\documentclass[11pt,draft]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[german,english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{cite} %\usepackage{srctex} \tolerance 10000 \newtheorem*{theorem}{Теорема} \newcommand{\RM}{\mathbb{R}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\vq}{\widetilde q} \newcommand*{\lpp}{L_p(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)} \newcommand*{\vg}{\widetilde\gamma} \newcommand*{\vK}{\widetilde K} \newcommand{\curl}{\operatorname{curl}} \renewcommand{\bibname}{СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \begin{document} \noindent УДК 517.27, 517.51, 519.65, 517.86, 517.95, 517.97, 517.98 \bigskip \begin{center}\bf ОБ ОСНОВНЫХ НАУЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ ПОСЛЕДНЕГО ВРЕМЕНИ СОТРУДНИКОВ КАФЕДРЫ ОБЩИХ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ \end{center} \bigskip \begin{center}\bf А.\,А.~Васильева\footnote[1]{{\it Васильева Анастасия Андреевна} --- доктор физ.-мат. наук, доцент каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasilyeva\_nastya@inbox.ru.\\ \indent {\it Vasilieva Anastasia Andreevna} --- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, А.\,В.~Горшков\footnote[2]{{\it Горшков Алексей Вячеславович} --- канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gorshkov\_alexey@mail.ru.\\ \indent {\it Gorshkov Alexey Vyacheslavovich} --- Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, М.\,П.~Заплетин\footnote[3]{{\it Заплетин Максим Петрович} --- канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zapletin\_m@mail.ru.\\ \indent {\it Zapletin Maxim Petrovich} --- Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, Л.\,В.~Локуциевский\footnote[4]{{\it Локуциевский Лев Вячеславович} --- доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lion.lokut@gmail.com.\\ \indent {\it Lokucievskii Lev Vyacheslavovich} --- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, Г.\,Г.~Магарил-Ильяев\footnote[5]{{\it Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич} --- доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgii.magaril@math.msu.ru.\\ \indent {\it Magaril-Ilyaev Georgii Georgievich} --- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, К.\,Ю.~Осипенко\footnote[6]{{\it Осипенко Константин Юрьевич} --- доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kosipenko@yahoo.com.\\ \indent {\it Osipenko Konstantin Yurevich} --- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, К.\,С.~Рютин\footnote[7]{{\it Рютин Константин Сергеевич} --- канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kriutin@yahoo.com.\\ \indent {\it Ryutin Konstantin Sergeevich} --- Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Problems of Control.}, А.\,В.~Фурсиков\footnote[8]{{\it Фурсиков Андрей Владимирович} --- доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. каф. общих проблем управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fursikov@gmail.com.\\ \indent {\it Fursikov Andrei Vladimirovich} --- Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Chair of General Problems of Control.} \end{center} В статье приводится обзор основных научных результатов, полученных сотрудниками кафедры общих проблем управления в последние годы. {\it Ключевые слова}: экстремальные задачи, теория приближений, восстановление, оптимальное управление. In this paper we survey recent results obtained by the staff of the Chair of General Problems of Control. {\it Key words}: extremal problems, approximation theory, recovery, optimal control. \bigskip {\bf 1. Введение.