задачи для класса функций, аналитически продолжаемых в некоторую односвязную и симметричную относительно вещественной оси область и ограниченных в ней, рассматривались в работе \cite{1}. {\bf2.} Задача построения наилучшего метода приближения функции по ее значениям, заданным с погрешностью, и нахождения его погрешности может быть сформулирована в более общем виде. Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на линейном пространстве $X$. Ставится задача приближения функционала $L(x)$ на некотором множестве $W \subset X$ на основании информации о значениях $\wl_k(x)=l_k(x)+\rho_k$, где $x\in W$, $\|\rho\|\le\delta$. Оказывается, что для довольно широкого класса множеств $W$ среди наилучших методов приближения (в смысле данного выше определения) существует линейный. \begin{theorem}\label{T1} Пусть $W$ --- выпуклое, центрально-симметричное подмножество линейного пространства $X$ с центром симметрии $0$. Тогда справедливо равенство $$\infp_S\sup_{\substack{x\in W\\\|\rho\|\le\delta}}|L(x)-S(\delta,\wl_1(x),\ldots, \wl_n(x))|=\sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)\|\le\delta}}|L(x)|,$$ где $\ov l(x)=(l_1(x),\ldots,l_n(x))$; причем существуют числа $D_j(\delta)$ такие, что $$\sup_{\substack{x\in W\\\|\rho\|\le\delta}}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|= \sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)\|\le\delta}}|L(x)|.$$ \end{theorem} \begin{proof} Обозначим через $Y$ замыкание множества точек $(n+1)$-мерного пространства $$(y_0,y_1,\ldots,y_n)=(L(x),\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x)),$$ где $x\in W$, $\|\rho\|\le\delta$. Нетрудно показать, что множество $Y$ будет выпуклым и центрально-симметричным с центром симметрии в начале координат. Положим $$D_0(\delta)=\sup_{(y_0,0,\ldots,0)\in Y}y_0.$$ Нетрудно показать, что \begin{equation}\label{1} D_0(\delta)=\sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)\|\le\delta}}|L(x)|. \end{equation} Действительно, $$D_0(\delta)=\sup_{\substack{x\in W\\\wl_k(x)=0,\ k=1,\ldots,n\\\|\rho\|\le\delta}} L(x)=\sup_{\substack{x\in W\\\ov l(x)=-\rho\\\|\rho\|\le\delta}}L(x)= \sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)\|\le\delta}}L(x).$$ Так как множество $W$ центрально-симметрично, то $$\sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)\|\le\delta}}L(x)= \sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)\|\le\delta}}|L(x)|.$$ Пусть $D_0(\delta)<\infty$. Вследствие выпуклости множества $Y$ через каждую его граничную точку можно провести опорную гиперплоскость. Уравнение опорной гиперплоскости, проходящей через точку $(D_0(\delta),0,\ldots,0)$, можно записать в виде $$y_0=\sum_{j=1}^nD_j(\delta)y_j+D_0(\delta).$$ Плоскостью, симметричной этой плоскости относительно начала координат, будет плоскость $$y_0=\sum_{j=1}^nD_j(\delta)y_j-D_0(\delta).$$ Из симметричности множества $Y$ относительно начала координат следует, что эта плоскость также будет опорной к множеству $Y$. Множество $Y$ находится между этими плоскостями и поэтому для всех точек $Y$ $$\biggl|y_0-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)y_j\biggr|\le D_0(\delta);$$ вспоминая смысл координат $y_j$, перепишем это неравенство в виде $$\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|\le D_0(\delta)$$ при всех $x\in W$, $\|\rho\|\le\delta$. Таким образом, \begin{equation}\label{2} \sup_{\substack{x\in W\\\|\rho\|\le\delta}}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_j(\delta)\wl_j(x)\biggr|\le D_0(\delta). \end{equation} Из равенства \eqref{1} следует, что для любого $\varepsilon >0$ существует элемент $x_\varepsilon\in W$ такой, что $|L(x_\varepsilon)|>D_0(\delta)-\varepsilon$ и $\wl_1(x_\varepsilon)=\ldots=\wl_n(x_\varepsilon)=0$. Теми же свойствами будет обладать элемент $-x_\varepsilon$. Пусть задан произвольный метод приближения, тогда для элементов $\pm x_\varepsilon$ приближенное значение функционала $L(\pm x_\varepsilon)$ равно $S(\delta,\wl_1(\pm x_\varepsilon),\ldots,\wl_n(\pm x_\varepsilon))=S(\delta,0,\ldots,0)=S^0.