\documentclass[12pt,a4paper,draft]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 1950 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newtheorem*{lemma}{Лемма} \newtheorem*{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} \newcommand*{\wa}{\widehat a} \newcommand*{\wL}{\widehat {\mathcal L}} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wf}{\widehat f} \newcommand*{\wm}{\widehat\varphi} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\LI}{L_2(I)} \newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb R)} \newcommand*{\LS}{L_2(\mathbb S^d)} \newcommand*{\LL}{\mathcal L} \newcommand*{\Lp}{L_2([0,\pi])} \newcommand*{\mL}{\mathcal L} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\wx}{\widetilde x} \newcommand*{\whx}{\widehat x} \newcommand*{\wI}{\widehat I} \newcommand*{\wy}{\widetilde y} \newcommand*{\lf}{L_2^{\psi}(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ma}{\mu^{\alpha/2}} \newcommand*{\iR}{\int_{\mathbb R}} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\ws}{\widehat\sigma} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator*{\card}{card} \DeclareMathOperator*{\RE}{Re} \DeclareMathOperator*{\mes}{mes} \begin{document} \begin{flushleft} УДК 517.518.8 \end{flushleft} \title[Наилучшая аппроксимация]{Наилучшая аппроксимация множества, элементы которого известны приближенно} \author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко, Е.~О.~Сивкова} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No\No 13-01-12447, 14-01-00456, 14-01-00744)} , \address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова} \address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} \address{Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики} \maketitle В работе решается задача о наилучшем (в точно определенном смысле) приближении с фиксированной точностью периодических функций и функций на прямой соответственно по неточно заданному конечному набору их коэффициентов Фурье и преобразованию Фурье на произвольном множестве конечной меры. \vskip10pt {\bf Ключевые слова}: коэффициенты Фурье, преобразование Фурье, соболевский класс, экстремальная задача \section*{Введение} Начнем с общей постановки задачи о наилучшем приближении с фиксированной точностью элементов данного класса при условии, что сами элементы известны приближенно. Пусть $X$ --- векторное пространство, $W$ --- непустое подмножество (класс) элементов в $X$. Пусть, далее, $Y$ --- нормированное пространство, $I\colon X\to Y$ --- линейный оператор и $\delta\ge0$. Элементы из $W$ известны приближенно, а именно, о каждом элементе $x\in W$ известен (мы ``наблюдаем'') элемент $y\in Y$ такой, что $\|Ix-y\|_Y\le\delta$ (если $\delta=0$, то известен элемент $Ix$). Таким образом, информация об элементах из $W$ определяется тройкой $(Y,I,\delta)$. %Отображение $x\mapsto I_\delta x$ из $W$ в $Y$ (многозначное, если $\delta>0$ и %обычное, если $\delta=0$) будем называть {\it информационным оператором} или просто %{\it информацией} об элементах из $W$ и говорить, при этом, что информация задана %{\it точно}, если $\delta=0$ и {\it неточно}, если $\delta>0$. Восстановить по данной информации значения некоторого линейного оператора $T\colon X\to Z$ на классе $W$ с фиксированной точностью --- это значит предъявить метод восстановления $\varphi\colon Y\to Z$, дающий нужную точность (погрешность) приближения, которая определяется следующим образом $$ e(\delta,\varphi)=e(T,W,Y,I,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y\\\|Ix-y\|_Y\le\delta}}\|Tx-\varphi(y)\|_Z. $$ Предположим, что пары $(Y,I)$ можно выбирать из некоторого множества $\mathcal I$ и при этом каждой такое паре $(Y,I)$ сопоставлено неотрицательное число $v(Y,I)$, называемое {\it объемом используемой информации}. Нас интересует вопрос: какой минимальный объем информации нужен, чтобы по ней можно было восстановить значения оператора $T$ на классе $W$ c погрешностью, не превосходящей заданного числа $\varepsilon$? Точнее, обозначая через $\Phi(Y)$ множество всех отображений из $Y$ в $Z$, требуется для данных $\varepsilon>0$ и $\delta\ge0$ найти величину $$ V(\varepsilon,\delta)=\inf\{\,v(Y,I)\mid \exists\,(\varphi,(Y,I)) \in\Phi(Y)\times\mathcal I :e(\delta,\varphi)\le\varepsilon\,\} $$ и те наборы $(\widehat \varphi,(\widehat Y,\widehat I))$, на которых нижняя грань достигается. Такие наборы будем называть {\it оптимальными}. Если множество тех $(\varphi,(Y,I)) \in\Phi(Y)\times\mathcal I$, для которых $e(\delta,\varphi)\le\varepsilon$, пусто, то полагаем $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$, и это означает, что по данной информации нельзя восстановить элементы из $W$ с заданной точностью. Истоки данной постановки восходят к понятию $\varepsilon$-энтропии