} Научные интересы сотрудников кафедры общих проблем управления (ОПУ) широки и разнообразны. Они связаны с задачами общей теории экстремума, теории управления, теории приближений, с задачами обтекания жидкостью ограниченного тела, задачами оптимального восстановления и многими другими. Ряд вопросов, относящихся к указанной тематике, обсуждается в этом обзоре. Нижеследующий текст состоит из разделов, каждый из которых написан одним из сотрудников кафедры ОПУ. Разделы расположены в алфавитном порядке фамилий их авторов. {\bf 2. Поперечники по Колмогорову.} Раздел подготовлен А.А. Васильевой. Пусть $X$ --- нормированное пространство, $M\subset X$, $n\in \mathbb{Z}_+$, ${\mathcal L}_n(X)$ --- совокупность всех подпространств в $X$ размерности не выше $n$. Колмогоровским $n$-поперечником множества $M$ в пространстве $X$ называется величина $$ d_n(M, \, X) = \infp _{L\in {\mathcal L}_n(X)} \sup _{x\in M} \infp _{y\in L} \|x-y\|. $$ Пусть $m, \, k\in \mathbb{N}$, $1\le p<\infty$, $1\le \theta<\infty$. Через $l_{p,\theta}^{m,k}$ обозначим пространство $\mathbb{R}^{mk}$ с нормой $\|(x_{i,j})_{1\le i\le m, \, 1\le j\le k}\|_{l_{p,\theta}^{m,k}} = \Bigl(\sum \limits _{j=1}^k\Bigl(\sum \limits _{i=1}^m |x_{i,j}|^p\Bigr)^{\theta/p}\Bigr)^{1/\theta}$. Для $p=\infty$ или $\theta=\infty$ определение модифицируется естественным образом. Через $B_{p,\theta}^{m,k}$ обозначим единичный шар пространства $l_{p,\theta}^{m,k}$. В случае $k=1$ пространство и единичный шар будем обозначать соответственно через $l_p^m$ и $B_p^m$. Порядковые оценки величин $d_n(B_p^N, \, l_q^N)$ с точностью до мультипликативных констант, зависящих только от $q$, известны для $1\le q< \infty$ и произвольных $p$, а также для $q=\infty$ и $p\ge 2$ (при $p\ge q$ и $p=1$, $q=2$ вычислены точные значения)(историю вопроса и библиографию см., например, в [1]). Э.М. Галеевым [2] были получены порядковые оценки $d_n(\cap _{\alpha \in A} \nu _\alpha B_{p_\alpha}^N, \, l_q^N)$ при $N=2n$ (здесь $\nu_\alpha>0$, $\alpha\in A$). Этот результат распространен А.А. Васильевой на случай $N\ge 2n$. Показано, что оценка поперечника пересечения шаров сводится к вычислению инфимума множества величин вида $\nu d_n(B_p^N, l_q^N)$. Точная формулировка результата приведена в [3] и [4; предложение 1]; отметим, что предложение 1 из [4] нетрудно распространить на случай произвольного $A$, рассуждая так же, как в [5, \S 5]. Полученный результат позволяет распространить теорему Э.М. Галеева [6] об оценках поперечников конечного пересечения классов Соболева на одномерном торе на случай малой гладкости при $q>2$ (см. [5]). Кроме того, получены порядковые оценки $d_n(\cap _{\alpha \in A} \nu _\alpha B_{p_\alpha,\theta_\alpha}^{m,k}, \, l^{m,k}_{q,\sigma})$ для $2\le q, \, \sigma <\infty$, $n\le \frac{mk}{2}$; обозначения и формулировка результата приведены в [5]. {\bf 3. О задаче обтекания.} А.В. Горшков исследовал двумерную задачу обтекания несжимаемой жидкостью ограниченного тела с условием прилипания на границе, динамика которой описывается нелинейным вихревым уравнением (уравнение Гельмгольца). Основной задачей было построение граничного условия прилипания в вихревой форме и доказательство разрешимости во внешней области $\Omega \subset \RM^2$. Начально-краевая задача с условием прилипания на границе области в вихревом представлении переходит в интегральные соотношения, заданные на всей внешности ограниченного тела. Эти соотношения являются условиями ортогональности функции ротора гармоническим функциям. Для внешности односвязной области с заданным горизонтальным потоком на бесконечности $\bv_\infty = (v_\infty, 0)$ эти условия на вихревую функцию $w$ имеют вид \begin{align}\label{ortcond} \frac 1{2\pi} \int_{\Omega} \frac {w(x)}{\Phi(z)^k} dx = \begin{cases} 0,~k\in \mathbb{N}\cup \{0\},~k\neq 1; \\ i v_\infty,~k=1, \end{cases} \end{align} где $\Phi(z)$ --- отображение Римана из $\Omega$ на внешность круга вида $\Phi(z)=z+O\left (\frac 1z \right )$.