\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 1100 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newtheorem{thm}{Теорема} \newtheorem{cor}{Следствие} \newtheorem{lem}{Лемма} \newtheorem{pro}{Предложение} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator{\ctn}{ctn} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\spa}{span} \renewcommand*{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \newcommand*{\hi}{H_{\infty,\beta}^r} \newcommand*{\hir}{H_{\infty,\beta}^{r,\mathbb R}} \newcommand*{\h}{H_{\infty,\beta}} \newcommand*{\hrr}{H_\infty^r} \newcommand*{\hR}{H_\infty^{r,\mathbb R}} \newcommand*{\hr}{H_{\infty,\beta}^\mathbb R} \newcommand*{\ef}{\Phi_{n,r}^\beta} \newcommand*{\vp}{\varphi_{n,r}^\beta} \newcommand*{\vpo}{\varphi_{n,0}^\beta} \newcommand*{\ov}{\overline} \begin{document} \title[Об оптимальных методах восстановления]{Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди--Соболева} \author{К.~Ю.~Осипенко} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No99-01-01181 и \No00--15--96109)} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} %\date{} \begin{abstract} В работе предложен общий подход к построению оптимальных методов восстановления линейных функционалов по известному решению двойственной экстремальной задачи, основанный на некоторой параметризации этого решения. С помощью предложенного подхода удается решить ряд задач оптимального восстановления функций на классах Харди--Соболева таких, как восстановление значений функции по информации о коэффициентах Фурье или о значениях в некоторой системе узлов в периодическом и непериодическом случаях. \end{abstract} \maketitle \section{Постановка задачи и метод параметризации} Пусть $W$ --- некоторое множество из линейного пространства $X$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления линейного функционала $L$ на этом множестве по значениям линейных функционалов $l_1,\ldots,l_n$. Положим для $x\in W$ $$Ix:=(l_1x,\ldots,l_nx).$$ Оператор $I\colon W\to K^n$, где $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$ в зависимости от того, вещественное или комплексное линейное пространство $X$, называется {\it информационным\/} оператором. Величина $$e(L,W,I):=\infp_{S\colon K^n\to K}\sup_{x\in W}|Lx-S(Ix)|$$ называется {\it погрешностью\/} оптимального восстановления функционала $L$ на множестве $W$. Всякий метод $S_0$, для которого $$\sup_{x\in W}|Lx-S_0(Ix)|=e(L,W,I),$$ будем называть {\it оптимальным\/} методом восстановления. С.~А.~Смоляком \cite{Smolyak} было доказано, что в вещественном случае для выпуклого и центрально-симметричного множества $W$ среди оптимальных методов восстановления существует линейный и имеет место равенство \begin{equation}\label{Sm} e(L,W,I)=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|. \end{equation} Аналогичный результат в комплексном случае для выпуклого и уравновешенного множества $W$ был доказан в работе \cite{Os} (более общие постановки задач восстановления и соответствующие результаты можно