множества, величине, характеризующей наилучшее с точностью до $\varepsilon$ приближение множества конечным числом элементов (см., например, \cite{KT}). Сама постановка является в определенном смысле обратной к задаче об оптимальном восстановлении функций из данного класса по их неточно заданному спектру. Подобные задачи рассматривались в ряде работ авторов. Отметим здесь работы \cite{MOf}--\cite{MS}. \section{Периодический случай} Пусть $n$ --- натуральное и $W_2^n(\mathbb T)$ --- соболевский класс $2\pi$-перио\-ди\-ческих функций $x\cd$, у которых $(n-1)$-ая производная абсолютно непрерывна и $\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1$, где $$ \|x\cd\|_{L_2(\mathbb T)}=\left(\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}|x(t)|^2\,dt\right)^{1/2}. $$ Коэффициенты Фурье $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ задаются формулами $$ c_j=c_j(x\cd)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}x(t)e^{-ijt}\,dt,\quad j\in\mathbb Z. $$ Ставится следующая задача. Пусть для любого конечного набора целых чисел имеется возможность измерить (точно или приближенно) коэффициенты Фурье каждой функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ с номерами из данного набора. Мы хотим по этой информации восстановить сами элементы $x\cd$ и их $k$-ую производную ($1\le k\le n-1$) в метрике $L_2(\mathbb T)$ с фиксированной точностью, выбрав из всех таких наборов тот, который имеет минимальное число элементов. Уточним постановку, приведя ее в соответствие с общей схемой. Пусть $X$ --- пространство $2\pi$-периодических функций, у которых $(n-1)$-ая производная абсолютно непрерывна, а $n$-ая производная принадлежит $L_2(\mathbb T)$, $W=W_2^n(\mathbb T)$, $Z=L_2(\mathbb T)$. Каждому конечному набору $\alpha$ целых чисел сопоставим пару $(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)$, где $N(\alpha)$ --- число элементов в наборе, $l^{N(\alpha)}_\infty$ --- пространство $\mathbb C^{N(\alpha)}$ векторов $y=(y_1,\ldots, y_{N(\alpha)})$ с нормой $\|y\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}=\max_{1\le i\le N(\alpha)}|y_i|$ и $I_\alpha\colon X\to l^{N(\alpha)}_\infty$ --- линейный оператор, сопоставляющий функции $x\cd$ ее коэффициенты Фурье с номерами из набора $\alpha$. Итак, в нашем случае $\mathcal I$ --- это множество пар $(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)$, занумерованное конечными подмножествами целых чисел, а информация $(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha,\delta)$ о функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ при $\delta=0$ состоит в том, что мы знаем коэффициенты Фурье $x\cd$ с номерами из $\alpha$, а если $\delta>0$, то мы располагаем $N(\alpha)$ числами, каждое из которых отличается от соответствующего коэффициента Фурье по модулю не более, чем на $\delta$. Полагаем $v(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)=N(\alpha)$. Пусть $0\le k\le n-1$, $D^k$ --- оператор $k$-го дифференцирования ($D^0$ --- тождественный оператор) и $\varphi\colon l^{N(\alpha)}_\infty\to L_2(\mathbb T)$ --- метод восстановления. Его погрешность, согласно общей схеме, имеет вид \begin{multline*} e(\delta,\varphi)=e(D^k,W_2^n(\mathbb T),l^{N(\alpha)}_\infty,I_\alpha,\delta,\varphi)=\\=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^n(\mathbb T),\ y\in l^{N(\alpha)}_\infty\\\|I_\alpha x\cd-y\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta}}\|D^kx\cd-\varphi(y)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}. \end{multline*} Интересующая нас величина в данном случае такова $$ V(\varepsilon,\delta)=\inf\{\,N(\alpha)\mid \exists\,(\varphi,(l^{N(\alpha)}_\infty, I_\alpha)) \in\Phi(l^{N(\alpha)}_\infty)\times\mathcal I :e(\delta,\varphi)\le\varepsilon\,\}. $$ Кроме того, нас интересуют такие $\widehat \alpha$ и $\widehat \varphi$, что на наборах $(\widehat \varphi,(l^{N(\widehat \alpha)}_\infty, I_{\widehat\alpha}))$ достигается нижняя грань. В этом случае мы говорим, что $\widehat \alpha$ --- оптимальный набор, а $\widehat \varphi$ --- оптимальный метод. Положим при $\delta>0$ \begin{equation*} N_\delta=\max\biggl\{\,N\in\mathbb Z_+\mid2\delta^2\sum_{j=0}^Nj^{2n}<1\,\biggr\}, \end{equation*} и $N_0=+\infty$, а также для каждого $m\in\mathbb Z_+$ обозначим \begin{equation*} \varepsilon_m=\biggr(\frac1{(m+1)^{2(n-k)}}+2\delta^2\sum_{j=0}^mj^{2k} \left(1-\left(\frac j{m+1}\right)^{2(n-k)}\right)\biggl)^{1/2}. \end{equation*} Нетрудно убедиться, что если $\delta>0$, то $1=\varepsilon_0>\varepsilon_1>\ldots>\varepsilon_{N_\delta}$. \begin{theorem} Пусть $n$ --- натуральное, $k$ --- целое, $0\le k\le n-1$ и $\varepsilon>0$. Тогда, если $\varepsilon\ge1$ и $k\ge1$, то $V(\varepsilon,\delta)=0$. Если $\varepsilon\ge1$ и $k=0$, то $V(\varepsilon,\delta)=1$, а оптимальное множество --- $\alpha=\{0\}$. При $\varepsilon_m\le\varepsilon<\varepsilon_{m-1}$, $m=1,2,\ldots,N_\delta$, $$V(\varepsilon,\delta)=\begin{cases}2m+1,&k=0,\\ 2m,&k\ge1.