$ Из неравенств \begin{multline*} |L(x_\varepsilon)-S^0|+|L(-x_\varepsilon)-S^0|\ge|L(x_\varepsilon)-S^0+(S^0- L(-x_\varepsilon))|\\ >2(D_0(\delta)-\varepsilon) \end{multline*} следует, что для одного из элементов $\pm x_\varepsilon$ ошибка приближенного значения больше $D_0(\delta)-\varepsilon$. В силу произвольности $\varepsilon$ и рассматриваемого метода получаем неравенство $$\infp_S\sup_{\substack{x\in W\\\|\rho\|\le \delta}}|L(x)-S(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))|\ge D_0(\delta).$$ Сравнивая последнее неравенство с неравенством \eqref{2} и замечая, что множество всевозможных методов содержит линейные, получаем утверждение теоремы. В случае, когда $D_0(\delta)=\infty$, легко показать, что $$\infp_S \sup_{\substack{x\in W\\\|\rho\|\le\delta}}|L(x) - S(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))|=\infty.$$ Тогда всякий метод, в частности всякий линейный метод, будет наилучшим, и утверждение теоремы остается в силе. \end{proof} \begin{corollary} Положим $$\varphi_j^\delta(\varepsilon)=\sup_{\substack{x\in W\\\|\ov l(x)-\varepsilon e_j\|\le\delta}}L(x),$$ где $e_j=(\underbrace{0,\ldots,0}_{j-1},1,0,\ldots,0)$. Если функция $\varphi_j^\delta(\varepsilon)$ дифференцируема в нуле, то $$D_j(\delta)=\frac{d\varphi_j^\delta(\varepsilon)}{d\varepsilon}\bigg|_{\varepsilon=0}.$$ \end{corollary} Доказательство следствия непосредственно вытекает из доказательства теоремы при рассмотрении сечения множества точек $Y$ плоскостью $(y_0,y_j)$. Доказательство теоремы~\ref{T1} является модификацией доказательства соответствующего утверждения для случая $\delta=0$ из работы \cite{2} (см. также \cite{3}). Из теоремы~\ref{T1} и следствия вытекает \begin{theorem1} Пусть $W$ --- выпуклый и центрально-симметричный с центром симметрии $0$ класс функций. Тогда среди наилучших методов существует линейный $$S_0(x,\delta,f_1,\ldots,f_n)=\sum_{j=1}^nD_j(\delta,x)f_j$$ с погрешностью $$r(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)=\sup_{\substack{f\in W\\\|\ov f\|\le\delta}}|f(x)|,$$ где $\ov f=(f(x_1),\ldots,f(x_n))$; причем если функция $$\varphi_j^\delta(\varepsilon,x)=\sup_{\substack{f\in W\\\|\ov f-\varepsilon e_j\|\le\delta}}f(x)$$ дифференцируема в нуле по $\varepsilon$, то $D_j(\delta,x)=\dfrac{d\varphi_j^\delta(\varepsilon,x)}{d\varepsilon} \bigg|_{\varepsilon=0}$. \end{theorem1} Рассмотрим некоторые простейшие классы функций и построим для них линейные наилучшие методы приближения. В дальнейшем мы будем использовать следующие нормы в пространстве векторов: $$\|\rho\|_p=\biggl(\sum_{j=1}^n|\rho_j|^p\biggr)^{1/p},\quad1\le p\le\infty,$$ а наилучшие оценки погрешности снабжать соответствующим индексом. {\bf3.} Рассмотрим типичный для классической интерполяции класс $W^{(n)}(M;a,b)$ функций, имеющих непрерывную производную порядка $n$, ограниченную константой $M$, где $n$ --- число точек, в которых заданы приближенные значения. \begin{theorem}\label{T2} При измерении погрешности данных в $\|\cdot\|_p$ интерполяция Лагранжа \begin{gather*} S_0(x,\delta,f_1,\ldots,f_n)=\sum_{j=1}^nP_j(x)f_j,\\ P_j(x)=\prod_{i\ne j}\frac{x-x_i}{x_j-x_i}, \end{gather*} является наилучшим методом приближения в классе $W^{(n)}(M;a,\linebreak b)$. При всех $1\le p\le\infty$. Для погрешности наилучшего метода имеет место равенство \begin{equation}\label{3} r_p(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)=\frac{M|\omega_n(x)|}{n!}+\delta\|\ov P(x)\|_q; \end{equation} здесь $\omega_n(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^n(x-x_i)$, $\ov P(x)=(P_1(x),\ldots,P_n(x))$ и $\dfrac1p+\dfrac1q=1$. \end{theorem} \begin{proof} Очевидно, $W^{(n)}(M;a,b)$ удовлетворяет условиям теоремы~$1'$, следовательно, $$r_p(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)=\sup_{\substack{f\in W^{(n)}(M;a,b)\\\|\ov f\|_p\le\delta}}|f(x)|.$$ Оценим $r_p(x,\delta,x_1,\ldots,x_n)$ снизу. Рассмотрим функцию $$f(y)=\frac{M|\omega_n(y)|}{n!}\sign\omega_n(x)+\sum_{j=1}^nP_j(y)\sign P_j(x);$$ здесь при $p=1$ $$\rho_j=\begin{cases} 0&\mbox{ при }|P_j(x)|\ne\displaystyle\max_k|P_k(x)|,\\ \delta&\mbox{ при }|P_j(x)|=\displaystyle\max_k|P_k(x)|;\end{cases}$$ при $1