\documentclass[12pt,draft,reqno]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} %\usepackage{srctex} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 1550 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\Ds}{\Delta_\sigma} \newcommand*{\lT}{L_2(\mathbb T)} \newcommand*{\wa}{\widetilde a} \newcommand*{\wb}{\widetilde b} %\newcommand*{\wx}{\widetilde x} \newcommand*{\wm}{\widehat m} \newcommand*{\wN}{\widehat N_\delta} \newcommand*{\Wt}{W_2^1([0,l])} \newcommand*{\WWt}{\mathcal W_2^1(\mathbb T)} \newcommand*{\LL}{\mathcal L} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\wx}{\widehat x} %\newcommand*{\wnu}{\widehat\nu} \newcommand*{\WK}{\mathcal K([-\pi,\pi])} \newcommand*{\ty}{\widetilde y} \newcommand*{\ta}{\alpha'} \newcommand*{\tb}{\widetilde \beta} \newcommand*{\tx}{x'} \newcommand*{\tu}{u'} \newcommand*{\tv}{ v'} \newcommand*{\thc}{\xi'} \newcommand*{\wha}{\widehat \alpha} \newcommand*{\whb}{\widehat b} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\wu}{\widehat u} %\newcommand*{\wmu}{\widehat {\mathcal U}} \newcommand*{\whu}{\widetilde{\overline u}} \newcommand*{\wou}{\widehat{\overline u}} \newcommand*{\woa}{\widehat{\overline \alpha}} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\ws}{\widehat \sigma} \newcommand*{\wt}{\widehat\tau} \newcommand*{\wy}{\widehat y} \newcommand*{\wc}{\widehat \xi} \newcommand*{\wo}{\mathcal O} \newcommand*{\ww}{\widehat w} \newcommand*{\wF}{\widehat F} \newcommand*{\wf}{\widehat \Phi} \newcommand*{\wtx}{\widetilde x} \newcommand*{\wtc}{\widetilde \xi} \newcommand*{\wtv}{\widetilde v} \newcommand*{\id}{\int_{\mathbb R}} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\card}{card} \renewcommand*{\contentsname}{Содержание} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem*{theorem}{Теорема} \newtheorem*{corollary}{Следствие} \newtheorem*{proposition}{Предложение} \newtheorem*{definition}{Определение} %\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} %\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}} \begin{document} \title[Восстановление температуры трубы]{Оптимальное восстановление температуры трубы по неточным измерениям} \author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, Е.~О.~Сивкова} %\address{Институт проблем управления имени В.~А.~Трапезникова РАН} \address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова} \address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН} %\address{Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН} \begin{abstract} В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности на многообразии, представляющим собой произведение прямой и окружности, в данный момент времени по неточным измерениям этого решения в другие моменты времени. Построено семейство оптимальных методов восстановления. \end{abstract} \maketitle \section*{Введение} Работа посвящена задаче наилучшего восстановления решения уравнения теплопроводности на многообразии $\mathbb R\times\mathbb T$ ($\mathbb T$ --- единичная окружность) в данный момент времени по приближенным измерениям этого решения в другие моменты времени. Многообразие $\mathbb R\times\mathbb T$ моделирует трубу, и в этом смысле задача состоит в том, чтобы наилучшим образом восстановить температуру трубы в момент времени $\tau$ по приближенным ее измерениям в моменты $t_i$, $i=1,\ldots,n$. В работе найдено семейство линейных оптимальных методов восстановления температуры трубы, и при