\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{cite} %\usepackage{srctex} \makeatletter \renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.} \makeatother \tolerance 1900 \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem*{corollary}{Следствие} \renewcommand{\thesection}{\S \arabic{section}} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup} \DeclareMathOperator*{\IM}{Im} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\gr}{gr} \DeclareMathOperator{\co}{co} \DeclareMathOperator{\bco}{bco} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator*{\spann}{span} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\ctn}{ctn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\arth}{arth} \DeclareMathOperator{\thh}{th} \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff} \DeclareMathOperator{\cl}{cl} \DeclareMathOperator{\In}{In} \DeclareMathOperator{\card}{card} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\ei}{e^{i\theta}} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta} \newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}} \newcommand*{\wl}{\widetilde l} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} Факультет вычислительной математики и кибернетики \end{center} \vspace{50pt} \begin{flushright} На правах рукописи\\ \bigskip \end{flushright} \vspace{60pt} \begin{center} Константин Юрьевич ОСИПЕНКО \\ \vspace{50pt} НАИЛУЧШИЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ИНФОРМАЦИЮ О КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ\\ \vspace{50pt} (01.01.07. --- вычислительная математика)\\ \vspace{100pt} АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ\\ на соискание ученой степени\\ кандидата физико-математических наук\\ \vspace{150pt} ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА $\cdot$ 1976 \end{center} \newpage \thispagestyle{empty} Работа выполнена на кафедре вычислительной математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.~Ломоносова. \bigskip \begin{tabular}{ll} Научный руководитель ---&доктор физико-математических\\ &наук, профессор\\ &Н.С.~БАХВАЛОВ.\\[28pt] Официальные оппоненты:&доктор физико-математических\\ &наук, профессор С.Б.~СТЕЧКИН,\\ &кандидат физико-математических\\ &наук Т.А.~ЛЕОНТЬЕВА.\\ \end{tabular} \bigskip Ведущее предприятие --- Московский физико-технический институт. \bigskip Автореферат разослан "\rule{8mm}{0,25pt}"\rule{3cm}{0,25pt} 1976 г. Защита диссертации состоится "\rule{8mm}{0,25pt}"\rule{3cm}{0,25pt} 1976 г. в 15 часов на заседании Ученого Совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (Москва, 117234, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.~205). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета. \vspace{260pt} Ученый секретарь Совета доктор физ.-мат. наук, профессор\hfill Н.Н.~КУЗНЕЦОВ \newpage \setcounter{page}{1} Диссертация посвящена исследованию задач, связанных с построением наилучших методов приближения функций из некоторых классов, использующих информацию о конечном числе значений функций. В более общем виде рассматриваемые задачи можно сформулировать, как задачу приближения линейного функционала $L(x)$ на некотором множестве $W$ из линейного пространства $X$ по значениям линейных функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$. Последняя задача часто формулируется, как задача нахождения таких чисел $C_1^0,\ldots,C_n^0$, для которых величина $$r_n(C_1,\ldots,C_n)=\sup_{x\in W}\biggl|L(x)-\sum_{j=1}^nC_jl_j(x)\biggr|$$ минимальна. Большинство задач о построении наилучшей квадратурной формулы на классе можно сформулировать именно в таком виде. Желание наиболее полно использовать информацию о значениях функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$ приводит к следующей постановке. Среди всевозможных методов приближения $S(l_1(x),\ldots,l_n(x))$ (не обязательно линейных относительно $l_1(x),\ldots,l_n(x)$) найти метод, называемый наилучшим, который минимизирует величину $$r_n(S)=\sup_{x\in W}|L(x)-S(l_1(x),\ldots,l_n(x))|.