\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{cite} %\usepackage{srctex} \tolerance 1000 \newtheorem*{theorem*}{Теорема} \newtheorem*{lemma*}{Лемма} \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem*{corollary*}{Следствие} \renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup} \DeclareMathOperator*{\IM}{Im} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator*{\spann}{span} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\ctn}{ctn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\arth}{arth} \DeclareMathOperator{\thh}{th} \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff} \DeclareMathOperator{\co}{co} \DeclareMathOperator{\bco}{bco} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\ei}{e^{i\theta}} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta} \newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}} \begin{document} \pagestyle{plain} \title{ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ} \author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко} \maketitle {\bf Введение.} Начиная с середины шестидесятых годов в теории приближений большое внимание уделяется задачам восстановления функционалов на некоторых множествах по заданной информации об элементах этих множеств (например, восстановление интеграла от функции из некоторого функционального класса по ее значениям в конечном числе точек). Одним из важнейших результатов в этом направлении является теорема Смоляка \cite{1}, утверждающая, что при определенных условиях среди оптимальных способов восстановления есть аффинный. Проблематика восстановления функционалов по неточно заданной информации естественным образом редуцируется к более общей задаче об аппроксимации многозначных отображений однозначными. Здесь также возникает вопрос об условиях существования оптимальных аффинных методов аппроксимации. В данной работе получены критерии существования оптимального аффинного и линейного методов аппроксимации для задачи приближения многозначных отображений. В качестве следствия устанавливаются аналогичные критерии для задачи восстановления. Статья состоит из трех разделов. В первом из них содержатся постановки задач и необходимые для дальнейшего определения. Во втором разделе приведены формулировки основных результатов. Третий раздел посвящен доказательствам. {\bf1. Постановки задач.} Пусть заданы множества $W$, $Y$, метрическое пространство $(Z,\rho)$, отображение $f\colon W\to Z$, многозначное отображение (м.~о.) $F\colon W\to Y$ (т.~е.\ каждому $x\in W$ сопоставляется непустое множество $F(x)\subset Y$) и отображение (метод) $\varphi\colon Y\to Z$. Величину $$e(f,W,F,\varphi):=\sup_{\substack{x\in W\\y\in F(x)}}\rho(f(x),\varphi(y))$$ назовем погрешностью восстановления отображения $f$ на множестве $W$ по информации $F$ при помощи метода восстановления $\varphi$. Величину \begin{equation}\label{1} e(f,W,F):=\inf_\varphi e(f,W,F,\varphi), \end{equation} где нижняя грань берется по всевозможным методам $\varphi\colon Y\to Z$, будем называть оптимальной погрешностью восстановления, а всякий метод, на котором достигается нижняя грань в \eqref{1}, назовем