\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 750 \makeatletter \def\ssection{\@startsection{section}{1}% \z@{.7\linespacing\@plus\linespacing}{.5\linespacing}% {\normalfont\scshape\centering\S}} \makeatother \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \newtheorem{thm}{Теорема} \newtheorem{lem}{Лемма} \newtheorem{pro}{Предложение} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} %\DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\ctn}{ctn} \renewcommand*{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \renewcommand*{\Re}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\hR}{H_\infty^{r,\mathbb R}} \newcommand*{\ef}{\Phi_{n,r}^\beta} \newcommand*{\vp}{\varphi_{n,r}^\beta} \begin{document} \title[О наилучших квадратурных формулах]{О наилучших квадратурных формулах на классах Харди--Соболева} \author{К.~Ю.~Осипенко} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 99-01-01181 и 00--15--96109)} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} %\date{} \begin{abstract} Для функций из класса Харди--Соболева $H_\infty^r$, определяемого как множество функций, аналитических в единичном круге и удовлетворяющих в нем условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, строятся наилучшие квадратурные формулы, использующие значения функций и их производных в фиксированной системе узлов из интервала $(-1,1)$. Для периодического класса Харди--Соболева $H_{ \infty,\beta}^r$, определяемого как множество $2\pi$-периодичес\-ких функций, аналитических в полосе $|\Im z|<\beta$ и удовлетворяющих в ней условию $|f^{(r)}(z)|\le1$, доказано, что для равномерной системы узлов формула прямоугольников является наилучшей, и найдена ее погрешность. Построены наилучшие квадратурные формулы на классе $H_{p,\beta}$, определение которого аналогично классу $H_{\infty,\beta}$, но ограничения на функцию задаются в $L_p$-норме по границе. Построен также оптимальный метод восстановления функций из класса $H_p^r$ по тейлоровской информации $ f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0)$. \end{abstract} \maketitle \section*{Введение} Пусть $X$ --- линейное пространство над полем $K=\mathbb R$ или $\mathbb C $, $W$ --- некоторое подмножество $X$ и $L,l_1,\ldots,l_n$ --- линейные функционалы на $X$. Под задачей оптимального восстановления функционала $L$ на множестве $W$ по значениям информационного оператора $Ix=(l_1x,\ldots,l_ nx)$, $x\in W$, понимается задача о нахождении величины \begin{equation}\label{1} e(L,W,I):=\infp_{S\colon K^n\to K}\,\sup_{x\in W}|Lx-S(Ix)|, \end{equation} а также метода $S$, на котором достигается нижняя грань в \eqref1 (если таковой существует), называемом оптимальным методом восстановления. Задачи оптимального восстановления, начиная с работы \cite{Sm}, изучались многими авторами (см. \cite{MiR}--\cite{MOs} и цитируемую там литературу). Отметим здесь лишь один результат, доказанный в \cite{Sm} для вещественного пространства и в \cite{Os} --- для комплексного: для выпуклого уравновешенного множества $W$ среди оптимальных методов восстановления существует линейный и имеет место равенство \begin{equation}\label{2} e(L,W,I)=\sup_{\substack{x\in W\\Ix=0}}|Lx|. \end{equation} Всякий элемент $x_0$, на котором достигается верхняя грань в \eqref2, будем называть экстремальным. Задача \eqref2 часто оказывается проще, чем задача нахождения оптимального метода. В связи с этим в работе \cite{Os1} был предложен метод, позволяющий при наличии некоторой параметризации экстремального элемента в задаче \eqref2 находить оптимальный метод восстановления. Здесь этот метод используется для нахождения наилучших квадратурных формул и оптимального восстановления по тейлоровской информации на классах Харди--Соболева. Классом Харди--Соболева $H_p^r$ будем называть множество функций $f$, аналитических в единичном круге $D:=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}$ и удовлетворяющих условию \begin{gather*} \sup_{0<\rho<1}\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f^{(r)}(\rho e^{i\theta})|^p\,d \theta\le1,\quad1\le p<\infty,\\ \sup_{z\in D}|f^{(r)}(z)|\le1,\quad p=\infty. \end{gather*} Периодическим классом Харди--Соболева $H_{p,\beta}^r$ будем называть множество $2\pi$-периодических функций $f$, аналитических