этом каждый метод использует не более двух измерений. Следует сказать, что результаты работы переносятся на случай многообразий вида $\mathbb R^n\times\mathbb T^m$. Но чтобы не загромождать изложение, мы ограничились случаем, когда $n=m=1$. Статья примыкает к кругу проблем, связанных с задачами оптимального восстановления значений линейных операторов на классах множеств, элементы которых известны приближенно. Сама тематика возникла в 60-е годы, и начало ее было положено в работах\cite{S}--\cite{MM}. Впоследствии основное внимание уделялось задачам восстановления функций и их производных по неточно заданному спектру и задачам оптимального восстановления решений уравнений математической физики (см., например, \cite{MO1}--\cite{MS1}). Настоящая работа относится ко второму циклу задач. \section*{Постановка задачи и формулировка основного результата} Распространение тепла на многообразии $M=\mathbb R\times\mathbb T$ описывается уравнением теплопроводности \begin{equation}\label{1} \frac{\partial u(x,y,t)}{\partial t}=\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2}\,, \end{equation} где $x\in\mathbb R$, $y\in\mathbb T$ и $t\ge0$, с начальной функцией $f\cd$ переменных $(x,y)$. Мы предполагаем, что $f\cd$ принадлежит $L_2(M)$. В этом случае для каждого $t>0$ существует единственное решение $u(\cdot,t)$ уравнения \eqref{1}, принадлежащее $L_2(M)$ и сходящееся к $f\cd$ в метрике $L_2(M)$ при $t\to0$. Ставится следующая задача. Пусть в моменты времени $0\le t_1<\ldots 0$, $i=1,\ldots,n$, такие, что $$ \|u(\cdot,t_i)-g_i\cd\|_{L_2(M)}\le\delta_i,\quad i=1,\ldots,n. $$ Под задачей оптимального восстановления функции $u(\cdot,\tau)$ по данной информации понимается следующее. Всякий метод восстановления является отображением $\varphi\colon(L_2(M))^n\to L_2(M)$. Погрешностью метода $\varphi$ называется величина $$ e_\tau(\ov g\cd,\ov\delta,\varphi)=\sup_{\substack{f\cd\in L_2(M),\ g_i\cd\in L_2(M),\ i=1,\ldots,n\\\|u(\cdot,\,t_i\!)-g_i\cd\|_{L_2(M)}\le\delta_i,\ i=1,\ldots,n}}\|u(\cdot,\tau)-\varphi(\ov g\cd)\|_{L_2(M)}, $$ где $\ov g=(g_1\cd,\ldots,g_n\cd)$ и $\ov\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$. %Эта величина есть наибольшее Нас интересует величина $$ E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=\inf_{\varphi}e_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta,\varphi), $$ где нижняя грань берется по всем отображениям $\varphi\colon(L_2(M))^n\to L_2(M)$, которая называется {\it погрешностью оптимального восстановления} и методы $\widehat \varphi$, на которых нижняя грань достигается, называемые {\it оптимальными методами восстановления}, т.~е. такие методы, что $$ E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=e_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta, \widehat\varphi). $$ Аналогичная задача на прямой была рассмотрена в работе \cite{MOr}, и общая схема доказательства во многом похожа на используемую здесь. Однако наличие периодической составляющей существенно меняет отдельные этапы рассуждений. Для формулировки теоремы понадобятся некоторые определения. Напомним, что преобразование Фурье $F$ в $L_2(M)$ переводит функции из $L_2(M)$ в функции из $L_2(\widehat M\,)$, где $\widehat M=\mathbb R\times\mathbb Z$, и является изометрическим изоморфизмом этих пространств. Квадрат нормы функции $a\cd\in L_2(\widehat M\,)$ определяется по формуле \begin{equation*} \frac1{(2\pi)^2}\int_{\widehat M}|a(\xi,k)|^2\,d\xi