\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 4400

\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother


\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\renewcommand{\thesubsection}{\indent\bf\arabic{subsection}}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{subsection}.\arabic{equation}}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\supvrai}{supvrai}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}
\DeclareMathOperator*{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sn}{sn}
\DeclareMathOperator*{\spann}{span}
\DeclareMathOperator{\cn}{cn}
\DeclareMathOperator{\ctn}{ctn}
\DeclareMathOperator{\dn}{dn}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\arth}{arth}
\DeclareMathOperator{\thh}{th}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wt}{\widetilde\Theta}
\newcommand*{\pph}[1]{\Phi_{\lambda,#1,\beta}}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}

\begin{document}
%\pagestyle{plain}

\title[Оптимальная экстраполяция гладких функций]{Оптимальная экстраполяция гладких функций, заданных с ошибкой}


\author{КОНСТАНТИН Ю. Осипенко}


\maketitle

{\small Рассматривается задача оптимального восстановления значения функции из класса $W_\infty^n$ в точке $t_0\notin[-1,1]$ по приближенным значениям этой функции в точках отрезка $[-1,1]$.}

\bigskip

\subsection{Введение} Обозначим через $W_\infty^n$ класс функций, определенных на отрезке $[a,b]\supset[-1,1]$, имеющих там абсолютно непрерывную производную $(n-1)$-го порядка и удовлетворяющих условию
$$\supvrai_{t\in[a,b]}|x^{(n)}(t)|\le1.$$
Пусть в некоторой системе различных точек $t_1,\ldots,t_m$ из отрезка $[-1,1]$ известны значения функций из класса $W_\infty^n$ с погрешностью $\delta$, т.е. для любой функции $x\in W_\infty^n$ известны значения $x_1,\ldots,x_m$ такие, что $|x(t_i)- x_i|\le\delta$, $i=1,\ldots,m$.

Погрешностью наилучшего восстановления в точке $t_0\in[a,b]$ называется величина
\begin{equation}\label{1}
r_n(t_0,t_1,\ldots,t_m,\delta)=\infp_S\sup_{x\in W_\infty^n}\sup_{\substack{x_1,\ldots,x_m\\
|x(t_i)- x_i|\le\delta,\ i=1,\ldots,m}}|x(t_0)-S(x_1,\ldots,x_m)|,
\end{equation}
где нижняя грань берется по всевозможным функциям (методам) $S\colon\mathbb R^m\to\mathbb R$. Метод, на котором достигается нижняя грань, называется наилучшим.

Под задачей оптимальной экстраполяции по $m$ значениям в точке $t_0\in(1,b]$ будем понимать задачу нахождения величины
\begin{equation}\label{2}
R_{mn}(t_0,\delta)=\inf_{t_1,\ldots,t_m\in[-1,1]}r_n(t_0,t_1,\ldots,t_m,\delta),
\end{equation}
а также точек, на которых достигается нижняя грань, называемых оптимальными точками экстраполяции. Наилучший метод по оптимальной системе точек назовем оптимальным.

Кроме того, рассмотрим задачу о нахождении величины
\begin{equation}\label{3}
R_n(t_0,\delta)=\inf_mR_{mn}(t_0,\delta)
\end{equation}
и минимального из чисел $m$, на которых достигается нижняя грань в равенстве \eqref{3}, носящего название порядка информативности отрезка $[-1,1]$ для данных $t_0$, $\delta$ и обозначаемого через $I_n(t_0,\delta)$.

Задача \eqref{1} была поставлена и исследовалась в работах \cite{1,2}, а задачи \eqref{2}, \eqref{3} были поставлены изучались для класса ограниченных аналитических функций в работах [3,4].

\setcounter{equation}{0}
\subsection{Оптимальная экстраполяция и золотаревские сплайны} При решении задач \eqref{2} и \eqref{3} существенную роль играют золотаревские идеальные сплайны, поэтому нам потребуется ряд предварительных сведений, касающихся этих сплайнов.

