\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{abstract}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1000

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}}


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\bco}{bco}
\DeclareMathOperator*{\ulim}{\underline{\lim}}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}


\begin{document}
\pagestyle{plain}




\begin{flushright}
УДК 517.5
\end{flushright}

\bigskip

\title{НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ИНФОРМАЦИИ ОБ ИХ ЗНАЧЕНИЯХ В КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ ТОЧЕК}


\author{К.~Ю.~Осипенко}




\maketitle

\begin{center}
\parbox{10.2cm}{\footnotesize
\hspace{20pt}Для класса ограниченных и аналитических в односвязной области функций строится линейный наилучший метод приближения по информации о значениях функции в некоторых точках области, доказывается его единственность. Найдено предельное соотношение для нижней грани нормы погрешности наилучшего метода на произвольном компакте со связным дополнением, где нижняя грань берется по узлам из области аналитичности. Библ.~6 назв.}
\end{center}

\bigskip

{\bf1.} Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на комплексном линейном пространстве $X$. Рассмотрим задачу приближения функционала $L$ по значениям функционалов $l_1,\ldots,l_n$ на некотором множестве $W\subset X$. Всякий метод приближения функционала $L$, использующий
информацию только о значениях функционалов $l_1,\ldots,l_n$ на множестве $W$, может быть представлен в виде некоторой комплекснозначной функции от $n$ переменных
$$L(x)\approx S(l_1(x),\ldots,l_n(x)),\quad x\in W.$$

Погрешностью данного метода естественно назвать величину
$$r_n(S)=\sup_{x\in W}|L(x)-S(l_1(x),\ldots,l_n(x))|.$$
Назовем метод $S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))$ наилучшим методом приближения, если имеет место равенство
$$r_n(S_0)=\inf_Sr_n(S).$$

Оказывается, что для довольно широкого класса множеств среди наилучших методов приближения существует линейный метод.

\begin{theorem}\label{T1}
Пусть множество $W$ из комплексного линейного пространства $X$ удовлетворяет условиям: $1)$ $W$ --- выпукло, $2)$ $W$ --- круговое множество, т.~е. из $x\in W$ следует, что $e^{i\varphi}\in W$ при всех $\varphi\in[0,2\pi]$. Тогда существуют такие комплексные числа $D_j$, что метод
$$S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)$$
является наилучшим методом приближения, и для его погрешности справедливо равенство
$$r_n(S_0)=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим множество точек в $(2n+2)$-мерном вещественном пространстве
\begin{multline*}
(x_0,y_0,x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n)=(\RE L(x),\IM L(x),\\\RE l_1(x),\IM l_1(x),\ldots,\RE l_n(x),
\IM l_n(x))
\end{multline*}
при всех $x\in W$, которое обозначим через $W_n$. В силу свойства $1)$ множества $W$ множество точек $W_n$ будет выпукло. Обозначим через $W_n^\varphi$ множество точек, полученных из точек $W_n$ при линейном преобразовании $P_\varphi$, задаваемом равенствами
$$\begin{aligned}
x_k'=x_k\cos\varphi-y_k\sin\varphi,\\
y_k'=x_k\sin\varphi+y_k\cos\varphi,
\end{aligned}\quad k=0,\ldots,n.$$
В силу свойства $2)$ множество точек $W_n^\varphi$ будет совпадать с множеством $W_n$ при всех $\varphi\in[0,2\pi]$. Положим
$$R=\sup_{(x_0,y_0,0,\ldots,0)\in W_n}\sqrt{x_0^2+y_0^2}$$
и предположим, что $R<\infty$. Вследствие инвариантности множества $W_n$ относительно преобразований $P_\varphi$ все точки $(x_0,y_0,0,\ldots,0)$, где $x_0^2+y_0^2=R^2$ являются граничными точками множества $W_n$. Через каждую граничную точку выпуклого множества можно провести к нему опорную гиперплоскость. Уравнение опорной гиперплоскости к $W_n$, проходящей через граничную точку $(R,0,\ldots,0)$, можно записать в виде
\begin{equation}\label{1}
x_0=\sum_{j=1}^n(a_jx_j+b_jy_j)+R.
\end{equation}
При линейном преобразовании $P_\varphi$ эта гиперплоскость перейдет в опорную гиперплоскость к $W_n^\varphi=W_n$, проходящую через граничную точку $(R\cos\varphi,R\sin\varphi,0,\ldots,0)$ и имеющую вид
\begin{multline*}
x_0\cos\varphi+y_0\sin\varphi=\sum_{j=1}^n(a_j\cos\varphi-b_j\sin\varphi)x_j\\
+\sum_{j=1}^n(a_j\sin\varphi+b_j\cos\varphi)y_j+R.
\end{multline*}
Отсюда следует, что при любом $\varphi\in[0,2\pi]$ точки множества $W_n$ лежат в замкнутом полупространстве
$$\biggl(x_0-\sum_{j=1}^n(a_jx_j+b_jy_j)\biggr)\cos\varphi
+\biggl(y_0-\sum_{j=1}^n(-b_jx_j+a_jy_j)\biggr)\sin\varphi\le R.$$
Множество точек $(A,B)$, удовлетворяющих неравенству $A\cos\varphi+B\sin\varphi\le R$ при любом $\varphi\in[0,2\pi]$, лежит в круге радиуса $R$. Следовательно, для всех точек из $W_n$ справедливо неравенство
$$\biggl(x_0-\sum_{j=1}^n(a_jx_j+b_jy_j)\biggr)^2
+\biggl(y_0-\sum_{j=1}^n(-b_jx_j+a_jy_j)\biggr)^2\le R^2.$$
Вспоминая определение множества $W_n$, перепишем последнее неравенство в виде
$$\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^n(a_j-ib_j)l_j(x)\biggr|\le R.$$
Поскольку это неравенство справедливо для всех $x\in W$, имеем
\begin{equation}\label{2}
\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)\biggr|\le R,\quad D_j=a_j-ib_j.
\end{equation}