\ Задача восстановления соленоидального векторного поля $\bv$ по вихревой функции $w$ (в англоязычной литературе она называется div-curl problem) имеет единственное решение с точностью до гармонических полей. Эти поля являются циркуляционными и обладают бесконечной кинетической энергией. Поскольку из условия ортогональности (\ref{ortcond}) при $k=0$ следует, что среднее ротора равняется нулю, то согласно формуле Стокса при выполнении условия прилипания у течения будет отсутствовать циркуляция на бесконечности. Этот факт позволяет получать уже среднеквадратические оценки для векторного поля. Доказаны однозначная разрешимость задачи дивергенция-ротор с условием прилипания и оценка $ \| \bv(\cdot) - \bv_\infty \|_{H^1(\Omega)}\leq C \| w(\bx) (1+|\bx|^2)^{N/2}\|_{L_{2}(\Omega)}, $ справедливая при любом $N>1.$ Для линейных вихревых уравнений условия ортогональности (\ref{ortcond}), распределенные по всей бесконечной области $\Omega$, можно свести к граничным, распределенным уже только по границе области $\partial \Omega$. Для внешности круга радиуса $r_0$ граничное условие прилипания в терминах коэффициентов Фурье $w_k(t,\cdot)$ вихревой функции $w(t,\cdot)$ будет иметь вид\,\,\, $$ r_0\frac{\partial w_k(t,r)}{\partial r}\Big |_{r=r_0} + | k | w_k(t,r_0) = 0,~k \in \mathbb{Z}. $$ Линейный оператор вихревого уравнения с таким краевым условием порождает вырожденное преобразование типа Фурье $F$, которое имеет одномерное ядро, с базисной функцией $e_0$ и для которого равенство Парсеваля приобретает вид $ \|f\|^2 = \|F[f]\|^2+ (f,e_0)^2,~F[e_0]=0. $ С использованием этих граничных условий в работе автора [7] найдена явная формула решения системы Стокса обтекания кругового цилиндра в вихревой форме. В работе [8] построено схожее граничное условие для системы Навье--Стокса. Само преобразование $F$ исследовано в [9]. {\bf 4. Оптимизация траекторий космического аппарата. Создание и оптимизация современных финансовых инструментов и технологий.} М.П. Заплетин занимается исследованием сложных задач траекторной оптимизации, требующих для своего решения синтеза методов локальной и многоэкстремальной оптимизации, оптимального управления, космодинамики, механики космического полета, небесной механики и численных методов. Поставлена трехмерная космодинамическая задача сквозной оптимизации траектории межпланетного перелета КА с единым функционалом, подробным рассмотрением планетоцентрических участков без использования грависфер нулевой протяженности, с комбинированной тягой и фазировкой. Предложена методика решения многоэкстремальных задач оптимизации траекторий межпланетных перелетов с возвратом к Земле, с учетом эфемерид, с жесткой фазировкой, ограниченной комбинированной большой и малой кусочно-непрерывной тягой, включающая решение серии вспомогательных задач в упрощенной постановке и продолжение решения по параметру. Разработаны численные методы решения краевых задач принципа максимума, возникающих при управлении совокупностью динамических систем, с учетом эффекта потери точности и перестройки структуры траектории при изменении количества активных участков во время продолжения решения по параметру. Результаты численного решения задач описаны в [10,11]. Также рассматривается серия задач оптимизации построения орбиты спутника дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ), оценки плана и возможностей для съемки интересующей области на поверхности Земли. Приведена программа визуализации орбиты любого доступного коммерческого космического аппарата ДЗЗ в требуемый период времени, оценки и планировки съемки указанной территории определенным космическим аппаратом. Вычислительная часть программы основана на модели SGP4, использующей общедоступные данные TLE для спутников ДЗЗ, на формулах сферической тригонометрии и эвристических методах сокращения вычислений [12]. Проведены исследования, связанные с проработкой концепции дуальности товаров