оптимальным. Многозначность отображения $F$ означает, что информация об элементах $W$ задана, вообще говоря, неточно. Если $F$ --- однозначное отображение, то говорят о задаче восстановления по точным данным. Часто в задачах восстановления по неточным данным рассматривают отображения $F(x)=I(x)+U$, где $I\colon W\to Y$ --- однозначное отображение, a $U$ --- некоторое фиксированное множество. Например, если $Y$ --- нормированное пространство, то, как правило, $U=\{y\in Y|\|y\|\le\delta\}$. Задача \eqref{1} в различных направлениях исследовалась в работах \cite{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Вопросам, связанным с нахождением оптимальных методов восстановления и оценкам их погрешностей в конкретных ситуациях, посвящено большое количество работ, ссылки на которые можно найти в обзорных статьях \cite{4,6,8}, а также в монографии \cite{5}. В алгебраическом случае (а именно такой случай рассматривается в этой работе) существование среди оптимальных методов линейного в выпуклой уравновешенной задаче доказали R. Scharlach \cite{7}, Г. Г. Магарил-Ильяев и Чан Тхи Ле \cite{10}, а в более общей постановке задачи --- для восстановления многозначного отображения однозначным (см.\ ниже) --- В.~В.~Арестов \cite{11}. Перейдем теперь к постановке задачи об аппроксимации многозначных отображений однозначными. Пусть заданы непустое множество $\Omega$, метрическое пространство $(Z,\rho)$, м.~о. $\Phi\colon\Omega\to Z$ и отображение $\varphi\colon\Omega\to Z$. Величину $$E(\Phi,\Omega,\varphi):=\sup_{\substack{y\in\Omega\\z\in\Phi(y)}}\rho(z,\varphi(y))$$ назовем погрешностью аппроксимации м.~о.\ $\Phi$ отображением (методом) $\varphi$. Величину \begin{equation}\label{2} E(\Phi,\Omega):=\inf_\varphi E(\Phi,\Omega,\varphi), \end{equation} где нижняя грань берется по всевозможным методам $\varphi\colon\Omega\to Z$, будем называть оптимальной погрешностью аппроксимации, а всякий метод, на котором достигается нижняя грань в \eqref{2}, --- оптимальным. Легко видеть, что задача \eqref{1} является частным случаем задачи \eqref{2}. Действительно, для любого отображения $\varphi\colon\Omega\to Z$ \begin{equation}\label{3} e(f,W,F,\varphi)=E(f\circ F^{-1},F(W),\varphi), \end{equation} где $F(W)$ --- образ $W$ при отображении $F$ и м.~о. $f\circ F^{-1}\colon F(W)\to Z$ определено естественным образом: $f\circ F^{-1}:=f(F^{-1}(y))$. Следовательно, \begin{equation}\label{4} e(f,W,F)=E(f\circ F^{-1},F(W)). \end{equation} Связь между задачами восстановления и аппроксимации многозначных отображений ранее была отмечена также в работе \cite{11}. С задачей об аппроксимации м.~о. $\Phi\colon\Omega\to Z$ свяжем следующую величину $$R(\Phi,\Omega):=\sup_{y\in\Omega}\infp_{a\in Z}\sup_{z\in\Phi(y)}\rho(z,a),$$ которую назовем радиусом многозначности м.~о. $\Phi$. Соответствующую величину для задачи восстановления (ее обычно называют радиусом информации) обозначим через $r(f,W,F)$, т.~е. \begin{equation}\label{5} r(f,W,F):=R(f\circ F^{-1},F(W)). \end{equation} \begin{lemma*} Пусть $\Omega$ --- непустое множество, $(Z,\rho)$ --- метрическое пространство и $\Phi\colon\Omega\to Z$ --- м.