найти в работе \cite{MOs} и цитируемой там литературе). Всякий элемент $x_0\in W$, для которого $Ix_0=0$ и $$|Lx_0|=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|,$$ будем называть {\it экстремальным}. Задача нахождения экстремального элемента чаще оказывается более простой, чем задача нахождения оптимального метода восстановления. Цель данной работы --- предложить способ, позволяющий по экстремальному элементу (при наличии некоторой его параметризации) получать оптимальный метод восстановления, и построить ряд оптимальных методов восстановления, используя предложенную схему. \begin{thm}\label2 Пусть $X$ --- вещественное линейное пространство, $W$ --- выпуклое центрально-симметричное множество из $X$ и $x_0$ --- экстремальный элемент в задаче оптимального восстановления линейного функционала $L$ на множестве $W$ по значениям линейных функционалов $l_1x,\ldots,l_nx$. Предположим, что при всех $M=(t_1,\ldots,t_{s+n})\in\mathbb R^{n+s}$ из некоторой окрестности точки $M_0\in\mathbb R^{n+s}$ существуют $x(M)\in X$ такие, что $x(M_0)=x_0$ и для заданных функций $\psi_1(M),\ldots,\psi_s(M)$ таких, что $\psi_j(M_0)=0$, $j=1,\ldots,s$, при всех $M$ из окрестности $M_0$, удовлетворяющих условию $\psi_j(M)=0$, $j=1,\ldots,s$, \ $x(M)\in W$ $($в случае $s=0$ будем считать, что при всех $M$ из окрестности $M_0$ \ $x(M) \in W)$. Тогда, если функции $\varphi(M):=Lx(M)$, $\varphi_j(M):=l_jx(M)$, $j=1,\ldots,n$, и $\psi_j(M)$, $j=1,\ldots,s$, имеют в окрестности $M_0$ непрерывные частные производные по всем аргументам и определитель матрицы $$J(M)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_1}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n}{ \partial t_1}&\dfrac{\partial\psi_1}{\partial t_1}&\ldots&\dfrac{\partial \psi_s}{\partial t_1}\\ \hdotsfor{6}\\ \dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_{n+s}}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n }{\partial t_{n+s}}&\dfrac{\partial\psi_1}{\partial t_{n+s}}&\ldots&\dfrac{ \partial\psi_s}{\partial t_{n+s}} \end{pmatrix}$$ отличен от нуля в точке $M_0$, то единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод $$Lx\approx\sum_{j=1}^nC_jl_jx,$$ где $C_1,\ldots,C_n$ --- решения системы $$J(M_0)\mathbf C=\grad\varphi_{\big|M_0},$$ в которой $\mathbf C=(C_1,\ldots,C_{n+s})$. \end{thm} \begin{proof} Пусть $$Lx\approx\sum_{j=1}^nC_jl_jx$$ --- оптимальный метод восстановления. Тогда в силу того, что $x_0$ экстремальный элемент, имеем при всех $x\in W$ $$|Lx-\sum_{j=1}^nC_jl_jx|\le|Lx_0|.$$ Следовательно, при всех $M$ из некоторой окрестности $M_0$ таких, что $\psi _j(M_0)=0$, $j=1,\ldots,s$, выполнено неравенство $$|\varphi(M)-\sum_{j=1}^nC_j\varphi_j(M)|\le|\varphi(M_0)|.