dk=\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}|a(\xi,k)|^2\,d\xi. \end{equation*} Если $g\cd\in L_2(M)$, то $F[g]\cd$ обозначает преобразование Фурье функции $g\cd$. Далее, на двумерной плоскости $(t,x)$ рассмотрим выпуклое множество $$ A={\rm conv}\,\{\,(t_i,\ln(1/\delta_i)),\,\,1\le i\le n\,\}+\{\,(t,0) :\,\,t\ge0\,\}, $$ которое представляет собой алгебраическую сумму выпуклой оболочки конечного числа точек $(t_i,\ln(1/\delta_i))$, $i=1,\ldots,n$, и положительной полупрямой. Определим функцию $\theta\cd$ на $[0,\infty)$ равенством: $\theta(t)= \max\{\,x : (t,x)\in A\,\}$, причем $\theta(t)=-\infty$, если $(t,x)\notin A$ ни для какого $x$. Ясно, что $\theta\cd$ --- вогнутая неубывающая ломаная на $[t_1,\infty)$. Обозначим через $t_{s_1}<\ldots1$, то на $[t_{s_1},t_{s_k}]$ функция $\theta\cd$ возрастает, а на $[t_{s_k},\infty)$ --- она константа, равная $\ln(1/\delta_{s_k})$. Если $\tau\in(t_{s_i}, t_{s_{i+1}})$, $1\le i\le k-1$, то положим $$ \wl_{s_i}=\wl_{s_i}(\tau)=\frac{t_{s_{i+1}}-\tau}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}\left(\frac {\delta_{s_i}}{\delta_{s_{i+1}}}\right)^{ \frac{-2 (\tau-t_{s_i})}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}, $$ $$\wl_{s_{i+1}}=\wl_{s_{i+1}}(\tau)=\frac{\tau-t_{s_i}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}\left(\frac {\delta_{s_i}}{\delta_{s_{i+1}}}\right)^{ \frac{ 2 (t_{s_{i+1}}-\tau)}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}. $$ Легко видеть, что это положительные числа, причем $\wl_{s_i}<1$. Для данного $\tau$ определим еще положительное число $$ r_i=r_i(\tau)=-\frac{\ln\wl_{s_i}}{\tau-y_{s_i}} $$ и обозначим $B(r_i)=\{\,(\xi,k)\in \mathbb R\times \mathbb Z : \xi^2+k^2\le r_i\,\}$. \begin{theorem}\label{T1} Для любого $\tau>0$ справедливо равенство $$ E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta\,)=e^{-\theta(\tau)}. $$ Если $\tau\in(t_{s_i}, t_{s_{i+1}})$, $1\le i\le k-1$, то множество функций $a\cd$ на $\mathbb R\times \mathbb Z$, измеримых для каждого $k\in\mathbb Z$, и таких, что \begin{equation}\label{lgl} \frac{|b(\xi,k)|^2}{\wl_{s_i}} +\frac{|a(\xi,k)|^2}{\wl_{s_{i+1}}}\le1, \end{equation} где $b(\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)(\tau-y_{s_i})}-a(\xi,k)e^{-(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}$, если $(\xi,k)\in B(r_i)$ и равных нулю вне $B(r_i)$, не пусто. Для каждой такой функции $a\cd$ метод $\widehat\varphi_a$, определенный формулой \begin{equation}\label{met} \widehat\varphi_a(g_1\cd,\ldots,g_n\cd)=(K_{b}*g_{s_i})\cd+(K_{a}*g_{s_{i+1}})\cd, \end{equation} где $F[K_{b}](\xi,k)=b(\xi,k)$ и $F[K_{a}](\xi,k)=a(\xi,k)$, является оптимальным. Если $\tau>t_{s_k}$, то метод $\widehat\varphi$, определенный формулой $\widehat\varphi(g_1\cd,\ldots,\\g_n\cd)=(K*g_{s_k})\cd$, где $F[K](\xi)=e^{-(\xi^2+k^2)t_{s_k}}$, оптимален. \end{theorem} Заметим, что определение оптимальных методов корректно. Действительно, функция $a\cd$ ограничена (как следует из \eqref{lgl}) и обращается в ноль за пределами некоторого шара. Следовательно, она принадлежит $L_2(\widehat M)$ и значит, является образом некоторой функции $K_a\in L_2(M)$. Аналогично получаем, что $K_{b}\in L_2(M)$ и поэтому свертка имеет смысл. Отметим, что если $t_1>0$ и $0<\tau0$, а затем покажем, что погрешность любого из методов \eqref{met} не превосходит этой оценки. Отсюда, очевидно, будет следовать, что данные методы оптимальны. Потом установим, что