Докажем теперь, что для произвольного метода $S(l_1(x),\ldots,\linebreak l_n(x))$ выполняется неравенство $r_n(S)\ge R$. Из определения $R$ и множества $W_n$ следует, что
\begin{equation}\label{3}
R=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|.
\end{equation}
Таким образом, для любого $\varepsilon>0$ существует $x_\varepsilon\in W$ такой, что $l_1(x_\varepsilon)=\ldots=l_n(x_\varepsilon)=0$ и $|L(x_\varepsilon)|>R-\varepsilon$. Этим же свойством будет обладать $-x_\varepsilon\in W$. Из неравенств
$$|L(x_\varepsilon)-S(0,\ldots,0)|+|L(-x_\varepsilon)-S(0,\ldots,0)|\ge2|L(x_\varepsilon)|
>2(R-\varepsilon)$$
вытекает, что либо для $x_\varepsilon$, либо для $-x_\varepsilon$ погрешность приближения функционала $L$ больше $R-\varepsilon$.

Отсюда
$$r_n(S)=\sup_{x\in W}|L(x)-S(l_1(x),\ldots,l_n(x))|>R-\varepsilon.$$
В силу произвольности $\varepsilon>0$ и рассматриваемого метода получаем
\begin{equation}\label{4}
\inf_Sr_n(S)\ge R.
\end{equation}
Неравенства \eqref{2} и \eqref{4} дают цепочку соотношений
\begin{equation}\label{5}
\inf_Sr_n(S)\ge R\ge r_n(S_0),
\end{equation}
где $S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\displaystyle\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)$. Множество всевозможных методов приближения содержит в себе множество линейных методов, поэтому неравенства \eqref{5}
обращаются в равенства. При $R=\infty$ для любого метода приближения $r_n(S)=\infty$, и всякий метод, а значит, и всякий линейный метод, будет являться наилучшим. Теорема
доказана.
\end{proof}

При некоторых дополнительных условиях на функционалы $L,l_1,\linebreak\ldots,l_n$ может быть доказана теорема единственности для линейного наилучшего метода приближения.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть относительно множества $W$ выполнены предположения теоремы~$\ref{T1}$. Тогда, если функции $\varphi_j(\varepsilon)=\displaystyle\sup_{x\in A_j(\varepsilon)}\RE L(x)$ и $\psi_j(\varepsilon)=\varphi_j(i\varepsilon)$, где
\begin{gather*}
A_j(\varepsilon)=\{\,x|x\in W,\ \IM L(x)=0,\ l_k(x)=\varepsilon\delta_{jk},\ k=1,\ldots,n\,\},\\
\delta_{jk}=\begin{cases}1,&j=k,\\
0,&j\ne k,
\end{cases}
\end{gather*}
дифференцируемы в нуле при всех $j=1,\ldots,n$, то метод
$$S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\sum_{j=1}^n[\varphi_j'(0)-i\psi_j'(0)]l_j(x)$$
является единственным линейным наилучшим методом приближения функционала $L(x)$ no значениям функционалов $l_1(x),\ldots,\linebreak l_n(x)$ на множестве $W$.
\end{theorem}