в полосе $S_\beta :=\{z\in\mathbb C:|\Im z|<\beta\}$ и удовлетворяющих условию \begin{gather*} \sup_{0\le\eta<\beta}\left(\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi}\left(|f^{(r)}(t+i\eta) |^p+|f^{(r)}(t-i\eta)|^p\right)\,dt\right)^{1/p}\le1,\\ \sup_{z\in S_\beta}|f^{(r)}(z)|\le1. \end{gather*} При $r=0$ соответствующие классы будем обозначать через $H_p$ и $H_{p,\beta }$. B \S1 для класса $H_\infty^r$ и информационного оператора \begin{equation}\label{3} If=(f(x_1),\ldots,f^{(\nu_1-1)}(x_1),\ldots,f(x_n),\ldots,f^{(\nu_n-1)}(x_n )), \end{equation} где $x_1,\ldots,x_n$ --- различные точки из интервала $(-1,1)$, а $\nu_1, \ldots,\nu_n$ --- четные числа, строится линейный оптимальный метод интегрирования (наилучшая квадратурная формула) для интеграла $$\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx,$$ в котором $p(x)$ --- неотрицательная весовая функция. В \S2 строится наилучшая квадратурная формула на классе $H_{\infty,\beta}^r $ для равноотстоящих узлов. Доказано, что таковой является формула прямоугольников, и найдена ее погрешность. При $r=0$ для классов $H_\infty$ и $H_{\infty,\beta}$ наилучшие квадратурные формулы исследовались в работах \cite{Bo}--\cite{Os3}. В \S3 построены наилучшие квадратурные формулы для класса $H_{p,\beta}$ по информационному оператору \eqref3, в котором $x_1,\ldots,x_n$ --- различные точки из $\mathbb T:=[0,2\pi)$. Аналогичная задача в непериодическом случае решена в \cite[стр.~175]{Os4}. В \S4 построен оптимальный метод восстановления функций из класса $H_p^r$ по информационному оператору $If=( f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0))$. Оптимальные методы в этой задаче исследовались ранее в работах \cite{Os5} ($p=\infty$, $r=2$), \cite{MiR} ($ p=\infty$, $r=1$), \cite{FM} ($1\le p\le\infty$, $r=0$), \cite{Fa} ($p= \infty$, $r\in\mathbb Z_+$, многомерный случай), \cite[стр.~69]{Os4} ($1\le p\le\infty$, $r=0$, многомерный случай). Нам потребуется следующий результат из работы \cite{Os1}. \begin{thm}\label{T1} Пусть $X$ --- вещественное линейное пространство, $W$ --- выпуклое центрально-симметричное множество из $X$ и $x_0$ --- экстремальный элемент в задаче оптимального восстановления линейного функционала $L$ на множестве $W$ по значениям линейных функционалов $l_1x,\ldots,l_nx$. Пусть каждому $M =(t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb R^n$ из некоторой окрестности точки $M_0\in \mathbb R^n$ поставлен в соответствие элемент $x(M)\in W$, причем $x(M_0)=x _0$. Тогда, если функции $\varphi(M):=Lx(M)$, $\varphi_j(M):=l_jx(M)$, $j=1 ,\ldots,n$, имеют в окрестности $M_0$ непрерывные частные производные по всем аргументам и определитель матрицы $$J(M)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_1}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n}{ \partial t_1}\\ \hdotsfor{3}\\ \dfrac{\partial\varphi_1}{\partial t_n}&\ldots&\dfrac{\partial\varphi_n}{ \partial t_n} \end{pmatrix}$$ отличен от нуля в точке $M_0$, то единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод $$Lx\approx\sum_{j=1}^nC_jl_jx,$$ где $C_1,\ldots,C_n$ --- решения системы $$J(M_0)\mathbf C=\grad\varphi_{\big|M_0},$$ в которой $\mathbf C=(C_1,\ldots,C_n)$. \end{thm} \ssection{Наилучшие квадратурные формулы на классе $H_\infty^r$} Рассмотрим задачу оптимального восстановления \eqref1 для $W=H_\infty^r$, \begin{equation}\label{In} Lf=\int_{-1}^1f(x)p(x)\,dx, \end{equation} где $p(x)$ --- неотрицательная весовая функция, и информационного оператора $I$, определенного равенством \eqref3. Положим \begin{equation}\label{N} N:=\sum_{j=1}^n\nu_j. \end{equation} Докажем сначала несколько вспомогательных утверждений. Напомним, что система вещественных функций $\{u_k(t)\}_{k=0}^m$, $m$ раз непрерывно дифференцируемых на интервале $(c,d)$, называется $ET$-системой, если каждый обобщенный полином $$P(t)=\sum_{k=0}^mC_ku_k(t),\quad\sum_{k=0}^mC_k^2\ne0,$$ имеет на $(c,d)$ не более $m$ корней с учетом алгебраической кратности. Произведением Бляшке порядка $n$ называется функция вида $$B(z)=\lambda\prod_{j=1}^n\frac{z-z_j}{1-\ov z_jz},$$ где $|\lambda|=1$, а $z_j\in D$, $j=1,\ldots,n$. Для $\mu_j\in\mathbb N$, $ j=1,\ldots,n$, и $\alpha_j\in(-1,1)$ положим $$W_j(x):=\frac{x-\alpha_j}{1-\alpha_jx},\quad W(x):=\prod_{j=1}^m\left( \frac{x-\alpha_j}{1-\alpha_jz}\right)^{\mu_j}.