множество таких методов не пусто. Как уже отмечалось, для каждого $t>0$ решение уравнения \eqref{1} однозначно определяется начальной функцией $f\cd$, поэтому далее удобно писать $u(\cdot,t,f)$ вместо $u(\cdot,t)$. \subsection*{Оценка снизу $E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)$} Для погрешности оптимального восстановления справедлива следующая оценка \begin{equation}\label{mest} E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)\ge\sup_{\substack{f\cd \in L_2(M),\\ \|u(\cdot,\,t_i,f)\|_{L_2(M)} \le \delta_i, \, i=1,\ldots,n} } \|u(\cdot,\tau,f)\|_{L_2(M)}. \end{equation} Это общий факт, верный в значительно более общей ситуации, чем рассматривается здесь. Доказательство его не приводим (см., например, \cite{MOr}). Нас интересует точное значение величины справа в \eqref{mest}. Оно есть значение следующей экстремальной задачи \begin{multline}\label{Z1} \| u(\cdot,\tau,f)\|_{L_2(M)}\to \max, \quad \|u(\cdot,t_i,f)\|_{L_2(M)} \le \delta_i, \quad i=1,\ldots,n, \\ f\cd\in L_2(M), \end{multline} т.~е. верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях. Если искать решение уравнения \eqref{1} методом Фурье (см., например, \cite{KF}), то нетрудно проверить, что \begin{equation*} F[u(\cdot,t,f)](\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)t}F[f](\xi,k) \end{equation*} для любого $t>0$, п.~в. $\xi\in\mathbb R$ и всех $k\in\mathbb Z$. Тогда согласно теореме Планшереля \begin{equation*} \int_{M}|u(x,y,t,f)|^2\,dx dy=\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}e^{-2(\xi^2+k^2)t}|F[f](\xi,k)|^2\,d\xi. \end{equation*} Отсюда следует, что в образах Фурье квадрат значения задачи \eqref{Z1} равен значению такой задачи: \begin{multline}\label{Z2} \frac{1}{(2\pi)^2} \sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}|F[f](\xi,k)|^2\, d\xi \to \max, \\ \frac{1}{(2\pi)^2} \sum_{k\in\mathbb Z} \int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}|F[f](\xi,k)|^2\,d\xi \le \delta_i^2, \quad i=1,\ldots,n,\\ f\cd\in L_2(M). \end{multline} При каждом $k\in\mathbb Z$ интегралы можно рассматривать как интегрирование по положительным мерам $d\mu_k(\xi)=(2\pi)^{-2}|F[f](\xi,k)|^2 d\xi$ на $\mathbb R$, порожденным функциями $f\cd\in L_2(M)$. Для нахождения значения данной задачи удобно рассмотреть более общую постановку, а именно, задачу на множестве всех положительных борелевских мер на $\mathbb R$: \begin{multline}\label{Z3} \sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}\,d\mu_k(\xi) \to \max,\\ \sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}\, d\mu_k(\xi) \le \delta_i^2, \quad i=1,\ldots,n, \quad d\mu_k \ge 0,\,\, \,k\in\mathbb Z. \end{multline} Мы найдем значение этой задачи, которое, очевидно, не меньше значения задачи \eqref{Z2}, а потом покажем, что, на самом деле, значения этих задач совпадают. Задача \eqref{Z3} относительно переменной $\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ представляет собой задачу максимизации линейного функционала на выпуклом множестве. Для нахождения ее решения воспользуемся стандартными приемами. Сопоставим этой задаче следующую функцию Лагранжа \begin{multline*} \mathcal{L}(\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \lambda)=-\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}\,d\mu_k(\xi)\\+ \sum_{i=1}^n\lambda_i\left(\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}\, d\mu_k(\xi)-\delta_i^2\right), \end{multline*} которая определена