в части развития ее теоретических аспектов и математического аппарата с разработкой и обоснованием математического инструментария, позволяющего обрабатывать временные ряды с целью выявления свойства дуальности товара по отношению к выбранному товару (в частности, к золоту), а также с разработкой схем, алгоритмов и правил принятия решения в вопросе оценки дуальности товаров по отношению к выбранному товару. Результаты исследования дают возможность сформировать финансовый инструмент, который ложится в основу денежного обеспечения. Совокупность полученных научных результатов может быть использована при создании инвестиционного резервного контура, встраиваемого в существующую валютно-финансовую систему без конфликтов с международными обязательствами и регламентами, а также при построении расчетно-клиринговых систем международных союзов [13--17]. Монографии ``Дуальные товары'' [13] была присвоена премия ``Экономическая книга года -- 2023'' в номинации ``Монографии. Экономические исследования'' Международным союзом экономистов (IUE). {\bf 5. Регулярность субримановых геодезических.} Авторы раздела -- Л.В. Локуциевский и М.И. Зеликин. Растущий интерес математиков к неголономным и субримановым задачам возник начиная с середины XX века в связи с работами знаменитых математиков, таких, как Э. Картан, М.Л. Громов, Р. Монтгомери, Дж. Митчел, А.М. Вершик, А.А. Аграчев, и многих других. Многие прикладные задачи: задачи кинематического управления, задачи управления квантовыми системами, задачи обработки изображений и другие естественно формулируются как задачи поиска субримановых геодезических. Наиболее таинственным и интригующим объектом в этой теории служат анормальные геодезические, возникающие как критические точки экспоненциального отображения (end-point map). С самого начала возникновения интереса к особым геодезическим встал вопрос о методах их исследования, и, в частности, до сих пор не разрешен до конца вопрос об их гладкости. Он не только имеет важное теоретическое значение, но и представляет большой практический интерес. М.И. Зеликиным и Л.В. Локуциевским в 2023 г. получен первый результат о регулярности субримановых геодезических, не использующий никаких априорных предположений~[18]. Доказано, что скорость на всякой субримановой геодезической обязана быть $L_p$-г ёльдеровой. Отметим, что результаты других авторов в этой области всегда опирались на те или иные весьма ограничительные априорные предположения о структуре субриманова многообразия или о самой геодезической. Исследовать гладкость геодезических в римановой геометрии несложно: любая риманова геодезическая удовлетворяет системе уравнений Эйлера--Лагранжа и потому обязана быть гладкой (или даже аналитической). Cубримановы геодезические не обязаны удовлетворять уравнению Эйлера--Лагранжа, вместо этого они подчиняются гамильтоновой системе включений принципа максимума Понтрягина. Если главная часть гамильтониана не вырождена, то соответствующая геодезическая называется нормальной, она удовлетворяет уравнениям Эйлера--Лагранжа и потому обязана быть гладкой. Однако при попытке исследовать гладкость анормальных геодезических главная часть понтрягинского гамильтониана вырождается и дифференциальное включение не эквивалентно какому-либо обыкновенному дифференциальному уравнению. Некоторым исключением можно считать субримановы многообразия глубины $s=2$, так как в этом случае согласно условию Гоха анормальные геодезические отсутствуют (см.