\documentclass[12pt,a4paper,oneside,reqno,draft]{amsbook}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm,array,longtable}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{graphics}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother



\renewcommand{\thefigure}{\arabic{figure}.}

\tolerance 4700


\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}
\DeclareMathOperator*{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator*{\Div}{div}
\DeclareMathOperator*{\const}{const}
\newcommand*{\Rd}{\mathbb R^d}
\newcommand*{\sk}{\sum_{|\alpha|=k}}
\newcommand*{\Pc}{\mathcal P}
\newcommand*{\Ac}{\mathcal A}
\newcommand*{\Hc}{\mathcal H}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\Sd}{\mathbb S^{d-1}}
\newcommand*{\Bd}{\mathbb B^d}
\newcommand*{\ov}{\overline}

\DeclareMathOperator{\RE}{Re}
\DeclareMathOperator{\Erf}{Erf}

\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
%\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]

\newtheorem{proposition}{Предложение}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
%\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\newcounter{exam}[section]
%\renewcommand{\theexam}{\arabic{section}.\arabic{exam}}
\newcommand*{\ex}{\par\refstepcounter{exam}%
{\bf Пример \theexam.}\ }

\newcounter{prob}[section]
\renewcommand{\theprob}{\arabic{section}.\arabic{prob}}
\newcommand*{\pro}{\par\refstepcounter{prob}%
{\bf Задача \theprob.}\ }



%\renewcommand*{\thefigure}{чертеж \arabic{figure}.}
%\pagestyle{plain}

\begin{document}
\centerline{К. Ю. Осипенко}
\vskip40pt
\begin{center}\bf Л А Б О Р А Т О Р Н А Я\quad Р А Б О Т А\\
Численное интегрирование функций по формуле Симпсона
\end{center}
\vskip15pt

Порядок выполнения работы:
\begin{enumerate}
\item Изучить порядок выполнения вычислений определенного интеграла по формуле Симпсона и форму записи этих вычислений на примере в описании работы
\item Численное интегрирование функции по формуле Симпсона на заданном отрезке с заданном шагом
\item В отчете по работе должны быть приведены таблица вычислений и результат --- приближенное значение определенного интеграла
\end{enumerate}

\vskip15pt

\begin{center}\bf Численное интегрирование функций по формуле Симпсона
\end{center}

Сущность этого метода заключается в замене подынтегральной функции многочленом второй степени, совпадающим с функцией в трех точках. Отрезок интегрирования $[a,b]$ разделим на две равные части точкой $x_1$. Введем обозначения
$$b-x_1=x-a_1=h,\quad y_0=f(a),\quad y_1=f(x_1),\quad y_2=f(b).$$
Отсюда получим
$$x_1=a+h,\quad b=a+2h.$$
Тогда
$$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^{a+2h}f(x)\,dx.$$
Заменим переменную интегрирования, положив
$$x-a=t,\quad dx=dt.$$
Здесь значение $x=a$ соответствует значению $t=0$, значению $x=x_1$ соответствует $t=h$, значению $x=b$ соответствует $t=2h$. Тогда получим
$$\int_a^{a+2h}f(x)\,dx=\int_0^{2h}f(t+a)\,dt.$$
Далее, подынтегральную функцию $f(t+a)$ заменяем многочленом второй степени $P_2(t)$, совпадающим с функцией $f(t+a)$ при $t=0,t+h,t+2h$ (это соответствует замене функции многочленом второй степени относительно переменной $x$)
$$P_2(t)=c_2t^2+c_1t+c_0.$$
По условию должны выполняться следующие равенства
$$y_0=c_0,\quad y_1=c_2h^2+c_1h+c_0,\quad y_2=4c_2h^2+2c_1h+c_0.$$
Решая эту систему уравнений относительно $c_0$, $c_1$, $c_2$, получим
$$c_0=y_0,\quad c_1=\frac{-3y_0+4y_1-y_2}{2h},\quad c_2=\frac{y_0-2y_1+y_2}{2h^2}.$$
Имеем
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx\int_0^{2h}(c_2t^2+c_1t+c_0)\,dt=\frac83c_2h^3+2c_1h^2+2c_0h.$$
Подставив вместо $c_0,c_1,c_2$ их выражения, получим формулу для приближенного вычисления интеграла:
\begin{equation}\label{1}
\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac h3(y_0+4y_1+y_2),
\end{equation}
где $h=\dfrac{b-a}2$, или
$$\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac{b-a}6(y_0+4y_1+y_2).$$
Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что график функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ заменяем параболой, уравнение которой имеет вид $y=a_2x^2+a_1x+a_0$. Парабола пересекает кривую $y=f(x)$ в точках $x=a$, $x=b$, $x=\dfrac{a+b}2$. При этом площадь криволинейной трапеции заменяется площадью параболической трапеции. На чертеже~1 сплошной линией обозначен график функции $y=f(x)$, а пунктирной --- парабола.