на всех наборах $\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$, где $d\mu_k$ --- борелевские меры на $\mathbb R$, принимающие значения в $\mathbb R$ и всех наборах $\lambda=(\lambda_1, \ \lambda_2, \ldots, \lambda_n)\in\mathbb R^n$, называемых множителями Лагранжа. Согласно достаточным условиям в теореме Каруша--Куна--Так\-кера (см., например, \cite{MT}), если существует допустимый в задаче \eqref{Z3} набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и набор множителей Лагранжа $\widehat{\lambda}=(\widehat{\lambda}_1, \ \widehat{\lambda}_2, \ldots, \widehat{\lambda}_n)$ такие, что выполняются условия \begin{enumerate} \item [$(a)$] $\min\limits _{\{d \mu_k\ge 0\}_{k\in\mathbb Z}} \mathcal{L} (\{d \mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)=\mathcal{L}(\{d \widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}, \,\widehat{\lambda}\,)$;\\[5pt] \item [$(b)$]$\widehat{\lambda}_i \ge 0, \ 1\le i\le n$;\\[5pt] \item [$(c)$]$\widehat{\lambda}_i \left(\sum\limits_{k\in\mathbb Z} \int_{\mathbb R} e^{-2(\xi^2+k^2)t_i}\, d\widehat{\mu}_k(\xi) - \delta_i^2\right)=0, \quad i=1,\ldots,n$, \end{enumerate} то $\{d \widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ --- решение задачи \eqref{Z3}. Анализируя условия $(a)$, $(b)$ и $(c)$, можно понять какие должны быть $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и $\widehat{\lambda}$. Но, не проводя здесь этого анализа, предъявим сразу допустимый набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и набор множителей Лагранжа $\widehat{\lambda}=(\widehat{\lambda}_1, \ \widehat{\lambda}_2, \ldots, \widehat{\lambda}_n)$, удовлетворяющих условиям $(a)$, $(b)$ и $(c)$. Пусть $\tau>0$ и $\tau\ne t_i$, $i=1,\ldots, n$. Тогда либо $\tau\in(t_{s_i},\, t_{s_{i+1}})$ для некоторого $1\le i\le k-1$, либо $\tau>t_{s_k}$, либо $\tau0$. Рассмотрим первый случай. Пусть $\tau\in(t_{s_i},\, t_{s_{i+1}})$, $1\le i\le k-1$. Определим вектор $\wl=(\wl_1,\ldots,\wl_n)$ так, что $\wl_{s_i}$ и $\wl_{s_{i+1}}$ --- положительные числа, определенные перед формулировкой теоремы и $\wl_j=0$, если $j\ne s_i,\,s_{i+1}$, Набор мер $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ определим следующим образом: $d\widehat\mu_k=0$, если $k\ne0$ и $d\widehat\mu_0=A\delta_{\xi_0}$, где $\delta_{\xi_0}$ --- мера Дирака в точке $\xi_0$ такой, что \begin{equation}\label{rr} \xi^2_0=\frac{\ln (1/\delta_{s_{i+1}})-\ln (1/\delta_{s_i})}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}\,, \end{equation} а \begin{equation}\label{rr1} A=\delta_{s_i}^{\frac{2 t_{s_{i+1}}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\,\delta_{s_{i+1}}^{-\frac{2 t_{s_i}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\,. \end{equation} Так как функция $\theta\cd$, определенная выше, возрастает на $[t_{s_1},t_{s_k}]$, то числитель в формуле \eqref{rr} положителен. Нетрудно убедиться, что с такими $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ и $\widehat{\lambda}$ выполнено условие $(c)$, которое в данном случае имеет вид \begin{equation}\label{DN} \int_{\mathbb R} e^{-2\xi^2t_{j}}\,d\widehat{\mu}_0(\xi)=Ae^{-2\xi_0^2t_{j}}=\delta_j^2, \quad j=s_i,\,s_{i+1}. \end{equation} Проверим, что набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ допустим в задаче \eqref{Z3}. Действительно, точки $(t_{i},\ln1/\delta_{i})$, $i=1,\ldots,n$ лежат не выше графика $\theta\cd$, а так как эта вогнутая функция, то ее график лежит