\documentclass[12pt,draft,reqno]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}


\newtheorem*{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{propos}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
%\tolerance 200


\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}

\newcommand*{\sjn}{\sum_{j=1}^n}
\newcommand*{\ov}{\overline}


\makeatletter
\gdef\No{{\select@language{russian}\textnumero}}
\makeatother

\begin{document}
\begin{flushleft}
УДК 517.5
\end{flushleft}

\medskip

\title[О НАИЛУЧШИХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ]{О НАИЛУЧШИХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ\\
В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ $H_p$}
\maketitle

\begin{center}
\vskip-20pt
Д. ф-м. н., проф. К. Ю. Осипенко\footnote{Работа поддержана грантами РФФИ (№96-01-10035, №99-01-01181) и государственной программой поддержки ведущих научных школ России (№96-15-96072).}
\end{center}

\bigskip

{\it Пространством Харди} $H_p$, $1\le p\le\infty$, называется множество аналитических в единичном диске $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ функций, для которых
\begin{gather*}
\|f\|_{H_p}:=\sup_{0<r<1}\left(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^pdt
\right)^{1/p}<\infty,\qquad1\le p<\infty,\\
\|f\|_{H_\infty}:=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty,\quad p=\infty.
\end{gather*}
Через $BH_p$ будем обозначать замкнутый единичный нар $H_p$
$$BH_p:=\{\,f\in H_p:\|f\|_{H_p}\le1\,\}.$$
На классе $BH_p$ мы рассматриваем задачу оптимального восстановления интеграла
\begin{equation}\label{1}
\int_a^bf(x)p(x)\,dx
\end{equation}
по значениям информационного оператора
$$If:=\{\,f(x_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,f(x_n),\ldots,f^{(\nu_n-1
)}(x_n)\,\},$$
где $p(x)$ --- неотрицательная весовая функция, $x_1,\ldots,x_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$ и $(a,b)\subset(-1,1)$.

Для $\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)$ положим
$$\tau_\nu:=\begin{pmatrix}
x_1&\ldots&x_n\\
\nu_1&\ldots&\nu_n\end{pmatrix}.$$
{\it Погрешностью оптимального восстановления\/} интеграла \eqref{1} на классе $BH_p$ назовем величину
\begin{equation}\label{2}
E(\tau_\nu):=\infp_{\varphi\colon\mathbb C^n\to\mathbb C}\,\sup_{f\in BH_p}
\biggl|\int_a^bf(x)p(x)\,dx-\varphi(If)\biggr|
\end{equation}
Метод восстановления, на котором достигается нижняя грань в \eqref{2}, будем называть {\it оптимальным}.

Из общих результатов, касающихся оптимального восстановления линейных функционалов (см., например, \cite{1}), вытекает, что
\begin{equation}\label{3}
E_p(\tau_\nu)=\sup_{\substack{f\in BH_p\\If=0}}\biggl|\int_a^bf(x)p(x)\,dx
\biggr|.
\end{equation}
и, кроме того, существует линейный оптимальный метод восстановления. Иными словами, существует квадратурная формула
$$\int_a^bf(x)p(x)\,dx\approx\varphi_0(If)=\sjn\sum_{m=0}^{\nu_j-1}
a_{jm}f^{(m)}(x_j),$$
для которой
$$\sup_{f\in BH_p}\biggl|\int_a^bf(x)p(x)\,dx-\varphi_0(If)\biggr|=E(\tau_\nu).$$
Такая квадратурная формула называется {\it наилучшей\/} для данной системы узлов $\tau_\nu$.

Построению наилучших, а также оптимальных квадратурных формул (под оптимальными квадратурными формулами понимаются квадратурные формулы, погрешность которых минимизируется за счет выбора узлов) посвящено довольно много работ, большая часть которых касается классов гладких функций (см. \cite{2}). Для классов аналитических функций известно значительно меньше результатов. В частности, наилучшие квадратурные формулы для классов Харди $BH_p$ известны лишь при $p=\infty$ (\cite{3,4}).

