\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{srctex}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage{srctex}
\tolerance 1550
\renewcommand*{\proofname}{Доказательство}

\DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p}
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\newcommand*{\cd}{(\cdot)}
\newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)}
\newcommand*{\lu}{L_1(\mathbb R)}
\newcommand*{\lp}{L_p(\mathbb R)}
\newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R)}
\newcommand*{\wu}{\widehat u}
\newcommand*{\wl}{\widehat\lambda}
\newcommand*{\wpp}{\widehat p}
\newcommand*{\wy}{\widehat y}
\newcommand*{\wmu}{\widehat\mu}
\newcommand*{\wv}{\widehat\varphi}
\newcommand*{\ov}{\overline}
\newcommand*{\wx}{\widehat x}
\newcommand*{\wnu}{\widehat\nu}
\newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma}
\newcommand*{\ws}{\widehat\sigma}
\newcommand*{\Ld}{L_\infty(\Ds)}
\newcommand*{\Lp}{L_p(\Ds)}
\newcommand*{\wt}{\widehat t}
\newcommand*{\ty}{\widetilde y}
\newcommand*{\Ci}{C_\infty^n}
\newcommand*{\Cp}{C_p^n}
\newcommand*{\la}{\langle}
\newcommand*{\ra}{\rangle}
\newcommand*{\wh}{\widehat h}
\newcommand*{\wN}{\widehat N}

\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\begin{document}

\title[Восстановление функций и их производных] {Оптимальное восстановление
значений функций и их производных на прямой по неточно заданному
преобразованию Фурье}
\author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко}

\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты \No02-01-39012 и \No02-01-00386),
программ государственной поддержки ведущих научных школ Российской
Федерации (НШ-304.2003.1) и ``Университеты России" (УР.04.03.067), а также
при поддержке U.S.CRDF--R.F.Ministry of Education Award VZ-0100-0}
\address{Московский государственный институт радиотехники, электроники и
автоматики (технический университет)}
\address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет
им.\ К.~Э.~Циолковского}

\begin{abstract}
В работе рассматриваются задачи оптимального восстановления значения
производных функций по информации о преобразовании Фурье этих функций,
заданном приближенно на конечном интервале или всей прямой. Изучается также
тесно связанная с этой проблематикой задача С.~Б.~Стечкина о приближении
производных ограниченными линейными функционалами. Получены соответствующие
этим постановкам точные неравенства для производных колмогоровского типа.
\end{abstract}

\maketitle

\section{Постановка задач}

Начнем с формулировки конкретных задач, которые изучаются в данной работе,
а затем приведем общую постановку задачи оптимального восстановления
функционалов, объединяющую эти задачи. Пусть $S$ --- пространство Шварца
быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на $\mathbb R$, $S'$
--- соответствующее пространство обобщенных функций, $F\colon S'\to S'$ ---
преобразование Фурье, $n\in\mathbb N$ и $1\le p\le\infty$. Положим
$$X_p^n=\{\,x\in S'\mid Fx\cd\in\lp,\ x^{(n)}\cd\in\lt\,\}$$
и
$$\Cp=\{\,x\cd\in X_p^n\mid\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}\le1\,\}.$$

Задача об оптимальном восстановлении значения $x^{(k)}(\tau)$, где $0\le k<
n$, $\tau\in\mathbb R$, на классе $\Cp$ по информации о преобразовании
Фурье $Fx\cd$, заданном на интервале $\Ds=(-\sigma,\sigma)$, $0<\sigma\le
\infty$, c погрешностью $\delta>0$ в метрике пространства $\Lp$,
заключается в нахождении величины
\begin{equation}\label{1}
E_p(n,k,\sigma,\delta)=\inf_\varphi\sup_{\substack{x\cd\in\Cp,\ y\cd\in\Lp
\\\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lp}\le\delta}}|x^{(k)}(\tau)-\varphi(y\cd)|
\end{equation}
(где нижняя грань берется по всем функциям $\varphi\colon\Lp\to\mathbb C$),
называемой {\it погрешностью оптимального восстановления\/}, и функции $\wv
$, на которой достигается нижняя грань в \eqref1, называемой {\it
оптимальным методом восстановления}.

В данной работе изучается также задача о наилучшем приближении $x^{(k)}(
\tau)$, $0\le k<n$, $\tau\in\mathbb R$, на классе $\Cp$ по информации о
преобразовании Фурье $Fx\cd$, заданном на интервале $\Ds=(-\sigma,\sigma)$,
линейными непрерывными  функционалами на $\Lp$, норма которых не
превосходит некоторого фиксированного положительного числа $N$. Она состоит
в нахождении величины
\begin{equation}\label{St}
e_p(n,k,\sigma,N)=\infp_{y^*}\sup_{x\cd\in\Cp}|x^{(k)}(\tau)-\la y^*,Fx\cd
\ra|\end{equation}
(где нижняя грань берется по всем линейным функционалам $y^{*}$ на $\Lp$
таким, что $\|y^{*}\|\le N$), а также функционала $\wy^*$, на котором
достигается нижняя грань в \eqref{St}, называемым {\it экстремальным}.

Если в \eqref{St} вместо $Fx\cd$ поставить $x\cd$, то мы получаем
классическую задачу С.~Б.~Стечкина, так что \eqref{St} есть некоторое ее
обобщение, которое мы также называем задачей Стечкина.

Приведем теперь общую постановку задачи об оптимальном восстановлении
линейного функционала на классе элементов по некоторой информации о самих
элементах. Пусть $X$ --- вещественное или комплексное векторное
пространство и $C$ --- непустое подмножество (класс элементов) в $X$. Про
каждый элемент $x\in C$ мы располагаем информацией $I(x)$, где $I$ ---
отображение (называемое {\it информационным}) из $C$ в другое вещественное
или комплексное векторное пространство $Y$. В случае, когда информация
задана неточно, $I$ --- многозначное отображение. Пусть, далее, задан
линейный функционал $x'$ на $X$ и семейство $\Phi$ функций $\varphi\colon Y
\to\mathbb R(\mathbb C)$. Задача об оптимальном восстановлении функционала
$x'$ на классе $C$ по информации $I$ с помощью функций ({\it методов
восстановления}) из $\Phi$ заключается в нахождении величины
\begin{equation}\label{Com}
E(x',C,I)=\inf_{\varphi\in\Phi}\sup_{\substack{x\in C,\\ y\in I(x)}}
|\langle x',x\rangle-\varphi(y)|,
\end{equation}
называемой {\it погрешностью оптимального восстановления\/} (функционала
$x'$ на $C$ по информации $I$), и метода, на котором достигается нижняя
грань в \eqref{Com}, называемого {\it оптимальным методом восстановления}.