не выше прямой $$p(t)=\frac{\ln 1/\delta_{s_{i+1} }-\ln 1/\delta_{s_{i}}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}(t-t_{s_i})+\ln\frac1{\delta_{s_i}} =\ln\delta_{s_i}^{-\frac{t_{s_{i+1} }-t}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\delta_{s_{i+1}}^{-\frac{t-t_{s_i}}{t_{s_{i+1 }}-t_{s_i}}}, $$ соединяющей точки $(t_{s_i},\ln1/\delta_{s_i})$ и $(t_{s_{i+1}},\ln1/\delta_{s_{i+1}})$. Тогда, учитывая выражения для $\xi_0^2$ и $A$, будем иметь \begin{multline*} \id e^{-2\xi^2t_i}\,d\wmu_0(\xi)=Ae^{-2\xi_0^2t_i}= \delta_{s_i}^{2\frac{t_{s_{i+1} }-t_i}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\delta_{s_{i+1}}^{2\frac{t_i-t_{s_i}}{t_{s_{i+1 }}-t_{s_i}}}=\\=e^{-2p(t_i)}\le e^{-2\ln\frac1{\delta_i}}=\delta_i^2,\quad i=1,\ldots,n, \end{multline*} т.~е. набор $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ допустим в задаче \eqref{Z3}. Осталось проверить условие $(a)$, т.~е. проверить, что \begin{multline}\label{L1} \mathcal{L}(\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)=\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}\bigl(-1+\wl_{s_i}e^{-2(\xi^2+k^2)(t_{s_i}-\tau)}\\ +\wl_{s_{i+1}}e^{-2(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-\tau)}\bigr)d\mu_k(\xi) -\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2\ge \mathcal{L}(\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)\\=\int_{\mathbb R}e^{-2\xi^2\tau} \bigl(-1+\wl_{s_i}e^{-2\xi^2(t_{s_i}-\tau)} +\wl_{s_{i+1}}e^{-2\xi^2(t_{s_{i+1}}-\tau)}\bigr)d\mu_0(\xi)\\ -\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2 \end{multline} для всех наборов положительных мер $\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$. Множители Лагранжа $\wl_{s_i}$ и $\wl_{s_{i+1}}$ выбраны так (и в этом нетрудно убедиться), что выпуклая функция $\omega\mapsto -1+\wl_{s_i}e^{-2\omega(t_{s_i}-\tau)} +\wl_{s_{i+1}}e^{-2\omega(t_{s_{i+1}}-\tau)}$ на прямой обращается в ноль вместе со своей производной в точке $\omega_0=\xi_0^2$. Это означает, что данная функция всюду неотрицательна и тем самым $\mathcal{L}(\{d\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)\ge-\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2$. Так как $d\mu_0$ --- мера Дирака в точке $\xi_0$, то интеграл справа в \eqref{L1} равен нулю и значит, $\mathcal{L}(\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)=-\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2-\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2$. Этим доказано условие $(a)$. Итак, $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ --- решение задачи \eqref{Z3}. Подставляя $\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z}$ в максимизируемый функционал, получаем значение этой задачи $$ \id e^{-2\xi^2\tau}\,d\wmu_0(\xi)\!=\!Ae^{-2\xi_0^2\tau}= \delta_{s_i}^{2\frac{t_{s_{i+1} }-\tau}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}\delta_{s_{i+1}}^{2\frac{\tau-t_{s_i}}{t_{s_{i+1 }}-t_{s_i}}}\!=e^{-2p(\tau)}\!=e^{-2\theta(\tau)}. $$ С другой стороны, ясно, что величина $\mathcal{L}(\{d\widehat\mu_k\}_{k\in\mathbb Z},\, \widehat\lambda\,)$ (в силу условия $(c)$) равна $-\id e^{-2\xi^2\tau}\,d\wmu_0(\xi)$ и поэтому \begin{equation}\label{00} \id e^{-2\xi^2\tau}\,d\wmu_0(\xi)=e^{-2\theta(\tau)}=\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2. \end{equation} Рассмотрим теперь последовательность функций $\varphi_m\cd\in L_2(M)$, $m\in\mathbb N$, преобразование Фурье которых имеет вид $$ F[\varphi_m](\xi,k)\!