$$ Такая постановка задачи была предложена С.А.~Смоляком \cite{10} и рассматривалась также в работах Н.С.~Бахвалова \cite{2} и Б.Д.~Боянова \cite{3,4}. В частности, было доказано (\cite{10}, см.\ также \cite{2}), что если множество $W$ из линейного вещественного пространства является выпуклым и центрально-симметричным, то среди наилучших методов приближения найдется линейный относительно функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$, и имеет место равенство $$\inf_{\{C_j\}}r_n(C_1,\ldots,C_n)=\inf_Sr_n(S)=\sup_{\substack{x\in W\\l_1(x)=\ldots=l_n(x)=0}}|L(x)|.$$ Тот факт, что реально значения функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$ во многих задачах бывают известны приближенно, приводит к следующей постановке. Приблизить линейный функционал $L(x)$ на множестве $W$ из линейного пространства $X$ (вещественного или комплексного) по значениям $\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x)$, где $\wl_j(x)=l_j(x)+\rho_j(x)$, $j=1,\ldots,n$, а вектор $\rho(x)=(\rho_1(x),\ldots,\rho_n(x))$ при всех $x\in W$ удовлетворяет неравенству $\|\rho(x)\|\le\delta$; здесь $\|\cdot\|$ --- какая-либо норма в пространстве $n$-мерных вещественных или комплексных векторов, а $\delta$ --- неотрицательное число, характеризующее погрешность задания линейных функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$. Погрешностью данного метода приближения $S(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))$ линейного функционала $L(x)$ назовем величину $$r_n(\delta,S)=\sup_{x\in W}\sup_{\|\rho(x)\|\le\delta}|L(x)-S(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))|.$$ В работе рассматриваются задачи, связанные с нахождением такого метода $S_0(\delta,\wl_1(x),\ldots,\wl_n(x))$, называемого наилучшим методом приближения при данном $\delta$, для которого справедливо равенство $$r_n(\delta,S_0)=\inf_Sr_n(\delta,S).$$ Заметим, что в случае $\delta=0$ рассматриваемая постановка задачи совпадает с постановкой С.А.~Смоляка. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе исследуются вопросы, связанные с существованием и единственностью линейного наилучшего метода приближения. В \S~1 устанавливается, что для комплексного линейного пространства $X$ в случае, если множество $W$ выпуклое и круговое, при всех $\delta\ge0$ среди наилучших методов приближения найдется линейный и для его погрешности будет справедливо равенство $$r_n(\delta,S_0)=\sup_{\substack{x\in W\\\|l(x)\|\le\delta}}|L(x)|,\quad l(x)=(l_1(x),\ldots,l_n(x)).$$ Далее, при условии дифференцируемости в нуле по $\varepsilon$ функций $$\varphi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{x\in A_j(\varepsilon,\delta)}\RE L(x),\ \psi_j(\varepsilon,\delta)=\sup_{x\in A_j(i\varepsilon,\delta)}\RE L(x),\ j=1,\ldots,n,$$ где $A_j(\varepsilon,\delta)=\{x\in W|\IM L(x)=0,\ \|l(x)-\varepsilon e_j\|\le\delta\}$, $\{e_j\}=\delta_{kj}$, доказывается, что метод приближения $$L(x)\approx\sum_{j=1}^n\left[\frac{\partial\varphi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}- i\frac{\partial\psi_j(0,\delta)}{\partial\varepsilon}\right]\wl_j(x)$$ будет единственным линейным наилучшим методом приближения функционала $L(x)$ по значениям функционалов $l_1(x),\ldots,l_n(x)$, заданных с погрешностью $\delta$. B \S~2 устанавливаются аналогичные результаты для случая, когда линейные функционалы $L(x),l_1(x),\ldots,l_n(x)$ определены на вещественном линейном пространстве $X$. Глава~2 посвящена вопросам, связанным с построением наилучших методов приближения аналитических функций, использующих информацию о конечном числе точных значений функций. Обозначим через $A_d(G)$ класс аналитических в односвязной области $G$ функций $f(z)$, представимых в виде $f(z)=d(z)g(z)$, где $d(z)$ фиксированная аналитическая в области G функция, не обращающаяся в нуль, а $g(z)$ принадлежит классу аналитических и не превосходящих по модулю единицы в области $G$ функций. Простейшим примером класса типа $A_d(G)$ является класс функций $A_M(G)$, аналитических и не превосходящих по модулю константы $M$. B \S~3 строится наилучший на классе $A_d(G)$ метод приближения величины $f(z)$, $z\in G$ по значениям $$f(z_1),\ldots,f^{(k_1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(k_n)}(z_n),\mbox{ где }z_1,\ldots,z_n$$ различные точки из области $G$, и доказывается единственность построенного метода среди линейных наилучших методов. Для погрешности наилучшего метода $r(z,\underbrace{z_1,\ldots,z_1}_{k_1+1},\ldots,\underbrace{z_n,\ldots,z_n}_{k_n+1})$ доказывается равенство $$r(z,z_1,\ldots,z_n)=|d(z)|\prod_{j=1}^n\left|\frac{W(z)-W(z_j)}{1-\ov{W(z_j)}W(z)} \right|^{k_j+1},$$ где $W(z)$ --- какое-либо конформное отображение области $G$ на внутренность единичного круга (область $G$ считается не совпадающей со всей расширенной плоскостью или с расширенной плоскостью с одной выколотой точкой, т.к. в противном случае класс $A_d(G)$ состоит из функций, с точностью до постоянного множителя равных $d(z)$, и задача приближения решается точно). Обозначим через $H_p$, $p>0$, класс аналитических в $|z|<1$ функций $f(z)$ таких, что для каждой из них интеграл $\displaystyle\int_0^{2\pi}|f(re^{i\varphi})|^p\,d\varphi$ ограничен при $00$, суммируемы на $[0,2\pi]$. Через $H_p^\rho$ обозначим класс функций $f(z)\in H_p$, для которых почти всюду выполняется неравенство $|f(e^{i\varphi})|\le\rho(\varphi)$. B \S~4 показано, что класс $H_p^\rho$ является классом типа $A_d(G)$, где $G=\{z:|z|<1\}$, а $d(z)=e^{\textstyle\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln\rho(\varphi)\frac{e^{i\varphi}+z} {e^{i\varphi}-z}\,d\varphi}$, и с помощью результатов, полученных в \S~3, строится единственный линейный наилучший метод приближения для функций из класса $H_p^\rho$. Для симметричной относительно вещественной оси области $G$ и аналитической функции $d(z)$, вещественной и положительной на вещественной оси, обозначим через $A_d^0(G)$ множество функций из $A_d(G)$, вещественных на вещественной оси. Для приближенного вычисления интеграла $\displaystyle\int_a^bf(x)p(x)\,dx$ на функциях из класса $A_d^0(G)$ в § 3 строится квадратурная формула, использующая значения $f(z_1),\ldots,f^{(k_1)}(z_1),\ldots,f(z_n),\ldots,f^{(k_n)}(z_n)$. Для погрешности построенной квадратурной формулы доказана оценка \begin{multline}\label{1} r(\underbrace{z_1,\ldots,z_1}_{k_1+1},\ldots,\underbrace{z_n,\ldots,z_n}_{k_n+1})\le \int_a^bd(x)\prod_{j=1}^l\left|\frac{W(z)-W(z_j)}{1-W(z_j)W(z)}\right|^{k_j+1}\\ \times \prod_{j=l+1}^n\left|\frac{W(z)-W(z_j)}{1-\ov{W(z_j)}W(z)}\right|^{2(k_j+1)}p(x)\,dx, \end{multline} где $W(z)$ --- какое-либо конформное отображение области $G$ на внутренность единичного круга, переводящее точки вещественной оси в точки вещественной оси, а точки $z_1,\ldots,z_n$ таковы, что $$\IM z_j=0,\quad j=1,\ldots,l,\quad z_i\ne z_j,\quad l+1\le i,j\le n.