\renewcommand{\figurename}{чертеж}
\begin{figure}[h]
$$\begin{picture}(300,150)
\put(10,10){\vector(1,0){240}}
\put(20,0){\vector(0,1){155}}
\put(245,0){$x$}
\put(10,149){$y$}
\qbezier(30,60)(88,78)(115,111)
\qbezier(115,111)(135,130)(200,84)
{\thicklines\qbezier[80](30,60)(110,150)(200,84)}
\put(10,0){$0$}
\put(27,0){$a$}
\put(198,0){$b$}
\multiput(30,10)(0,4){13}{\line(0,1){1.6}}
\multiput(115,10)(0,4){26}{\line(0,1){1.6}}
\multiput(200,10)(0,4){19}{\line(0,1){1.6}}
\put(101,-8){$\dfrac{a+b}2$}
\end{picture}$$
\caption{}\label{}
\end{figure}

Для получения более точного результата разделим отрезок $[a,b]$ на $2n$ частей точками $a=x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{2n}=b$. Введем такие обозначения: $y_0=f(a)$, $y_1=f(x_1)$, $y_2=f(x_2)$, $\ldots$ , $y_{2n}=f(x_{2n})$, $h=x_{2n}-x_{2n-1}=\ldots=x_2-x_1=x_1-x_0$. Так как
$$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^{x_2}f(x)\,dx+\int_{x_2}^{x_4}f(x)\,dx+\ldots+
\int_{x_{2n-2}}^bf(x)\,dx,$$
то, применяя к каждому из слагаемых формулу \eqref{1}, получим
\begin{multline*}
\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac h3(y_0+4y_1+y_2)+\frac h3(y_2+4y_3+y_4)+\ldots+\frac h3(y_{2n-2}\\
+4y_{2n-1}+y_{2n})
\end{multline*}
или
\begin{multline*}
\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac h3\left[y_0+y_{2n}+4(y_1+y_3+\ldots+y_{2n-1})\right.\\
\left.+2(y_2+y_4+\ldots+y_{2n-2})\right].
\end{multline*}
Учитывая, что $h=\dfrac{b-a}{2n}$, окончательно будем иметь
\begin{equation}\label{2}
\int_a^bf(x)\,dx\approx\frac{b-a}{2n}\left(y_0+y_{2n}+4\Sigma_1+2\Sigma_2\right),
\end{equation}
где
\begin{gather*}
\Sigma_1=y_1+y_3+\ldots+y_{2n-1},\\
\Sigma_2=y_2+y_4+\ldots+y_{2n-2}.
\end{gather*}
Эта формула приближенного интегрирования называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Вычисления оформляются в таблицу, подобную таблице~1. Первый столбец этой таблицы --- индексы: $0,1,\ldots,2n$, второй столбец --- соответствующие значения $x_0$, $x_1=x_0+h$, $x_2=x_0+2h$, $\ldots$ , $x_{2n}=x_0+2nh$. Средние столбцы отводятся под промежуточные значения функции, предпоследний столбец --- под значения $y_0=f(x_0)$, $y_1=f(x_1)$, $\ldots$ , $y_{2n}=f(x_{2n})$. В последний столбец удобно поставить коэффициент, с которым соответствующее значение $f(x)$ входит в формулу \eqref{2}, т.~е. $1$, $2$, $4$. После заполнения таблицы вычисляют суммы $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$, которые подставляют в формулу \eqref{2}.