~о. Тогда $$E(\Phi,\Omega)=R(\Phi,\Omega).$$ \end{lemma*} Частные случаи этого легко проверяемого утверждения имеются во многих работах. В данной формулировке оно содержится в работе \cite{11}. Приведем еще некоторые определения, которые понадобятся ниже. Пусть $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$, $X$ --- линейное пространство над $K$ и $X'$ --- пространство, алгебраически сопряженное с $X$. Значение линейного функционала $x'\in X'$ на элементе $x\in X$ обозначаем $\la x',x\ra$. Функция $f\colon X\to K$ называется аффинной, если $f(x)=\la x',x\ra+a$ для некоторых $x'\in X'$ и $a\in K$. Совокупность всех таких функций будем обозначать через $\Aff(X)$. Если $\Omega\subset X$ --- непустое множество, то $\co\Omega$ и $\bco\Omega$ обозначают, соответственно, выпуклую и выпуклую уравновешенную оболочки $\Omega$. Пусть $\Omega\subset X$ --- выпуклое (выпуклое уравновешенное) подмножество и $Y$ --- линейное пространство над $K$. Многозначное отображение $\Phi\colon\Omega\to Y$ называется выпуклым (выпуклым уравновешенным), если его график $\gr(\Phi):=\{(x,y)\in\Omega\times Y|y\in\Phi(x)\}$ --- выпуклое (выпуклое уравновешенное) множество в линейном пространстве $X\times Y$. Каждому непустому подмножеству $\Omega\subset X$ и м.~о.\ $\Phi\colon\Omega\to Y$ можно сопоставить выпуклое (выпуклое уравновешенное) м.~о.\ $\co\Phi\colon\co\Omega\to Y$ ($\bco\Phi\colon\bco\Omega\to Y$) по правилу \begin{gather*} \co\Phi(x):=\{\,y\in Y|(x,y)\in\co\gr(\Phi)\,\}\\ (\bco\Phi(x):=\{\,y\in Y|(x,y)\in\bco\gr(\Phi)\,\}). \end{gather*} {\bf2. Формулировка результатов.} \begin{theorem*} а$)$ Пусть $Y$ --- вещественное линейное пространство, $\Omega\subset Y$ --- непустое множество и $\Phi\colon\Omega\to\mathbb R$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $\varphi\in\Aff(Y)$ такого, что \begin{equation}\label{6} E(\Phi,\Omega,\varphi)=E(\Phi,\Omega), \end{equation} необходимо и достаточно, чтобы \begin{equation}\label{7} R(\Phi,\Omega)=R(\co\Phi,\co\Omega). \end{equation} б$)$ Пусть $Y$ --- линейное пространство над $K$ $($$K=\mathbb R$ или $\mathbb C$$)$, $\Omega\subset Y$ --- непустое множество и $\Phi\colon\Omega\to K$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $y'\in Y'$ такого, что \begin{equation}\label{8} E(\Phi,\Omega,y')=E(\Phi,\Omega), \end{equation} необходимо и достаточно, чтобы $$R(\Phi,\Omega)=R(\bco\Phi,\bco\Omega).$$ При этом \begin{equation}\label{9} E(\Phi,\Omega)=\sup_{\alpha\in\bco\Phi(0)}|\alpha|. \end{equation} \end{theorem*} \begin{corollary*} а$)$ Пусть $X,Y$ --- вещественные линейные пространства, $W\subset X$ --- непустое множество, $f\in\Aff(X)$ и $F\colon W\to Y$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $\varphi\in\Aff(Y)$ такого, что $$e(f,W,F,\varphi)=e(f,W,F),$$ необходимо и достаточно, чтобы $$r(f,W,F)=r(f,\co W,\co F).$$ б$)$ Пусть $X,Y$ --- линейные пространства над $K$ $($$K=\mathbb R$ или $\mathbb C$$)$, $W\subset X$ --- непустое множество, $x'\in X'$ и $F\colon W\to Y$ --- многозначное отображение. Тогда для существования $y'\in Y'$ такого, что $$e(x',W,F,y')=e(x',W,F),$$ необходимо и достаточно, чтобы $$r(x',W,F)=r(x',\bco W,\bco F).