Идеальным сплайном на отрезке $[-1,1]$ степени $n$ с $k$ узлами $-1<\xi_1<\ldots<\xi_k<1$ называется функция вида
$$P(t)=\sum_{i=0}^{n-1}a_it^i+c\biggl[t^n+2\sum_{j=1}^k(-1)^j(t-\xi_j)_+^n\biggr],$$
где
$$t_+^n=\begin{cases}t^n,&t\ge0,\\
0,&t<0.\end{cases}$$
Будем говорить, что функция $x\in C[-1,1]$ имеет $l$ точек альтернанса ($l$-альтернанс), если существуют точки $-1\le t_1<\ldots<t_l\le1$ такие, что
$$x(t_i)=(-1)^i\varepsilon\|x\|,$$
где $\varepsilon=1$ или $\varepsilon=-1$, a $\|x\|=\max_{t\in[-1,1]}|x(t)|$.

\begin{theorem}[\hspace{-0,1pt}\cite{5}]\label{T1}
При всех $n$ и $m\ge n$ существует единственный идеальный сплайн на отрезке $[-1,1]$ $x_{mn}$ степени $n$, имеющий $m-n$ узлов и $m+1$-альтернанс, нормированный условиями $x_{mn}(1)>0$, $|x_{mn}^{(n)}(t)|=1$.
\end{theorem}

Сплайны $x_{mn}$ называются чебышевскими идеальными сплайнами, а
$$x_{nn}(t)=\frac1{2^{n-1}n!}T_n(t),$$
где $T_n(t)=\cos(n\arccos t)$ --- многочлен Чебышева.

Положим
$$\delta_{nm}=\|x_{mn}\|.$$
Известно (см. \cite[с.~138, 135]{6}, \cite{7}), что величины $\delta_{nm}$ при фиксированном $n$ монотонно убывают и стремятся к нулю, кроме того, при $m\to\infty$
$$\delta_{nm}=\left(\frac2{\pi m}\right)^nK_n(1+o(1)),$$
где $K_n$ --- константа Фавара. Для $n=1,2,3,m$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{21}
\delta_{nm}=\left(m-n+\frac4\pi\sqrt[n]{\frac{K_nn!}2}\right)^{-n}\left(\frac2\pi\right)^nK_n.
\end{equation}

Пусть $t_i=\dfrac{2i}m-1$, $i=1,\ldots,m-1$, $t_0=-\infty$, $t_m=+\infty$. Положим
\begin{gather*}
\varphi_{m0}(t)=(-1)^{m+i},\quad t_{i-1}<t<t_i,\quad i=1,\ldots,m,\\
\varphi_{mn}(t)=\int_{\gamma_{mn}}^t\varphi_{m,n-1}(u)\,du,\quad\gamma_{mn}=\begin{cases}
\dfrac1m-1,&n=2k+1,\\[8pt]
-1,&n=2k.\end{cases}
\end{gather*}
Функции $\varphi_{mn}(t)$ называются эйлеровыми идеальными сплайнами (подробнее см., например, \cite[с.~9, 64]{8}). Известно, что
$$\|\varphi_{mn}\|=\left(\frac2{\pi m}\right)^nK_n.$$
Нетрудно показать, что при $n=1,2,3$
$$\max_{|t|\le1+\textstyle\frac{\varepsilon_n}m}|\varphi_{mn}(t)|=\|\varphi_{mn}\|,$$
где
$$\varepsilon_n=\frac4\pi\sqrt[n]{\frac{K_nn!}2}-1\quad(\varepsilon_1=0,\quad\varepsilon_2=
\sqrt2-1,\quad\varepsilon_3=1).$$

В случае, когда $n=1,2,3$, чебышевский идеальный сплайн может быть записан в виде
\begin{equation}\label{22}
x_{mn}(t)=\left(1+\frac{\varepsilon_n}{m-n+1}\right)^{-n}\varphi_{m-n+1,n}\left[\left(1+
\frac{\varepsilon_n}{m-n+1}\right)t\right].
\end{equation}
При этом его точки альтернанса имеют вид
$$t_{kn}^{(m)}=\frac{2k-m}{m-n+1+\varepsilon_n},\quad k=1,\ldots,m-1,\quad t_{mn}^{(m)}=-t_{0n}^{(m)}=1.$$