\bigskip

\noindent Пример. Вычисление интеграла $\displaystyle\int_{0,2}^{1,8}\sqrt{1+x^2+x^4}\,dx$ с шагом $h=0,1$, т.~е. при $n=8$.

\begin{flushright}
Таблица~1.
\end{flushright}

\begin{center}
\begin{longtable}{lrrrrrc}
\hline\\
\hline
0&0,2&0,04&0,0016&1,0416&1,0206&1\\
1&0,3&0,09&0,0081&1,0981&1,0470&4\\
2&0,4&0,16&0,0256&1,1856&1,0888&2\\
3&0,5&0,25&0,0625&1,3125&1,1456&4\\
4&0,6&0,36&0,1296&1,4896&1,2205&2\\
5&0,7&0,49&0,2401&1,7301&1,3153&4\\
6&0,8&0,64&0,4096&2,0496&1,4316&2\\
7&0,9&0,81&0,6561&2,4861&1,5704&4\\
8&1,0&1,00&1,0000&3,000&1,7321&2\\
9&1,1&1,21&1,4641&3,6741&1,9168&4\\
10&1,2&1,44&2,0736&4,5136&2,1245&2\\
11&1,3&1,69&2,8561&5,5461&2,3550&4\\
12&1,4&1,96&3,8416&6,8016&2,6080&2\\
13&1,5&2,25&5,0625&8,3125&2,8831&4\\
14&1,6&2,56&6,5536&10,1136&3,1802&2\\
15&1,7&2,89&8,3521&12,2421&3,4989&4\\
16&1,8&3,24&10,4976&14,7376&3,8390&1\\
\hline
\end{longtable}
\end{center}
Получаем:
\begin{gather*}
\Sigma_1=15,7331,\\
\Sigma_2=13,3857,\\
\int_{0,2}^{1,8}\sqrt{1+x^2+x^4}\,dx\approx3,15211.
\end{gather*}

\vskip10pt

\begin{center}\bf Варианты заданий
\end{center}

\noindent Вычислить $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ по формуле Симпсона с шагом $h$. Параметры $m$ и $n$ могут принимать значения $0,1,2,\ldots$.

\noindent Вариант 1.
\begin{gather*}
\int_{0,2}^{1,6}\frac{1+x^2}{\sqrt{a+bx^4}}\,dx,\\
a=1+0,2n,\quad b=1+0,25m,\quad h=0,2.
\end{gather*}

\noindent Вариант 2.
\begin{gather*}
\int_{0,4}^{1,8}\sqrt{a+x^2+bx^3}\,dx,\\
a=2+0,1n,\quad b=1+0,05m,\quad h=0,1.
\end{gather*}

\noindent Вариант 3.
\begin{gather*}
\int_{0,3}^{1,7}\sqrt{\frac{a+x^2}{b+x^4}}\,dx,\\
a=3+0,2n,\quad b=2+0,25m,\quad h=0,1.
\end{gather*}

\noindent Вариант 4.
\begin{gather*}
\int_{0,2}^3\frac{\sqrt{a+x^3}}{1+bx^2}\,dx,\\
a=1+0,25n,\quad b=1+0,1m,\quad h=0,2.
\end{gather*}

\noindent Вариант 5.
\begin{gather*}
\int_{0,3}^{3,1}\frac{\sqrt{1+ax^2+bx^4}}{1+x^2}\,dx,\\
a=1+0,1n,\quad b=1+0,2m,\quad h=0,2.
\end{gather*}
\end{document}