\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{cite} %\usepackage{abstract} %\usepackage{srctex} \tolerance 1000 \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem*{lemma}{Лемма} \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem{corollary}{Следствие} \renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup} \DeclareMathOperator*{\IM}{Im} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator*{\spann}{span} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\ctn}{ctn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\arth}{arth} \DeclareMathOperator{\thh}{th} \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff} \DeclareMathOperator{\co}{co} \DeclareMathOperator{\bco}{bco} \DeclareMathOperator*{\ulim}{\underline{\lim}} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\ei}{e^{i\theta}} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta} \newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}} \begin{document} \pagestyle{plain} \begin{flushright} УДК 517.5 \end{flushright} \bigskip \title{НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ИНФОРМАЦИИ ОБ ИХ ЗНАЧЕНИЯХ В КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ ТОЧЕК} \author{К.~Ю.~Осипенко} \maketitle \begin{center} \parbox{10.2cm}{\footnotesize \hspace{20pt}Для класса ограниченных и аналитических в односвязной области функций строится линейный наилучший метод приближения по информации о значениях функции в некоторых точках области, доказывается его единственность. Найдено предельное соотношение для нижней грани нормы погрешности наилучшего метода на произвольном компакте со связным дополнением, где нижняя грань берется по узлам из области аналитичности. Библ.~6 назв.} \end{center} \bigskip {\bf1.} Пусть $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на комплексном линейном пространстве $X$. Рассмотрим задачу приближения функционала $L$ по значениям функционалов $l_1,\ldots,l_n$ на некотором множестве $W\subset X$. Всякий метод приближения функционала $L$, использующий информацию только о значениях функционалов $l_1,\ldots,l_n$ на множестве $W$, может быть представлен в виде некоторой комплекснозначной функции от $n$ переменных $$L(x)\approx S(l_1(x),\ldots,l_n(x)),\quad x\in W.$$ Погрешностью данного метода естественно назвать величину $$r_n(S)=\sup_{x\in W}|L(x)-S(l_1(x),\ldots,l_n(x))|.$$ Назовем метод $S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))$ наилучшим методом приближения, если имеет место равенство $$r_n(S_0)=\inf_Sr_n(S).$$ Оказывается, что для довольно широкого класса множеств среди наилучших методов приближения существует линейный метод. \begin{theorem}\label{T1} Пусть множество $W$ из комплексного линейного пространства $X$ удовлетворяет условиям: $1)$ $W$ --- выпукло, $2)$ $W$ --- круговое множество, т.~е. из $x\in W$ следует, что $e^{i\varphi}\in W$ при всех $\varphi\in[0,2\pi]$. Тогда существуют такие комплексные числа $D_j$, что метод $$S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)$$ является наилучшим методом приближения, и для его погрешности справедливо равенство $$r_n(S_0)=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|.