=\! \begin{cases} \sqrt{2\pi m}\,\delta_{s_i}^{\frac{t_{s_{i+1}}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}} \delta_{s_{i+1}}^{\frac{-t_{s_i}}{t_{s_{i+1}}-t_{s_i}}}, \,\, &\xi\in[\xi_0,\xi_0+1/m],\,\, k=0; \\[4pt] 0, \quad & \mbox{в противном случае}. \end{cases} $$ Непосредственный подсчет показывает, что эти функции допустимы в задаче \eqref{Z2}, а максимизируемый функционал на них сходится к $e^{-2\theta(\tau)}$ при $m\to\infty$. Итак, значения задач \eqref{Z2} и \eqref{Z3} совпадают. Тогда из формулы \eqref{00} и оценки \eqref{mest} получаем, что \begin{equation}\label{bl} E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)\ge e^{-\theta(\tau)}=\sqrt{\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2}\,. \end{equation} \subsection*{Оценка сверху $E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)$ и оптимальные методы} Пусть $\widehat\varphi_a$ --- метод вида \eqref{met}. Оценим его погрешность, которая, по определению, есть значение следующей задачи \begin {multline}\label{gs} \|u(\cdot,\tau,f)-(K_{b}*g_{s_i})\cd-(K_{a}*g_{s_{i+1}})\cd\|_{L_2(M)}\to\max, \\ \|u(\cdot, t_{s_j},f)-g_{s_j}\cd\|_{L_2(M)}\le \delta_{s_j},\quad z_{s_j}\cd\in L_2(M), \quad j=i,\,i+1, \\ f\cd\in L_2(M). \end {multline} По теореме Планшереля квадрат максимизируемого функционал в этой задаче равен такой величине \begin{multline}\label{gs1} \frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}|e^{-(\xi^2+k^2)\tau}F[f](\xi,k)-b(\xi,k)F[g_{s_i}](\xi,k)\\ -a(\xi,k)F[g_{s_{i+1}}](\xi,k)|^2\,d\xi\\ =\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}|b(\xi,k)z_{i}(\xi,k)+ a(\xi,k)z_{i+1}(\xi,k)|^2, \end{multline} где $z_{{j}}(\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)t_{s_j}}F[f](\xi,k)-F[g_{s_j}](\xi,k),\,\,\, j=i,\,i+1$. Выражение под знаком интеграла справа в \eqref{gs1} оценим по неравенству Коши--Буняков\-ского ($\wl_{s_i}$ и $\wl_{s_{i+1}}$ --- множители Лагранжа, определенные выше). \begin{multline*} \biggl|\frac{b(\xi,k)}{\sqrt{\wl_{s_i}}}\sqrt{\wl_{s_i}}\,z_i(\xi,k)+ \frac{a(\xi,k)}{\sqrt{\wl_{s_{i+1}}}}\sqrt{\wl_{s_{i+1}}}\, z_{i+1}(\xi,k)\biggr|^2\\ \le\biggl(\frac{|b(\xi,k)|^2}{\wl_{s_i}}+\frac{|a(\xi,k)|^2}{\wl_{s_{i+1}}}\biggr) (\wl_{s_i}|z_{i}(\xi,k)|^2 +\wl_{s_{i+1}}|z_{{i+1}}(\xi,k)|^2). \end{multline*} Первый сомножитель справа не превосходит единицы для п.~в. $\xi\in\mathbb R$ и всех $k\in\mathbb Z$. Действительно, если $(\xi,k)\in B(r_i)$, то это верно по условию (см. \eqref{lgl}). Если $(\xi,k)\notin B(r_i)$, то, снова по условию, $a\cd=0$ и этот сомножитель равен $c(\xi,k)=e^{-(\xi^2+k^2)(\tau-t_{s_i})}/\wl_{s_i}$. Но то, что $(\xi,k)\notin B(r_i)$ равносильно, согласно определению $r_i$, неравенству $c(\xi,k)\le1$. Итак, получаем, что выражение справа в \eqref{gs1} не превосходит величины \begin{equation*} \wl_{s_i}\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}|z_{i}(\xi,k)|^2\,d\xi+\wl_{s_{i+1}}\frac1{(2\pi)^2}\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{\mathbb R}|z_{i+1}(\xi,k)|^2\,d\xi. \end{equation*} Функция $z_{j}\cd$ есть преобразование Фурье функции $u(\cdot, t_{s_j},f)-g_{s_j}\cd$, норма которой в $L_2(M)$ не превосходит $\delta_j$, $j=i, \ i+1$ согласно \eqref{gs}. Следовательно, по теореме Планшереля, норма последнего выражения не превосходит $\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2$. Таким образом, погрешность любого метода вида \eqref{met} не