В общем случае в силу ряда экстремальных свойств чебышевских и эйлеровых идеальных сплайнов (см.\ \cite[с.~265, 267]{8}) имеют место неравенства
\begin{equation}\label{23}
\|\varphi_{m+1,n}\|\le\|x_{mn}\|\le\|\varphi_{m-n+1,n}\|.
\end{equation}

\begin{theorem}[\hspace{-0,1pt}{\cite[с.~138]{6}}, \cite{7}]\label{T2}
При $\delta\in(\delta_{mn},\delta_{m-1,n})$ и $m\ge n$ $(\delta_{n-1,n}=+\infty)$ существует единственный сплайн $Z_n(t,\delta)$ порядка $n$, удовлетворяющий условиям:
\begin{itemize}
\item[1)] $Z_n(t,\delta)$ имеет $m-n$ узлов,
\item[2)] $Z_n(t,\delta)$ имеет $m$-альтернанс,
\item[3)] $\|Z_n(\cdot,\delta)\|=\delta$, $|Z_n^{(n)}(t,\delta)|\equiv1$, $Z_n(1,\delta)=\delta$, $Z_n^{(n)}(1,\delta)=1$.
\end{itemize}
\end{theorem}

Положим $Z_n(t,\delta_{mn})=x_{mn}(t)$. Тогда идеальный сплайн $Z_n(t,\delta)$ определен при всех $\delta>0$. Он носит название золотаревского идеального сплайна и при $\delta>\delta_{nn}$ пропорционален многочлену Золотарева степени $n$ (см.\ \cite[с.~314]{9}, \cite{10}).

\begin{theorem}[\hspace{-0,1pt}\cite{2}]\label{T3}
Пусть $P(t)$ --- идеальный сплайн на отрезке $[-1,1]$ степени $n$ с $m-n$ узлами $(m\ge n)$ такой, что $|P^{(n)}(t)|\equiv1$, $|P^{(n)}(1)|=1$, и для некоторой системы точек $-1\le t_1<\ldots<t_m\le1$
$$P(t_i)=(-1)^{m+i}\delta.$$
Тогда для любой функции $x\in W_\infty^n$, удовлетворяющей условиям $|x(t_i)|\le\delta$, $i=1,\ldots,m$, при всех $t\in[t_m,b]$, справедливо неравенство
$$|x(t)|\le P(t).$$
\end{theorem}

Золотаревские идеальные сплайны появляются при решении многих экстремальных задач (см.\ \cite{5,6,7,11}). Они являются экстремальными также в следующих задачах.