$$ \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим множество точек в $(2n+2)$-мерном вещественном пространстве \begin{multline*} (x_0,y_0,x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n)=(\RE L(x),\IM L(x),\\\RE l_1(x),\IM l_1(x),\ldots,\RE l_n(x), \IM l_n(x)) \end{multline*} при всех $x\in W$, которое обозначим через $W_n$. В силу свойства $1)$ множества $W$ множество точек $W_n$ будет выпукло. Обозначим через $W_n^\varphi$ множество точек, полученных из точек $W_n$ при линейном преобразовании $P_\varphi$, задаваемом равенствами $$\begin{aligned} x_k'=x_k\cos\varphi-y_k\sin\varphi,\\ y_k'=x_k\sin\varphi+y_k\cos\varphi, \end{aligned}\quad k=0,\ldots,n.$$ В силу свойства $2)$ множество точек $W_n^\varphi$ будет совпадать с множеством $W_n$ при всех $\varphi\in[0,2\pi]$. Положим $$R=\sup_{(x_0,y_0,0,\ldots,0)\in W_n}\sqrt{x_0^2+y_0^2}$$ и предположим, что $R<\infty$. Вследствие инвариантности множества $W_n$ относительно преобразований $P_\varphi$ все точки $(x_0,y_0,0,\ldots,0)$, где $x_0^2+y_0^2=R^2$ являются граничными точками множества $W_n$. Через каждую граничную точку выпуклого множества можно провести к нему опорную гиперплоскость. Уравнение опорной гиперплоскости к $W_n$, проходящей через граничную точку $(R,0,\ldots,0)$, можно записать в виде \begin{equation}\label{1} x_0=\sum_{j=1}^n(a_jx_j+b_jy_j)+R. \end{equation} При линейном преобразовании $P_\varphi$ эта гиперплоскость перейдет в опорную гиперплоскость к $W_n^\varphi=W_n$, проходящую через граничную точку $(R\cos\varphi,R\sin\varphi,0,\ldots,0)$ и имеющую вид \begin{multline*} x_0\cos\varphi+y_0\sin\varphi=\sum_{j=1}^n(a_j\cos\varphi-b_j\sin\varphi)x_j\\ +\sum_{j=1}^n(a_j\sin\varphi+b_j\cos\varphi)y_j+R. \end{multline*} Отсюда следует, что при любом $\varphi\in[0,2\pi]$ точки множества $W_n$ лежат в замкнутом полупространстве $$\biggl(x_0-\sum_{j=1}^n(a_jx_j+b_jy_j)\biggr)\cos\varphi +\biggl(y_0-\sum_{j=1}^n(-b_jx_j+a_jy_j)\biggr)\sin\varphi\le R.$$ Множество точек $(A,B)$, удовлетворяющих неравенству $A\cos\varphi+B\sin\varphi\le R$ при любом $\varphi\in[0,2\pi]$, лежит в круге радиуса $R$. Следовательно, для всех точек из $W_n$ справедливо неравенство $$\biggl(x_0-\sum_{j=1}^n(a_jx_j+b_jy_j)\biggr)^2 +\biggl(y_0-\sum_{j=1}^n(-b_jx_j+a_jy_j)\biggr)^2\le R^2.$$ Вспоминая определение множества $W_n$, перепишем последнее неравенство в виде $$\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^n(a_j-ib_j)l_j(x)\biggr|\le R.$$ Поскольку это неравенство справедливо для всех $x\in W$, имеем \begin{equation}\label{2} \sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)\biggr|\le R,\quad D_j=a_j-ib_j. \end{equation} Докажем теперь, что для произвольного метода $S(l_1(x),\ldots,\linebreak l_n(x))$ выполняется неравенство $r_n(S)\ge R$. Из определения $R$ и множества $W_n$ следует, что \begin{equation}\label{3} R=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|. \end{equation} Таким образом, для любого $\varepsilon>0$ существует $x_\varepsilon\in W$ такой, что $l_1(x_\varepsilon)=\ldots=l_n(x_\varepsilon)=0$ и $|L(x_\varepsilon)|>R-\varepsilon$. Этим же свойством будет обладать $-x_\varepsilon\in W$. Из неравенств $$|L(x_\varepsilon)-S(0,\ldots,0)|+|L(-x_\varepsilon)-S(0,\ldots,0)|\ge2|L(x_\varepsilon)| >2(R-\varepsilon)$$ вытекает, что либо для $x_\varepsilon$, либо для $-x_\varepsilon$ погрешность приближения функционала $L$ больше $R-\varepsilon$. Отсюда $$r_n(S)=\sup_{x\in W}|L(x)-S(l_1(x),\ldots,l_n(x))|>R-\varepsilon.