$$ Поскольку $\varphi_j(M_0)=0$, $j=1,\ldots,n$, то отсюда легко вытекает, что функция $$\varphi(M)-\sum_{j=1}^nC_j\varphi_j(M)$$ имеет относительный экстремум в точке $M_0$. Метод Лагранжа приводит к необходимым условиям $$\frac{\partial\varphi}{\partial t_m}-\sum_{j=1}^nC_j\frac{\partial\varphi _j}{\partial t_m}-\sum_{j=1}^sC_{n+j}\frac{\partial\psi_j}{\partial t_m}=0, \quad m=1,\ldots,n+s,$$ из которых однозначно определяются $C_1,\ldots,C_n$. \end{proof} Приведем один простейший пример. Пусть $\mathcal H_\infty^\mathbb R$ пространство функций, аналитических в единичном круге $$D:=\{\,z\in\mathbb C:|z|<1\,\},$$ ограниченных в нем и вещественных на интервале $(-1,1)$. В качестве множества $W$ рассмотрим $H_\infty^\mathbb R$ --- множество функций из $ \mathcal H_\infty^\mathbb R$, удовлетворяющих условию $$\sup_{z\in D}|f(z)|\le1.$$ Для задачи оптимального восстановления функций из $H_\infty^\mathbb R$ в точке $\tau\in(-1,1)$ по их значениям в нуле двойственная экстремальная задача \eqref{Sm} решается сразу же с помощью леммы Шварца: $$\sup_{\substack{f\in H_\infty^\mathbb R\\f(0)=0}}|f(\tau)|=|\tau|.$$ Тем самым функция $f_0(z)=z$ является экстремальной для рассматриваемой задачи. Положим $$f_1(z,t)=\frac{z+t}{1+tz}.$$ Легко убедиться, что $f_1(z,t)\in H_\infty^\mathbb R$ при всех $t\in(-1,1) $. Кроме того, $f_1(z,0)=f_0(z)$ и $f_1(0,t)=t$. Из теоремы~\ref2 получаем, что единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод $$f(\tau)\approx\left(\frac{\partial f_1}{\partial t}(0,0)\right)^{-1}\frac{ \partial f_1}{\partial t}(\tau,0)f(0)=(1-\tau^2)f(0).$$ Более общие результаты относительно рассмотренной задачи можно найти в \cite{Os} и \cite{FM} (они также могут быть получены предлагаемым методом). \section{Восстановление по коэффициентам Фурье} Классом Харди--Соболева $\hi$ будем называть множество $2\pi$-периодических функций, аналитических в полосе $S_\beta:=\{z\in\mathbb C:|\Im z|<\beta\}$ и удовлетворяющих условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, $z\in S_\beta$. Через $\hir$ будем обозначать класс функций из $\hi$, вещественных на вещественной оси. В случае $r=0$ эти классы будем обозначать через $\h$ и $\hr$, соответственно. Положим \begin{align*} a_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\cos jx\,dx,\quad j=0,1,\ldots\,\,,\\ b_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\sin jx\,dx,\quad j=1,2,\ldots\,\,, \end{align*} где $\mathbb T:=[0,2\pi)$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $f\in\hi$, $\xi\in\mathbb T$, по значениям информационного оператора $$If=(a_0(f),a_1(f),\ldots,a_{n-1}(f),b_1(f),\ldots,b_{n-1}(f)).$$ В силу инвариантности рассматриваемого класса относительно сдвига погрешность оптимального восстановления не зависит от точки $\xi$. Будем обозначать ее через $e(\hi,I)$. Решение исследуемой задачи дается в терминах теории эллиптических функций. Напомним некоторые определения из этой теории. Полными эллиптическими интегралами первого рода для модулей $k$ и $k':=\sqrt{1-k^2}$ называются величины $$K:=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\quad K':=\int_0^1\frac{dt }{\sqrt{(1-t^2)(1-k'{}^2t^2)}}.$$ В дальнейшем будем считать, что $k$ выбрано из условия $$\frac{\pi K'}{2K}=\beta.