Задачи \eqref1 и \eqref{St} укладывается в общую схему. В первом случае $X=
X_p^n$, $C=C_p^n$, $Y=\Lp$, $I\colon X_p^n\to\Lp$, $Ix\cd=Fx\cd|_{\Ds}+
\delta B\Lp$ ($B\Lp$ --- единичный шар в $\Lp$), $\la x',x\cd\ra=x^{(k)}(
\tau)$ и $\Phi$ --- совокупность всех функций на $\Lp$.

Для второй задачи $X=X_p^n$, $C=C_p^n$, $Y=\Lp$, $I\colon X_p^n\to\Lp$, $Ix
\cd= Fx\cd|_{\Ds}$, $\la x',x\cd\ra=x^{(k)}(\tau)$ и $\Phi=NBY^*$, где $BY^
*$ --- единичный шар в сопряженном пространстве к $Y$.

Задача оптимального восстановления линейного функционала на классе
элементов для случая, когда $I$ --- линейное отображение, $\dim Y<\infty$ и
$\Phi$ --- множество всех функций из $Y$ в $\mathbb R$, была поставлена
С.~А.~Смоляком \cite{Sm}. Им было доказано, что если в этой ситуации $C$
--- выпуклое центрально симметричное множество, то среди оптимальных
методов есть линейный. Далее эта задача обобщалась и развивалась в
различных направлениях (см.\ \cite{MR}--\cite{Os1}).

Задачи оптимального восстановления функций и их производных в метрике $L_2$
(т.е.\ задача оптимального восстановления оператора, а не функционала) по
неточно заданным коэффициентам Фурье (для периодических функций) и по
неточно заданному преобразованию Фурье (для функций на прямой) изучались в
работах \cite{M}, \cite{M1}. Круг проблем, связанных с задачей Стечкина,
освещен в обзорной статье \cite{Ar1}.

Аналог задачи \eqref1 в периодическом случае при $p=\infty$ рассматривался
в работе \cite{Os}.

\section{Формулировки основных результатов}

В силу инвариантности рассматриваемых классов относительно сдвига всюду в
дальнейшем считаем, что $\tau=0$. Начнем со случая, когда $p=\infty$.

\begin{theorem}\label{T2}
Пусть $\delta>0$, $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $0<\sigma\le\infty$,
$$\ws=\left(\frac{\pi(2n+1)(2n-2k-1)}{2\delta^2(2n-k)}\right)^{\frac1{2n+1}
}$$
и $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$. Тогда
$$E_\infty(n,k,\sigma,\delta)=\frac{\sigma_0^{k+1}}\pi\left(\frac\delta{k+1
}+\sqrt{\frac1{2n-2k-1}\left(\frac\pi{\sigma_0^{2n+1}}-\frac{\delta^2}{2n+1
}\right)}\,\right),$$
а метод
\begin{equation}\label{m1}
\wv(y\cd)=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma_0}(it)^k\left(1-\delta\lambda|t|^{2n
-k}\right)y(t)\,dt,
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{lam}
\lambda=\frac{\sigma_0^{-2n+k}}{\sqrt{2n-2k-1}}\left(\frac\pi{\sigma_0^{2n+
1}}-\frac{\delta^2}{2n+1}\right)^{-1/2},
\end{equation}
является оптимальным.
\end{theorem}

Из теоремы~\ref{T2} вытекает, что при $\sigma\ge\ws$
\begin{equation}\label{E}
E_\infty(n,k,\sigma,\delta)=K\delta^{\frac{2n-2k-1}{2n+1}},
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{K}
K=\frac{(n+1/2)^{\frac{k+1}{2n+1}}}{k+1}\left(\frac{2n-k}{\pi(2n-2k-1)}
\right)^{\frac{2n-k}{2n+1}}.
\end{equation}
Тем самым в рассматриваемой задаче имеет место эффект ``насыщения"
погрешности оптимального восстановления, заключающийся в том, что при
фиксированном $\delta>0$, знание преобразования Фурье функции из $\Ci$,
заданного с погрешностью $\delta$ в равномерной метрике, на интервалах,
больших, чем $\Delta_{\ws}$, не ведет к уменьшению погрешности оптимального
восстановления. Таким образом, нарушение соотношения
\begin{equation}\label{PN}
\delta^2\sigma^{2n+1}\le\frac{\pi(2n+1)(2n-2k-1)}{2(2n-k)}
\end{equation}
приводит к тому, что получаемая информация о преобразовании Фурье
оказывается избыточной. Этот факт нам представляется важным для приложений,
когда нужно считаться с тем, что получение дополнительной информации
требует определенных затрат.

Из равенства \eqref{E} в силу инвариантности пространства $X_{\infty}^n$
относительно сдвига вытекает следующий результат.

\begin{corollary}\label{o1}
Пусть $k,n\in\mathbb Z$ и $0\le k<n$. Тогда имеет место точное
неравенство
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\li}\le K\|Fx\cd\|_{\li}^{\frac{2n-2k-1}{2n+1}}\|x^{(n)}
\cd\|_{\lt}^{\frac{2k+2}{2n+1}}.$$
где константа $K$ определена равенством \eqref K.
\end{corollary}

Перейдем теперь к задаче \eqref1 для $p=1$. Если $k>0$ и $\sigma<\infty$,
положим
$$\Phi(\varepsilon)=\frac{4\pi}{\sigma^{2n-1}}\frac{\varepsilon^{2(2n-k-1)}
\left(\displaystyle\int_1^{\varepsilon}(x^k-1)x^{-2n}\,dx\right)^2}{
\varepsilon^{2n-2k-1}\displaystyle\int_1^{\varepsilon}(x^k-1)^2x^{-2n}\,dx+
(2n-2k-1)^{-1}}$$
(здесь и далее для краткости записи не приводятся выражения для интегралов,
которые могут быть явно вычислены). Очевидно, что функция $\Phi\cd$
непрерывна на $(1,+\infty)$. Нетрудно убедиться, что $\Phi(\varepsilon)\to0
$ при $\varepsilon\to1$ и $\Phi(\varepsilon)\to+\infty$ при $\varepsilon\to
+\infty$. Тем самым для любого $\delta>0$ уравнение
\begin{equation}\label{eps}
\Phi(\varepsilon)=\delta^2
\end{equation}
имеет решение, принадлежащее интервалу $(1,+\infty)$.