$$ \begin{lem}\label{L1} Система функций \begin{multline}\label{gjk} g_{jk}(x):=W(x)\left(W_j^{-k}(x)-W_j^k(x)\right),\\ k=1,\ldots\mu_j,\ j=1,\ldots,m, \end{multline} является $ET$-системой на $(-1,1)$. \end{lem} \begin{proof} Рассмотрим обобщенный полином $$P(x)=\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^{\mu_j}C_{jk}g_{jk}(x),\quad\sum_{j=1}^m\sum_ {k=1}^{\mu_j}C_{jk}^2\ne0.$$ В силу того, что $W_j(\pm1)=\pm1$, этот обобщенный полином можно записать в виде $$P(x)=a_0\frac{(1-x^2)x^l\prod_{j=1}^s(x-a_j)}{\prod_{j=1}^m(1-\alpha_jx)^ {2\mu_j}},$$ где $a_0,a_1,\ldots,a_s\ne0$. Поскольку $W_j(x^{-1})=W_j^{-1}(x)$, имеем $$P(x^{-1})=\frac1{W(x)}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^{\mu_j}C_{jk}\left(W_j^k(x)- W_j^{-k}(x)\right)=-W^2(x)P(x).$$ Из последнего равенства легко получить, что с каждым нулем $a_j\ne0$ функции $P$ связан нуль этой функции $a_j^{-1}$ той же кратности, а кроме того, что $l+s/2=\sum_{j=1}^m\mu_j-1$. Тем самым обобщенный полином $P$ в интервале $(-1,1)$ имеет не более $\sum_{j=1}^m\mu_j-1$ нулей с учетом алгебраической кратности. \end{proof} Для функций $f$, аналитических в единичном круге, положим $T_0f:=f$ и \begin{equation}\label{Tr} (T_rf)(z):=\int_0^z\frac{(z-\zeta)^{r-1}}{(r-1)!}f(\zeta)\,d\zeta,\quad r \in\mathbb N. \end{equation} Очевидно, что $(T_rf)^{(r)}=f$, и следовательно, $T_rf\in H_\infty^r$ при всех $f\in H_\infty$. Пусть $$\sum_{j=1}^m\mu_j+r=N.$$ Определим функции $\omega_1,\ldots,\omega_N$ равенством \begin{multline}\label{phi} (\omega_1(z),\ldots,\omega_N(z)):=(1,z,\ldots,z^{r-1},\\ (T_rg_{11})(z),\ldots,(T_rg_{1\mu_1})(z),\ldots,(T_rg_{m1})(z),\ldots,(T_rg _{m\mu_m})(z)). \end{multline} Положим \begin{equation}\label{A} (a_{j1},\ldots,a_{jN}):=I\omega_j,\quad j=1,\ldots,N,\quad A:=\{a_{jk}\}_{j ,k=1}^N. \end{equation} \begin{lem}\label{L} $\det A\ne0$. \end{lem} \begin{proof} Если $\det A=0$, то найдутся $C_1,\ldots,C_N$, не все равные нулю, для которых функция $$F(z):=\sum_{j=1}^NC_j\omega_j(z)$$ в интервале $(-1,1)$ будет иметь по крайней мере $N$ нулей с учетом кратности. В этом случае по теореме Ролля $F^{(r)}$ должна иметь в том же интервале не менее $N-r$ нулей. Поскольку $$F^{(r)}(z)=C_{r+1}g_{11}(z)+\ldots+C_Ng_{m\mu_m}(z),$$ то из леммы~\ref{L1} вытекает, что $C_{r+1}=\ldots=C_N=0$, но тогда и $C_1= \ldots=C_r=0$. Полученное противоречие доказывает, что $\det A\ne0$. \end{proof} Обозначим через $\hR$ множество функций из $H_\infty^r$, вещественных в интервале $(-1,1)$. \begin{pro}\label{Fi} Пусть $-10$, для которой $IF=0$ и такой, что $F^{(r)}$ является произведением Бляшке порядка $N-r$. Кроме того, в той же работе доказано, что при всех $x\in(-1,1)$ имеет место равенство \begin{equation}\label{sup} \sup_{\substack{f\in\hR\\If=0}}|f(x)|=|F(x)|. \end{equation} Из теоремы Ролля вытекает, что функция $F$ не имеет других нулей в интервале $(-1,1)$ кроме нулей в точках $x_1,\ldots,x_n$ с четными кратностями $\nu_1,\ldots,\nu_n$. Поэтому в силу нормировки $F(1)>0$ для всех $x\in(-1,1)$ \ $F(x)\ge0$. Учитывая равенство \eqref{sup}, получаем утверждение предложения. \end{proof} \begin{thm}\label{T2} Пусть $-1e(L,H_\infty^r,I).$$ Тогда для функции $\ov{f_0(\ov z)}\in H_\infty^r$ также выполнено это неравенство. В силу уравновешенности класса $H_\infty^r$ без ограничения общности можно считать, что $Lf_0-S(If_0)>0$. Следовательно, для функции $$g(z):=\frac{f_0(z)+\ov{f_0(\ov z)}}2\in\hR$$ имеем $$Lg-S(Ig)>e(L,H_\infty^r,I)\ge e(L,\hR,I),$$ что невозможно в силу оптимальности метода $S$ на классе $\hR$. \end{proof} \ssection{Периодический случай} Построим теперь оптимальный метод интегрирования для интеграла $$Lf=\int_\mathbb Tf(x)\,dx$$ на классе $H_{\infty,\beta}^r$ по информационному оператору \begin{equation}\label{If} If=\left(f(0),f\left(\frac{2\pi}n\right),\ldots,f\left(\frac{2(n-1)\pi}n \right)\right). \end{equation} При достаточно общих условиях на класс функций можно доказать, что формула прямоугольников является оптимальным методом интегрирования, использующим информационный оператор \eqref{If}. Пусть $\mathcal H$ --- выпуклый и уравновешенный класс непрерывных на всей вещественной оси $2\pi $-периодических функций $f$ таких, что для любых вещественных констант $C$ и $a$ \ $f(x)+C\in\mathcal H$ и $f(x+a)\in\mathcal H$. \begin{lem}\label{LP} Формула прямоугольников \begin{equation}\label{PP} \int_\mathbb Tf(x)\,dx\approx\frac{2\pi}n\sum_{j=0}^{n-1}f\left(\frac{2j\pi }n\right) \end{equation} является оптимальным методом интегрирования на классе $\mathcal H$, а для ее погрешности справедливо равенство $$e(L,\mathcal H,I)=2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|,$$ где $\mathcal H_n$ --- множество функций из $\mathcal H$ периода $2\pi/n$, для которых \begin{equation}\label{a0} \int_0^{2\pi/n}f(x)\,dx=0. \end{equation} Если функции из класса $\mathcal H$ дифференцируемы, то формула прямоугольников является оптимальным методом интегрирования и для информационного оператора \begin{multline*} I_1f=\left(f(0),f'(0),f\left(\frac{2\pi}n\right),f'\left(\frac{2\pi}n \right),\right.\\ \ldots,\left.f\left(\frac{2(n-1)\pi}n\right)f'\left(\frac{2(n-1)\pi}n\right) \right). \end{multline*} \end{lem} \begin{proof} В работе \cite{Mo} (см. также \cite[стр.~208]{Ni}) было доказано, что $$\sup_{f\in\mathcal H}\left|\int_\mathbb Tf(x)\,dx-\frac{2\pi}n\sum_{j=0}^ {n-1}f\left(\frac{2j\pi}n\right)\right|=2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|. $$ Тем самым $$e(L,\mathcal H,I)\le2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|.$$ С другой стороны, для любого $\varepsilon>0$ найдется функция $g\in\mathcal H_n$, для которой $$|g(0)|>\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|-\varepsilon.$$ В силу свойств класса $\mathcal H_n$ можно считать, что $$g(0)=-\max_{x\in[0,2\pi/n)}|g(x)|.$$ Рассмотрим функцию $$f_0(x):=g(x)-g(0).$$ Поскольку $f_0\in\mathcal H$ и $If_0=0$, то из \eqref2 имеем $$e(L,\mathcal H,I)\ge\left|\int_\mathbb Tf_0(x)\,dx\right|=2\pi|g(0)|>2\pi \sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|-2\pi\varepsilon.$$ Таким образом, $$e(L,\mathcal H,I)=2\pi\sup_{f\in\mathcal H_n}|f(0)|,$$ а формула прямоугольников --- оптимальный метод для информационного оператора $I$. В случае дифференцируемости функций из класса $\mathcal H$ для доказательства оптимальности формулы прямоугольников для информационного оператора $I_1$ достаточно заметить, что $I_1f_0=0$ и в силу \eqref2 $$e(L,\mathcal H,I)\ge e(L,\mathcal H,I_1).$$ \end{proof} \begin{thm} При всех $r\ge1$ формула прямоугольников \eqref{PP} является оптимальным методом интегрирования на классе $H_{\infty,\beta}^r$ для информационных операторов $I$ и $I_1$, а для ее погрешности справедливы равенства \begin{multline*} e(L,H_{\infty,\beta}^r,I)=e(L,H_{\infty,\beta}^r,I_1)\\ =\frac{2\pi^2}{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m(r+1)} }{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)}=\frac{4\pi}{n^r}e^{-\beta n}+O\left(\frac{e^{ -5\beta n}}{n^r}\right), \end{multline*} где $$\lambda=4e^{-2\beta n}\left(\frac{\sum_{m=0}^\infty e^{-4\beta nm(m+1)}}{ 1+2\sum_{m=1}^\infty e^{-4\beta nm^2}}\right)^2,$$ а $$\Lambda=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-\lambda^2t^2)}}$$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $\lambda$. \end{thm} \begin{proof} Оптимальность формулы прямоугольников на классе $H_{\infty,\beta}^r$ для информационных операторов $I$ и $I_1$ вытекает непосредственно из леммы~\ref{LP}. Остается найти величину $$\sup_{f\in H_{\infty,\beta,n}^r}|f(0)|,$$ где $H_{\infty,\beta,n}^r$ --- множество функций $f$ из $H_{\infty,\beta}^r $, имеющих период $2\pi/n$ и удовлетворяющих условию \eqref{a0}. Положим \begin{align*} a_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\cos jx\,dx,\quad j=0,1,\ldots\,\,,\\ b_j(f)&:=\frac1\pi\int_\mathbb Tf(x)\sin jx\,dx,\quad j=1,2,\ldots\,\,. \end{align*} Очевидно, что \begin{equation}\label{Fu} \sup_{f\in H_{\infty,\beta,n}^r}|f(0)|\le\sup_{\substack{f\in H_{\infty, \beta}^r\\a_0(f)=a_1(f)=b_1(f)=\ldots=a_{n-1}(f)=b_{n-1}(f)=0}}|f(0)|. \end{equation} Величина, стоящая в правой части неравенства \eqref{Fu} была вычислена в работе \cite{OW}. Она достигается на функции $$\vp(z):=\begin{cases}\ef\left(z+\dfrac\pi{2n}\right),&r=2l,\\ \ef(z),&r=2l+1,\end{cases}$$ где $$\ef:=D_r*\Phi_{n,0},\quad r\ge1,\quad\Phi_{n,0}^\beta(z):=\sqrt\lambda\sn \left(\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda\right),$$ $$D_r(t)=2\sum_{m=1}^\infty\frac{\cos(mt-\pi r/2)}{m^r},\quad r=1,2,\ldots \,\,,$$ --- ядро Бернулли, а $$(f*g)(z):=\frac1{2\pi}\int_\mathbb Tf(z-t)g(t)\,dt.