$$ При этом $k$ определяется равенством (см., например, \cite{Akh}) $$k=4e^{-\beta}\left(\frac{\sum_{m=0}^\infty e^{-2\beta m(m+1)}}{1+2\sum_{m =1}^\infty e^{-2\beta m^2}}\right)^2.$$ Мы будем использовать стандартные обозначения $\sn(z,k)$, $\cn(z,k)$ и $\dn (z,k)$ для эллиптических функций Якоби, опуская зависимость их от модуля, когда последний равен $k$. Положим $$\Phi_{n,0}^\beta(z):=\sqrt\lambda\sn\left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda \right),\quad \ef:=D_r*\Phi_{n,0},\quad r\ge1,$$ где $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $\lambda$, определяемого равенством $$\frac{\Lambda'}\Lambda=2n\frac{K'}K=\frac{4\beta n}\pi,$$ $$D_r(t)=2\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos(mt-\pi r/2)}{m^r},\quad r=1,2,\ldots \,\,,$$ --- ядро Бернулли, а $$(f*g)(z):=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tf(z-t)g(t)\,dt.$$ Функции $\ef$, введенные в работе \cite{OsCo}, обладают свойствами, аналогичными свойствам идеальных сплайнов Эйлера (см., например, \cite [стр.~72]{Kor}). Идеальные сплайны Эйлера являются решениями ряда классических экстремальных задач на классах Соболева (о точных значениях поперечников, о неравенстве для производных колмогоровского типа и др.), а функции $\ef$ оказываются решениями аналогичных задач для аналитических функций из классов Харди--Соболева. Из работы \cite{OsCo} следует, что $$\begin{aligned} \ef(z)&=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{\sin((2m+1) nz-\pi r/2)}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)},\\ \|\ef\|_\infty&=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1 )^{m(r+1)}}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)}, \end{aligned}\qquad r=0,1,\ldots$$ (через $\|\cdot\|_\infty$ мы обозначаем стандартную норму в $L_\infty( \mathbb T)$). В \cite{OsW} было доказано, что $$e(\hi,I)=\|\ef\|_\infty,$$ а экстремальной функцией для задачи оптимального восстановления значения $f (0)$ на классе $\hi$ по информационному оператору $I$ является функция $$\vp(z):=\begin{cases}\ef\left(z+\dfrac\pi{2n}\right),&r=2l,\\ \ef(z),&r=2l+1.\end{cases}$$ Однако вопрос о сам\'ом оптимальном методе восстановления остался открытым. Пользуясь теоремой~\ref2, мы построим линейный оптимальный метод восстановления для этой задачи. Докажем сначала один вспомогательный результат. Положим $$\ctn z:=\frac{\cn z\dn z}{\sn z}.$$ \begin{lem}\label{l1} При всех $0\le t_1<\ldotse(\hi,I_0). \end{equation} Тогда для функции $\ov{f_0(\ov z)}\in\hi$ также выполнено неравенство \eqref*. Без ограничения общности можно считать, что $f_0(0)-S(I_0f_0)>0$. Следовательно, для функции $$g(z):=\frac{f_0(z)+\ov{f_0(\ov z)}}2\in\hir$$ имеем $$g(0)-S(I_0g)>e(\hi,I_0)\ge e(\hir,I_0),$$ что невозможно в силу оптимальности метода $S$ на классе $\hir$. Для нахождения оптимального метода восстановления значения $f(\xi)$ достаточно рассмотреть оптимальный метод восстановления в нуле для функции $F(z)=f(z+\xi)$. \end{proof} \begin{cor} Для всех $\xi\in\mathbb T$ метод $$f(\xi)\approx\frac1n\sum_{|j|\le n-1}\biggl(\sum_{m=1}^n(-1)^{m+1}\ctn \frac{2m-1}{2n}K\cos j\frac{2m-1}{2n}\pi\biggr)\frac{e^{ij\xi}}{c_j(\sigma) }c_j(f)$$ является оптимальным методом восстановления на классе $\h$ по значениям коэффициентов Фурье $$c_j(f)=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tf(t)e^{-ijt}\,dt,\quad|j|\le n-1.