$$ При этом $$e(x',W,F)=\sup_{x\in(\bco F)^{-1}(0)}|\la x',x\ra|.$$ \end{corollary*} З а м е ч а н и е. Для комплексного линейного пространства утверждения п.п.\ а) теоремы и следствия не имеют места. Соответствующий пример приведен в конце раздела 3. {\bf3. Доказательство теоремы.} а) Разобьем доказательство этого пункта на несколько этапов. 1) Покажем, что если $\Omega\subset Y$ --- выпуклое множество и $\Phi\colon\Omega\to\mathbb R$ --- выпуклое м.~о., то существует $\varphi\in\Aff(Y)$, для которого выполнено равенство \eqref{6}. Если $R:=R(\Phi,\Omega)=\infty$, то по лемме $E(\Phi,\Omega)=\infty$ и, следовательно, любой метод оптимален. Если $R=0$, то $\Phi$ --- однозначное отображение. Пусть $\widetilde\Omega:=\Omega-y_0$, где $y_0\in\Omega$ и $\widetilde\Phi(z):=\Phi(z+y_0)-\Phi(y_0)$, $z\in\widetilde\Omega$. Ясно, что $0\in\widetilde\Omega$, $\widetilde\Phi(0)=0$ и, так как $\gr(\Phi)$ — выпуклое множество, то для любых $z_j\in\widetilde\Omega$, $\lambda_j\ge0$ ($j=1,\ldots,n$), $\sum_{j=1}^n\lambda_j=1$, имеем $$\widetilde\Phi\biggl(\sum_{j=1}^n\lambda_jz_j\biggr)=\sum_{j=1}^n\lambda_j\widetilde\Phi(z_j).$$ Отсюда следует, что $\widetilde\Phi$ по линейности единственным образом продолжается на $\spann\widetilde\Omega$ --- линейную оболочку $\widetilde\Omega$. Обозначим это продолжение через $\Phi'$. Если теперь $y'\in Y'$ --- любое продолжение $\Phi'$ на все $Y$ (как известно, такое $y'$ всегда существует), то $\Phi$ есть сужение на $\Omega$ аффинной функции $\varphi(y)=\la y',y\ra+\Phi(y_0)-\la y',y_0\ra$ и тем самым $E(\Phi,\Omega,\varphi)=0$. Таким образом, \eqref{6} доказано. Пусть $00|u\in tW\}$ его функционал Минковского и покажем, что если $u=(0,\alpha)\in Y\times\mathbb R$, $\alpha>0$, то $p(u)=\alpha(2R)^{-1}$. Легко видеть, что $R$ можно записать в виде \begin{equation}\label{10} R=\sup_{y\in\Omega}\frac12\biggl(\sup_{\beta\in\Phi(y)}\beta-\inf_{\beta\in\Phi(y)}\beta\biggr). \end{equation} Тем самым для любого $0<\varepsilon<2R$ найдутся $y_\varepsilon\in\Omega$ и $\beta_1,\beta_2\in\Phi(y_\varepsilon)$ такие, что $\beta_1-\beta_2\ge2R-\varepsilon$. Положим $t_0:=\alpha(\beta_1-\beta_2)^{-1}$. Тогда $u:=t_0(0,\beta_1-\beta_2)=t_0((y_\varepsilon,\beta_1)-(y_\varepsilon,\beta_2))\in t_0W$, т.~е. $p(u)\le t_0\le\alpha(2R-\varepsilon)^{-1}$. Таким образом, $p(u)\le\alpha(2R)^{-1}$ в силу произвольности $\varepsilon$. Если $p(u)<\alpha(2R)^{-1}$, то найдется такое $02R$, что противоречит \eqref{10}. Рассмотрим подпространство $L:=\{u\in Y\times\mathbb R|u=(0,\alpha)\}$ и линейный функционал $u'$ на $L$, определенный равенством $\la u',u\ra:=\alpha(2R)^{-1}$. По доказанному $\la u',u\ra\le p(u)$ для всех $u\in L$. Из теоремы Хана--Банаха следует существование такого функционала $u_1'\in(Y\times\mathbb R)'$ что $\la u_1',u\ra\le p(u)$, $u\in Y\times\mathbb R$, и сужение $u_1'$ на $L$ совпадает с $u'$. Поскольку $u_1'=(y_1',\gamma)$, где $y_1'\in Y'$, $\gamma\in\mathbb R$, и $p(u)\le1$ для $u\in W$, то при всех $y_1,y_2\in\Omega$ и $\beta_1\in\Phi(y_1)$, $\beta_2\in\Phi(y_2)$ имеем \begin{equation}\label{11} \la u_1',(y_1-y_2,\beta_1-\beta_2)\ra=\la y_1',y_1-y_2\ra+\gamma(\beta_1-\beta_2)\ra\le1. \end{equation} Так как $\la u',u\ra=\alpha(2R)^{-1}$, если $u=(0,\alpha)$, то $\gamma=(2R)^{-1}$. Тогда, полагая $y':=-2Ry_1'$, получаем из \eqref{11} $$\beta_1-\la y',y_1\ra-R\le\beta_2-\la y',y_2\ra+R.