\begin{theorem}\label{T11}
Пусть $\delta>0$, $k,n\in\mathbb N$, $0<k<n$, $0<\sigma\le\infty$. Положим
\begin{align*}
a&=\begin{cases}\sigma/\varepsilon_\delta,&0<\sigma<\infty,\\
\left(\dfrac{2\pi(2n-2k-1)}{\delta^2(2n-1)(2n-k-1)}\right)^{\frac1{2n-1}},&
\sigma=\infty,\end{cases}\\[10pt]
\lambda&=\begin{cases}\dfrac2\delta\left(\dfrac{\varepsilon_\delta}\sigma\right)^{
2n-k-1}\displaystyle\int_1^{\varepsilon_\delta}(x^k-1)x^{-2n}\,dx,&0<\sigma
<\infty,\\[10pt]
\dfrac{k\delta^{\frac{2n-2k-1}{2n-1}}}{\pi(2n-2k-1)}\left(\dfrac{2\pi(2n-2k-1)}{(2n-1)(2n-k-1)}\right)^{
\frac k{2n-1}},&\sigma=\infty,
\end{cases}
\end{align*}
где $\varepsilon_\delta$ --- решение уравнения \eqref{eps}. Тогда
$$E_1(n,k,\sigma,\delta)=\lambda+\frac\delta{2\pi}a^k,$$
а метод
\begin{equation}\label{os1}
\wv(y\cd)=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}\mu_\delta(t)y(t)\,dt,
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{mu}
\mu_\delta(t)=\begin{cases}(it)^k,&|t|\le a,\\
(ia)^k\sign t^k,&a<|t|<\sigma,\end{cases}
\end{equation}
является оптимальным. При $k=0$
$$E_1(n,0,\sigma,\delta)=\frac\delta{2\pi}+\frac1{\sigma^{n-1/2}\sqrt{\pi(2
n-1)}}$$
и метод
\begin{equation}\label{ek}
\wv(y\cd)=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}y(t)\,dt
\end{equation}
--- оптимальный.
\end{theorem}

Из теоремы~\ref{T11} при $\sigma=\infty$ вытекает

\begin{corollary}\label{o2}
Пусть $k,n\in\mathbb Z$ и $0\le k<n$. Тогда имеет место точное неравенство
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\li}\le K_1\|Fx\cd\|_{\lu}^{\frac{2n-2k-1}{2n-1}}\|x^{(n)
}\cd\|_{\lt}^{\frac{2k}{2n-1}},$$
где
$$K_1=\frac1{(2n-k-1)^{\frac k{2n-1}}}\left(\frac{2n-1}{2\pi(2n-2k-1)}
\right)^{\frac{2n-k-1}{2n-1}}.$$
\end{corollary}

Перейдем к случаю $p=2$. Если $\sigma<\infty$, то положим
$$\Psi(h)=\frac{2\pi\sigma^{2n-2k-1}h^{4n-2k-1}\displaystyle\int_0^{\sigma
h}x^{2k}(1+x^{2n})^{-2}\,dx}{(\sigma h)^{2n-2k-1}\displaystyle\int_0^{
\sigma h}x^{2(n+k)}(1+x^{2n})^{-2}\,dx+(2n-2k-1)^{-1}}.$$
Нетрудно убедиться, что функция $\Psi\cd$ непрерывна на $(0,+\infty)$, $
\Psi(h)\to0$ при $h\to0$ и $\Phi(h)\to+\infty$ при $h\to+\infty$. Тем самым
для любого $\delta>0$ уравнение
\begin{equation}\label{h}
\Psi(h)=\delta^2
\end{equation}
имеет решение, принадлежащее интервалу $(0,+\infty)$.

\begin{theorem}\label{Tp2}
Пусть $\delta>0$, $k,n\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $0<\sigma\le\infty$. Если
$0<\sigma<\infty$, то через $h_\delta$ обозначим решение уравнения \eqref
h, а если $\sigma=\infty$, то положим
$$h_\delta=\left(\frac{(2k+1)\delta^2}{2\pi(2n-2k-1)}\right)^{\frac1{2n}}.
$$ Тогда $$E_2(n,k,\sigma,\delta)=\dfrac{\delta^2+2\pi
h_\delta^{2n}}{2\pi\delta h_ \delta^{k+1/2}}\left(2\int_0^{\sigma
h_\delta}x^{2k}(1+x^{2n})^{-2}\,dx \right)^{1/2},$$ а метод
$$\wv(y\cd)=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}\frac{(it)^k}{1+(h_\delta t)^{2n}}
y(t)\,dt,$$ является оптимальным.
\end{theorem}

При $\sigma=\infty$ получаем
$$E_2(n,k,\infty,\delta)=K_2\delta^{\frac{2n-2k-1}{2n}},$$
где
$$K_2=\left((2k+1)\sin\pi\dfrac{2k+1}{2n}\right)^{-1/2}\left(\frac{2k+1}{2
\pi(2n-2k-1)}\right)^{\frac{2n-2k-1}{4n}}.$$
Отсюда следует точное неравенство
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\li}\le K_2\|Fx\cd\|_{\lt}^{\frac{2n-2k-1}{2n}}\|x^{(n)}
\cd\|_{\lt}^{\frac{2k+1}{2n}}.$$
В силу равенства Парсеваля
$$\|Fx\cd\|_{\lt}=\sqrt{2\pi}\|x\cd\|_{\lt}$$
оно может быть записано в виде
$$\|x^{(k)}\cd\|_{\li}\le(2\pi)^{\frac{2n-2k-1}{4n}}K_2\|x\cd\|_{\lt}^{
\frac{2n-2k-1}{2n}}\|x^{(n)}\cd\|_{\lt}^{\frac{2k+1}{2n}}.$$
Это неравенство было доказано Л.~В.~Тайковым \cite{Ta}.

