\documentclass[draft]{article}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}

\textwidth=160mm\textheight=220mm
\pagestyle{empty}
\hoffset=-18mm

\def\bbbc{{\mathchoice {\setbox0=\hbox{$\displaystyle\rm C$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\textstyle\rm C$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\scriptstyle\rm C$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\scriptscriptstyle\rm C$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}}}

\def\bbbt{{\mathchoice {\setbox0=\hbox{$\displaystyle\rm
T$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.3\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\textstyle\rm T$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.3\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\scriptstyle\rm T$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.3\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}
{\setbox0=\hbox{$\scriptscriptstyle\rm T$}\hbox{\hbox
to0pt{\kern0.3\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}}}

\renewcommand{\Im}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\infp}{\mathop{\rm inf\vphantom p}}
\newcommand{\ctn}{\mathop{\rm ctn}\nolimits}
\newcommand{\sn}{\mathop{\rm sn}\nolimits}
\newcommand{\cn}{\mathop{\rm cn}\nolimits}
\newcommand{\dn}{\mathop{\rm dn}\nolimits}

\newenvironment{thm}{\trivlist\item[\hspace{\labelsep}\bf Теорема.]\it}
{\endtrivlist}

\begin{document}
\title{МЕТОД ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ\thanks
{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (гранты 99-01-01181 и 00--15--96109)}}
\vskip 9mm
\author{К.Ю. Осипенко (г. Москва)}
\date{}
\maketitle

Изучается задача построения оптимальных методов восстановления линейных
функционалов. Предложен метод, основанный на параметризации экстремальной
функции двойственной задачи, с помощью которого удается построить ряд новых
оптимальных методов в пространствах Харди--Соболева. В частности, решена
задача о построении оптимального метода восстановления функции из
пространства Харди--Соболева, использующего информацию о значениях
коэффициентов Фурье.

Приведем один из полученных результатов. Обозначим через $H_{\infty,\beta}$
множество $2\pi$-пе\-ри\-о\-ди\-чес\-ких функций, аналитически продолжаемых
в полосу $S_\beta:=\{z\in\bbbc:|\Im z|<\beta\}$, удовлетворяющих в ней
условию $|f(z)|<1$. Положим
$$If=(a_0(f),a_1(f),b_1(f),\ldots,a_{n-1}(f),b_{n-1}(f)),$$
где $a_j(f)$, $b_j(f)$ --- коэффициенты Фурье функции $f$. Метод $S_0$
назовем оптимальным методом восстановления значения $f(\xi)$, $\xi\in\bbbt:
=[0,2\pi)$, если
$$\infp_{S\colon\bbbc^n\to\bbbc}\sup_{f\in H_{\infty,\beta}}|f(\xi)-S(If)|=
\sup_{f\in H_{\infty,\beta}}|f(\xi)-S_0(If)|.$$

Обозначим через $K$ и $K'$ --- полные эллиптические интегралы первого рода
для модулей $k$ и $k':=\sqrt{1-k^2}$, соответственно, где $k$ выбрано из
условия $K'/K=2\beta/\pi$. Положим
$$\ctn(z,k):=\frac{\cn(z,k)\dn(z,k)}{\sn(z,k)},\quad\sigma(z):=\sn\left(
\frac{2n\Lambda}\pi z,\lambda\right)\ctn\left(\frac K\pi z,k\right),$$
где $\Lambda$ --- полный эллиптический интеграл первого рода для модуля $
\lambda$, определяемого условием $\Lambda/\Lambda'=2nK'/K$, а $\sn(z,k)$, $
\cn(z,k)$, $\dn(z,k)$ --- эллиптические функции Якоби.

\begin{thm}
При всех $\xi\in\bbbt$ метод
$$f(\xi)\approx d_0\frac{a_0(f)}2+\sum_{j=1}^{n-1}d_j(a_j(f)\cos j\xi+b_j(f
)\sin j\xi),$$
где
$$d_j=\frac2{na_j(\sigma)}\sum_{m=1}^n(-1)^{m+1}\ctn\frac{2m-1}{2n}K\cos j
\frac{2m-1}{2n}\pi,\quad j=0,\ldots,n-1,$$
является оптимальным на классе $H_{\infty,\beta}$.
\end{thm}


\end{document}