~[19]). Однако даже в случае $s=3$ исследовать гладкость анормальных геодезических таким способом очень затруднительно (но в этом направлении есть ряд результатов~[20]). На глубине $s=4$ общих результатов уже почти нет (работа [21] являлась единственным исключением на начало 2023 г.). В 2016 вышла работа~[22], в которой доказан замечательный результат: субримановы анормальные геодезические не могут иметь углов. Характерно, что доказательство этого результата не опирается на принцип максимума Понтрягина, а получено с использованием совершенно других соображений. Формально этот результат никоим образом не контролирует гладкость геодезических. Тем не менее у него есть много интересных следствий. Например, в работе~[23] доказано, что геодезические на трехмерных субримановых многообразиях независимо от глубины должны быть $C^1$-гладкими. Упомянутая выше работа~[21] тоже опирается на результат об отсутствии углов. Тем не менее к настоящему времени, несмотря на непрекращающиеся усилия многих ведущих математиков, не доказано, что анормальные геодезические на субримановых многообразиях в общем случае являются гладкими. Широко известны примеры [19, \S 12.6.1] анормальных экстремалей (но не геодезических) на субримановых многообразиях, которые не являются гладкими, но до сих пор не известно ни одного примера негладкой анормальной геодезической. В работе Л.В. Локуциевского и М.И. Зеликина~[18] на основе некоторой нетривиальной двойственной интерполяционной оценки на анормальное управление получен следующий результат. \begin{theorem} \label{thm:LokutZelikin} На любом субримановом многообразии постоянного ранга любая геодезическая имеет $L_p$-гёльдерову производную для всякого $1\le p<\infty$. \end{theorem} Таким образом, если негладкие анормальные геодезические и существуют, то лежат они в очень узком классе кривых, скорость на которых $L_p$-гельдерова с некоторым показателем $0<\alpha\le1$, но при этом не является гладкой. При $\alpha>\frac1p$ этот класс вообще пуст. До 2023 г. попыток построить негладкую субриманову геодезическую именно в таком классе не предпринималось. В работе~[18] приведена теорема, которая хоть и формулируется более громоздко, но дает количественную равномерную оценку показателя $\alpha$ на любом компакте, которая напрямую связана с глубиной $s$ субриманова многообразия. Помимо очевидного теоретического значения данный результат может быть использован для обоснования численных методов нахождения решений. А именно: в работе~[18] получены два важных практических следствия: 1) доказана быстрая скорость убывания коэффициентов Фурье геодезических; 2) доказана полиномиальная эффективность приближения скорости на геодезических $C^1$-гладкими кривыми (например, сплайнами). Одна из важнейших проблем квантовых вычислений связана с построением минимальных квантовых цепей — коротких последовательностей квантовых гейтов, реализующих с некоторой точностью заданный унитарный оператор на системе из $n$ кубитов (в группе $SU(2^n)$). М. Нельсон и М. Доулинг (2006) доказали, что разложение унитарного оператора в последовательность гейтов можно эквивалентно рассматривать как нахождение кратчайшего пути в $SU(2^n)$, соединяющего единичный оператор с заданным в специальной римановой метрике на $SU(2^n)$, которая содержит некий ``штрафной'' параметр $p>0$, связывающий длину пути и сложность квантовой цепи. Штрафной параметр должен быть очень велик, чтобы нивелировать неконтролируемую часть ошибки. При $p\to\infty$ указанные соображения приводят к субримановой задаче на группе $SU(2^n)$, геодезические в которой могут быть найдены численно, и дают разложение данного унитарного оператора в последовательность квантовых гейтов. Полученные в работе М.И. Зеликина и Л.В. Локуциевского количественные оценки на показатели гёльдеровости субримановых геодезических позволяют оценить эффективность численных алгоритмов в этой задаче. Также субриманова геометрия и особенности субримановой метрики тесно связаны с оптимальными решениями в задачах управления замкнутыми квантовыми системами. {\bf 6. Локальная управляемость и оптимальность.} Раздел подготовлен Г.