$$ В силу произвольности $\varepsilon>0$ и рассматриваемого метода получаем \begin{equation}\label{4} \inf_Sr_n(S)\ge R. \end{equation} Неравенства \eqref{2} и \eqref{4} дают цепочку соотношений \begin{equation}\label{5} \inf_Sr_n(S)\ge R\ge r_n(S_0), \end{equation} где $S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\displaystyle\sum_{j=1}^nD_jl_j(x)$. Множество всевозможных методов приближения содержит в себе множество линейных методов, поэтому неравенства \eqref{5} обращаются в равенства. При $R=\infty$ для любого метода приближения $r_n(S)=\infty$, и всякий метод, а значит, и всякий линейный метод, будет являться наилучшим. Теорема доказана. \end{proof} При некоторых дополнительных условиях на функционалы $L,l_1,\linebreak\ldots,l_n$ может быть доказана теорема единственности для линейного наилучшего метода приближения. \begin{theorem}\label{T2} Пусть относительно множества $W$ выполнены предположения теоремы~$\ref{T1}$. Тогда, если функции $\varphi_j(\varepsilon)=\displaystyle\sup_{x\in A_j(\varepsilon)}\RE L(x)$ и $\psi_j(\varepsilon)=\varphi_j(i\varepsilon)$, где \begin{gather*} A_j(\varepsilon)=\{\,x|x\in W,\ \IM L(x)=0,\ l_k(x)=\varepsilon\delta_{jk},\ k=1,\ldots,n\,\},\\ \delta_{jk}=\begin{cases}1,&j=k,\\ 0,&j\ne k, \end{cases} \end{gather*} дифференцируемы в нуле при всех $j=1,\ldots,n$, то метод $$S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\sum_{j=1}^n[\varphi_j'(0)-i\psi_j'(0)]l_j(x)$$ является единственным линейным наилучшим методом приближения функционала $L(x)$ no значениям функционалов $l_1(x),\ldots,\linebreak l_n(x)$ на множестве $W$. \end{theorem} \begin{proof} В теореме~\ref{T1} было определено множество $W_n$ и доказано существование опорной к нему гиперплоскости \eqref{1}. Рассматривая точки $W_n$, лежащие в плоскостях $(x_0,x_j)$ и $(x_0,y_j)$, нетрудно показать, что при условии дифференцируемости функций $\varphi_j(\varepsilon)$ и $\psi_j(\varepsilon)$ в нуле гиперплоскость \eqref{1} единственна и имеют место равенства $a_j=\varphi_j'(0)$, $b_j=\psi_j'(0)$, $j=1,\ldots,n$. Таким образом, метод $$S_0(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\sum_{j=1}^n(a_j-ib_j)l_j(x)=\sum_{j=1}^n[\varphi_j'(0)- i\psi_j'(0)]l_j(x)$$ является линейным наилучшим методом приближения. Пусть теперь $S_0'(l_1(x),\ldots,l_n(x))=\displaystyle\sum_{j=1}^nC_jl_j(x)$ --- некоторый линейный наилучший метод приближения. Это означает, что $$\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nC_jl_j(x)\biggr|=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|=R.$$ Следовательно, $$\RE L(x)-\sum_{j=1}^n\RE C_j\RE l_j(x)+\sum_{j=1}^n\IM C_j\IM l_j(x)\le R$$ при всех $x\in W$. Переходя к точкам множества $W_n$, получаем, что гиперплоскость $$x_0=\sum_{j=1}^n\RE C_j\RE x_j(x)+\sum_{j=1}^n\IM C_j y_j(x)+R$$ будет опорной гиперплоскостью к множеству $W_n$, проходящей через граничную точку $(R,0,\ldots,0)$. В силу единственности такой гиперплоскости $\RE C_j=a_j=\varphi_j'(0)$, $\IM C_j=-b_j=-\psi_j'(0)$. Теорема доказана. \end{proof} Для вещественных функционалов $L,l_1,\ldots,l_n$ и пространства $X$ утверждение теоремы~\ref{T1} было доказано, например, в работе \cite{1}. {\bf2.