\begin{theorem}\label{T4}
Пусть $\delta\in[\delta_{mn},\delta_{m-1,n})$ и $t_{1n}(\delta),\ldots,t_{mn}(\delta)=1$ --- точки альтернанса функции $Z_n(t,\delta)$. Тогда для любого $t_0\in[1,b]$ и $k\ge m$
\begin{multline}\label{24}
\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\\|x\|\le\delta}}|x(t_0)|=\infp_{t_i\in[-1,1]}
\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_i)|\le\delta,\ i=1,\ldots,k}}|x(t_0)|\\
=\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_{in}(\delta)|\le\delta,\ i=1,\ldots,m}}|x(t_0)|=Z_n(t_0,\delta).
\end{multline}
Кроме того, при всех $\delta>0$ число точек альтернанса функции $Z_n(t,\delta)$ $($без учета точки $-1$, когда $\delta=\delta_{mn}$$)$ удовлетворяет неравенству
\begin{equation}\label{25}
\frac2\pi\left(\frac{K_n}\delta\right)^{1/n}-1\le m<\frac2\pi\left(\frac{K_n}\delta\right)^{1/n}+n.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу того, что для любой системы точек $t_1,\ldots,t_k\in[-1,1]$ справедливо неравенство
$$\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\\|x\|\le\delta}}|x(t_0)|\le\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_i)|\le\delta,\ i=1,\ldots,k}}|x(t_0)|,$$
учитывая свойства $Z_n(t_0,\delta)$ и теорему~\ref{T3}, имеем
\begin{multline*}
Z_n(t_0,\delta)\le\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\\|x\|\le\delta}}|x(t_0)|\le
\infp_{t_i\in[-1,1]}\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_i)|\le\delta,\ i=1,\ldots,k}}|x(t_0)|\\
\le\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_{in}(\delta)|\le\delta,\ i=1,\ldots,m}}|x(t_0)|=Z_n(t_0,\delta).
\end{multline*}
Пусть теперь $\delta$ --- произвольное положительное число. Существует такое $m$, что $\delta\in[\delta_{mn},\delta_{m-1,n})$. Число точек альтернанса функции $Z_n(t,\delta)$ в этом случае (без учета $-1$) равно $m$. Из неравенства \eqref{23} имеем
$$\delta\ge\delta_{mn}\ge\|\varphi_{m+1,n}\|=\left[\frac2{\pi(m+1)}\right]^nK_n.$$
Отсюда получаем левое из неравенств \eqref{25}. При $m=n$ правое из неравенств \eqref{23} очевидно, а в случае, когда $m>n$, оно вытекает из соотношений
$$\delta<\delta_{m-1,n}\le\|\varphi_{m-n,n}\|=\left[\frac2{\pi(m-n)}\right]^nK_n.$$
Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T5}
Пусть $\delta\in[\delta_{mn},\delta_{m-1,n})$. Тогда для любого $t_0\in(1,b]$ и $k\ge m$
\begin{equation}\label{26}
R_{kn}(t_0,\delta)=R_n(t_0,\delta)=r_n(t_0,t_{1n}(\delta),\ldots,t_{mn}(\delta),\delta)
=Z_n(t_0,\delta),
\end{equation}
а для порядка информативности справедливы неравенства
\begin{equation}\label{27}
n\le I_n(t_0,\delta)\le m.
\end{equation}
При всех $\delta>0$
\begin{equation}\label{28}
n\le I_n(t_0,\delta)<\frac2\pi\left(\frac{K_n}\delta\right)^{1/n}+n.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Из работы \cite{1} следует равенство
$$r_n(t_0,t_1,\ldots,t_k,\delta)=\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_i)|\le\delta,\ i=1,\ldots,k}}|x(t_0)|,$$
которое вместе с \eqref{24} дает равенства \eqref{26}. Правое из неравенств \eqref{27} следует из \eqref{26}, а левое --- следствие того, что при $k<n$ для любой системы точек $t_1,\ldots,t_k\in[-1,1]$ и $t_0\in(1,b]$
$$\sup_{\substack{x\in W_\infty^n\\|x(t_i)|\le\delta,\ i=1,\ldots,k}}|x(t_0)|=\infty.$$
Неравенства \eqref{28} вытекают из \eqref{27} и \eqref{25}. Теорема доказана.
\end{proof}

\setcounter{equation}{0}
\subsection{Некоторые частные случаи} Рассмотрим задачу оптимальной экстраполяции \eqref{2}, когда $m=n$.