Перейдем теперь к задаче Стечкина о приближении $k$-ой производной функции
из класса $\Cp$ по информации о ее преобразовании Фурье на интервале $\Ds$
с помощью линейных функционалов, норма которых не превосходит
фиксированного положительного числа $N$.

\begin{theorem}\label{TS1}
Пусть $n,k\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $0<\sigma\le\infty$, $N>0$,
$$\ws_N=\left(\frac{\pi N(k+1)(2n+1)}{2n-k}\right)^{\frac1{k+1}}$$
и $\sigma_N=\min(\sigma,\ws_N)$. Тогда
\begin{equation}\label{E*}
e_\infty(n,k,\sigma,N)=\frac{\sigma_N^{-n+k+1/2}}{\sqrt\pi}\sqrt{\frac1{2n-
2k-1}+\frac{\gamma^2(\sigma,N)}{2n+1}},
\end{equation}
где
$$\gamma(\sigma,N)=\max\left\{0,(2n+1)\left(\frac1{k+1}-\frac{\pi N}{\sigma
_N^{k+1}}\right)\right\},$$
и функционал
\begin{equation}\label{M}
\la\wy^*,Fx\cd\ra=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma_N}(it)^k\left(1-\gamma(
\sigma,N)\left(\frac{|t|}{\sigma_N}\right)^{2n-k}\right)Fx(t)\,dt
\end{equation}
является экстремальным.
\end{theorem}

Из теоремы~\ref{TS1} вытекает, что при фиксированном $N$ для $\sigma\ge\ws_
N$
$$e_\infty(n,k,\sigma,N)=\sqrt{\frac{2k+2}{2n-2k-1}}\left(\frac{2n-k}{\pi(k
+1)(2n+1)}\right)^{\frac{2n-k}{2k+2}}N^{-\frac{2n-2k-1}{2k+2}}.$$
Это означает, что аналогично задаче восстановления в рассматриваемой задаче
Стечкина также наблюдается эффект ``насыщения", заключающийся в том, что
при фиксированном $N$ знание преобразования Фурье на интервалах, больших,
чем $(-\ws_N,\ws_N)$, не ведет к уменьшению погрешности $e_\infty(n,k,
\sigma,N)$. Аналогом соотношения \eqref{PN} здесь является неравенство
$$\frac{\sigma^{k+1}}N\le\frac{\pi(k+1)(2n+1)}{2n-k},$$
нарушение которого ведет к избыточности получаемой информации о
преобразовании Фурье.

\begin{theorem}\label{T6}
Пусть $n,k\in\mathbb N$, $0<k<n$ и $N>0$. Тогда при $\sigma<\infty$
\begin{multline*}
e_1(n,k,\sigma,N)=\frac1{\sqrt\pi\sigma^{n-k-1/2}}\\
\times\sqrt{\frac{2k^2\varepsilon^{2n-2k-1}}{(2n-2k-1)(2n-k-1)(2n-1)}+\frac
{2\varepsilon^{-k}}{2n-k-1}-\frac{\varepsilon^{-2k}}{2n-1}},
\end{multline*}
где
$$\varepsilon=\frac\sigma{(2\pi N_0)^{1/k}},\quad N_0=\min\left\{N,\frac{
\sigma^k}{2\pi}\right\},$$
и функционал
\begin{multline}\label{os2}
\la\wy^*,Fx\cd\ra=\frac1{2\pi}\int_{|t|<(2\pi N_0)^{1/k}}(it)^kFx(t)\,dt\\
+N_0i^k\int_{(2\pi N_0)^{1/k}\le|t|<\sigma}\sign t^kFx(t)\,dt
\end{multline}
является экстремальным. При $\sigma=\infty$
$$e_1(n,k,\infty,N)=\frac{\sqrt2k(2\pi N)^{-\frac{2n-2k-1}{2k}}}
{\sqrt{\pi(2n-1)(2n-k-1)(2n-2k-1)}},$$
а функционал
\begin{multline*}
\la\wy^*,Fx\cd\ra=\frac1{2\pi}\int_{|t|<(2\pi N)^{1/k}}(it)^kFx(t)\,dt\\
+N\int_{|t|\ge(2\pi N)^{1/k}}i^k\sign t^kFx(t)\,dt
\end{multline*}
--- экстремальный. Если $k=0$, то
$$e_1(n,0,\sigma,N)=\begin{cases}\infty,&0<N<\dfrac1{2\pi},\\
\dfrac1{\sigma^{n-1/2}\sqrt{\pi(2n-1)}},&N\ge\dfrac1{2\pi},\ \sigma<\infty,
\\
0&N\ge\dfrac1{2\pi},\ \sigma=\infty,\\
\end{cases}$$
при этом функционал
$$\la\wy^*,Fx\cd\ra=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}Fx(t)\,dt$$
является экстремальным.
\end{theorem}

Рассмотрим теперь задачу Стечкина для случая, когда $p=2$. Положим
$$\Omega(h)=\frac1{2\pi^2h^{2k+1}}\int_0^{\sigma h}x^{2k}(1+x^{2n})^{-2}\,d
x.$$
Функция $\Omega(h)$ непрерывна при $h\in(0,+\infty)$. При этом
$$\lim_{h\to0}\Omega(h)=\frac{\sigma^{2k+1}}{2\pi^2(2k+1)},$$
а $\lim_{h\to\infty}\Omega(h)=0$. Поэтому при всех
$$0<N<\frac{\sigma^{k+1/2}}{\pi\sqrt{2(2k+1)}}$$
уравнение
\begin{equation}\label{Om}
\Omega(h)=N^2
\end{equation}
имеет решение.

\begin{theorem}\label{TS2}
Пусть $n,k\in\mathbb Z$, $0\le k<n$ и $N>0$. Тогда при всех $0<\sigma<
\infty$
$$e_2(n,k,\sigma,N)=\left(\frac{\wh_N^{2n-2k-1}}\pi\int_0^{\sigma\wh_N}
\frac{x^{2(k+n)}}{(1+x^{2n})^2}\,dx+\frac{\sigma^{-(2n-2k-1)}}{\pi(2n-2k-1)}\right)^{1/
2},$$
где
$$\wh_N=\begin{cases} h_N,&0<N<\wN,\\
0,&N\ge\wN,\end{cases}\quad\wN=\frac{\sigma^{k+1/2}}{\pi\sqrt{2(2k+1)}},$$
а $h_N$ --- решение уравнения \eqref{Om}. При этом функционал
\begin{equation}\label{vp}
\la\wy^*,Fx\cd\ra=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}\frac{(it)^k}{1+(\wh_Nt)^{2n}}y(t)
\,dt
\end{equation}
является экстремальным. При $\sigma=\infty$
$$e_2(n,k,\infty,N)=\frac{\sqrt{2k+1}}{\left(4n^2\sin\pi\dfrac{2k+1}{2n}
\right)^{\frac n{2k+1}}}\left(\frac{2n-2k-1}{2\pi N^2}\right)^{\frac{2n-2k-
1}{2(2k+1)}},$$
а функционал \eqref{vp}, в котором
$$\wh_N=\left(\frac{2n-2k-1}{8\pi n^2N^2\sin\pi\dfrac{2k+1}{2n}}\right)^{
\frac1{2k+1}},$$
--- экстремальный.
\end{theorem}

Отметим, что в случае $\sigma=\infty$ результат, сформулированный в этой
теореме, может быть получен из работы \cite{Ta}.