$$ В случае, когда $k_j=2k_j'+1$, $j=1,\ldots,l$, доказано, что построенная квадратурная формула является наилучшим методом интегрирования на классе $A_d^0(G)$ и неравенство \eqref{1} обращается в равенство. Задачи, связанные с исследованием квадратурных формул на классе $A_M^0(G)$, рассматривались ранее Н.С.~Бахваловым в работе \cite{1}. В \S~5 исследуется задача минимизации погрешности наилучшего на классе $A_d(G)$ метода приближения $r(z_1,\ldots,z_n)$ на некотором замкнутом множестве $E\subset G$ со связным дополнением за счет выбора узлов $z_1,\ldots,z_n$. Положим \begin{gather}\label{2} R_n(G,E)=\inf_{\{z_j\}\in G}\max_{z\in E}r(z_1,\ldots,z_n),\\ R_n^*(G,E)=\inf_{\{z_j\}\in E}\max_{z\in E}r(z_1,\ldots,z_n).\label{3} \end{gather} Точки $z_1^0,\ldots,z_n^0$, на которых достигается нижняя грань в равенствах \eqref{2} или \eqref{3}, будем называть оптимальными узлами для соответствующей задачи. Для величин $R_n(G,E)$ и $R_n^*(G,E)$ доказываются следующие соотношения: \begin{gather*} R_n^*(G,E)\ge R_n(G,E)\ge\min_{z\in E}|d(z)|e^{-nh(E,CG)},\quad n\ge1,\\ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{R_n^*(G,E)}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{R_n(G,E)}=e^{-h(E,CG)}; \end{gather*} здесь $h(E,CG)$ --- модуль конденсатора, образованного множеством $E$ и дополнением множества $G$. В некоторых случаях для класса $A_M(G)$ задача нахождения величин $R_n(G,E)$, $R_n^*(G,E)$ и соответствующих оптимальных узлов может быть решена точно. Рассмотрению таких случаев посвящен \S~6. В частности, в этом параграфе доказывается, что для эллипса $\mbox{Э}_c$ с фокусами в точках $\pm1$ и суммой полуосей $c$ справедливы равенства $$R_n^*(\mbox{Э}_c,[-1,1])=R_n(\mbox{Э}_c,[-1,1])=2Mc^{-n}\frac{\displaystyle\sum_{m=0}^\infty c^{-4nm(m+1)}}{1+\displaystyle\sum_{m=1}^\infty c^{-4nm^2}},$$ а оптимальными узлами являются узлы Чебышева $z_j^0=\linebreak\cos\dfrac{2j-1}{2n}\pi$, $j=1,\ldots,n$. В главе 3 исследуются задачи, связанные с построением наилучших методов приближения, использующих информацию о значениях функций, заданных с погрешностью. Одним из простейших методов приближения функции по ее значениям $f(x_1),\ldots,f^{(k-1)}(x_1),\linebreak\ldots,f(x_n),\ldots,f^{(k-1)}(x_n)$ является интерполяционная формула Эрмита $f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{k-1}P_{ij}(x)f^{(j)}(x_i)$, погрешность которой обычно оценивается на классе функций, имеющих непрерывную производную $f^{(nk)}(x)$, удовлетворяющую на некотором отрезке $[a,b]$ условию $\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f^{(nk)}(x)|\le M$ (будем обозначать такой класс через $W^{(nk)}(M;a,b)$). В \S~7 доказывается, что интерполяционная формула Эрмита, в которой вместо точных значений используются приближенные значения $\widetilde f^{(j)}(x_i)=f^{(j)}(x_i)+\rho_{ij}(f)$, $i=1,\ldots,n$, $j=0,\ldots,k-1$, где векторы $\rho^j(f)=(\rho_{1j}(f),\ldots,\rho_{nj}(f))$ при всех $f\in W^{(nk)}(M;a,b)$ удовлетворяют неравенству \begin{multline*} \|\rho^j(f)\|_{p_j}\le\delta_j\quad\biggl(\|\rho\|_p=\biggl(\sum_{i=1}^n|\rho_i|^p\biggr) ^{1/p},\quad1\le p<\infty,\\ \|\rho\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|\rho_i|\biggr), \end{multline*} для любых $\delta_1,\ldots,\delta_{k-1}\ge0$ будет единственным линейным наилучшим методом приближения величины $f(x)$ на классе $W^{(nk)}(M;a,b)$. Для погрешности наилучшего метода приближения в точке $x$ доказывается равенство \begin{multline*} r(x,\delta_1,\ldots,\delta_{k-1}\underbrace{x_1,\ldots,x_1}_k,\ldots, \underbrace{x_n,\ldots,x_n}_k)=\frac M{(nk)!