\begin{theorem}\label{T6}
Для всех $t_0\in(1,b]$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{31}
R_{nn}(t_0,\delta)=\begin{cases}\dfrac\delta2\left[\dfrac{H^n\left(\dfrac Kn-u_0\right)}
{H^n\left(\dfrac Kn+u_0\right)}+\dfrac{H^n\left(\dfrac Kn+u_0\right)}
{H^n\left(\dfrac Kn-u_0\right)}\right],&\delta>\Delta_n,\\[30pt]
\delta T_n\left[\dfrac12\left(\dfrac2{\delta n!}\right)^{1/n}(t_0-1)+1\right],&0<\delta\le\Delta_n,\end{cases}
\end{equation}
где $\Delta_n^{-1}=2^{n-1}n!\cos^{2n}\dfrac\pi{2n}$, при этом единственными оптимальными узлами при $0<\delta\le\Delta_n$ являются узлы
$$t_j=1-4\left(\frac{\delta n!}2\right)^{1/n}\cos^2\frac{\pi j}{2n},\quad j=1,\ldots,n,$$
а при $\delta>\Delta_n$ узлы $t_1,\ldots,t_n$ определяются из равенств $($эти же равенства определяют $u_0$$)$
$$t_j=\frac{\sn^2\dfrac Kn+\sn^2u_j}{\sn^2\dfrac Kn-\sn^2u_j},\quad j=0,1,\ldots,n,$$
где $u_1,\ldots,u_n$ таковы, что
$$\arg\frac{H\left(\dfrac Kn+u_j\right)}{H\left(\dfrac Kn-u_j\right)}=\pi\left(1-\frac jn\right),\quad j=1,\ldots,n;$$
здесь $K$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля, однозначно определяемого из уравнения
$$\frac1{2^{n-1}n!}\left[\frac{H_1(0)\theta_1(0)}{H_1\left(\dfrac Kn\right)\theta_1\left(\dfrac Kn\right)}\right]^{2n}=\delta,$$
$H$, $H_1$ и $\theta_1$ --- стандартные обозначения тета-функций. Оптимальным методом является метод
\begin{equation}\label{32}
x(t_0)\approx\sum_{j=1}^n\frac{\omega_j(t_0)}{\omega_j(t_j)}x_j,
\end{equation}
где
$$\omega_j(t)=\frac{\omega(t)}{t-t_j},\quad\omega(t)=\prod_{j=1}^n(t-t_j).$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Из работы \cite{1} следует, что для любой системы различных точек $t_1,\ldots,t_n\in[a,b]$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{33}
r_n(t_0,t_1,\ldots,t_n,\delta)=\frac{|\omega(t_0)|}{n!}+\delta\sum_{j=1}^n\left|\frac{\omega_j(t_0)}
{\omega_j(t_j)}\right|,
\end{equation}
причем наилучшим методом является метод \eqref{32}. Обозначим через $\varphi(\ov t)$, $\ov t=(t_1,\ldots,t_n)$, функцию, стоящую в правой части равенства \eqref{33}. Тогда для $\ov t\in D=\{(t_1,\ldots,t_n):-1\le t_1<\ldots<t_n\le1\}$ и $t_0\in(1,b]$ имеем
$$\varphi(\ov t)=\frac{\omega(t_0)}{n!}+\delta\sum_{j=1}^n(-1)^{n+j}\frac{\omega_j(t_0)}
{\omega_j(t_j)}.$$

Функция $\varphi(\ov t)$ непрерывна при $\ov t\in D$ и $\varphi(\ov t)\to+\infty$ при $t_i\to t_j$. Следовательно, существует точка, в которой функция $\varphi(\ov t)$ достигает своей нижней грани. В экстремальной точке $-1<t_1<\ldots<t_n<1$ должны выполняться соотношения
\begin{equation}\label{34}
\frac{\partial\varphi(\ov t)}{\partial t_j}=0,\quad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
Если $t_1=-1$ или $t_n=1$, то соответствующее равенство из \eqref{34} заменяется на неравенство
$$\frac{\partial\varphi(\ov t)}{\partial t_1}\ge0\quad\mbox{или}\quad\frac{\partial\varphi(\ov t)}{\partial t_n}\le0.$$
Для данной экстремальной точки $-1\le t_1<\ldots<t_n\le1$ рассмотрим многочлен степени $n$ 
$$p_n(t)=\frac{\omega(t)}{n!}+\delta\sum_{j=1}^n(-1)^{n+j}\frac{\omega_j(t)}
{\omega_j(t_j)}.$$
Непосредственным вычислением можно убедиться, что 
$$p_n'(t_j)=-\frac{\omega_j(t_j)}{\omega_j(t_0)}\frac{\partial\varphi(\ov t)}{\partial t_j}.$$
При $t>t_n$ \ $p_n(t)>\delta$, поэтому $p_n'(t_n)>0$, и следовательно, $\dfrac{\partial\varphi(\ov t)}{\partial t_n}<0$. Таким образом, $t_n=1$. Из того, что $p_n(t_1)=(-1)^{n+1}\delta$, $(-1)^np_n(t)\to+\infty$ при $t\to-\infty$, a $(-1)^np_n'(t_1)\ge0$, следует существование точки $\tau\in(-\infty,t_1]$, в которой $p_n'(\tau)=0$. Так как $p_n'(t)$ не может иметь более $n-1$ нулей, то $p_n(t)$ имеет экстремумы только в точках $\tau,t_2,\ldots,t_{n-1}$.