$$ При $r\ge1$ для всех $\xi\in\mathbb T$ оптимальным методом на классе $\hi$ является метод $$f(\xi)\approx c_0(f)+\frac1n\sum_{\substack{|j|\le n-1\\j\ne0}}|j|^rd_{|j |r}\frac{e^{ij\xi}}{c_j(\sigma)}c_j(f).$$ \end{cor} \section{Восстановление по значениям в точках} Рассмотрим теперь задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $f \in\hi$, $\xi\in\mathbb T$, по значениям информационного оператора $$I_\tau:=(f(\tau_1),\ldots,f(\tau_{2n})),$$ где $\tau=(\tau_1,\ldots,\tau_{2n})$, $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$. Будем считать, что $r\ge1$ (при $r=0$ решение рассматриваемой задачи было получено в \cite{OsW}). Докажем сначала ряд вспомогательных утверждений. \begin{lem}\label L При всех $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$ найдутся такие $0\le\theta_1< \ldots<\theta_{2n}<2\pi$, что для функции $f_0\in\hi$, имеющей вид $$f_0=c+D_r*B_0,$$ где $c\in\mathbb R$, а $$B_0(t)=k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(t-\theta_j)\right),$$ $a_0(B_0)=0$ и $f_0(\tau_1)=\ldots=f_0(\tau_{2n})=0.$ \end{lem} \begin{proof} Напомним, что произведением Бляшке порядка $m$ для области $\Omega\subset \mathbb C$ называется функция вида $$B(z)=\varepsilon\exp\biggl(-\sum_{j=1}^mP(z,\zeta_j)\biggr),$$ где $\zeta_1,\ldots,\zeta_m$ --- точки из $\Omega$, $|\varepsilon|=1$, $P(z ,\zeta)=u(z,\zeta)+iv(z,\zeta)$, $u(z,\zeta)$ --- функция Грина области $ \Omega$ с особенностью в точке $\zeta$, а $v(z,\zeta)$ --- сопряженная к $u (z,\zeta)$ функция (в общем случае многозначная). Обозначим через $\mathcal B_{2n}$ множество однозначных произведений Бляшке в кольце $\Omega_\beta=\{ z\in\mathbb C:e^{-\beta}<|z||f_0(\xi)|$. Так как для функции $\widehat g(z)=g (z)\exp(-i\arg g(\xi))$ выполнены те же условия, можно без ограничения общности считать, что $g(\xi)>0$. Положим $$g_0(z):=\frac{g(z)+\ov{g(\ov z)}}2.$$ Очевидно, что $g_0\in\hir$ и $g_0(\xi)=g(\xi)$. Рассмотрим функцию $$F:=f_0-\rho g_0,\quad\rho=\frac{f_0(\xi)}{g_0(\xi)}.$$ Эта функция имеет нули в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n},\xi$. Следовательно, по теореме Ролля $F^{(r)}$ имеет не менее $2n+1$ нулей на $ \mathbb T$. Отсюда вытекает, что однозначная и аналитическая в кольце $ \Omega_\beta$ функция $F^{(r)}\left(\dfrac1i\ln w\right)$ имеет в этом кольце не менее $2n+1$ нулей. Поскольку произведение Бляшке на границе $ \Omega_\beta$ удовлетворяет условию $$\left|B_0\left(\dfrac1i\ln w\right)\right|=1,\quad w\in\partial\Omega_ \beta,$$ а $f^{(r)}_0=B_0$, то при $w\in\partial\Omega_\beta$ \begin{multline*} \left|f^{(r)}_0\left(\frac1i\ln w\right)-F^{(r)}\left(\frac1i\ln w\right) \right|=\left|\rho g_0^{(r)}\left(\frac1i\ln w\right)\right|\\ \le|\rho|<1=\left|f^{(r)}_0\left(\frac1i\ln w\right)\right|. \end{multline*} Так как у $B_0\left(\dfrac1i\ln w\right)$ ровно $2n$ нулей в области $ \Omega_\beta$, то по теореме Руше точно такое же число нулей должно быть и у функции $F^{(r)}\left(\dfrac1i\ln w\right)$. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. \end{proof} \begin{thm}\label{SP} При всех $\xi\in\mathbb T$ метод $$f(\xi)\approx\sum_{j=1}^{2n}C_j(\xi)f(\tau_j),$$ в котором $C_1(\xi),\ldots,C_{2n}(\xi)$ являются решениями системы \begin{equation}\label{Sys} \begin{pmatrix} 1&\ldots&1&0\\ f_1(\tau_1)&\ldots&f_1(\tau_{2n})&a_0(g_1)\\ \hdotsfor4\\ f_{2n}(\tau_1)&\ldots&f_{2n}(\tau_{2n})&a_0(g_{2n}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1(\xi)\\ C_2(\xi)\\ \vdots\\ C_{2n+1}(\xi) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\ f_1(\xi)\\ \vdots\\ f_{2n}(\xi) \end{pmatrix}, \end{equation} где $$f_m=(D_r*g_m),\quad g_m(t)=B_0(t)\ctn\left(\frac K\pi(t-\theta_m)\right), \quad m=1,\ldots,2n,$$ а функция $B_0$ с нулями $\theta_m$ определена в лемме~$\ref L$, является оптимальным на классе $\hi$. При этом для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство $$e(\xi,\hi,I_\tau)=|(D_r*B_0)(\xi)-(D_r*B_0)(\tau_1)|.$$ \end{thm} \begin{proof} Положим $\theta_0:=-(D_r*B_0)(\tau_1)$ и $$B_P(t):=k^n\prod_{j=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi(t-t_j)\right),\quad f_P:=t _0+D_r*B_P,$$ где $P=(t_0,t_1,\ldots,t_{2n})$. Тогда при $P=P_0:=(\theta_0,\theta_1, \ldots,\theta_{2n})$ в силу соотношения двойственности~\eqref{Sm} и предложения~\ref P функция $f_{P_0}$ является экстремальной в задаче оптимального восстановления значения $f(\xi)$ на классе $\hi$, а также и на классе $\hir$. Положим $\tau_0:=\xi$, $$\varphi_j(P):=f_P(\tau_j),\ j=0,\ldots,2n,\quad\psi(P):=a_0(B_P).$$ Имеем $$\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_0}=1,\ j=0,\ldots,2n,\quad\frac{ \partial\psi}{\partial t_0}=0,$$ и при всех $m=1,\ldots,2n$ $$\frac{\partial\varphi_j}{\partial t_m}_{\Big|P_0}=-\frac K\pi f_m(\tau_j), \quad j=0,\ldots,2n,\quad\frac{\partial\psi}{\partial t_m}_{\Big|P_0}=- \frac K\pi a_0(g_m).$$ Из теоремы~\ref2 вытекает, что коэффициенты оптимального метода восстановления определяются из системы~\eqref{Sys} при условии, что определитель этой системы отличен от нуля. Если предположить противное, то должны найтись вещественные $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{2n}$, не все равные нулю, для которых функция $$g=\alpha_0+D_r*\biggl(\sum_{j=1}^{2n}\alpha_jg_j\biggr)$$ обращается в нуль в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$ и, кроме того, $$a_0\biggl(\sum_{j=1}^{2n}\alpha_jg_j\biggr)=0.$$ Пусть $\tau_0\in\mathbb T\setminus\{\tau_1,\ldots,\tau_{2n}\}$. Рассмотрим функцию $$F:=g-\rho f_{P_0},\quad\rho=\frac{g(\tau_0)}{f_{P_0}(\tau_0)}.$$ Функция $F$ имеет нули в точках $\tau_0,\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$. Следовательно, по теореме Ролля $F^{(r)}$ имеет не менее $2n+1$ нулей на $\mathbb T$. Имеем $$F^{(r)}(t)=\sum_{j=1}^{2n}\alpha_jg_j(t)-\rho B_0(t)=B_0(t)\biggl(\sum_{j =1}^{2n}\alpha_j\ctn\left(\frac K\pi(t-\theta_j)\right)-\rho\biggr).