\begin{proof}
В теореме~\ref{T1} было определено множество $W_n$ и доказано существование опорной
к нему гиперплоскости \eqref{1}. Рассматривая точки $W_n$, лежащие в плоскостях $(x_0,x_j)$ и $(x_0,y_j)$, нетрудно показать, что при условии дифференцируемости функций $\varphi_j(\varepsilon)$ и $\psi_j(\varepsilon)$ в нуле гиперплоскость \eqref{1} единственна и
имеют место равенства $a_j=\varphi_j'(0)$, $b_j=\psi_j'(0)$, $j=1,\ldots,n$. Таким образом, метод
$$S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\sum_{j=1}^n(a_j-ib_j)l_j(x)=\sum_{j=1}^n[\varphi_j'(0)-
i\psi_j'(0)]l_j(x)$$
является линейным наилучшим методом приближения. Пусть теперь $S_0'(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\displaystyle\sum_{j=1}^nC_jl_j(x)$ --- некоторый линейный наилучший метод приближения. Это означает, что
$$\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nC_jl_j(x)\biggr|=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|=R.$$
Следовательно,
$$\RE L(x)-\sum_{j=1}^n\RE C_j\RE l_j(x)+\sum_{j=1}^n\IM C_j\IM l_j(x)\le R$$
при всех $x\in W$. Переходя к точкам множества $W_n$, получаем, что гиперплоскость
$$x_0=\sum_{j=1}^n\RE C_j\RE x_j(x)+\sum_{j=1}^n\IM C_j y_j(x)+R$$
будет опорной гиперплоскостью к множеству $W_n$, проходящей через граничную точку $(R,0,\ldots,0)$. В силу единственности такой гиперплоскости $\RE C_j=a_j=\varphi_j'(0)$, $\IM C_j=-b_j=-\psi_j'(0)$. Теорема доказана.
\end{proof}

Для вещественных функционалов $L,l_1,\ldots,l_n$ и пространства $X$ утверждение теоремы~\ref{T1} было доказано, например, в работе \cite{1}.

{\bf2.} Рассмотрим класс функций $A(G,M)$, аналитических в односвязной области $G$ и удовлетворяющих условию $|f(z)|\le M$, $z\in G$. Пусть $z_1,\ldots,z_n$ --- некоторые различные точки из области $G$. Поставим задачу о наилучшем приближении величины $f(z)$ по значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$ на классе $A(G,M)$ при любом $z\in G$.

Назовем погрешностью наилучшего приближения в точке $z$ величину
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=\infp_S\sup_{f\in A(G,M)}|f(z)-S(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))|,$$
а метод $S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))$ --- наилучшим методом приближения, если при всех $z\in G$ имеет место равенство
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=\sup_{f\in A(G,M)}|f(z)-S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))|.$$

Будем считать, что односвязная область $G$ не есть вся расширенная плоскость или расширенная плоскость с одной выколотой точкой, так как в этих случаях поставленная задача решается точно в любой точке $z\in G$.