$$ В работе \cite{OsCo} было показано, что $$\ef(z)=\frac\pi{\sqrt\lambda\Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{\sin((2m+1) nz-\pi r/2)}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta)}.$$ Тем самым $\vp\in H_{\infty,\beta,n}^r$, а следовательно, $$\sup_{f\in H_{\infty,\beta,n}^r}|f(0)|\ge|\vp(0)|=\frac\pi{\sqrt\lambda \Lambda n^r}\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m(r+1)}}{(2m+1)^r\sh((2m+1)2n\beta )}.$$ Для получения асимптотики погрешности остается воспользоваться хорошо известным равенством (см., например, \cite{Akh}) $$\Lambda=\frac\pi2\left(1+2\sum_{m=1}^\infty e^{-4\beta nm^2}\right)^2.$$ \end{proof} \ssection{Наилучшие квадратурные формулы на классах $H_{p,\beta}$} Рассмотрим теперь задачу построения оптимального метода интегрирования для интеграла $$Lf=\int_\mathbb Tf(t)p(t)\,dt,$$ где $p(t)$ --- неотрицательная весовая функция, на классе $H_{p,\beta}$ по информационному оператору \eqref3, в котором $x_1,\ldots,x_n$ --- различные точки из $\mathbb T$. Положим \begin{equation}\label{k} k=4e^{-\beta}\left(\frac{\sum_{m=0}^\infty e^{-2\beta m(m+1)}}{1+2\sum_{m=1 }^\infty e^{-2\beta m^2}}\right)^2. \end{equation} Обозначим через $K$ и $K'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода для модулей $k$ и $k'=\sqrt{1-k^2}$, соответственно (равенство \eqref k эквивалентно тому, что $\pi K'/K=2\beta$). Для полосы $S_\beta$ $2\pi $-периодическим произведением Бляшке с нулями в точках $x_j$ c четными кратности $\nu_j$ является функция (см. \cite{Os3}) $$B(t)=k^{N/2}\prod_{j=1}^n\sn^{\nu_j}\left(\frac K\pi(t-x_j),k\right),$$ где $N$ определено равенством \eqref N. Через $H_{p,\beta}^\mathbb R$ будем обозначать множество функций из класса $H_{p,\beta}$, вещественных на вещественной оси. \begin{lem} Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа и $1\le p\le\infty$. Тогда \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{$\arabic{enumi})$} \item существует единственная функция $g_{B,p}\in H_{p,\beta}^\mathbb R$, для которой $$e(L,H_{p,\beta},I)=\int_\mathbb Tg_{B,p}(t)B(t)p(t)\,dt,$$ \item$g_{B,p}$ не имеет нулей в полосе $S_\beta$ и $g_{B,p}(t)>0$ при $t\in \mathbb T$, \item при $1\le p<\infty$ для почти всех $t\in\mathbb T$ имеет место равенство \begin{equation}\label{var} e(L,H_{p,\beta},I)|g_{B,p}(t+i\beta)|^p=\int_\mathbb Tg_{B,p}(\tau)B(\tau)K _\beta(t-\tau)p(\tau)\,d\tau, \end{equation} где $$K_\beta(t)=\frac{2\Lambda}\pi\dn\left(\frac\Lambda\pi t,\lambda\right),$$ а $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $ \lambda$, определяемого из условия $\pi\Lambda'/\Lambda=\beta$. \end{enumerate} \end{lem} \begin{proof} Из работы \cite{Wi} вытекает, что в задаче $$P_1:=\sup_{f\in H_{p,\beta}^\mathbb R}\int_\mathbb T|f(t)|B(t)p(t)\,dt$$ существует единственная функция $g_{B,p}\in H_{p,\beta}^\mathbb R$, нормированная условием $g_{B,p}(0)>0$, на которой эта верхняя грань достигается. Кроме того, из той же работы вытекает, что эта функция не имеет нулей в полосе $S_\beta$ (а следовательно, $g_{B,p}(t)>0$ при $t\in \mathbb T$) и при всех $1\le p<\infty$ $$P_1|g_{B,p}(t\pm i\beta|^p=\int_\mathbb T|g_{B,p}(\tau)|B(\tau)K_\beta(t- \tau)p(\tau)\,d\tau.$$ Поскольку всякая функция $f\in H_{p,\beta}$, для которой $If=0$, может быть представлена в виде $$f(z)=B(z)g(z),\quad g\in H_{p,\beta},$$ то в силу \eqref2 $$e(L,H_{p,\beta},I)=\sup_{f\in H_{p,\beta}}\left|\int_\mathbb Tf(t)B(t)p(t )\,dt\right|=:P_2.$$ Приемом, аналогичным тому, который использовался при доказательстве теоремы~\ref{T2}, легко показать, что $$e(L,H_{p,\beta},I)=e(L,H_{p,\beta}^\mathbb R,I).$$ Поскольку $$P_1\ge e(L,H_{p,\beta}^\mathbb R,I)\ge\int_\mathbb Tg_{B,p}(t)B(t)p(t)\,d t=P_1,$$ то $$P_1=e(L,H_{p,\beta}^\mathbb R,I)=P_2.