$$ Из леммы~\ref{l1} вытекает, что $F^{(r)}$ не может иметь более, чем $2n$ нулей на $\mathbb T$. Полученное противоречие доказывает, что определитель системы~\eqref{Sys} отличен от нуля. Для доказательства оптимальности построенного метода на классе $\hi$ можно воспользоваться теми же рассуждениями, которые были проведены в доказательстве теоремы~\ref F. \end{proof} Обозначим матрицу системы~\eqref{Sys} через $A$. Тогда оптимальный метод, построенный в теореме~\ref{SP}, будет иметь вид $$f(\xi)\approx(A^{-1}\mathbf G(\xi),\mathbf f)=(\mathbf G(\xi),(A^*)^{-1} \mathbf f),$$ где $\mathbf G(\xi)=(1,f_1(\xi),\ldots,f_{2n}(\xi))$, $\mathbf f=(f(\tau_1) ,\ldots,f(\tau_{2n}),0)$, а $A^*$ --- матрица, сопряженная к $A$ (здесь $( \cdot,\cdot)$ --- стандартное скалярное произведение в $\mathbb R^{2n+1}$). Тем самым оптимальный метод может быть записан в виде $$f(\xi)\approx d_0+\sum_{m=1}^{2n}d_m(D_r*g_m)(\xi),$$ где $d_0,d_1,\ldots,d_{2n}$ --- решения системы \begin{equation}\label{Int} \left\{\begin{aligned} d_0+\sum_{m=1}^{2n}d_m(D_r*g_m)(\tau_j)&=f(\tau_j),\quad j=1,\ldots,2n,\\ \sum_{m=1}^{2n}d_ma_0(g_m)&=0. \end{aligned} \right. \end{equation} Пусть $X_{2n}^\theta$ --- множество функций вида $$c_0+\sum_{n=1}^{2n}c_m(D_r*g_m),$$ где $c_1,\ldots,c_{2n}$ удовлетворяют условию $$\sum_{n=1}^{2n}c_ma_0(g_m)=0.$$ Тогда, учитывая \eqref{Int}, получаем \begin{cor}\label{In} Пусть $0\le\tau_1<\ldots<\tau_{2n}<2\pi$, а $0\le\theta_1<\ldots<\theta_{2n }<2\pi$ --- определены леммой~$\ref L$. Тогда функция $g(\xi)\in X_{2n}^ \theta$, интерполирующая $f$ в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$, является оптимальным методом восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in\mathbb T$, на классе $\hi$ по значениям в точках $\tau_1,\ldots,\tau_{2n}$. \end{cor} Рассмотрим задачу оптимального восстановления для равномерной сетки $$\tau_m^0:=\frac{m-1}n\pi,\quad m=1,\ldots,2n.$$ Положим $$t_{mr}:=\begin{cases}\tau_m^0,&r=2l,\\ \tau_m^0+\dfrac\pi{2n},&r=2l+1,\end{cases}\quad m=1,\ldots,2n.$$ \begin{thm} При всех $\xi\in\mathbb T$ метод $$f(\xi)\approx\widehat f_1+\frac1{2n}\sum_{m=1}^{2n}\biggl(\sum_{j=2}^{2n} \frac{\widehat f_j}{\widehat c_j}e^{-i(m-1)(j-1)\pi/n}\biggr)(D_r*\sigma)( \xi-t_{mr}),$$ где $$\begin{aligned} \widehat f_j&=\frac1{2n}\sum_{m=1}^{2n}f(\tau_m^0)e^{i(m-1)(j-1)\pi/n},\\ \widehat c_j&=\frac1{2n}\sum_{m=1}^{2n}(D_r*\sigma)(t_{mr})e^{i(m-1)(j-1) \pi/n}, \end{aligned}\quad j=1,\ldots,2n,$$ является оптимальным методом восстановления на классе $\hi$, использующим информацию о значениях функции в равномерной сетке $\tau_m^0$, $m=1,\ldots, 2n$. \end{thm} \begin{proof} Пусть $r=2l$. Тогда $\ef(\tau_m^0)=0$, $m=1,\ldots,2n$. Поскольку $$\ef=(D_r*\vpo)\left(z-\frac\pi{2n}\right),$$ а $$\vpo\left(z-\frac\pi{2n}\right)=-k^n\prod_{m=1}^{2n}\sn\left(\frac k\pi(z -\tau_m^0)\right),$$ то для системы точек $\tau_m^0$ точки $\theta_m$ из леммы~\ref L совпадают с $\tau_m^0$. Тем самым $$g_m(z)=(-1)^{m+1}\sqrt\lambda\sigma(z-\tau_m^0).