\end{cases}$$ Оптимальное множество --- $$\alpha=\begin{cases}\{0,\pm1,\ldots,\pm m\},&k=0,\\ \{\pm1,\ldots,\pm m\},&k\ge1.\end{cases}$$ Оптимальный метод имеет вид $$\widetilde\varphi(y)(t)=\sum_{|j|\le m}(ij)^k\left(1-\left(\frac j{m+1}\right)^{2(n-k)}\right)y_je^{ijt}.$$ Если $\delta>0$ и $\varepsilon<\varepsilon_{N_\delta}$, то $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$. \end{theorem} \begin{proof} Пусть $\alpha$ --- набор целых чисел, $\delta\ge0$ и $\varphi\colon l^{N(\alpha)}_\infty\to L_2(\mathbb T)$. 1) Оценим снизу величину $e(D^k,W_2^n(\mathbb T),l^{N(\alpha)}_\infty,I_\alpha,\delta,\varphi)$. Сначала покажем, что она не меньше значения задачи \begin{equation}\label{1p} \|x^{(k)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\to\max,\quad \|I_\alpha x\cd\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta,\quad \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le 1, \end{equation} т.~е. величины верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях. Действительно, пусть $x\cd$ --- допустимая функция в \eqref{1p} (т.~е. $x\cd$ удовлетворяет ограничениям задачи), тогда, очевидно, функция $-x\cd$ также допустима и мы имеем \begin{multline*} 2\|x^{(k)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}+\|-x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le\\ \le 2\sup_{\|I_\alpha x\cd\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta,\ \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le 1}\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le\\ \le2\sup_{\substack{\|I_\alpha x\cd-y\|_{l^{N(\alpha)}_\infty}\le\delta\\ y\in l^{N(\alpha)}_\infty,\ \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb T)}\le1}}\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{L_2(\mathbb T)}. \end{multline*} Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1p}, получаем требуемое. 2) Теперь оценим снизу значение задачи \eqref{1p}. В силу равенства Парсеваля квадрат ее значения равен значению такой задачи \begin{equation}\label{2p} \sum_{j\in\mathbb Z}j^{2k}|c_j|^2\to\max,\quad|c_j|\le\delta,\ j\in\alpha, \quad\sum_{j\in\mathbb Z}j^{2n}|c_j|^2\le1. \end{equation} Далее считаем, что $k\ge1$ (случай $k=0$ рассматривается аналогично и проще). Для каждого $s\in\mathbb N$ обозначим $\Delta_s=\{\,\pm 1,\ldots,\pm s\,\}$ и положим $$ \widehat s=\max \{\,s\in\mathbb N\mid {\rm card}\,(\alpha\cap \Delta_s)=2s\,\}, $$ считая, что $\widehat s=0$, если множество в фигурных скобках пусто. Далее, пусть $$ p_0=\max\biggl\{\,p\mid 2\delta^2\sum_{j=0}^pj^{2n}<1,\,\,\, 0\le p\le\widehat s\,\biggr\}. $$ Рассмотрим последовательность $c_j$, $j\in\mathbb Z$, определенную следующим образом: если $p_0<\widehat s$, то $c_j=\delta$ при $|j|\le p_0$, $$ c_{p_0+1}=c_{-(p_0+1)}=\frac1{\sqrt{2}}(p_0+1)^{-n}\sqrt{1-2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}} $$ и $c_j=0$ для остальных $j$. Если же $p_0=\widehat s$, то ясно, что либо $p_0+1$, либо $-(p_0+1)$ не принадлежит $\alpha$. Пусть $m$ --- то из этих чисел, которое не принадлежит $\alpha$. Положим $$ c_{m}=(p_0+1)^{-n}\sqrt{1-2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}}, $$ $c_j=\delta$ при $|j|\le p_0$ и $c_j=0$ для остальных $j$. Определенная последовательность является допустимой в задаче \eqref{2p}. Действительно, если $p_0<\widehat s$, то $|c_j|\le\delta$, когда $|j|=p_0+1$, так как иначе $$ \frac1{\sqrt{2}}(p_0+1)^{-n}\sqrt{1-2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}}>\delta \,\,\Leftrightarrow\,\, 2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0+1}j^{2n}<1, $$ что противоречит определению $p_0$. Кроме того, очевидно, что $\sum_{j\in\mathbb Z}j^{2n}|c_j|^2=1$. Это равенство выполняется и когда $p_0=\widehat s$. Следовательно, значение задачи \eqref{2p} не меньше, чем значение максимизируемого функционала на этой последовательности, т.~е. не меньше величины $$2\delta^2\sum_{j=0}^{p_0}j^{2k}+(p_0+1)^{-2(n-k)}\biggl(1-2\delta^2 \sum_{j=0}^{p_0}j^{2n}\biggr)=\varepsilon^2_{p_0}.