\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{cite}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 5800

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{lemma}{Лемма}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}

\renewcommand{\bibname}{Литература}
\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup}
\DeclareMathOperator*{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator*{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator*{\IM}{Im}

\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\ei}{e^{i\theta}}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}

\begin{document}

\noindent УДК 517.98

\bigskip

\title{ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ}

\maketitle

\noindent К.~Ю.~Осипенко, Московский авиационный технологический институт, кафедра высшей математики

\bigskip

Пусть $X$ --- линейное пространство над полем $K=\mathbb R$ или $\mathbb C$, $A\subset X$ и $\Phi\colon A\to K$ --- многозначное отображение (м.~о.), т.~е.\ для всех $x\in A$ \ $\Phi(x)$ --- непустое множество из $K$. Графиком м.~о.\ $\Phi$ называется множество $\gr\Phi:=\{(x,\alpha)\in X\times K|x\in A,\ \alpha\in\Phi(x)\}$.

Рассматривается задача оптимального восстановления м.~о.\ $\Phi$ однозначными отображениями (функционалами). Пусть $\varphi$ --- произвольный функционал на $A$. Положим
$$E(\Phi,\varphi):=\sup_{(x,\alpha)\in\gr\Phi}|\alpha-\varphi(x)|,\quad E(\Phi):=\inf_\varphi E(\Phi,\varphi).$$
Обозначим через $\Aff(X,K)$ множество функционалов, имеющих вид $a(x)=\la x',x\ra+c$, где $x'\in X'$, $c\in K$.

В докладе приводятся необходимые и достаточные условия на м.~о.\ $\Phi$ для существования $x'\in X'$ и $a\in\Aff(X,K)$ таких, что
$$E(\Phi,x')=E(\Phi)\quad\mbox{и}\quad E(\Phi,a)=E(\Phi).$$
Ответ дается в терминах величины
$$R(\Phi):=\sup_{x\in A}\infp_{c\in K}\sup_{\alpha\in\Phi(x)}|\alpha-c|,$$
называемой радиусом многозначности отображения $\Phi$.

\begin{thebibliography}{11}
\bibitem{1} Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные
задачи // Тр. МИАН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.

\bibitem{2} Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки (в печати).

\end{thebibliography}
\thispagestyle{empty}
\end{document}