\section{Доказательства}

В основе доказательств сформулированных теорем лежат соображения, связанные
с общими принципами теории экстремальных задач. Суть дела заключается в
том, что рассматриваемые здесь задачи редуцируются к некоторым выпуклым
задачам, для которых необходимым и достаточным условием того, что
допустимая точка есть решение данной задачи, является равенство нулю
производной (или принадлежность нуля субдифференциалу) функции Лагранжа в
этой точке. Такое условие представляет из себя некоторое тождество. С
другой стороны, сама задача восстановления является двойственной к
указанным выпуклым задачам и поэтому, решив их (т.\ е.\ получив нужное
тождество), мы, вообще говоря, решаем и двойственную задачу (подробнее о
таком подходе к решению различных экстремальных задач см.\ \cite{MT}--\cite
{MOT}. Следующая теорема представляет собой итоговый результат приведенных
соображений.

\begin{theorem}\label{T7}
Пусть $n,k\in\mathbb Z$, $0\le k<n$, $0<\sigma\le\infty$, $\delta>0$, $1\le
p\le\infty$ и при всех $x\cd\in X_p^n$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq}
x^{(k)}(0)=\la\wy^*,Fx\cd\ra+\lambda\int_{\mathbb R}x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}
(t)}\,dt,
\end{equation}
где $\wy^*$ --- некоторый линейный непрерывный функционал на $\Lp$, $
\lambda\in\mathbb R_+$, а $\wx\cd\in X_p^n$ и удовлетворяет следующим
условиям
\begin{enumerate}
\item[$(i)$]$\|F\wx\cd\|_{\Lp}=\delta,$
\item[$(ii)$]$\|\wx^{(n)}\cd\|_{\lt}=1,$
\item[$(iii)$]$\la\wy^*,F\wx\cd\ra=\delta\|\wy^*\|$.
\end{enumerate}
Тогда
\begin{equation}\label{Ep}
E_p(n,k,\sigma,\delta)=\lambda+\delta\|\wy^*\|,
\end{equation}
а $\wy^*$ --- оптимальный метод восстановления. Кроме того, в задаче
Стечкина для $N=\|\wy^*\|$
$$e_p(n,k,\sigma,N)=\lambda,$$
а $\wy^*$ --- экстремальный функционал.
\end{theorem}

\begin{proof}
Учитывая равенство \eqref{eq}, имеем
\begin{multline}\label{Go}
E_p(n,k,\sigma,\delta)\le\sup_{\substack{x\cd\in\Cp,\ y\cd\in\Lp\\
\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lp}\le\delta}}|x^{(k)}(0)-\la\wy^*,y\cd\ra|\\
\le\sup_{x\cd\in\Cp}|x^{(k)}(0)-\la\wy^*,Fx\cd\ra|+\delta\|\wy^*\|=\lambda+
\delta\|\wy^*\|.
\end{multline}
С другой стороны, в силу $(i)$ для любого метода восстановления $\varphi(y
\cd)$ имеем
\begin{multline*}
2|\wx^{(k)}(0)|\le|\wx^{(k)}(0)-\varphi(0)|+|-\wx^{(k)}(0)-\varphi(0)|\\
\le2\sup_{\substack{x\cd\in\Cp,\ y\cd\in\Lp\\\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lp}\le\delta}
}|x^{(k)}(0)-\varphi(y\cd)|.
\end{multline*}
Отсюда следует, что $E_p(n,k,\sigma,\delta)\ge|\wx^{(k)}(0)|$. Учитывая
\eqref{eq}, $(ii)$ и $(iii)$, получаем
$$E_p(n,k,\sigma,\delta)\ge|\wx^{(k)}(0)|=\left|\la\wy^*,F\wx\cd\ra+\lambda
\|\wx^{(n)}\cd\|_{\lt}\right|=\lambda+\delta\|\wy^*\|.$$
Из этого неравенства и \eqref{Go} вытекает равенство \eqref{Ep} и
оптимальность метода $\wy^*$.