$$ Отсюда и из предыдущего пункта вытекает, что \begin{equation}\label{k2} e(\delta,\varphi)=e(D^k,W_2^n(\mathbb T),l^{N(\alpha)}_\infty,I_\alpha,\delta,\varphi)\ge\varepsilon_{p_0}. \end{equation} 3) Покажем, что эта оценка достигается для метода $$\widetilde\varphi(y)(t)=\sum_{|j|\le p_0}(ij)^k\omega_jy_je^{ijt},$$ где $$ \omega_j=1-\left(\frac j{p_0+1}\right)^{2(n-k)},\quad |j|\le p_0. $$ Квадрат погрешности этого метода равен, по определению, значению следующей экстремальной задачи \begin{multline}\label{om} \sum_{|j|\le p_0}j^{2k}|c_j-\omega_jy_j|^2+\sum_{|j|>p_0}j^{2k}|c_j|^2\to\max,\\ |c_j-y_j|\le\delta_j,\ j\in\alpha,\quad \sum_{j\in\mathbb Z}j^{2n}|c_j|^2\le1. \end{multline} Оценим сверху ее значение. Положим $$\lambda=(p_0+1)^{-2(n-k)},\quad\lambda_j=j^{2k}\omega_j,\quad |j|\le p_0. $$ Если $0<|j|\le p_0$, то по неравенству Коши--Буняковского (используя легко проверяемое равенство $$ j^{2k}\left(\frac{\omega_j^2}{\lambda_j}+\frac{(1-\omega_j)^2}{j^{2n}\lambda} \right), $$ будем иметь \begin{multline*} j^{2k}|c_j-\omega_jy_j|^2=j^{2k}|\omega_j(c_j-y_j)+c_j(1-\omega_j)|^2\le\\\le j^{2k}\left(\frac{\omega_j^2}{\lambda_j}+\frac{(1-\omega_j)^2}{j^{2n}\lambda} \right)\left(|c_j-y_j|^2\lambda_j+|c_j|^2\lambda j^{2n}\right)=\\=|c_j-y_j|^2\lambda_j+|c_j|^2\lambda j^{2n}. \end{multline*} Если $|j|>p_0$, то, очевидно, $j^{2k}\le\lambda j^{2n}$. Из полученных соотношений следует, что максимизируемый функционал в \eqref{om} оценивается сверху величиной $$ \sum_{|j|\le p_0}|c_j-y_j|^2\lambda_j+\lambda\sum_{|j|>p_0}j^{2n}|c_j|^2\le\delta^2\sum_{|j|\le p_0}\lambda_j+\lambda=\varepsilon^2_{p_0}.$$ Отсюда и \eqref{k2} вытекает, что \begin{equation}\label{k1} e(\delta,\widetilde\varphi)=\varepsilon_{p_0}. \end{equation} 4) Пусть $\varepsilon_m\le\varepsilon<\varepsilon_{m-1}$ для некоторого $m\ge1$. Тогда для набора $\alpha=\{\pm1,\ldots,\pm m\}$ из \eqref{k1} следует, что $$e(0,\widetilde\varphi)=\varepsilon_m\le\varepsilon.$$ Предположим, что существует $\alpha$ и метод $\varphi$ такие, что $N(\alpha)<2m$ и $e(0,\varphi)\le\varepsilon$. Тогда $\widehat s\le m$ и $p_0\le m-1$. Следовательно, с учетом \eqref{k2} $$\varepsilon<\varepsilon_{m-1}\le\varepsilon_{p_0}\le e(0,\varphi)\le\varepsilon.$$ Полученное противоречие доказывает, что $V(\varepsilon,0)=2m$. Случай $\varepsilon\ge1$ рассматривается аналогично. Пусть $\delta>0$ и $\varepsilon<\varepsilon_{N_\delta}$. В силу того, что для всех $\alpha$ \ $p_0\le N_\delta$, для любого метода $$e(\delta,\varphi)\ge\varepsilon_{p_0}\ge\varepsilon_{N_\delta}>\varepsilon.$$ Это означает, что в рассматриваемом случае $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$. \end{proof} \section{Непериодический случай} Здесь мы рассматриваем функции на прямой. Пусть $W_2^n(\mathbb R)$ --- соболевский класс функций $x\cd$, у которых $(n-1)$-ая производная локально абсолютно непрерывна и $\|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb R)}\le1$. Ставится следующая задача. Пусть для любого измеримого подмножества $\mathbb R$ конечной лебеговой меры имеется возможность измерить (точно или приближенно) преобразование Фурье каждой функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb T)$ на этом множестве. По этой информации мы хотим восстановить сами элементы $x\cd$ и их $k$-ую производную ($1\le k\le n-1$) в метрике $L_2(\mathbb R)$ с фиксированной точностью, выбрав из всех этих множеств то, которое имеет минимальную меру. Уточним постановку, приведя ее в соответствие с общей схемой. Пусть $X$ --- пространство функций на $\mathbb R$, у которых $(n-1)$-ая производная локально абсолютно непрерывна, а $n$-ая производная принадлежит $L_2(\mathbb R)$, $W=W_2^n(\mathbb R)$, $Z=L_2(\mathbb R)$ и пусть $F\colon \Lt\to\Lt$ --- преобразование Фурье. Каждому множеству $A\subset\mathbb R$ конечной лебеговой меры сопоставим пару $(L_2(A), I_A)$, где $I_A\colon X\to L_2(A)$ --- линейный оператор, сопоставляющий функции $x\cd$ функцию $Fx\cd|_A$ --- сужение $Fx\cd$ на $A$. Таким образом, в рассматриваемом случае $\mathcal I$ --- это множество пар $(L_2(A), I_A)$, занумерованное подмножествами $A$ конечной меры, а информация $(L_2(A), I_A,\delta)$ о функции $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$ при $\delta=0$ состоит в том, что мы знаем преобразование Фурье $x\cd$ на $A$, а если $\delta>0$, то мы знаем лишь функцию $y\cd\in L_2(A)$ такую, что $\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta$. Полагаем $v(L_2(A), I_A)={\rm mes}\, A$. Пусть, как и раньше, $D^k$ --- оператор $k$-го дифференцирования ($D^0$ --- тождественный оператор), $A$ --- множество конечной меры и $\varphi\colon L_2(A)\to L_2(\mathbb R)$ --- метод восстановления. Его погрешность, согласно общей схеме, имеет вид \begin{multline*} e(\delta,\varphi)=e(D^k,W_2^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)=\\=\sup_{\substack{x\cd\in W_2^n(\mathbb R),\ y\cd\in L_2(A)\\\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta}}\|D^kx\cd-\varphi(y)\cd\|_{L_2(\mathbb R)} \end{multline*} и $$ V(\varepsilon,\delta)=\inf\{\,{\rm mes}\,A\mid \exists\,(\varphi,(L_2(A), I_A)) \in\Phi(L_2(A))\times\mathcal I :e(\delta,\varphi)\le\varepsilon\,\}. $$ Если для $\widehat A$ и $\widehat\varphi$ на наборе $(\widehat\varphi,(L_2(\widehat A), I_{\widehat A}))$ достигается