$$ Следовательно, существует такое $a\in\mathbb R$, что при всех $y_1,y_2\in\Omega$ и $\beta_1\in\Phi(y_1)$, $\beta_2\in\Phi(y_2)$ $$\beta_1-\la y',y_1\ra-R\le a\le\beta_2-\la y',y_2\ra+R.$$ Таким образом, $$\sup_{(y,\beta)\in\gr(\Phi)}|\beta-\la y',y\ra-a|\le R,$$ т.~е. $E(\Phi,\Omega,\varphi)\le R(\Phi,\Omega)$, где $\varphi(y):=\la y',y\ra+a$. Это вместе с леммой доказывает $1)$. $2)$ Докажем, что в условиях теоремы из \eqref{6} следует \eqref{7}. Проверим сначала, что если $\varphi\in\Aff(Y)$, то \begin{equation}\label{12} E(\Phi,\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi). \end{equation} Действительно, левая часть в \eqref{12}, очевидно, не больше правой. Обратно, пусть $(y,\beta)\in\gr(\co\Phi)=\co\gr(\Phi)$. Тогда $(y,\beta)=\sum_{j=1}^n\lambda_j(y_j,\beta_j)$, где $\sum_{j=1}^n\lambda_j=1$, $\lambda_j\ge0$ и $(y_j,\beta_j)\in\gr(\Phi)$, $j=1,\ldots,n$. Имеем \begin{multline*} |\beta-\varphi(y)|=\biggl|\sum_{j=1}^n\lambda_j\beta_j-\varphi\biggl(\sum_{j=1}^n\lambda_jy_j \biggr)\biggr|=\biggl|\sum_{j=1}^n\lambda_j(\beta_j-\varphi(y_j))\biggr|\\ \le\max_{1\le j\le n}|\beta_j-\varphi(y_j)|\le E(\Phi,\Omega,\varphi). \end{multline*} Следовательно, $E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)\le E(\Phi,\Omega,\varphi)$ и равенство \eqref{12} доказано. Пусть справедливо \eqref{6}. Тогда, применяя лемму и \eqref{12}, получаем \begin{multline*} R(\co\Phi,\co\Omega)=E(\co\Phi,\co\Omega)\le E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)=E(\Phi,\Omega,\varphi)\\=E(\Phi,\Omega)=R(\Phi,\Omega). \end{multline*} Поскольку обратное неравенство $R(\Phi,\Omega)\le R(\co\Phi,\co\Omega)$ очевидно, то \eqref{7} доказано. $3)$ Покажем теперь, что из \eqref{7} следует \eqref{6}. Действительно, по доказанному в $1)$ существует $\varphi\in\Aff(Y)$, что $$E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega).$$ Учитывая это равенство, лемму и равенство \eqref{12}, будем иметь \begin{multline*} E(\Phi,\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega,\varphi)=E(\co\Phi,\co\Omega)=R(\co\Phi,\co\Omega)\\ =R(\Phi,\Omega)=E(\Phi,\Omega). \end{multline*} Тем самым часть a) теоремы доказана. б) Докажем сначала, что если $\Omega$ --- выпуклое уравновешенное множество и $\Phi\colon\Omega\to K$ --- выпуклое уравновешенное м.~о., то существует $y'\in Y'$, для которого справедливо равенство \eqref{8}. Ясно, что $0\in\Omega$ и $\Phi(0)$ --- выпуклое уравновешенное множество. Следовательно, \begin{equation}\label{13} R(\Phi,\Omega)\ge\infp_{a\in K}\sup_{\beta\in\Phi(0)}|\beta-a|=\sup_{\beta\in\Phi(0)}|\beta|=:R_0. \end{equation} Если $R_0=\infty$, то из \eqref{13} и леммы вытекает, что $E(\Phi,\Omega)=\infty$, и, стало быть, любой метод оптимален. Если же $R_0=0$, то нетрудно убедиться, что $\Phi$ --- однозначное отображение, и аналогично тому, как