Перейдем к задаче Стечкина. По доказанному в задаче оптимального
восстановления среди оптимальных методов существует метод, задаваемый
линейным непрерывным функционалом, поэтому
\begin{multline*}
E_p(n,k,\sigma,\delta)=\infp_{N>0}\infp_{\|y^*\|\le N}\sup_{\substack{x\cd
\in\Cp,\ y\cd\in\Lp\\\|Fx\cd-y\cd\|_{\Lp}\le\delta}}|x^{(k)}(0)-\la y^*,y
\cd\ra|\\
\le\infp_{\|y^*\|\le N}\sup_{x\cd\in\Cp}|x^{(k)}(0)-\la y^*,Fx\cd\ra|+
\delta N=e_p(n,k,\sigma,N)+\delta N.
\end{multline*}
Следовательно, при всех $N>0$
\begin{equation}\label{SAr}
e_p(n,k,\sigma,N)\ge E_p(n,k,\sigma,\delta)-\delta N.
\end{equation}
Отсюда из \eqref{Ep} для $N=\|\wy^*\|$ получаем
$$e_p(n,k,\sigma,N)\ge\lambda.$$
С другой стороны, в силу \eqref{eq}
$$e_p(n,k,\sigma,N)\le\sup_{x\cd\in\Cp}|x^{(k)}(0)-\la\wy^*,Fx\cd\ra|=
\lambda.$$
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T2}$]
Докажем, что для всех $x\cd\in X_\infty^n$ имеет место равенство
\begin{multline}\label{eq1}
x^{(k)}(0)=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma_0}(it)^k\left(1-\delta\lambda|t|^{2
n-k}\right)Fx(t)\,dt\\
+\lambda\int_{\mathbb R}x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}(t)}\,dt,
\end{multline}
где функция $\wx\cd\in X_\infty^n$ такова, что
$$F\wx(t)=\begin{cases}(-i)^k\delta\sign t^k,&|t|<\sigma_0,\\[10pt]
\dfrac{(-i)^k}{\lambda t^{2n-k}},&|t|\ge\sigma_0.\end{cases}$$
В силу теоремы Планшереля имеем
\begin{equation}\label{Pl}
\int_{\mathbb R}x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}(t)}\,dt=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R
}t^{2n}Fx(t)\ov{F\wx(t)}\,dt.
\end{equation}
Поэтому
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma_0}(it)^k\left(1-\delta\lambda|t|^{2n-k}\right)
Fx(t)\,dt+\lambda\int_{\mathbb R}x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}(t)}\,dt\\
=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma_0}\left((it)^k\left(1-\delta\lambda|t|^{2n-k}
\right)+\lambda t^{2n}i^k\delta\sign t^k\right)Fx(t)\,dt\\
+\frac1{2\pi}\int_{|t|\ge\sigma_0}(it)^kFx(t)\,dt=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb
R}(it)^kFx(t)\,dt=x^{(k)}(0).
\end{multline*}
Равенство $\|\wx^{(n)}\cd\|_{\lt}=1$ легко проверяется. Докажем, что $\|F
\wx\cd\|_{L_\infty(\Ds)}=\delta$. При $\sigma_0\ge\sigma$ это
непосредственно вытекает из определения $F\wx\cd$. Пусть $\sigma_0<\sigma$.
Тогда $\sigma_0=\ws$ и нетрудно убедиться, что $(\lambda\ws^{2n-k})^{-1}=
\delta$. Тем самым $|F\wx(t)|\le\delta$ при $|t|\ge\ws$. Проверим теперь
выполнение условия $(iii)$ теоремы~\ref{T7}. Имеем
\begin{equation}\label{iii}
\la\wy^*,F\wx\cd\ra=\frac\delta{2\pi}\int_{|t|<\sigma_0}|t|^k\left(1-\delta
\lambda|t|^{2n-k}\right)\,dt.
\end{equation}
Докажем, что $1-\delta\lambda|t|^{2n-k}>0$ при $|t|<\sigma_0$. В силу
определения $\sigma_0$ имеем
$$\delta^2\sigma_0^{2n+1}2(2n-k)\le\delta^2\ws^{2n+1}2(2n-k)=\pi(2n+1)(2n-2
k-1).$$
Отсюда вытекает, что
\begin{multline*}
\delta^2\sigma_0^{2n+1}(2n+1)\le(2n-2k-1)(\pi(2n+1)-\delta^2\sigma_0^{2n+1}
)\\
=\sigma_0^{-2n+2k+1}(2n+1)\lambda^{-2},
\end{multline*}
т.е.\ $\delta\lambda\sigma_0^{2n-k}\le1$. Тем самым при $|t|<\sigma_0$ \ $1
-\delta\lambda|t|^{2n-k}>1-\delta\lambda\sigma_0^{2n-k}\ge0$.
Следовательно, правая часть \eqref{iii} равна $\delta\|\wy^*\|$. Для
завершения доказательства остается применить теорему~\ref{T7}.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T11}$]
Рассмотрим сначала случай $0<k<n$. Докажем, что для всех $x\cd\in X_1^n$
имеет место равенство
\begin{equation}\label{eq2}
x^{(k)}(0)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\mu_\delta(t)Fx(t)\,dt+\lambda\int_{
\mathbb R}x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}(t)}\,dt,
\end{equation}
где функция $\wx\cd\in X_1^n$ такова, что
$$F\wx(t)=\begin{cases}0,&|t|\le a,\\
(-i)^k\dfrac{|t|^k-a^k}{\lambda t^{2n}}\sign t^k,&a<|t|<\sigma,\\
\dfrac{(it)^k}{\lambda t^{2n}},&|t|\ge\sigma.\end{cases}$$
Действительно, учитывая \eqref{Pl}, имеем
\begin{multline*}
\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}\mu_\delta(t)Fx(t)\,dt+\lambda\int_{\mathbb R}
x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}(t)}\,dt=\frac1{2\pi}\int_{|t|\le a}(it)^kFx(t)\,dt
\\
+\frac1{2\pi}\int_{a<|t|<\sigma}\left((ia)^k\sign t^k+i^k(|t|^k-a^k)\sign t
^k\right)Fx(t)\,dt\\
+\frac1{2\pi}\int_{|t|\ge\sigma}(it)^kFx(t)\,dt=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R
}(it)^kFx(t)\,dt=x^{(k)}(0).
\end{multline*}
Непосредственными вычислениями можно убедиться в справедливости равенств
\begin{equation}\label{FF}
\|F\wx\cd\|_{L_1(\Ds)}=\delta,\quad\|\wx^{(n)}\cd\|_{\lt}=1.
\end{equation}
Остается применить теорему~\ref{T7}.

Пусть теперь $k=0$. Если $\sigma=\infty$, то в силу равенства
$$x(0)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}Fx(t)\,dt,$$
рассмотрев любую функцию $\wx\cd$, удовлетворяющую условиям $\|F\wx\cd\|_{
\lu}=\delta$, $\|\wx^{(n)}\cd\|_{\lt}=1$, и применив теорему~\ref{T7},
получаем утверждение теоремы для $k=0$ и $\sigma=\infty$.