минимум, то мы говорим, что $\widehat A$ --- оптимальное множество, а $\widehat\varphi$ --- оптимальный метод. \begin{theorem} Пусть $n$ --- натуральное, $k$ --- целое, $0\le k\le n-1$ и $\varepsilon>0$. Тогда $$ V(\varepsilon,0)=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}. $$ Оптимальное множество --- отрезок $\widehat A=[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$, где $2\sigma_\varepsilon=V(\varepsilon,0)$. Оптимальный метод имеет вид $$ \widehat \varphi(Fx\cd|_{\widehat A})(t)=\frac1{2\pi}\int_{\widehat A}(i\xi)^k Fx(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi. $$ Пусть $\delta>0$. Если $$ \varepsilon<\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}}, $$ то $V(\varepsilon,\delta)=+\infty$, а если $$ \varepsilon\ge\left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}}, $$ то $V(\varepsilon,\delta)=2\sigma_\varepsilon$, где $\sigma_\varepsilon$ --- единственный корень уравнения $$ \dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}} \dfrac{\delta^2}{2\pi}\sigma^{2k}+\dfrac 1{\sigma^{2(n-k)}}=\varepsilon^2.\footnote{Чтобы включить случай $k=0$ считаем здесь, что $0^0=1$ и что $\infty^0=1$ в оптимальном методе ниже.} $$ Оптимальное множество --- отрезок $\widehat A=[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$. Оптимальный метод имеет вид $$ \widehat \varphi(y\cd)(t)=\frac1{2\pi}\int_{\widehat A}(i\xi)^k\left(1+\frac{n}{n-k} \left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{k}{n-k}}\left(\frac{\xi}{\sigma_\varepsilon} \right)^{2n}\right)^{-1}y(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi. $$ \end{theorem} Отметим, что по точной информации ($\delta=0$) о преобразовании Фурье можно восстановить элементы класса $W_2^n(\mathbb R)$ с любой точностью, и наилучший метод восстановления $k$-производной ($0\le k\le n-1$) ``естественный'' --- надо взять $k$-ую производную (если $k\ge1$) от обратного преобразования Фурье на отрезке $[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$. Если же $\delta>0$, то уже не для всех $\varepsilon$ можно восстановить функции и их $k$-ые производные с данной точностью, а для тех $\varepsilon$, для которых это возможно, оптимальный метод использует информацию только на отрезке $[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$ и при этом ее предварительно ``сглаживает''. \begin{proof} Пусть $A$ --- множество конечной меры в $\mathbb R$, $\delta\ge0$ и $\varphi\colon L_2(A)\to L_2(\mathbb R)$. 1) Покажем сначала, что величина $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)$ не меньше значения задачи \begin{equation}\label{1} \|x^{(k)}\cd\|_{\Lt}\to\max,\quad \|Fx\cd\|_{L_2(A)}\le\delta,\quad \|x^{(n)}\cd\|_{L_2(\mathbb R)}\le 1 \end{equation} (где $\|Fx\cd\|_{L_2(A)}\le\delta$ при $\delta=0$ означает, что $Fx\cd|_A=0$). Действительно, пусть $x\cd$ --- допустимая функция в \eqref{1} (т.~е. $x\cd$ удовлетворяет ограничениям задачи), тогда, очевидно, функция $-x\cd$ также допустима и мы имеем \begin{multline*} 2\|x^{(k)}\cd\|_{\Lt} \le\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}+\|-x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}\le\\ \le 2\sup_{\|Fx\cd\|_{L_2(A)}\le\delta,\ \|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1}\|x^{(k)}\cd-\varphi(0)\cd\|_{\Lt}\le\\ \le2\sup_{\substack{\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(A)}\le\delta\\ y\cd\in L_2(A), \ \|x^{(n)}\cd\|_{\Lt}\le1}}\|x^{(k)}\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\Lt}. \end{multline*} Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1}, получаем требуемое. 2) Положим $$\wa=\sup\{\,a\ge0 \mid\mes\{A\cap[-a,a]\,\}=2a\}$$ и покажем, что если $\wa=0$, то значение задачи \eqref{1} равно бесконечности. Действительно, в образах Фурье квадрат значения этой задачи, согласно теореме Планшереля, равен значению такой задачи \begin{multline}\label{2} \frac1{2\pi}\iR\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\int_{A}|Fx(\xi)|^{2}(\xi)\,d\xi \le\delta^2,\\\frac1{2\pi}\iR\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1. \end{multline} Так как $\wa=0$, то $\mes\{M_\sigma\cap[-\varepsilon,\varepsilon]\}<2\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и значит, мера множества $\Omega_\varepsilon=\{(\mathbb R\setminus M_\sigma)\cap[-\varepsilon,\varepsilon]\}$ положительна. Пусть функция $x_\varepsilon\cd$ такова, что $$Fx_\varepsilon(\xi)=\begin{cases} \sqrt{2\pi}\biggl(\int_{\Omega_\varepsilon}\tau^{2n}\,d\tau\biggr)^{-1/2}, &\xi\in\Omega_\varepsilon\\ 0,&\xi\notin\Omega_\varepsilon.