Итак, $|p_n(t)|\le\delta$ при $t\in[t_1,1]$, $p_n(t)$ имеет $n$-альтернанс в точках $t_1,\ldots,t_n$, $p_n^{(n)}(t)\equiv1$, $p_n(1)=\delta$. Из теоремы~\ref{T2} следует, что многочлен $p_n(t)$ определен единственным образом и при $t_1=-1$ пропорционален многочлену Золотарева на отрезке $[-1,1]$, а при $t_1\ne-1$ \ $\tau=t_1$ и $p_n(t)$ пропорционален многочлену Чебышева на некотором отрезке $[\tau_2,1]$ с уклонением $\delta$ ($\tau_2$ однозначно находится по $\delta$). Представление для многочлена Золотарева можно найти в работах \cite[с.~314]{9}, \cite{10}. Теорема доказана.
\end{proof}

Из теорем~\ref{T5} и \ref{T6} вытекает, что при $\delta\ge\delta_{nn}=(2^{n-1}n!)^{-1}$ для любого $k\ge n$ и $t_0\in(1,b]$
\begin{equation}\label{35}
R_{kn}(t_0,\delta)=R_{nn}(t_0,\delta)=r_n(t_0,t_1,\ldots,t_n,\delta),
\end{equation}
где точки $t_1,\ldots,t_n$ определены в теореме~\ref{T6}, и, кроме того, $I_n(t_0,\delta)=n$.

Положим 
\begin{gather*}
\Delta_{mn}=\left(\frac2{1-t_{1n}^{(m)}}\right)^n\delta_{mn},\\
y_n(t,\delta)=\frac\delta{\delta_{mn}}x_{mn}\left[\left(\frac{\delta_{mn}}\delta\right)^{1/n}
(t-1)+1\right]\ \mbox{при}\ \Delta_{m-1,n}<\delta\le\Delta_{mn}.
\end{gather*}
В работах \cite[с.~138]{6}, \cite{7} отмечалось, что для $\delta_{mn}\le\delta\le\Delta_{mn}$
\begin{equation}\label{36}
Z_n(t,\delta)=y_n(t,\delta),
\end{equation}
а следовательно,
\begin{equation}\label{37}
t_{kn}(\delta)=\left(\frac{\delta_{mn}}\delta\right)^{1/n}(t_{kn}^{(m)}-1)+1,\quad k=1,\ldots,m.
\end{equation}
Поскольку $\Delta_{m1}=\delta_{m-1,1}$, то равенство \eqref{36} при $n=1$ полностью описывает золотаревские сплайны. Следующая лемма дает описание этих сплайнов при $n=2,3$ и $0<\delta\le\Delta_{nn}$ (случай $\delta>\Delta_{nn}$ следует из теоремы~\ref{T6}).