Случай $k=0$, $\sigma<\infty$ требует отдельного рассмотрения. Для
достаточно малых $\varepsilon>0$ определим функцию $\wx_\varepsilon\cd\in X
_1^n$ так, чтобы
$$F\wx_\varepsilon(t)=\begin{cases}0,&|t|\le\varepsilon,\\[10pt]
\dfrac{c_1}{t^{2n}},&\varepsilon<|t|<\sigma,\\[10pt]
\dfrac{c_2}{t^{2n}},&|t|\ge\sigma.\end{cases}$$
Положив
\begin{align*}
c_1&=\frac{(2n-1)\delta}2\left(\frac1{\varepsilon^{2n-1}}-\frac1{\sigma^{2n-
1}}\right)^{-1},\\
c_2&=\sqrt{2n-1}\sigma^{n-1/2}\left(\pi-\frac{(2n-1)\delta^2}4\left(\frac1{
\varepsilon^{2n-1}}-\frac1{\sigma^{2n-1}}\right)^{-1}\right)^{1/2},
\end{align*}
нетрудно убедиться, что для функции $\wx_\varepsilon\cd$ выполнены условия
\eqref{FF}. Аналогично тому, как это было сделано в доказательстве
теоремы~\ref{T7}, можно показать, что
\begin{multline*}
E_1(n,0,\sigma,\delta)\ge|\wx_\varepsilon(0)|=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}F
\wx_\varepsilon(t)\,dt\\
=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}F\wx_\varepsilon(t)\,dt+\frac1\pi\int_{\sigma
}^\infty\frac{c_2}{t^{2n}}\,dt=\frac\delta{2\pi}+\frac{c_2}{\sigma^{2n-1}
\pi(2n-1)}.
\end{multline*}
Устремляя $\varepsilon$ к нулю, получаем оценку
$$E_1(n,0,\sigma,\delta)\ge\frac\delta{2\pi}+\frac1{\sigma^{n-1/2}\sqrt{\pi
(2n-1)}}.$$
С другой стороны, для метода, определенного равенством \eqref{ek}, имеем
\begin{multline*}
E_1(n,0,\sigma,\delta)\le\sup_{\substack{x\cd\in C_1^n,\ y\cd\in L_1(\Ds)\\
\|Fx\cd-y\cd\|_{L_1(\Ds)}\le\delta}}\left|x(0)-\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma
}y(t)\,dt\right|\\
\le\sup_{x\cd\in C_1^n}\left|x(0)-\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}Fx(t)\,dt
\right|+\frac\delta{2\pi}\\
=\frac\delta{2\pi}+\sup_{x\cd\in C_1^n}\frac1\pi\int_\sigma^\infty|Fx(t)|\,
dt\le\frac\delta{2\pi}+\frac1\pi\sqrt{\int_\sigma^\infty t^{2n}|Fx(t)|^2\,d
t}\sqrt{\int_\sigma^\infty\frac{dt}{t^{2n}}}\\
\le\frac\delta{2\pi}+\frac1{\sigma^{n-1/2}\sqrt{\pi(2n-1)}}.
\end{multline*}
\end{proof}

Доказательство теоремы~\ref{Tp2} проводится по той же схеме, что и
теорем~\ref{T2} и \ref{T11}, используя тождество
$$x^{(k)}(0)=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}\frac{(it)^k}{1+(h_\delta t)^{2n}
}Fx(t)\,dt+\lambda\int_{\mathbb R}x^{(n)}(t)\ov{\wx^{(n)}(t)}\,dt,$$
в котором
$$\lambda=\dfrac{h_\delta^{2n-k-1/2}}\delta\left(2\int_0^{\sigma h_\delta}x
^{2k}(1+x^{2n})^{-2}\,dx\right)^{1/2},$$
а функция $\wx\cd\in X_2^n$ такова, что
$$F\wx(t)=\begin{cases}\dfrac{h_\delta^{2n}}\delta\dfrac{(it)^k}{1+(h_\delta t)^{2
n}},&|t|<\sigma,\\[10pt]
\dfrac{(-i)^k}\lambda t^{k-2n},&|t|\ge\sigma.\end{cases}$$


\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{TS1}$]
Обозначим через $N(\delta)$ норму линейного функционала \eqref{m1} (как
функционала на $\Ld$). Имеем
$$N(\delta)=\frac1\pi\left(\frac{\sigma_0^{k+1}}{k+1}-\delta\lambda\frac{
\sigma_0^{2n+1}}{2n+1}\right),$$
где
\begin{align*}
\sigma_0&=\begin{cases}\sigma,&0<\delta\le\delta_0,\\[10pt]
\left(\dfrac{\pi(2n+1)(2n-2k-1)}{2\delta^2(2n-k)}\right)^{\frac1{2n+1}},&
\delta>\delta_0,\end{cases}\\[10pt]
\delta_0&=\sigma^{-n-1/2}\sqrt{\frac{\pi(2n+1)(2n-2k-1)}{2(2n-k)}}.
\end{align*}

Тем самым, учитывая \eqref{lam}, при $0<\delta\le\delta_0$
$$N(\delta)=\frac{\sigma^{k+1}}\pi\left(\frac1{k+1}-\frac{\delta\left(
\dfrac\pi{\sigma^{2n+1}}-\dfrac{\delta^2}{2n+1}\right)^{-1/2}}{(2n+1)\sqrt{
2n-2k-1}}\right).$$
Нетрудно убедиться, что при $0<\delta\le\delta_0$ функция $N(\delta)$
монотонно убывает от $N_2$ до $N_1$, где
$$N_2=\frac{\sigma^{k+1}}{\pi(k+1)},\quad N_1=\frac{\sigma^{k+1}(2n-k)}{\pi
(k+1)(2n+1)}.$$
Следовательно, при $N_1\le N<N_2$ уравнение $N(\delta)=N$ имеет
единственное решение
$$\delta_N=\sigma^{-n-1/2}\sqrt{\frac{\pi(2n+1)(2n-2k-1)}{(2n+1)\gamma^{-2}
(\sigma,N)+2n-2k-1}}.$$
При этом, учитывая, что при $N_1\le N<N_2$ \ $\sigma_N=\sigma$, из
теоремы~\ref{T7} вытекает, что экстремальный функционал будет иметь вид
\eqref{M}.

Если $\delta\ge\delta_0$, то
$$N(\delta)=\left(\frac{\pi(2n+1)(2n-2k-1)}{2\delta^2(2n-k)}\right)^{\frac{
k+1}{2n+1}}\frac{2n-k}{\pi(k+1)(2n+1)}.$$
При $\delta\ge\delta_0$ функция $N(\delta)$ монотонно убывает от $N_1$ до $
0$. Отсюда при всех $0<N\le N_1$ существует единственное решение уравнения
$N(\delta)=N$, выражаемое равенством
$$\delta_N=\sqrt{n-k-1/2}\left(\frac{2n-k}{\pi(2n+1)}\right)^{\frac{2n-k}{2
k+2}}\left(\frac1{(k+1)N}\right)^{\frac{2n+1}{2k+2}}.$$
При $0<N\le N_1$ \ $\sigma_N=\ws_N$ и экстремальный функционал имеет снова
вид \eqref{M}. Выражение для $e_\infty(n,k,\sigma,N)$ при $0<N<N_2$
получается в соответствии с теоремой~\ref{T7} подстановкой в \eqref{lam} $
\delta=\delta_N$.