это было сделано в части а), проверяется, что $\Phi$ есть сужение на $\Omega$ некоторого линейного функционала $y'\in Y'$. Таким образом, $E(\Phi,\Omega,y')=0$, а следовательно, имеет место \eqref{8}. Пусть $00|(0,\alpha)\in tW\}=\inf\{t>0|\alpha t^{-1}\in\Phi(0)\}\\ =|\alpha|\biggl(\sup_{\beta\in\Phi(0)}|\beta|\biggr)^{-1}=|\alpha|R_0^{-1}. \end{multline*} Определим на подпространстве $L:=\{u\in Y\times K|u=(0,\alpha)\}$ линейный функционал $u'$ равенством $\la u',u\ra:=\alpha R_0^{-1}$. Тогда $|\la u',u\ra|=p(u)$, $u\in L$, и по теореме Хана--Банаха существует такое его продолжение $u_1'$ на $Y\times K$, что $|\la u_1',u\ra|\le p(u)$ при $u\in Y\times K$. Аналогично доказательству части а) теоремы для любых $y\in\Omega$ и $\beta\in\Phi(y)$ имеем $$|\la u_1',(y,\beta)\ra|=|\beta R_0^{-1}+\la y_1',y\ra|\le1,$$ где $y_1'\in Y'$. Полагая $y':=-R_0y_1'$, получаем $$|\beta-\la y',y\ra|\le R_0,$$ т.~е. $E(\Phi,\Omega,y')\le R_0$. Вместе с \eqref{13} и леммой это доказывает справедливость равенств \eqref{8} и \eqref{9} для данного случая. Дальнейший ход доказательства части б) совершенно аналогичен доказательству части а). Теорема доказана. Для доказательства следствия, учитывая равенства \eqref{3}--\eqref{5}, достаточно доказать, что \begin{gather*} \co(f\circ F^{-1})=f\circ(\co F)^{-1},\quad f\in\Aff(X),\\ \bco(x'\circ F^{-1})=x'\circ(\bco F)^{-1},\quad x'\in X', \end{gather*} и $$\co(F(W))=\co F(\co W),\quad\bco(F(W))=\bco F(\bco W).$$ Справедливость этих равенств легко следует непосредственно из определений. Приведем теперь пример, показывающий, что утверждения пп. а) теоремы и следствия в общем случае не имеют места. Рассмотрим следующую задачу восстановления (которую можно сформулировать и как задачу аппроксимации соответствующего многозначного отображения). Пусть $X=Y=\mathbb C$, $W:=\{z\in\mathbb C|\lambda_1|\RE z|+\lambda_2|\IM z|\le1\}$, $0<\lambda_1<\lambda_2$, $f(z):=z$, $F(z):=\RE z+\delta U$, $U:=[-1,1]$, $0<\delta<\mu/3$, где $\mu:=2\lambda_1/(\lambda_1^2+\lambda_2^2)$. Из леммы и равенств \eqref{4}, \eqref{5} имеем \begin{multline}\label{14} e(f,W,F)=r(f,W,F)\ge\infp_{\alpha\in\mathbb C\vphantom{F^{-1}}}\sup_{z\in F^{-1}(0)}|z-\alpha|\\ =\infp_{\alpha\in\mathbb C}\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z-\alpha|=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z|=\lambda_2^{-1}. \end{multline} Положим $$\varphi_0(y):=\begin{cases}0,&|y|\le2\delta,\\ y,&|y|>2\delta.\end{cases}$$ Тогда, если $|y|\le2\delta$, то $$\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}|z|=\lambda_2^{-1},$$ так как $|\RE z|\le3\delta<\mu$. При $|y|>2\delta$ \ $|\RE z|>\delta$ и, следовательно, $|\IM z|<(1-\lambda_1\delta)\lambda_2^{-1}$, поэтому $$\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}|z-y|<\sqrt{\delta^2+(1-\lambda_1\delta)^2\lambda_2^{-2}}<\lambda_2^{-1}.$$ Отсюда следует, что $e(f,W,F,\varphi_0)=\lambda_2^{-1}$. Это вместе с соотношениями \eqref{14} дает $$e(f,W,F)=\lambda_2^{-1}.