В данной работе строится наилучшая квадратурная формула на классах Харди при всех $1\le p\le\infty$ для случая, когда $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа. При этом коэффициенты наилучшей квадратурной формулы выражаются через экстремальную функцию, являющуюся решением задачи \eqref{3}. Существование такой функции, а также ряд важных свойств этой функции вытекают из следующей леммы.

\begin{lemma}
Положим
$$B(x):=\prod_{j=1}^n\left(\frac{x-x_j}{1-x_jx}\right)^{\nu_j}.$$
Предположим, что $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа, $1<p\le\infty$ или $p=1$ и $-1<a<b<1$. Тогда
\begin{enumerate}
\item существует единственная функция $g_{\tau_\nu,p}\in BH_p$ такая, что
$$E_p(\tau_\nu)=\int_a^bg_{\tau_\nu,p}(x)B(x)p(x)\,dx,$$
\item $g_{\tau_\nu,p}$ не имеет нулей в диске $D$ и $g_{\tau_\nu,p}(x)>0$ при $x\in(-1,1)$,
\item при всех $1<p<\infty$ и всех $\theta\in[0,2\pi]$
$$E_p(\tau_\nu)|g_{\tau_\nu,p}(e^{i\theta})|^p=\int_a^bg_{\tau_\nu,p}(x)B(x)P(e^{i\theta},x)p
(x)\,dx,$$
где $P(e^{i\theta},x)$ --- ядро Пуассона.
\end{enumerate}
\end{lemma}

При $p=\infty$ легко убедиться, что $g_{\tau_\nu,\infty}\equiv1$. Функция $g_{\tau_\nu,2}$ также может быть найдена в явном виде. Действительно, используя формулу Коши, имеем
\begin{multline*}
\sup_{g\in BH_2}\left|\int_a^bg(x)B(x)p(x)\,dx\right|\\
=\sup_{g\in BH_2}\left|\int_a^b\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{g(e^{i\theta})}{1-xe^{
-i\theta}}\,d\theta B(x)p(x)\,dx\right|=\sup_{g\in BH_2}\left|(g,\psi)_{H_2}\right|,
\end{multline*}
где
$$\psi(z)=\int_a^b\frac{B(x)}{1-xz}p(x)\,dx,$$
а
$$(g,\psi)_{H_2}=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}g(e^{i\theta})\ov{\psi(e^{i\theta})}\,d\theta$$
--- скалярное произведение в гильбертовом пространстве $H_2$. Таким об-разом,
$$g_{\tau_\nu,2}(z)=\frac{\psi(z)}{\|\psi\|_{H_2}}.$$

\begin{theorem}
Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа, $1<p\le\infty$ или $p=1$ и $-1<a<b<1$. Тогда квадратурная формула
$$\int_a^bf(x)p(x)\,dx\approx\sjn\sum_{m=0}^{\nu_j-1}a_{jm}f^{(m)}(x_j),$$
в которой
$$a_{jm}=\int_a^bc_{jm}(x)p(x)\,dx,$$
\begin{multline*}
c_{jm}(x)=\frac{B(x)g_{\tau_\nu,p}(x)(1-x^2)}{m!(\nu_j-m-1)!}\\
\times\left(\frac{(1
-x_jz)^{\nu_j}}{\omega_j(z)g_{\tau_\nu,p}(z)(x-z)(1-xz)}\right)^{(\nu_j-m-1
)}_{\big|z=x_j},
\end{multline*}
$$\omega_j(x)=\prod_{\substack{s=1\\s\ne j}}^n\left(\frac{x-x_s}{1-x_sx}
\right)^{\nu_s},$$
является наилучшей на классе $BH_p$ для системы узлов $\tau_\nu$.
\end{theorem}

\bigskip

\begin{flushleft}
\bf Литература
\end{flushleft}

\renewcommand{\refname}{\vskip-20pt}

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным. // Мат. заметки, 1991, 50. -- с. 85--93.

\bibitem{2} Никольский~С.~М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. -- 256 стр.

\bibitem{3} Bojanov~B.~D. Best quadrature formula for a certain class of analytic functions. // Zastos. Math. 1974, 14. -- p. 441--447.

\bibitem{4} Осипенко~К.~Ю. О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных аналитических функций. //  Изв. АН СССР, Сер. мат. 1988, 52. -- с. 79--99.

\end{thebibliography}

\newpage

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\bf АННОТАЦИЯ
\end{center}

\bigskip

\parindent0pt В данной работе мы находим наилучшую квадратурную формулу в пространствах Харди $H_p$, $1\le p\le\infty$. Коэффициенты этой формулы даны в терминах экстремальной функции для погрешности наилучшей квадратурной формулы.

\vskip40pt

\begin{center}
\bf ON BEST QUADRATURE FORMULAS\\
ON THE HARDY SPACES $H_p$

\vskip30pt

K. Yu. Osipenko
\end{center}

\vskip40pt

\parindent0pt In this paper we find a best quadrature formula for the Hardy spaces $H_p$, $1\le p\le\infty$. The coefficients of this formula are given in terms of an extremal function for the error of a best quadrature formula


\end{document}