\begin{theorem}\label{T3}
Метод
$$S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))=\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(z)}{\omega_j(z_j)}[1-|W_j(z)|^2]
f(z_j)$$
является единственным линейным наилучшим методом на классе $A(G,M)$ и для его погрешности справедливо равенство
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=M\prod_{j=1}^n|W_j(z)|;$$
здесь $W_j(z)$ --- конформное отображение области $G$ в единичный круг, переводящее точку $z_j$ в нуль, а $\omega_j(z)=\displaystyle\prod_{k\ne j}W_k(z)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Очевидно, класс $A(G,M)$ удовлетворяет условиям теоремы~\ref{T1}. Отсюда сразу следует
существование линейного наилучшего метода и равенство для его погрешности
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=\sup_{\substack{f\in A(G,M)\\f(z_1)=\ldots=f(z_n)=0}}|f(z)|.$$
Из принципа максимума модуля следует, что для любой функции $f(z)\in A(G,M)$, обращающейся в нуль в точках $z_1,\ldots,z_n$, справедливо представление $f(z)=\displaystyle\prod_{j=1}^nW_j(z)g(z)$, где $g(z)\in A(G,M)$. Таким образом,
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=M\prod_{j=1}^n|W_j(z)|.$$
По теореме~\ref{T2} для нахождения линейного наилучшего метода и доказательства его единственности достаточно доказать дифференцируемость по $\varepsilon$ в нуле функций
$$\varphi_j(\varepsilon,z)=\sup_{f\in A_j(\varepsilon)}\RE f(z),\quad\psi_j(\varepsilon,z)=
\varphi_j(i\varepsilon,z),$$
где
$$A_j(\varepsilon)=\{\,f|f\in A(G,M),\ \IM f(z)=0,\ f(z_k)=\varepsilon\delta_{jk}\,\},$$
и найти $\partial\varphi_j(0,z)/\partial\varepsilon$, $\partial\psi_j(0,z)/\partial\varepsilon$. Пусть $f(\xi)\in A(G,M)$ и $f((z_j)=w\delta_{jk}$. Тогда $f(\xi)$ можно представить в виде $f(\xi)=\omega_j(\xi)g(\xi)$, где $g(\xi)\in A(G,M)$ и $g(z_j)=w/\omega_j(z_j)$. Предположим, что $|w|<M|\omega_j(z_j)|$, тогда функция
$$g_1(\xi)=M^2\frac{g(\xi)-w/\omega_j(z_j)}{M^2-\ov wg(\xi)/\ov{\omega_j(z_j)}}$$
будет принадлежать классу $A(G,M)$ и обращаться в нуль в точке $z_j$. Следовательно, она представима в виде $g_1(\xi)=W_j(\xi)f_1(\xi)$, где $f_1(\xi)\in A(G,M)$. Итак, для функции $f(\xi)$ имеем представление 
$$f(\xi)=M^2\omega_j(\xi)\frac{W_j(\xi)f_1(\xi)+\dfrac w{\omega_j(z_j)}}{M^2+\dfrac{\ov w}{ \ov{\omega_j(z_j)}}W_j(\xi)f_1(\xi)},\quad f_1(\xi)\in A(G,M).$$
Таким образом, исследование функций $\varphi_j(\varepsilon,z)$ и $\psi_j(\varepsilon,z)$ при фиксированном $z$ свелось к исследованию дробно-линейной функции
$$u=M^2\omega_j(z)\frac{W_j(z)v+\dfrac w{\omega_j(z_j)}}{\dfrac{\ov w}{ \ov{\omega_j(z_j)}}W_j(z)v+M^2}$$
при $|v|\le M$ и $w=\varepsilon,i\varepsilon$. Пользуясь свойствами дробно-линейных функций (см.\ \cite{2}), можно показать, что при достаточно малых $|\varepsilon|$
\begin{gather*}
\varphi_j(\varepsilon,z)=\RE w_0+\sqrt{\rho^2-(\IM w_0)^2},\\
\psi_j(\varepsilon,z)=-\IM w_0+\sqrt{\rho^2-(\RE w_0)^2},
\end{gather*}
где
\begin{gather*}
w_0=\varepsilon M^2\frac{\omega_j(z)}{\omega_j(z_j)}\cdot\frac{1-|W_j(z)|^2}{M^2-\varepsilon^2
\left|\dfrac{W_j(z)}{\omega_j(z_j)}\right|^2},\\
\rho=M^2|\omega_j(z)W_j(z)|\frac{M^2-\varepsilon^2|\omega_j(z_j)|^{-2}}{M^2-\varepsilon^2
\left|\dfrac{W_j(z)}{\omega_j(z_j)}\right|^2}.
\end{gather*}
Отсюда
\begin{gather*}
\frac{\partial\varphi_j(0,z)}{\partial\varepsilon}=\left[1-|W_j(z)|^2\right]
\RE\frac{\omega_j(z)}{\omega_j(z_j)},\\
\frac{\partial\psi_j(0,z)}{\partial\varepsilon}=-\left[1-|W_j(z)|^2\right]
\IM\frac{\omega_j(z)}{\omega_j(z_j)}.
\end{gather*}
По теореме~\ref{T2} метод
$$S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))=\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(z)}{\omega_j(z_j)}[1-|W_j(z)|^2]
f(z_j)$$
является единственным линейным наилучшим методом приближения. Теорема доказана.
\end{proof}