\end{cases}$$ Эта функция допустима в задаче \eqref{2} и $$ \frac1{2\pi}\iR\xi^{2k}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi= \frac{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2k}\,d\xi} {\int_{\Omega_\varepsilon}\tau^{2n}\,d\tau}= \frac{\int_{\Omega_\varepsilon}\xi^{2n}\xi^{-2(n-k)}\,d\xi} {\int_{\Omega_\varepsilon}\tau^{2n}\,d\tau}\ge \varepsilon^{-2(n-k)},$$ откуда, в силу произвольности $\varepsilon$, следует, что значение максимизируемого функционала в \eqref{2} может быть сделано сколь угодно большим. 3) Пусть $\delta=0$. Покажем, что \begin{equation}\label{3} e(0,\varphi)=e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A), I_A,0,\varphi)\ge \sigma^{-(n-k)}, \end{equation} где $2\sigma={\rm mes}\,A$. Так как $\delta=0$, то первое ограничение в задаче \eqref{2} означает, что $Fx(\xi)=0$ для п.~в. $\xi\in A$ и тогда сама задача \eqref{2} переписывается в этом случае так \begin{equation}\label{4} \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A} \xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A} \xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le 1. \end{equation} Оценим снизу ее значение. Если $\widehat a=0$, то, как показано в п. 2), это значение равно $+\infty$. Тогда согласно п. 1) $e(0,\varphi)=+\infty$ и \eqref{3} выполняется очевидным образом. Пусть $\widehat a>0$. Для любого натурального $m$ множество $[-\widehat a-1/m,\widehat a+1/m]\setminus[-\widehat a,\widehat a]$ содержит подмножество положительной меры $E_m$, не принадлежащее $A$ (иначе это противоречило бы определению $\widehat a$). Рассмотрим последовательность функций $x_m\cd\in \Lt$, преобразование Фурье которых имеет вид $$Fx_m(\xi)=\begin{cases} \sqrt{\frac{2\pi}{{\rm mes}\,E_m}}\left(\widehat a+\frac 1{m}\right)^{-n}, &\xi\in E_m,\\[5pt] 0,&\xi\notin E_m.\end{cases} $$ Простая проверка показывает, что эти функции допустимы в задаче \eqref{4}. Далее \begin{multline*} \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus A} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\ge\frac1{{\rm mes}\,E_m}\left(\widehat a+\frac1{m}\right)^{-2n} \widehat a^{2k}\ {\rm mes}\,E_m\to\\\to\widehat a^{-2(n-k)}\ge \sigma^{-2(n-k)}, \end{multline*} так как, очевидно, $\widehat a\le\sigma$ и значит, значение задачи \eqref{4} не меньше $\sigma^{-2(n-k)}$. Тогда в силу доказанного в п. 1) и того, что значение задачи \eqref{4} равно квадрату значения задачи \eqref{1} получаем, что $e(0,\varphi)\ge \sigma^{-(n-k)}$, а это и есть \eqref{3}. 4) Покажем, что в неравенстве \eqref{3} достигается равенство, когда $A=[-\sigma,\sigma]$, а метод, что в формулировке теоремы, но с $\sigma$ вместо $\sigma_\varepsilon$. Обозначим этот метод $\widetilde \varphi$. Действительно, для любого $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$ имеем по теореме Планшереля \begin{multline*} \|x^{(k)}\cd-\widetilde \varphi (Fx\cd|_{[-\sigma,\sigma]})\cd\|^2_{\Lt}=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus [-\sigma,\sigma]}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=\\= \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R\setminus [-\sigma,\sigma]}\xi^{-2(n-k)}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\\\le \sigma^{-2(n-k)}\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le \sigma^{-2(n-k)}, \end{multline*} т.~е. $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2([-\sigma,\sigma]),I_{[-\sigma,\sigma]},0,\widetilde \varphi)\le\sigma^{-(n-k)}$ и значит, неравенство \eqref{3} точное. 5) Теперь мы можем доказать, что $V(\varepsilon,0)=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$ для любого $\varepsilon>0$. В самом деле, для данного $\varepsilon>0$ положим $\sigma_\varepsilon=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$. Согласно п. 4) для множества $A_\varepsilon=[-\sigma_\varepsilon/2,\sigma_\varepsilon/2]$ и соответствующего метода $\widetilde \varphi$ справедлива оценка $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A_\varepsilon), I_{A_\varepsilon},0,\widetilde \varphi)\le\varepsilon$ и значит, $V(\varepsilon,0)\le\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$. Предположим, что неравенство строгое, т.~е. существует множество $A$, ${\rm mes}\,A=2\sigma$, и метод $\varphi$ такие, что $\sigma<\sigma_\varepsilon$ и $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,0,\varphi)\le\varepsilon$. Тогда с учетом \eqref{3} имеем $\varepsilon=\sigma_\varepsilon^{-(n-k)}<\sigma^{-(n-k)}\le e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,0,\varphi)\le\varepsilon$. Полученное противоречие доказывает, что $V(\varepsilon,0)=\varepsilon^{-\frac1{n-k}}$. Оптимальность множества и метода, указанных в теореме следует из приведенных рассуждений. 