$$ Система \eqref{Int} в рассматриваемом случае будет иметь вид $$\left\{\begin{aligned} d_0+\sqrt\lambda\sum_{m=1}^{2n}(-1)^{m+1}d_m(D_r*\sigma)(\tau_j^0-\tau_m^0) &=f(\tau_j),\quad j=1,\ldots,2n,\\ \sum_{m=1}^{2n}(-1)^{m+1}d_m&=0. \end{aligned} \right.$$ Положив $x_0=d_0$, $x_m=\sqrt\lambda(-1)^{m+1}d_m$, $c_m=(D_r*\sigma)(\tau_ m^0)$ и пользуясь периодичностью и четностью функции $D_r*\sigma$, приходим к системе $$\begin{pmatrix} 1&c_1&c_2&\ldots&c_{2n}\\ 1&c_{2n}&c_1&\ldots&c_{2n-1}\\ \hdotsfor5\\ 1&c_2&c_3&\ldots&c_1\\ 0&1&1&\ldots&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\ x_1\\ \vdots\\ x_{2n-1}\\ x_{2n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f(\tau_1^0)\\ f(\tau_2^0)\\ \vdots\\ f(\tau_{2n}^0)\\ 0 \end{pmatrix}.$$ Сложив первые $2n$ равенств этой системы и пользуясь последним равенством, находим, что $x_0=\widehat f_1$. Далее решение легко может быть найдено с помощью равенства $$U^*CU=\begin{pmatrix} \widehat c_1&&&\\ &\widehat c_2&\raisebox{7pt}[0pt][0pt]{\hbox to 0pt{\hphantom{0}$0$\hss}}&\\ &\raisebox{-7pt}[0pt][0pt]{\hbox to 0pt{\hss$0$\hphantom{0}}}&\ddots&\\ &&&\widehat c_{2n} \end{pmatrix},$$ где $$U=\left\{\frac1{\sqrt{2n}}e^{i(j-1)(m-1)\pi/n}\right\}_{j,m=1}^{2n},\quad C=\begin{pmatrix} c_1&c_2&\ldots&c_{2n}\\ c_{2n}&c_1&\ldots&c_{2n-1}\\ \hdotsfor4\\ c_2&c_3&\ldots&c_1 \end{pmatrix}.$$ Если $r=2l+1$, то $$\ef\left(\tau_m^0+\frac\pi{2n}\right)=0,\quad m=1,\ldots,2n.$$ Поскольку $$\ef\left(z+\frac\pi{2n}\right)=(D_r*\vpo)(z),$$ а $$\vpo(z)=k^n\prod_{m=1}^{2n}\sn\left(\frac K\pi\left(z-\left(\tau_m^0+ \frac\pi{2n}\right)\right)\right),$$ то точки $\theta_m$ из леммы~\ref L совпадают в этом случае с точками $\tau _m^0+\dfrac\pi{2n}$. Следовательно, $$g_m(z)=(-1)^m\sqrt\lambda\sigma\left(z-\left(\tau_m^0+\frac\pi{2n}\right) \right).$$ Далее рассуждения проводятся аналогично четному случаю. \end{proof} \section{Непериодический случай} В непериодическом случае классом Харди--Соболева $\hrr$ будем называть множество функций, аналитических в единичном круге $D:=\{z\in\mathbb C:|z|< 1\}$ и удовлетворяющих условию $|f^{(r)}(z)|<1$, $z\in D$. Через $\hR$ обозначим класс функций из $\hrr$, вещественных в интервале $(-1,1)$. При $ r=0$ класс $\hrr$ будем обозначать через $H_\infty$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in(-1 ,1)$, по значениям информационного оператора $$I_\tau f=(f(\tau_1),\ldots,f(\tau_{n+r})),$$ где $-1<\tau_1<\ldots<\tau_{n+r}<1$. В случае $r=0$ решение рассматриваемой задачи было получено в работе \cite{Os}, поэтому будем считать, что $r\ge1 $. Для функций $f$, аналитических в единичном круге, положим $$(T_rf)(z):=\int_0^z\frac{(z-\zeta)^{r-1}}{(r-1)!}f(\zeta)\,d\zeta.$$ Очевидно, что $(T_rf)^{(r)}=f$, и, следовательно, $T_rf\in\hrr$ при всех $f\in H_\infty$. Из работы \cite{Fish} вытекает следующий результат. \begin{pro}\label{Fi} При всех $-1<\tau_1<\ldots<\tau_{n+r}<1$ найдутся такие $\tau_1