$$ \end{proof} При $p=\infty$ и четных $\nu_1,\ldots,\nu_n$ очевидно, что $g_{B,p}(z) \equiv1$. Пусть $p=2$. Пространство $2\pi$-периодических функций $\mathcal H_{2,\beta }$, аналитических в полосе $S_\beta$ и удовлетворяющих условию $$\sup_{0\le\eta<\beta}\frac1{4\pi}\int_\mathbb T\left(|f(t+i\eta)|^2+|f(t- i\eta)|^2\right)\,dt<\infty,$$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением $$(f,g)_{\mathcal H_{2,\beta}}=\frac1{4\pi}\int_\Gamma f(\xi)\ov{g(\xi)}\,d \xi,$$ где $\Gamma=[i\beta,2\pi+i\beta]\cup[-i\beta,2\pi-i\beta]$. Из работы \cite {OW} вытекает, что при всех $f\in\mathcal H_{2,\beta}$ и любом $t\in\mathbb T$ имеет место равенство $$f(t)=(f,g_t)_{\mathcal H_{2,\beta}},$$ где $$g_t(z)=\frac{2K}\pi\dn\left(\frac K\pi(t-z),k\right),$$ а $K$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $k$, определяемого из условия $K'/K=2\beta/\pi$. Имеем \begin{multline*} e(L,H_{2,\beta},I)=\sup_{f\in H_{2,\beta}}\left|\int_\mathbb Tf(t)B(t)p(t) \,dt\right|\\ =\sup_{f\in H_{2,\beta}}\left|\int_\mathbb T\frac1{4\pi}\int_\Gamma f(\xi) \ov{g_t(\xi)}\,d\xi B(t)p(t)\,dt\right|\\ =\sup_{f\in H_{2,\beta}}\left|\frac1{4\pi}\int_\Gamma f(\xi)\int_\mathbb T \ov{g_t(\xi)}B(t)p(t)\,dt\,d\xi\right|=\sup_{\|f\|_{\mathcal H_{2,\beta}} \le1}(f,G)_{\mathcal H_{2,\beta}}, \end{multline*} где $$G(\xi)=\frac{2K}\pi\int_\mathbb T\dn\left(\frac K\pi(t-\xi)\right)B(t)p(t )\,dt.$$ Отсюда следует, что $$g_{B,2}(z)=\frac{G(z)}{\|G\|_{\mathcal H_{2,\beta}}}.$$ \begin{thm} Пусть $\nu_1,\ldots,\nu_n$ --- четные числа и $1\le p\le\infty$. Тогда квадратурная формула \begin{equation}\label{Qu} \int_\mathbb Tf(t)p(t)\,dt\approx\sum_{j=1}^n\sum_{\nu=0}^{\nu_j-1}a_{j\nu} f^{(\nu)}(x_j), \end{equation} где $$a_{j\nu}=\int_\mathbb Tc_{j\nu}(t)p(t)\,dt,$$ \begin{multline*} c_{j\nu}(t)=\frac K\pi\frac{B(t)g_{B,p}(t)}{\nu!(\nu_j-\nu-1)!}\\ \times\lim_{z\to x _j}\left(\frac{(z-x_j)^{\nu_j}}{B(z)g_{B,p}(z)}\ctn\left(\frac K\pi(t-z),k \right)\right)^{(\nu_j-\nu-1)}, \end{multline*} $$\ctn(z,k)=\frac{\cn(z,k)\dn(z,k)}{\sn(z,k)},$$ является оптимальным методом интегрирования на классе $H_{p,\beta}$. \end{thm} \begin{proof} Рассмотрим интеграл \begin{equation}\label{Int} Jf:=\frac K\pi B(t)g_{B,p}(t)\frac1{2\pi i}\int_{\Gamma_\varepsilon}\frac {f(z)}{B(z)g_{B,p}(z)}\ctn\left(\frac K\pi(z-t),k\right)\,dz, \end{equation} где $\Gamma_\varepsilon$ --- граница прямоугольника $-\varepsilon\le\Re z \le2\pi-\varepsilon$, $|\Im z|\le\beta$, а $\varepsilon$ выбрано из условия, чтобы точки $x_1,\ldots,x_n$ лежали внутри этого прямоугольника. В силу того, что функция $g_{B,p}(z)$ не имеет нулей в полосе $S_\beta$, по теореме о вычетах получаем $$Jf=f(t)-\sum_{j=1}^n\sum_{\nu=0}^{\nu_j-1}c_{j\nu}(t)f^{(\nu)}(x_j).$$ Из свойств эллиптических функций (см., например, \cite{Akh}) вытекают равенства \begin{multline*} \ctn\left(\frac K\pi(t\pm i\beta),k\right)=\ctn\left(\frac K\pi t\pm i\frac {K'}2,k\right)\\ =\pm i(1+k)\frac{1-k\sn^2\left(\dfrac K\pi t,k\right)}{1+k\sn^2\left(\dfrac K\pi t,k\right)}=\pm i\frac\Lambda K\dn\left(\frac\Lambda\pi t,\lambda \right), \end{multline*} где $\lambda=2\sqrt k/(1+k)$, а $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $\lambda$ (иначе говоря, $\lambda$ определяется из условия $\Lambda'/\Lambda=K'/(2K)$). Тем самым интеграл \eqref{Int} может быть записан в виде $$Jf:=B(t)g_{B,p}(t)\frac1{4\pi}\int_\Gamma\frac{f(z)}{B(z)g_{B,p}(z)}K_ \beta(\Re z-t)\,dz,$$ где $\Gamma=[i\beta,2\pi+i\beta]\cup[-i\beta,2\pi-i\beta]$. Пусть $1\le p< \infty$. Тогда для погрешности квадратурной формулы \eqref{Qu} имеем оценку \begin{multline*} R_f:=\left|\int_\mathbb Tf(t)p(t)\,dt-\sum_{j=1}^n\sum_{\nu=0}^{\nu_j-1}a_{ j\nu}f^{(\nu)}(x_j)\right|\\ \le\int_\mathbb TB(t)g_{B,p}(t)p(t)\frac1{4\pi}\int_\Gamma\frac{|f(z)|}{|g_ {B,p}(z)|}K_\beta(\Re z-t)\,dz\,dt\\ =\frac1{4\pi}\int_\Gamma\frac{|f(z)|}{|g_{B,p}(z)|}\int_\mathbb TB(t)g_{B,p }(t)K_\beta(\Re z-t)p(t)\,dt\,dz. \end{multline*} Пользуясь равенством \eqref{var}, получаем $$R_f\le e(L,H_{p,\beta},I)\frac1{4\pi}\int_\Gamma|f(z)||g_{B,p}(z)|^{p-1} \,dz.$$ По неравенству Гельдера \begin{multline*} R_f\le e(L,H_{p,\beta},I)\left(\frac1{4\pi}\int_\Gamma|f(z)|^p\,dz\right)^{ 1/p}\left(\frac1{4\pi}\int_\Gamma|g_{B,p}(z)|^p\,dz\right)^{(p-1)/p}\\ \le e(L,H_{p,\beta},I). \end{multline*} Если $p=\infty$, то $g_{B,p}(z)\equiv1$ и $$|Jf|\le B(t)\frac1{4\pi}\int_\Gamma|f(z)|K_\beta(\Re z-t)\,dz\le B(t),$$ поскольку $$\frac1{4\pi}\int_\Gamma K_\beta(\Re z-t)\,dz\equiv1.$$ Следовательно, $$R_f\le\int_\mathbb TB(t)p(t)\,dt=e(L,H_{\infty,\beta},I).