6) Пусть $\delta>0$. Далее считаем, что $k\ge1$ (случай $k=0$ рассматривается аналогично, но технически значительно проще). Обозначим $$ \widehat \sigma=\left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{1}{2(n-k)}} \left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{-\frac1{2n}} $$ и покажем, что для любого метода $\varphi$ и множества $A$, ${\rm mes}\,A=2\sigma$, справедлива оценка \begin{multline}\label{0} e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\ge\\\ge\begin{cases}\sqrt{\dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}} \dfrac{\delta^2}{2\pi}\sigma^{2k}+\dfrac 1{\sigma^{2(n-k)}}},& \sigma\le\widehat \sigma,\\[15pt] \left(\dfrac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{2n}},& \sigma\ge\widehat \sigma.\end{cases} \end{multline} Заметим, что функция справа, переменной $\sigma$, определенная на полуинтервале $(0,\ws]$, монотонно убывает на этом полуинтервале и в точке $\ws$ ее минимальное значение равно $(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}$. Ни для каких $A$ и $\varphi$ погрешность не может быть меньше этой величины. Оценим снизу значение задачи \eqref{2}. Если $\widehat a=0$, то согласно п. 2) оно равно $+\infty$, а тогда из п. 1) следует, что $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)=+\infty$ и \eqref{0} выполняется тривиальным образом. Пусть $\widehat a>0$. Рассмотрим случай, когда $\sigma<\widehat \sigma$. Для каждого натурального $m$ обозначим $$ C_m=1-\frac1{2\pi}\left(\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac1{2(n-k)}}\widehat a+\frac1{2m}\right)^{2n}. $$ Поскольку $\widehat a\le\sigma<\widehat \sigma$, то $C_m>0$ для достаточно больших $m$. Далее, так как $\gamma=(k/n)^{1/2(n-k)}<1$, то отрезок $\Delta_m=[\gamma\widehat a-1/2m,\gamma \widehat a+1/2m]$ принадлежит отрезку $[-\widehat a,\widehat a]$ для достаточно больших $m$. Наконец, пусть $E_m$ --- множество, определенное в п. 3). Для указанных $m$ рассмотрим семейство функций $x_m\cd$, преобразование Фурье которых имеет вид \begin{equation*} Fx_m(\xi)=\begin{cases} \sqrt{\frac{2\pi}{{\rm mes}\,E_m}}\left(\widehat a+\frac 1{m}\right)^{-n}\sqrt{C_m}, &\xi\in E_m,\\[5pt] \sqrt{m} \ \delta,&\xi\in \Delta_m,\\[5pt] 0&\xi\notin E_m\cup \Delta_m.\end{cases} \end{equation*} Несложная проверка показывает, что $x_m\cd$ --- допустимые функции в задаче \eqref{2}. Далее \begin{multline}\label{6} \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi=\frac1{2\pi}\int_{E_m} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi+\\+\frac1{2\pi}\int_{\Delta_m} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\ge\left(\widehat a+\frac1{m}\right)^{-2n}C_m \ \widehat a^{2k}+\\+\frac{\delta^2}{2\pi}\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}\widehat a^{2k}\to\dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}} \dfrac{\delta^2}{2\pi}\widehat a^{2k}+\dfrac 1{\widehat a^{2(n-k)}}. \end{multline} Выражение справа, как функция $\widehat a$, монотонно убывает на полуинтервале $(0,\widehat \sigma]$ и так как $\widehat a\le \sigma<\widehat \sigma$, то значение задачи \eqref{2} не меньше выражения справа под корнем в \eqref{0}. В силу п. 1 это доказывает оценку \eqref{0} при $\sigma<\widehat \sigma$. Пусть $\sigma\ge\widehat \sigma$. Если $\widehat a<\widehat \sigma$, то те же рассуждения, что и выше приводят к формуле \eqref{6}. Минимальное значение выражения справа в \eqref{6} равно $\left(\delta^2/2\pi\right)^{\frac{n-k}{n}}$. Это доказывает \eqref{0} в рассматриваемом случае. Пусть $\widehat a\ge\widehat \sigma$. Так как $\gamma_1=\left(\delta^2/2\pi\right)^{-\frac1{2n}}<\widehat \sigma$, то для достаточно больших $m$ отрезок $\Delta_m=[\gamma_1-1/m,\gamma_1]$ принадлежит полуинтервалу $(0,\widehat \sigma]$. Для таких $m$ рассмотрим последовательность функций $x_m\cd$, преобразование Фурье которых имеет вид $$ Fx_m(\xi)=\begin{cases} \sqrt{m} \ \delta, &\xi\in \Delta_m,\\[5pt] 0,&\xi\notin \Delta_m.\end{cases} $$ Снова простая проверка показывает, что это допустимые функции в задаче \eqref{2} и $$ \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R} \xi^{2k}|Fx_m(\xi)|^2\,d\xi\ge\frac{\delta^2}{2\pi} \left(\left(\frac{\delta^2}{2\pi}\right)^{-\frac1{2n}}-\frac1{m}\right)^{2k}\to \left(\frac{\delta^2}{2\pi}\right)^{\frac{n-k}{n}}, $$ т.~е. оценка \eqref{0} доказана. Докажем теперь, что эта оценка достигается на множестве $A=[-\sigma,\sigma]$ и методе из формулировки теоремы с $\sigma$ вместо $\sigma_\varepsilon$. Обозначим этот метод $\widetilde \varphi$. Действительно, пусть $x\cd\in W_2^n(\mathbb R)$, $y\cd\in L_2([-\sigma,\sigma])$ и $\|Fx\cd-y\cd\|_{L_2([-\sigma,\sigma])}\le\delta$. Положим $\sigma_0=\min(\sigma,\ws)$ и обозначим $$ \lambda_1=\frac{n-k}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}}\sigma_0^{2k},\qquad \lambda_2=\sigma_0^{-2(n-k)}. $$ Тогда нетрудно проверить, что \begin{equation}\label{f} \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}=\left(1+\frac{n}{n-k} \left(\frac{n}{k}\right)^{\frac{k}{n-k}}\left(\frac{\xi}{\sigma_0} \right)^{2n}\right)^{-1} \end{equation} и $-\xi^{2k}+\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}\ge0$ для любого $\xi\in\mathbb R$. По теореме Планшереля, учитывая \eqref{f}, \begin{multline}\label{7} \|x^{(k)}\cd-\widetilde \varphi(y\cd)\cd\|^2_{\Lt}=\\=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\left|(i\xi)^kFx(\xi)- (i\xi)^k\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}\chi_{\sigma_0}(\xi)y(\xi)\right|^2d\xi, \end{multline} где $\chi_{\sigma_0}\cd$ --- характеристическая функция отрезка $[-\sigma_0,\sigma_0]$. Пусть $\xi\in[-\sigma_0,\sigma_0]$. Тогда при таких $\xi$ для выражения под знаком интеграла в правой части \eqref{7} после несложных преобразований, применяя неравенство Коши--Буняковского и то, что многочлен $\xi\mapsto-\xi^{2k}+\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}$ неотрицателен на $\mathbb R$, будем иметь \begin{multline*} \left|(i\xi)^kFx(\xi)-(i\xi)^k \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}y(\xi)\right|^2=\\=\xi^{2k}\bigg| \frac{\sqrt{\lambda_1}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}\sqrt{\lambda_1}(Fx(\xi)-y(\xi)) +\frac{\sqrt{\lambda_2} \ \xi^n}{\lambda_1+\lambda_2 \xi^{2n}} \sqrt{\lambda_2} \ \xi^nFx(\xi)\bigg|^2\le\\\le \xi^{2k}\left(\frac{\lambda_1}{(\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n})^2}+ \frac{\lambda_2\xi^{2n}}{(\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n})^2}\right) (\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2+\\+\lambda_2\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2)= \frac{\xi^{2k}}{\lambda_1+\lambda_2\xi^{2n}}(\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2+ \lambda_2\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2)\le\\\le\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2+ \lambda_2\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2. \end{multline*} Интегрируя это неравенство по отрезку $[-\sigma_0,\sigma_0]$, получаем, что интеграл справа в \eqref{7} на этом отрезке оценивается величиной $$ \lambda_1\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma_0}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi+ \lambda_2\frac1{2\pi}\int_{|\xi|\le\sigma_0}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi. $$ Если $|\xi|>\sigma_0$, то оценка для выражения справа в \eqref{7} для таких $\xi$ такова \begin{multline*} \frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2k}|Fx(\xi)|^2\,d\xi= \frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2n}\xi^{-2(n-k)}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\\\le \sigma_0^{-2(n-k)}\frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi= \lambda_2\frac1{2\pi}\int_{|\xi|>\sigma_0}\xi^{2n}|Fx(\xi)|^2\,d\xi. \end{multline*} Складывая эти неравенства, учитывая выбор $x\cd$, $y\cd$ и выражения для $\lambda_1$ и $\lambda_2$, получим, что \begin{multline*} \|x^{(k)}\cd-\widetilde \varphi(y\cd)\cd\|^2_{\Lt}\le\frac{\lambda_1\delta^2}{2\pi}+\lambda_2\\ =\dfrac{n-k}{n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{\frac{k}{n-k}} \dfrac{\delta^2}{2\pi}\sigma_0^{2k}+\dfrac 1{\sigma_0^{2(n-k)}}. \end{multline*} Если $\sigma_0=\ws$, то выражение справа принимает нужное значение. Этим доказана точность неравенства \eqref{0}. 7) Докажем вторую часть теоремы, когда $\delta>0$. Пусть $\varepsilon<(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}$. Надо показать, что не существует множества $A$ конечной меры и метода $\varphi$ таких, что $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$. Действительно, если такие $A$ и $\varphi$ нашлись, то в силу \eqref{0} имеем $\varepsilon<(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}\le e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$ и полученное противоречие доказывает, что $V(\varepsilon, \delta)=+\infty$. Пусть $\varepsilon\ge(\delta^2/2\pi)^{(n-k)/2n}$ и $\sigma_\varepsilon$ --- из формулировки теоремы. Согласно предыдущему пункту для множества $A_\varepsilon=[-\sigma_\varepsilon,\sigma_\varepsilon]$ и метода $\widehat \varphi$ из формулировки теоремы справедлива следующая оценка $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A_\varepsilon), I_{A_\varepsilon},\delta,\widehat \varphi)\le\varepsilon$ и значит, $V(\varepsilon,\delta)\le 2\sigma_\varepsilon$. Предположим, что неравенство строгое, т.~е. существует множество $A$, ${\rm mes}\,A=2\sigma$, и $\varphi$ такие, что $\sigma<\sigma_\varepsilon$ и $e(D^k,W_{2}^n(\mathbb R),L_2(A),I_A,\delta,\varphi)\le\varepsilon$. Тогда, если через $f\cd$ обозначить функцию от $\sigma$ в правой части выражения \eqref{0} (она строго монотонно убывает на $(0,\ws]$), то согласно определению $\sigma_\varepsilon$ и оценке \eqref{0} имеем $\varepsilon=f(\sigma_\varepsilon)