{\bf3.} Пусть в области $G$ задано замкнутое множество $E$ со связным дополнением $CE$. Рассмотрим задачу минимизации погрешности наилучшего приближения в точках множества $E$ за счет выбора узлов $z_1,\ldots,z_n$. Величину
$$R_n(G,E)=\inf_{z_1,\ldots,z_n}\|r(z,z_1,\ldots,z_n)\|_E$$
назовем погрешностью наилучшего приближения на множестве $E$; $\|r(z)\|_E=\displaystyle\max_{z\in E}|r(z)|$. Точки $z_1^0,\ldots,z_n^0$ назовем
оптимальными узлами, если имеет место равенство
$$R_n(G,E)=\|r(z,z_1^0,\ldots,z_n^0)\|_E.$$

В случае, когда область $G$ --- эллипс $\mbox{Э}_c$ с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c$, а множество $E$ есть отрезок $[-1,1]$, имеет место равенство
$$R_n(\mbox{Э}_c,[-1,1])=2Mc^{-n}+O(c^{-5n}),$$
а оптимальные узлы не зависят от $c$ и являются узлами Чебышева $z_j^0=\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi$ (см.\ \cite{3}).

Для рассмотрения общего случая нам потребуется понятие емкости конденсатора, которое было введено и исследовано в работах Полна и Сеге (см.\ \cite{4}). Мы будем пользоваться определением емкости, данным в работе \cite{5}. Конденсатором будем называть пару $(E,F)$, где $E$ и $F$ --- непересекающиеся замкнутые подмножества расширенной комплексной плоскости, каждое из которых имеет связное дополнение. Пусть $H$ --- обобщенное решение задачи Дирихле в области $D=C(E\cup F)$, построенное по граничным данным, равным $0$ на $\partial E$ и $1$ на $\partial F$; $\Gamma$ --- произвольный контур, состоящий из конечного числа аналитических жордановых кривых, принадлежащих $D$ и в совокупности разделяющих множества $E$ и $F$; $\dfrac\partial{\partial n}$ --- производная по нормали к контуру $\Gamma$, внешней по отношению к множеству, ограниченному $\Gamma$ и содержащему $E$.

Емкостью конденсатора $(E,F)$ называется величина
$$c(E,F)=\frac1{2\pi}\int_\Gamma\frac{\partial H}{\partial n}\,ds,$$
а величина $h(E,F)=c^{-1}(E,F)$ называется модулем конденсатора $(E,F)$. В частности, если $D$ --- двусвязная область, то риманов модуль $\rho$ области $D$ связан с модулем конденсатора $(E,F)$ соотношением $\rho=e^{h(E,F)}$.

\begin{theorem}\label{T4}
Для погрешности наилучшего приближения на $E$ имеют место соотношения:
\begin{gather}\label{6}
R_n(G,E)\ge Me^{-nh(E,CG)}\mbox{ при всех }n\ge0;\\
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{R_n(G,E)}=e^{-h(E,CG)},\label{7}
\end{gather}
где $h(E,CG)$ --- модуль конденсатора $(E,CG)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу инвариантности величин $R_n(G,E)$ и $h(E,\linebreak CG)$ относительно конформного преобразования области $G$ достаточно доказать теорему в предположении, что $G$ --- единичный круг. В этом случае
$$r(z,z_1,\ldots,z_n)=M\prod_{j=1}^n\left|\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}\right|,$$
и
$$R_n(G,E)=M\inf_{|z_j|<1}\biggl\|\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}\biggr\|_E.$$
Рассмотрим множество $F$, симметричное множеству Е
относительно единичной окружности. Положим
$$\sigma_n(E,F)=\sup_{r_n}\frac{\min\{|r_n(z)|,\ z\in F\}}{\max\{|r_n(z)|,\ z\in E\}},$$
где верхняя грань берется в классе всех рациональных функций порядка не выше $n$. Очевидно,
$$\sigma_n(E,F)\ge\sup_{B_n}\frac{\min\{|B_n(z)|,\ z\in F\}}{\max\{|B_n(z)|,\ z\in E\}},$$
где верхняя грань берется в классе всех рациональных функций вида $B_n(z)=\displaystyle\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}$, $|z_j|<1$. Из равенства $|B_n(1/\ov z)|=|B_n(z)|^{-1}$ следует, что
\begin{equation}\label{8}
\min\{|B_n(z)|,\ z\in F\}=\left[\max\{|B_n(z)|,\ z\in E\}\right]^{-1}.
\end{equation}
Имеем
$$\sigma_n(E,F)\ge\sup_{B_n}\left[\max\{|B_n(z)|,\ z\in E\}\right]^{-2}$$
или
$$\inf_{B_n}\|B_n(z)\|_E\ge\sigma_n^{-1/2}(E,F).$$
Пользуясь оценкой
$$\sigma_n(E,F)\le e^{nh(E,F)},$$
полученной в работе \cite{5}, и замечая, что $h(E,F)=2h(E,CG)$, получим
$$R_n(G,E)\ge Me^{-nh(E,CG)}.$$