$$ \end{proof} \ssection{Восстановление функций из $H_p^r$ по тейлоровской информации} Рассмотрим задачу оптимального восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in D $, на классе $H_p^r$ по значениям информационного оператора $$If=(f(0),f'(0),\ldots,f^{(n+r-1)}(0)).$$ Погрешность оптимального метода восстановления обозначим в этом случае через $e(\xi,H_p^r,I)$. Нетрудно убедиться, что если $f\in H_p^r$ и $If=0$, то $f^{(r)}(z)=z^n \varphi(z)$, где $\varphi\in H_p$. Следовательно, $f(z)=T_r(t^n\varphi(t))( z)$, где оператор $T_r$ определен равенством \eqref{Tr}. Очевидно, что и при всех $\varphi\in H_p$ функция $f(z)=T_r(t^n\varphi(t))(z)\in H_p^r$, причем $If=0$. Тем самым, учитывая соотношение двойственности \eqref2, \begin{equation}\label{**} e(\xi,H_p^r,I)=\sup_{\substack{f\in H_p^r\\If=0}}|f(\xi)|=\sup_{\varphi\in H_p}\left|\int_0^\xi\frac{(\xi-t)^{r-1}}{(r-1)!}t^n\varphi(t)\,dt\right|. \end{equation} Пусть $\xi\in(0,1)$. Тогда из \cite[стр.~176]{Os4} следует, что существует единственная функция $\varphi_\xi\in H_p$ такая, что $\varphi_\xi(t)>0$ при $t\in(-1,1)$ и \begin{equation}\label{11} e(\xi,H_p^r,I)=\int_0^\xi\frac{(\xi-t)^{r-1}}{(r-1)!}t^n\varphi_\xi(t)\,dt. \end{equation} \begin{thm} При всех $\xi\in D$ и $1\le p\le\infty$ метод \begin{equation}\label{Meth} f(\xi)\approx\sum_{j=0}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}f^{(j)}(0), \end{equation} где $a_0=\ldots=a_{r-1}=1$, \begin{gather}\label{*} \begin{gathered} a_{n+r-1}=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!\varphi_{|\xi|}(0)}h_{n+r-1},\\ a_k=\frac{k!}{(k-r)!\varphi_{|\xi|}(0)}\left(h_k-\sum_{j=k+1}^{n+r-1}a_j \frac{(j-r)!}{j!(j-k)!}|\xi|^{j-k}\varphi_{|\xi|}^{(j-k)}(0)\right),\\ \hspace{215pt}k=n+r-2,\ldots,r, \end{gathered}\\ h_k=\int_0^1\frac{(1-\tau)^{r-1}}{(r-1)!}\tau^{k-r}\left(1-(|\xi|\tau)^{2(n +r-k)}\right)\varphi_{|\xi|}(|\xi|\tau)\,d\tau,\notag\\ \hspace{240pt}k=r,\ldots,n+r-1,\notag \end{gather} является оптимальным методом восстановления на классе $H_p^r$. \end{thm} \begin{proof} Обозначим через $H_p^{r,\mathbb R}$ класс всех функций из $H_p^r$, вещественных на интервале $(-1,1)$. Покажем сначала, что метод \eqref{Meth} является оптимальным на классе $H_p^{r,\mathbb R}$ при $\xi\in(0,1)$. Так как $\varphi_\xi\in H_p^\mathbb R$, то равенство \eqref{11} справедливо и для класса $H_p^{r,\mathbb R}$, то есть функция \begin{equation}\label{f0} f_0(z):=\int_0^z\frac{(z-t)^{r-1}}{(r-1)!}t^n\varphi_\xi(t)\,dt \end{equation} является экстремальной в задаче восстановления значения $f(\xi)$ на классе $H_p^{r,\mathbb R}$ по тейлоровской информации $If$. Положим $\omega_0(z):=1$, $$\omega_j(z):=\frac{z\omega_{j-1}(z)+\varepsilon_{n+r-j}}{1+\varepsilon_{n +r-j}z\omega_{j-1}(z)},\quad j=1,\ldots,n.$$ При всех $\varepsilon_r,\ldots,\varepsilon_{n+r-1}\in(-1,1)$ функция $\omega_n\varphi_\xi\in H_p^\mathbb R$. Рассмотрим для точек $P=( \varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n+r-1})\in\mathbb R^{n+r}$ функцию $$f_P(z):=\sum_{j=0}^{r-1}\varepsilon_jz^j+T_r(\omega_n\varphi_\xi)(z).$$ При всех $P\in(-1,1)^{n+r}$ \ $f_P\in H_p^r$, а при $P=0$ эта функция совпадает с экстремальной функцией \eqref{f0}. Из теоремы~\ref{T1} следует, что коэффициенты $a_j$ оптимального метода восстановления на классе $H_p^{r ,\mathbb R}$, находятся из системы $$\sum_{j=0}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}\frac{\partial f_P^{(j)}(0)}{ \partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=\frac{\partial f_P(\xi)}{\partial \varepsilon_k}_{\Big|P=0},\quad k=0,1,\ldots,n+r-1.$$ Имеем при $0\le k\le r-1$ $$\frac{\partial f_P^{(j)}(0)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=\begin{cases}0,&k \ne j,\\ j!,&k=j,\end{cases}\quad\frac{\partial f_P(\xi)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big |P=0}=\xi^k,$$ а при $r\le k\le n+r-1$ \begin{gather*} \frac{\partial f_P^{(j)}(0)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=\begin{cases}0,&0 \le j\le k-1,\\ C_{j-r}^{k-r}(k-r)!\varphi_\xi^{(j-k)}(0),&k\le j\le n+r-1,\end{cases}\\ \frac{\partial f_P(\xi)}{\partial\varepsilon_k}_{\Big|P=0}=(T_rg_k)(\xi), \end{gather*} где $$g_k(z)=z^{k-r}(1-z^{2(n+r-k)})\varphi_\xi(z).