} Рассмотрим класс функций $A(G,M)$, аналитических в односвязной области $G$ и удовлетворяющих условию $|f(z)|\le M$, $z\in G$. Пусть $z_1,\ldots,z_n$ --- некоторые различные точки из области $G$. Поставим задачу о наилучшем приближении величины $f(z)$ по значениям $f(z_1),\ldots,f(z_n)$ на классе $A(G,M)$ при любом $z\in G$. Назовем погрешностью наилучшего приближения в точке $z$ величину $$r(z,z_1,\ldots,z_n)=\infp_S\sup_{f\in A(G,M)}|f(z)-S(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))|,$$ а метод $S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))$ --- наилучшим методом приближения, если при всех $z\in G$ имеет место равенство $$r(z,z_1,\ldots,z_n)=\sup_{f\in A(G,M)}|f(z)-S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))|.$$ Будем считать, что односвязная область $G$ не есть вся расширенная плоскость или расширенная плоскость с одной выколотой точкой, так как в этих случаях поставленная задача решается точно в любой точке $z\in G$. \begin{theorem}\label{T3} Метод $$S_0(z,f(z_1),\ldots,f(z_n))=\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(z)}{\omega_j(z_j)}[1-|W_j(z)|^2] f(z_j)$$ является единственным линейным наилучшим методом на классе $A(G,M)$ и для его погрешности справедливо равенство $$r(z,z_1,\ldots,z_n)=M\prod_{j=1}^n|W_j(z)|;$$ здесь $W_j(z)$ --- конформное отображение области $G$ в единичный круг, переводящее точку $z_j$ в нуль, а $\omega_j(z)=\displaystyle\prod_{k\ne j}W_k(z)$. \end{theorem} \begin{proof} Очевидно, класс $A(G,M)$ удовлетворяет условиям теоремы~\ref{T1}. Отсюда сразу следует существование линейного наилучшего метода и равенство для его погрешности $$r(z,z_1,\ldots,z_n)=\sup_{\substack{f\in A(G,M)\\f(z_1)=\ldots=f(z_n)=0}}|f(z)|.$$ Из принципа максимума модуля следует, что для любой функции $f(z)\in A(G,M)$, обращающейся в нуль в точках $z_1,\ldots,z_n$, справедливо представление $f(z)=\displaystyle\prod_{j=1}^nW_j(z)g(z)$, где $g(z)\in A(G,M)$. Таким образом, $$r(z,z_1,\ldots,z_n)=M\prod_{j=1}^n|W_j(z)|.$$ По теореме~\ref{T2} для нахождения линейного наилучшего метода и доказательства его единственности достаточно доказать дифференцируемость по $\varepsilon$ в нуле функций $$\varphi_j(\varepsilon,z)=\sup_{f\in A_j(\varepsilon)}\RE f(z),\quad\psi_j(\varepsilon,z)= \varphi_j(i\varepsilon,z),$$ где $$A_j(\varepsilon)=\{\,f|f\in A(G,M),\ \IM f(z)=0,\ f(z_k)=\varepsilon\delta_{jk}\,\},$$ и найти $\partial\varphi_j(0,z)/\partial\varepsilon$, $\partial\psi_j(0,z)/\partial\varepsilon$. Пусть $f(\xi)\in A(G,M)$ и $f((z_j)=w\delta_{jk}$. Тогда $f(\xi)$ можно представить в виде $f(\xi)=\omega_j(\xi)g(\xi)$, где $g(\xi)\in A(G,M)$ и $g(z_j)=w/\omega_j(z_j)$. Предположим, что $|w|0$ существует число $N(\varepsilon)$ такое, что для всех $n>N(\varepsilon)$ существуют рациональные функции $B_n(z)$ вида $B_n(z)=\displaystyle\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz}$ такие, что $$\frac{\min\{|B_n(z)|,\ z\in F\}}{\max\{|B_n(z)|,\ z\in E\}}>e^{n[h(E,F)-\varepsilon]}.$$ \end{lemma} Из равенства \eqref{8} и леммы следует, что при любом $\varepsilon>0$ для достаточно больших $n$ существуют рациональные функции $B_n(z)$ такие, что $$\|B_n(z)\|_E