\begin{lemma}\label{L1}
При $n=2,3$ имеют место равенства
$$Z_n(t,\delta)=\begin{cases}y_n(t,\delta),&\delta_{mn}\le\delta\le\Delta_{mn},\\
y_n(t,\delta)-\dfrac{2(-1)^m}{n!}(\tau-t)_+^n,&\Delta_{m+1,n}<\delta<\delta_{mn},\end{cases}$$
где
$$\tau=-1+\sqrt[n]{\frac{n!}2[|y_n(-1,\delta)|-\delta]}<t_{1n}(\delta).$$
\end{lemma}

\begin{proof}
В силу равенства \eqref{36} достаточно рассмотреть случай, когда $\Delta_{m+1,n}<\delta<\delta_{mn}$. Положим при $n=2,3$
$$\psi(t)=\varphi_{1n}(t)-\frac{2(-1)^n}{n!}(\tau_1-t)_+^n,$$
где
$$\tau_1=\alpha+\sqrt[n]{\frac{n!}2[|\varphi_{1n}(\alpha)|-\delta_{1n}]}.$$
Нетрудно убедиться, что при $-n\le\alpha\le-1-\varepsilon_n$, $\tau_1$ монотонно убывает от $-1$ до $-1-\varepsilon_n$, $\psi(\alpha)=(-1)^n\delta_{1n}$ и $|\psi(t)|\le\delta_{1n}$ при $t\in[\alpha,1+\varepsilon_n]$. Пользуясь подобием между $\varphi_{1n}$ и функциями, из которых состоит $x_{mn}$, получаем, что функция
$$\psi_1(t)=x_{mn}(t)-\frac{2(-1)^m}{n!}(\tau_2-t)_+^n,$$
где
$$\tau_2=\beta+\sqrt[n]{\frac{n!}2[|x_{mn}(\beta)|-\delta_{mn}]},\quad-\frac m{m-n+1+\varepsilon_n}\le\beta\le-1,$$
удовлетворяет условиям $\psi_1(\beta)=(-1)^m\delta_{mn}$, $|\psi_1(t)|\le\delta_{mn}$ при $t\in[\beta,1]$, а $\tau_2$ монотонно убывает от $-\dfrac{m-n+1}{m-n+1+\varepsilon_n}$ до $-1$. Отсюда следует, что
$$\left(\frac2{1-\beta}\right)^n\psi_1\left(\frac{1-\beta}2t+\frac{1+\beta}2\right)=
Z_n\left[t,\left(\frac2{1-\beta}\right)^n\delta_{mn}\right].$$
Положив
$$\beta=1-2\left(\frac{\delta_{mn}}\delta\right)^{1/n}$$
и заметив, что $\beta$ монотонно возрастает от $-\dfrac m{m-n+1+\varepsilon_n}$ до $-1$ при $\delta\in(\Delta_{m+1,n},\delta_{mn})$, а $-1<\tau_2<t_{1n}^{(m)}$, получаем утверждение леммы. Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{T7}
При $n=1,2,3$ для любого $k\ge n$, $\delta>0$ u $t_0\in(1,b]$ имеют место равенства
\begin{gather}\label{38}
R_{kn}(t_0,\delta)=R_{nn}(t_0,\delta)=R_n(t_0,\delta),\\
I_n(t_0,\delta)=n.\label{39}
\end{gather}
\end{theorem}

\begin{proof}
Для $\delta\ge\delta_{nn}$ утверждение теоремы следует из \eqref{35}. Пусть $\delta<\delta_{nn}$. Тогда из леммы~\ref{L1} для $\delta\in(\Delta_{m+1,n},\Delta_{mn}]$
$$Z_n(t_0,\delta)=\frac\delta{\delta_{mn}}x_{mn}\left[\left(\frac{\delta_{mn}}\delta\right)^{1/n}
(t_0-1)+1\right].$$
Учитывая \eqref{22}, \eqref{21}, вид функций $\varphi_{mn}$ при $n=1,2,3$ и равенство \eqref{31}, получаем
$$Z_n(t_0,\delta)=\delta T_n\left[\frac12\left(\frac2{\delta n!}\right)^{1/n}(t_0-1)+1\right]=
R_{nn}(t_0,\delta).$$
Тем самым для всех $\delta>0$ \ $Z_n(t_0,\delta)=R_{nn}(t_0,\delta)$. Пусть теперь $\delta_{mn}\le\delta<\delta_{m-1,n}$. При $k\ge m$ равенства \eqref{38} следуют из теоремы~\ref{T5}. Если $n\le k<m$, то
$$R_{nn}(t_0,\delta)\ge R_{kn}(t_0,\delta)\ge R_{mn}(t_0,\delta)=R_{nn}(t_0,\delta).$$
Таким образом, равенства \eqref{38} доказаны при всех $\delta>0$ и $k\ge n$. Равенство \eqref{39} непосредственно следует из \eqref{38}. Теорема доказана.
\end{proof}