превосходит величины $\sqrt{\wl_{s_i}\delta_{s_i}^2+\wl_{s_{i+1}}\delta_{s_{i+1}}^2}$. Вместе с оценкой \eqref{bl} это означает, что все такие методы оптимальны и $E_{\tau}(\ov g\cd,\ov\delta)= e^{-\theta(\tau)}$. Нетрудно показать, выделяя полный квадрат, что неравенство \eqref{lgl} равносильно такому неравенству \begin{multline*} \left| a(\xi,k) - \frac {\wl_{s_{i+1}}e^{-(\xi^2+k^2)(\tau-t_{s_i})}}{\wl_{s_i}e^{(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}+ \wl_{s_{i+1}} e^{-(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}}\right|\\ \le \frac {\sqrt{ \wl_{s_i} \wl_{s_{i+1}}}\, e^{(\xi^2+k^2)t_{s_{i+1}}}}{\wl_{s_i}e^{(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}+ \wl_{s_{i+1}} e^{-(\xi^2+k^2)(t_{s_{i+1}}-t_{s_i})}} \sqrt{h(\xi,k)}\,, \end{multline*} где $h(\xi,k)=-e^{-2(\xi^2+k^2)\tau}+\wl_{s_i}e^{-2(\xi^2+k^2)t_{s_i}} +\wl_{s_{i+1}}e^{-2(\xi^2+k^2)t_{s_{i+1}}}$, и эта функция неотрицательна, как было установлено выше. Из полученного неравенства, очевидно, следует, что множество функций $a\cd$, удовлетворяющих условию теоремы, не пусто, и тем самым теорема доказана для случая, когда $\tau\in (t_1, t_{s_k})$. Ситуации $0<\tau t_{s_k}$ рассматриваются аналогично, но технически значительно проще, и поэтому останавливаться здесь на этом не будем. \begin{thebibliography}{11} \bibitem{S}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965. \bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977. \bibitem{MM} Melkman~A.~A., Micchelli~C.~A. ``Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data'', {\it SIAM J. Numer. Anal.}, {\bf16} (1979) 87--105. %\bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal %Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin: Springer--Verlag, %1985. %\bibitem{MT1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М.} О неравенствах %для производных колмогоровского типа // Матем. сб. 1997. Т.~187. №12. C~73--106. \bibitem{MO1} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил. 2003. Т.~37. С.~51--64. \bibitem{MO} G.\,G.~Magaril-Il’yaev, K.\,Yu.~Osipenko, V. M. Tikhomirov, \textit{On Optimal Recovery of Heat Equation Solutions}. In Approximation Theory: A Volume Dedicated to B.~Bojanov, Ed. by D.\,K.~Dimitrov, G.~Nikolov, and R.~Uluchev (Marin Drinov Acad. Publ. House, Sofia, (2004), 163–175. \bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил. 2010. Т.~44. C.~76–-79. \bibitem{MS} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Сивкова~Е.~О.} Наилучшее восстановление оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру // Матем. сб., 203:4 (2012), 119–130. \bibitem{B} {\it Балова~Е.~А.} Об оптимальном восстановлении решений задачи Дирихле по неточным исходным данным // Матем. заметки, 82:3 (2007), 323–334. \bibitem{MOr} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сб., 200:5 (2009), 37–54. \bibitem{A} {Абрамова~Е.~В.} Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным // Владикавк. матем. журн., 17:1 (2015), 3–13. \bibitem{MS1} {\it G.\,G.~Magaril-Il'yaev, E.\,O.~Sivkova.} Optimal recovery of the semi-group operators from inaccurate data // Eurasian Mathematical Journal, 10:4 (2019), 75-84. \bibitem{KF} {\it А.~Н.~Колмогоров, С.~В.~Фомин.} Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. \bibitem{MT} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров ~В.~М.} Выпуклый анализ и его приложения, изд. 5-е, доп. М.: УРСС, 2020. \end{thebibliography} \end{document}