Г. Магарил-Ильяевым. Теория оптимального управления --- важнейшая составляющая общей теории экстремума, а в прикладных вопросах --- это одна из наиболее востребованных теорий. Для задачи оптимального управления вводится понятие траектории локального инфимума --- функции, обобщающей понятие оптимальной траектории. Это функция, на которой достигает локальный минимум целевой функционал на замыкании множества допустимых траекторий, рассматриваемого как подмножество непрерывных функций. Траектория локального инфимума не является, вообще говоря, допустимой траекторией, но является, очевидно, равномерным пределом таковых. Оптимальная траектория может не существовать, но существования траектории локального инфимума вполне достаточно для приложений. Для траектории локального инфимума получены необходимые условия первого и второго порядков [24--27]. Если, в частности, траектория локального инфимума является оптимальной траекторией, то полученные условия содержат классические необходимые условия первого порядка (принцип максимума Понтрягина) и известные условия оптимальности второго порядка, а также другие соотношения, которые, как показывают примеры, дают дополнительную и весьма содержательную информацию об оптимальном процессе. В этом смысле полученные утверждения усиливают известные результаты. Понятие управляемости управляемой системой является одним из важнейших в теории оптимального управления. Вводится понятие управляемости системой обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями общего вида и выводятся условия, гарантирующие управляемость не только исходной управляемой системы, но и близких к ней систем, причем для управляемости близких систем достаточно лишь непрерывности входящих в их определение отображений [28--31]. На практике близкие отображения возникают как следствие неточности задания исходных данных и/или как аппроксимация ``сложных'' отображений более простыми, которые, как правило, лишь непрерывны. С этой проблематикой тесно связаны вопросы о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от его правой части и краевых условий. Доказано общее утверждение о непрерывной зависимости решения от правой части и краевых условий общего вида, из которого следует ряд известных результатов [32]. Следует сказать, что доказательство многих из указанных выше утверждений потребовало разработки новых математических средств, в частности теорем о существовании неявной функции не только у исходного отображения, но и у отображений, близких (в определенном смысле) к исходному [29]. Все перечисленные выше исследования проведены совместно с Е.Р. Аваковым. {\bf 7. О некоторых многомерных точных неравенствах колмогоровского типа.} Раздел подготовлен К.Ю. Осипенко. Под неравенствами колмогоровского типа для производных на прямой традиционно понимают неравенства вида \begin{equation}\label{31} \|x^{(k)}\cd\|_{L_q(\mathbb R)}\le K\|x\cd\|_{L_p(\mathbb R)}^\alpha\|x^{(n)}\cd\|_{L_r(\mathbb R)}^\beta, \end{equation} где $0\le kk$ ($n>k+d/2$ в случае $q=\infty$), но и для всех $1\le p\le\infty$ ($21$, а $n>k+d/2$. Тогда имеет место точное неравенство: $$\|(-\Delta)^{k/2}x\cd\|_{L_\infty(\mathbb R^d)}\le K_p(k,n)\|Fx\cd\|_{\lpp}^\gamma \|(-\Delta)^{n/2}x\cd\|_{\ld}^{1-\gamma},$$ где $$K_p(k,n)=\frac{\gamma^{-\frac\gamma p}(1-\gamma)^{-\frac{1-\gamma}2}}{(2\pi)^ {d\frac{2n-k-d/p}{2n+d(1-2/p)}}}\Biggl( \frac{B\left(\vq\gamma/2+1,\vq(1-\gamma)/2\right)\pi^{d/2}}{(n-k-d/2)\Gamma(d/2)}\Biggr) ^{1/\vq},$$ $Fx\cd$ --- преобразование Фурье функции $x\cd$, а $B(\cdot,\cdot)$ --- $B$-функция Эйлера. \end{theorem} Положим $$\vg=\frac{n-k}{n+d(1/2-1/p)},\quad q_1=\frac1{\vg(1/2-1/p)},$$ $$ \vK_p(k,n)=\frac{\vg^{-\frac{\vg}p}(1-\vg)^{-\frac{1-\vg}2}}{(2\pi)^ {d\vg/2}}\Biggl(\frac{B\left(q_1\vg/2+1,q_1(1-\vg)/2\right)\pi^{d/2}}{(n-k)\Gamma(d/2)}\Biggr)^{1/q_1}.$$ \begin{theorem} Пусть $k\ge0$, $n>k$ и $2