Для доказательства равенства \eqref{7} нам потребуется лемма из работы \cite{5}, которую мы сформулируем для случая, когда $E$ и $F$ симметричны относительно единичной окружности.

\begin{lemma}
Для любого $\varepsilon>0$ существует число $N(\varepsilon)$ такое, что для всех $n>N(\varepsilon)$ существуют рациональные функции $B_n(z)$ вида $B_n(z)=\displaystyle\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}$ такие, что
$$\frac{\min\{|B_n(z)|,\ z\in F\}}{\max\{|B_n(z)|,\ z\in E\}}>e^{n[h(E,F)-\varepsilon]}.$$
\end{lemma}

Из равенства \eqref{8} и леммы следует, что при любом $\varepsilon>0$ для достаточно больших $n$ существуют рациональные функции $B_n(z)$ такие, что
$$\|B_n(z)\|_E<e^{-n[h(E,F)-\varepsilon]}.$$
Отсюда
$$\ov{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{R_n(G,E)}\le e^{-h(E,CG)}.$$
С другой стороны, из неравенства \eqref{6}
$$\ulim_{n\to\infty}\sqrt[n]{R_n(G,E)}\ge e^{-h(E,CG)}.$$
Следовательно, имеет место равенство \eqref{7}. Теорема доказана.
\end{proof}

Если множество $E$ ограничено конечным числом непересекающихся аналитических кривых, то узлы $\widetilde z_j$, выбранные равномерно распределенными на $\partial E$ относительно параметра $\sigma$, $d\sigma=\dfrac{\partial H}{\partial n}ds$ ($H(z)$ --- решение задачи Дирихле для области $G\setminus E$, принимающее значение $0$ на $\partial E$ и $1$ на $\partial G$), или на любой линии уровня $\Gamma_\rho=\{z|H(z)=\rho,\ \rho<0\}$, принадлежащей области, в которую можно продолжить гармонически $H(z)$, будут оптимальными по порядку, т.~е.
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|r(z,z_1,\ldots,z_n)\|_E}=e^{-h(E,CG)}.$$
Это следует из одной теоремы Уолша \cite[\S~8.7, теорема~9]{6}.

\bigskip

\noindent Московский государственный \hfill Поступило\\
университет им.~М.~В.~Ломоносова\hfill 25.11.1974


\bigskip




\renewcommand{\refname}{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} Б а х в а л о в~Н.~С., Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., {\bf11}, \No~4 (1971), 1014--1018.

\bibitem{2} Л а в р е н т ь е в~М.~А., Ш а б а т~Б.~В., Методы теории функций комплексного переменного, М., ``Наука'', 1973.
    
\bibitem{3} О с и п е н к о~К.~Ю., Оптимальная интерполяция аналитических функций, Матем. заметки, {\bf12}, \No~4 (1972), 465--476.
    
\bibitem{4} П о л и а~Г., С е г е~Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, М., Физматгиз, 1962.
    
\bibitem{5} Г о н ч а р~А.~А., О задачах Е.~И.~Золотарева, связанных с рациональными функциями, Матем. сб., {\bf78} (120), \No~4 (1969), 640--654.
    
\bibitem{6} У о л ш~Дж.~Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, М., ИЛ, 1961.
\end{thebibliography}


\end{document}