Пусть теперь $N\ge N_2$. Тогда из \eqref{SAr} следует, что при всех $\delta
>0$
$$e_\infty(n,k,\sigma,N)\ge E_\infty(n,k,\sigma,\delta)-\delta N.$$
Устремляя $\delta$ к нулю, получаем
$$e_\infty(n,k,\sigma,N)\ge\frac1{\sigma^{n-k-1/2}\sqrt{\pi(2n-2k-1)}}.$$
Непосредственная оценка функционала \eqref{M}, который при $N\ge N_2$
принимает вид
\begin{equation}\label{os}
\la\wy^*,Fx\cd\ra=\frac1{2\pi}\int_{|t|<\sigma}(it)^kFx(t)\,dt
\end{equation}
(норма его равна $N_2$), дает
\begin{multline}\label{os3}
|x^{(k)}(0)-\la\wy^*,Fx\cd\ra\le\frac1{2\pi}\int_{|t|\ge\sigma}|t|^k|Fx(t)|
\,dt\\
=\frac1{2\pi}\int_{|t|\ge\sigma}|t|^n|Fx(t)||t|^{k-n}\,dt\\
\le\frac1{2\pi}\sqrt{\int_{|t|\ge\sigma}|t|^{2n}|Fx(t)|^2\,dt}\sqrt{\int_{|
t|\ge\sigma}|t|^{2k-2n}\,dt}\\
\le\frac1{\sigma^{n-k-1/2}\sqrt{\pi(2n-2k-1)}}.
\end{multline}
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы~$\ref{T6}$]
Пусть $k>0$, $0<\sigma<\infty$, $\varepsilon\in(1,+\infty)$, а $\delta$
определено равенством \eqref{eps}. Обозначим через $N(\varepsilon)$ норму
линейного функционала \eqref{os1} (как функционала на $L_1(\Ds)$). Имеем
$$N(\varepsilon)=\frac{\sigma^k}{2\pi\varepsilon^k}.$$
Поэтому при $0<N<\sigma^k/(2\pi)$, учитывая тождество \eqref{eq2},
утверждение теоремы непосредственно следует из теоремы~\ref{T7}. Если $N\ge
\sigma^k/(2\pi)$, то из \eqref{SAr} следует, что при всех $\delta
>0$
$$e_1(n,k,\sigma,N)\ge E_1(n,k,\sigma,\delta)-\delta N.$$
Устремляя $\varepsilon$ к единице (при этом $\delta\to0$), получаем
$$e_1(n,k,\sigma,N)\ge\frac1{\sigma^{n-k-1/2}\sqrt{\pi(2n-2k-1)}}.$$
При $N\ge\sigma^k/(2\pi)$ функционал \eqref{os2} принимает вид \eqref{os}.
Учитывая оценку \eqref{os3}, имеем
$$e_1(n,k,\sigma,N)\le\frac1{\sigma^{n-k-1/2}\sqrt{\pi(2n-2k-1)}}.$$

При $k>0$ и $\sigma=\infty$ норма линейного функционала \eqref{os1} равна
$$N(\delta)=\frac1{2\pi}\left(\frac{2\pi(2n-2k-1)}{\delta^2(2n-1)(2n-k-1)}
\right)^{\frac k{2n-1}}.$$
Поэтому при всех $N>0$ найдется $\delta_N$, для которого $N(\delta_N)=N$, и
с учетом тождества \eqref{eq2} утверждение теоремы вытекает из теоремы~\ref
{T7}.

Пусть теперь $k=0$. Тогда при всех $\delta>0$
$$e_1(n,0,\sigma,N)\ge E_1(n,0,\sigma,\delta)-\delta N=\left(\frac1{2\pi}-N
\right)\delta+\frac1{\sigma^{n-1/2}\sqrt{\pi(2n-1)}}.$$
Устремляя $\delta$ к бесконечности, получаем
$$e_1(n,0,\sigma,N)=\infty.$$
Если $N\ge1/(2\pi)$, то устремляя $\delta$ к нулю из того же неравенства
будем иметь
$$e_1(n,0,\sigma,N)\ge\frac1{\sigma^{n-1/2}\sqrt{\pi(2n-1)}}.$$
Обратное неравенство следует из \eqref{os3} при $k=0$.
\end{proof}

Доказательство теоремы~\ref{TS2} проводится по той же схеме, которая
использовалась в доказательствах теорем~\ref{TS1} и \ref{T6}.

\begin{thebibliography}{11}

\bibitem{Sm}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и
функционалов от них. Канд. дисс. М.: МГУ, 1965.

\bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal
recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli
and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977.

\bibitem{TW}{\it Traub J.~F., Wo\'zniakowski H.} A General Theory of
Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980.

\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal
Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin:
Springer--Verlag, 1985.

\bibitem{Ar} {\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и
родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20.

\bibitem{MO1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном
восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991.
Т.~50. \No6. С.~85--93.

\bibitem{Os1} {\it Osipenko K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions,
Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000.

\bibitem{M} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с
погрешностью // Матем. сб. 2002. Т.~193. С.~79--100.

\bibitem{M1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное
восстановление функций и их производных по приближенной информации о
спектре и неравенства для производных // Функ. анализ и его прил. 2003.
T.~37. С.~51--64.

\bibitem{Ar1} {\it Арестов~В.~В.} Приближение неограниченных операторов
ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи матем. наук.
1996. Т.~51. С.~89--124.

\bibitem{Os} {\it Osipenko~K.~Yu.} Optimal recovery of periodic functions
from Fourier coefficients given with an error // J. Complexity. 1996.
V.~12. P.~35--46.

\bibitem{Ta} {\it Тайков~Л.~В.} Неравенства типа Колмогорова и наилучшие
формулы численного дифференцирования // Мат. заметки. 1968. Т.~4. \No2.
С.~233--238.

\bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} О неравенствах для
производных колмогоровского типа // Матем. сб. 1997. Т.~188. С.~73--106.

\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и
его приложения. Эдиториал УРСС, М., 2003 (2-ое изд.).

\bibitem{MOT} {\it Magaril-Il'yaev~G.~G., Osipenko~K.~Yu.,
Tikhomirov~V.~M.} Optimal recovery and extremum theory // Comput. Methods
Funct. Theory. 2002. V.~2. P.~87--112.

\end{thebibliography}
\end{document}