$$ С другой стороны, для любого аффинного метода $\varphi(y)=c_1y+ic_2u+\alpha$, где $c_1,c_2\in\mathbb R$, $\alpha\in\mathbb C$, имеем \begin{multline}\label{15} e(f,W,F,\varphi)=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}|z-\varphi(y)|\\ \ge\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z-\varphi(0)|=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z|\le\delta}}|z-\alpha|\ge\lambda_2^{-1}. \end{multline} Если $\alpha\ne0$, то последнее неравенство в \eqref{15} строгое и тем самым $e(f,W,F,\varphi)>\lambda_2^{-1}$. Пусть $\alpha=0$. Поскольку $$e(f,W,F,\varphi)=\sup_{\substack{z\in W\\|\RE z-y|\le\delta}}\sqrt{(\RE z-c_1y)^2+(\IM z-c_2y)^2},$$ то, полагая $z=y=\lambda_1^{-1}$, а затем $z=i\lambda_2^{-1}$, $y=\pm\delta$, получаем \begin{multline*} e(f,W,F,\varphi)\ge\max\left\{\sqrt{\lambda_1^{-2}(1-c_1)^2+\lambda_1^{-2}c_2^2},\right.\\\left. \sqrt{\delta^2c_1^2+(\lambda_2^{-1}\pm\delta c_2)^2}\right\}>\lambda_2^{-1}. \end{multline*} Таким образом, доказано, что среди оптимальных методов восстановления не существует аффинного. Отметим, что данная конструкция является модификацией одного примера из \cite{12}. \bigskip \noindent Центральный научно-исследовательский \hfill Поступило\\ институт комплексной автоматизации\hfill 12.04.90\\ \smallskip \noindent Московский авиационный технологический\\ институт им.~К.~Э.~Циолковского \bigskip \renewcommand{\refname}{СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ} \begin{thebibliography}{11} \bibitem{1} С м о л я к~С.~А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1965. \bibitem{2} О с и п е н к о К . Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Математические заметки. 1976. Т.~19, вып.~1. С.~29--40. \bibitem{3} М а р ч у к А. Г., О с и п е н к о К. Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Математические заметки. 1975. Т.~17, вып.~3. С.~359--368. \selectlanguage{english} \bibitem{4} M i c c h e l l i C. A., R i v l i n T. J. A survey of optimal recovery, Optimal estimation in approximation theory. N. Y.: Plenum Press, 1977. P.~1--54. \selectlanguage{russian} \bibitem{5} T p а у б Дж., В о ж ь н я к о в с к и й X. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983. \selectlanguage{english} \bibitem{6} M i c c h e l l i C. A., R i v l i n T. J. Lectures on optimal recovery // Lect. Notes Math. 1985. V.~1129. P.~21--93. \bibitem{7} S c h a r l a c h R . Optimal recovery by linear functionals // J. Appoxim. Theory. 1985. V.~44, N~2. P.~167--172. \bibitem{8} W o z n i a k o w s k i H . A survey of information-based complexity // J. Complexity. 1985. V.~1. P.~11--44. \bibitem{9} S u k h a r e v A . G . On the existence of optimal affine methods for approximating linear functionals // J. Complexity. 1986. V.~2. P.~317--322. \bibitem{10} \selectlanguage{russian}M а г а р и л-И л ь я е в Г . Г., Ч а н Т х и Л е. К задаче оптимального восстановления функционалов // УМН. 1987. Т.~42, \No~2. С.~237--238. \bibitem{11} А р е с т о в В . В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН СССР. Т.~189. М.: Наука, 1989. С.~3--20. \selectlanguage{english} \bibitem{12} M e l k m a n A. A., M i c c h e l l i C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V.~16, N~1. P.~87--105. \end{thebibliography} \end{document}