}\prod_{i=1}^n|x-x_i|^k\\ +\sum_{j=0}^{k-1}\delta_j\|\ov{P_j(x)}\|_{q_j}, \end{multline*} где $\ov{P_j(x)}=(P_{1j}(x),\ldots,P_{nj}(x))$, $\dfrac1{p_j}+\dfrac1{q_j}=1$. Через $r(\delta,x_1,\ldots,x_n)$ обозначим погрешность наилучшего метода интегрирования для задачи приближенного вычисления интеграла $\displaystyle\int_a^bf(x)p(x)\,dx$ на классе $W^{(2n)}(M;a,b)$ по значениям $\widetilde f(x_i)=f(x_i)+\rho_i(f)$, $i=1,\ldots,n$, где при всех $f\in W^{(2n)}(M;a,b)$ выполняется неравенство $\displaystyle\max_{1\le i\le n}|\rho_i(f)|\le\delta$. Наилучший метод интегрирования, использующий значения $\widetilde f(x_1^0),\ldots,\widetilde f(x_n^0)$, будем называть оптимальным, если имеет место равенство $$r(\delta,x_1^0,\ldots,x_n^0)=\inf_{\{x_i\}}r(\delta,x_1,\ldots,x_n).$$ В \S~3 доказывается, что единственным линейным методом интегрирования на классе $W^{(2n)}(M;a,b)$ является квадратурная формула Гаусса, в которой вместо точных значений используются значения $\widetilde f(x_1^0),\ldots,\widetilde f(x_n^0)$, а для погрешности оптимального метода интегрирования справедливо равенство $$r(\delta,x_1^0,\ldots,x_n^0)=\frac M{(2n)!}\int_a^b\prod_{i=1}^n(x-x_i)^2p(x)\,dx+\delta\int_a^bp(x)\,dx;$$ здесь $x_1^0,\ldots,x_n^0$ --- узлы квадратуры Гаусса для веса $p(x)$ на отрезке $[a,b]$. Задаче построения наилучшего метода приближения на классе $A_d^0(G)$, использующего значения $\widetilde f(x_i)=f(x_i)+\rho_i(f)$, $i=1,\ldots,n$, где при всех $f\in A_d^0(G)$ выполнено неравенство $\displaystyle\max_{1\le i\le n}|\rho_i(f)|\le\delta$, посвящен \S~8. При некоторых условиях на малость $\delta$ в этом параграфе строится наилучший метод приближения величины $f(x)$ по значениям $\widetilde f(x_1),\ldots,\widetilde f(x_n)$, $x,x_1,\ldots,x_n\in G\cap\mathbb R$, и доказывается единственность построенного метода среди линейных наилучших методов приближения. Основные результаты диссертации опубликованы в работах \cite{6,7,8} и докладывались на семинарах факультета ВМК МГУ и механико-математического факультета МГУ. В заключение автор глубоко признателен своему научному руководителю профессору Н.С.~БАХВАЛОВУ за постоянное внимание к работе. \newpage \renewcommand{\refname}{\bf Л И Т Е Р А Т У Р А} \begin{thebibliography}{11} \bibitem{1} Бахвалов~Н.С. Об оптимальной скорости интегрирования аналитических функций. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 7, \No~5 (1967), IOII--1020. \bibitem{2} Бахвалов~Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 11, \No~4 (1971), І014--I018. \bibitem{3} Боянов~Б.Д. Оптимальная скорость интегрирования и $\varepsilon$-энтропия одного класса аналитических функций. Матем. заметки, 14, \No~1 (1973), 3--10. \bibitem{4} Боянов~Б.Д. Найлучшие методы интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций. Матем. заметки, I7, \No~4 (1975), 511--524. \bibitem{5} Голузин~Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, М., 1966. \bibitem{6} Марчук~А.Г., Осипенко~К.Ю. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек. Матем. заметки, I7, \No~3 (1975), 359--368. \bibitem{7} Осипенко~К.Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций. Матем. заметки, 12, \No~4 (1972), 465--476. \bibitem{8} Осипенко~К.Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек. Матем. заметки, 19, \No~1 (1976) 29--40. \bibitem{9} Привалов~И.И. Граничные свойства аналитических функций, М.-Л., 1950. \bibitem{10} Смоляк~С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них, Кандид. дисс., МГУ, 1965. \end{thebibliography} \end{document}