Из теорем~\ref{T6} и \ref{T7} следует, что оптимальные точки экстраполяции при $n=1,2,3$ имеют вид (за исключением случая $n=3$, $j=2$, $\delta>\Delta_{33}=8/81$)
$$t_{jn}=-1+2\left(1-2\sqrt[n]{\frac{\delta n!}2}\cos^2\frac{\pi j}{2n}\right)_+.$$
Если $\delta>\Delta_{33}$, то для некоторого $\beta$
$$Z_3(t,\delta)=\frac16(t-t_{23})^2(t-\beta)-\delta.$$
Пользуясь условиями $Z_3(-1,\delta)=Z_3(1,\delta)=\delta$, получим уравнение,
$$1-t_{23}^2=2\sqrt{6\delta t_{23}},$$
из которого при $\delta>\Delta_{33}$ единственным образом определяется $t_{23}\in(0,1/3)$. 

\renewcommand{\refname}{ЛИТЕРАТУРА}
\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{1} А.~Г.~М а р ч у к, К.~Ю.~О с и п е н к о. Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек. {\it Мат. заметки}, {\bf17}, 1975, 359--368.
\selectlanguage{english}
\bibitem{2} C.~A.~M i c c h e l l i. Optimal estimation of smooth functions from inaccurate data. {\it J. Inst. Math. and Appl.}, {\bf23}, 1979, 473--495.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{3} К.~Ю.~О с и п е н к о. Задача Хейнса и оптимальная экстраполяция аналитических функций, заданных с ошибкой. {\it Мат. сб.}, {\bf126}, 1985, 566--575.

\bibitem{4} \selectlanguage{english}K.~Yu.~O s i p e n k o. On optimal extrapolation and interpolation of fuzzy analytic functions. {\it Anal. math.}, {\bf13}, 1987, 122--210.
\selectlanguage{russian}
\bibitem{5} В.~М.~Т и х о м и р о в. Наилучшие методы приближения и интерполяции дифференцируемых функций в пространстве $C(-1,1)$. {\it Мат. сб.}, {\bf80}, 1969, 290--304.

\bibitem{6} В.~М.~Т и х о м и р о в. Некоторые вопросы теории приближений. М., 1976.

\selectlanguage{english}
\bibitem{7} S.~K a r l i n. Oscillatory perfect splines and related extremum problems. In: Studies in spline functions and approximation theory. New York, 1976, 371--460.
\selectlanguage{russian}     
\bibitem{8} Н.~П.~К о р н е й ч у к. Сплайны в теории приближения. М., 1984.
\bibitem{9} Н.~И.~А х и е з е р. Лекции по теории аппроксимации. М., 1965.
\selectlanguage{english}

\bibitem{10} B.~C.~C a  r l s o n, J.~T o d d. Zolotarev's first problem ---th e best approximation by polynomials of degree $\le n-2$ to $x^n-n\sigma x^{n-1}$ in $[-1,1]$. {\it Aequat. math.}, {\bf26}, 1983, 1--33.

\bibitem{11} A.~P i n k u s. Some extremal properties of perfect splines and the pointwise Landau problem on themfinite interval. {\it J. Approxim. Theory}, {\bf23}, 1979, 37--67. 

\end{thebibliography}

\bigskip

\bigskip

\noindent\small\it Московский авиационный \hfill Поступила 11.09.1989 г.\\
технологический институт\\
Москва К-31
\end{document}