$$ Отсюда $a_0=\ldots=a_{r-1}=1$, а для определения остальных коэффициентов получаем систему $$\sum_{j=k}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}C_{j-r}^{k-r}(k-r)!\varphi_\xi^{(j-k )}(0)=(T_rg_k)(\xi),\quad k=r,\ldots,n+r-1.$$ Таким образом, $$a_{n+r-1}=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!\varphi_\xi(0)}\frac{(T_rg_{n+r-1})(\xi)} {\xi^{n+r-1}},$$ \begin{multline*} a_k=\frac{k!}{(k-r)!\varphi_{\xi}(0)}\left(\frac{(T_rg_k)(\xi)}{\xi^k}-\sum _{j=k+1}^{n+r-1}a_j\frac{(j-r)!}{j!(j-k)!}\xi^{j-k}\varphi_\xi^{(j-k)}(0) \right),\\ k=n+r-2,\ldots,r. \end{multline*} Сделав замену $t=\xi\tau$, получим, что $(T_rg_k)(\xi)=\xi^kh_k$, и следовательно, имеют место равенства \eqref*. Оптимальность построенного метода на классе $H_p^r$ доказывается приемом, аналогичным тому, который использовался при доказательстве теоремы~\ref2. Пусть теперь $\xi$ --- произвольная точка диска $D$. Если $\xi=|\xi|e^{i \theta}$ и $f\in H_p^r$, то функция $F(z)=f(ze^{i\theta})$ принадлежит классу $H_p^r$, $F(|\xi|)=f(\xi)$ и $$IF=(f(0),e^{i\theta}f'(0),\ldots,e^{i(n+r-1)\theta}f^{(n+r-1)}(0)).$$ Применяя построенный метод к функции $F$ в точке $|\xi|$, получим, что $$\left|f(\xi)-\sum_{j=0}^{n+r-1}a_j\frac{\xi^j}{j!}f^{(j)}(0)\right|\le e( |\xi|,H_p^r,I).$$ Используя первое из равенств \eqref{**}, легко убедиться, что $$e(|\xi|,H_p^r,I)=e(\xi,H_p^r,I).$$ Тем самым построенный метод является оптимальным при всех $\xi\in D$. \end{proof} \begin{thebibliography}{99} \bibitem{Sm}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Канд. дисс. М.: МГУ, 1965. \bibitem{MiR}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977. \bibitem{MiR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin: Springer--Verlag, 1985. \bibitem{Ar}{\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20. \bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.~50 \No6. С.~85--93. \bibitem{Os}{\it Осипенко~К.~Ю.} Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат. заметки. 1976. Т.~19. \No1. С.~29--40. \bibitem{Os1}{\it Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди--Соболева // Мат. сб. 2001. Т.~192. С.~67--86. \bibitem{Bo}{\it Bojanov~B.~D.} Best quadrature formula for a certain class of analytic functions. Zastos. Mat. 1974. V.~14, P.~441--447. \bibitem{Os2}{\it Осипенко~К.~Ю.} О наилучших и оптимальных квадратурных формулах на классах ограниченных аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т.~52, \No1. С.~79--99. \bibitem{Os3}{\it Осипенко~К.~Ю.} Об $n$-поперечниках, оптимальных квадратурных формулах и оптимальном восстановлении функций, аналитических в полосе // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т.~58, \No4. С.~55--79. \bibitem{Os4}{\it Osipenko~K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions. Huntington, New York: Nova Science Publ., Inc., 2000. \bibitem{Os5}{\it Осипенко~К.~Ю.} Оптимальная интерполяция аналитических функций // Мат. заметки. 1972. Т.~12. \No4. С.~465--476. \bibitem{FM}{\it Fisher~S.~D., Micchelli~C.~A.} The $n$-width of sets of analytic functions // Duke Math. 1980. V.~47. \No4. P.~789--801. \bibitem{Fa}{\it Farkov~Yu.~A.} The $N$-widths of Hardy--Sobolev spaces of several complex variables // J. Approx. Theory. 1993. V.~75. \No2. P.~183--197. \bibitem{Fish}{\it Fisher~S.~D.} Envelopes, widths, and Landau problems for analytic functions // Constr. Approx. 1989. V.~5. \No2. P.~171--187. \bibitem{Mo}{\it Моторный~В.~П.} О наилучшей квадратурной формуле вида $ \sum_{i=1}^np_if(x_i)$ для некоторых классов периодических дифференцируемых функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974. Т.~38, \No3. С.~583--614. \bibitem{Ni}{\it Никольский~С.~М.} Квадратурные формулы. М: Наука, 1979. \bibitem{OW}{\it Osipenko~K.~Yu., Wilderotter~K.} Optimal information for approximating periodic functions // Math. Comput. 1997 V.~66. \No220. P.~1579--1592. \bibitem{OsCo}{\it Osipenko~K.~Yu.} Exact values of $n$-widths of Hardy-Sobolev classes // Constr. Approx. 1997. V.~13. P.~17--27. \bibitem{Akh}{\it Ахиезер~Н.~И.} Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. \bibitem{Wi}{\it Wilderotter~K.} Optimal approximation of periodic analytic functions with integrable boundary values // J. Approx. Theory. 1996 V.~84. \No2. P.~236--246. \end{thebibliography} \end{document}