\documentclass[12pt,draft,oneside,reqno, a4paper]{amsart} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \tolerance 1850 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\Lt}{L_2(\mathbb T)} \newcommand*{\inT}{\frac1{2\pi}\int_{\mathbb T}} \newcommand*{\iT}{\int_{\mathbb T}} \newcommand*{\LL}{\mathcal L} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\wz}{\widehat z} \newcommand*{\wA}{\widetilde A} \newcommand*{\wx}{\widehat x} \newcommand*{\sj}{\sum_{j=0}^{m-1}} \newcommand*{\wu}{\widehat u} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\tB}{\widetilde B} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} %\newtheorem{theorem*}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} \newtheorem{proposition}{Предложение} \newtheorem{remark}{Змечания} %\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} %\renewcommand{\thetheorem}{\thesection.\arabic{theorem}} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \begin{document} \begin{flushleft} УДК 517.51 \end{flushleft} \title[Оптимальное восстановление разностных уравнений]{Об оптимальном восстановлении решений разностных уравнений по неточным измерениям} \author{\large Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты \No11-01-00529, \No12-01-90014)} \address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова, г.~Москва; Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича, г.~Москва; Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, г.~Владикавказ}\email{magaril@mech.math.msu.su} \address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича, г.~Москва; Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, г.~Владикавказ}\email{kosipenko@yahoo.com} \maketitle Задачи оптимального восстановления решений разностных уравнений по неточным измерениям часто сводятся к следующей общей постановке: приближенно известны некоторые степени конечномерного оператора, и по этой информации надо наилучшим образом восстановить любую его промежуточную степень. В данной работе доказывается теорема об оптимальном восстановлении степеней нормального оператора, и в качестве иллюстрации доказываются утверждения относительно оптимального восстановления температуры тела в разностной модели уравнения теплопроводности и оптимального восстановления решения в разностной модели системы обыкновенных дифференциальных уравнений. \section{Формулировка и доказательство основного результата} %евклидовой нормой $\|\cdot\|$. Пусть $T\colon \mathbb C^d\to \mathbb C^d$ --- линейный оператор. Предположим, что $x\in\mathbb C^d$ и $T^nx$ ($T^n$ --- $n$-ая степень оператора $T$) известны неточно, а именно, известны векторы $y_0,y_n\in\mathbb C^d$ такие, что $\|x-y_0\|\le\delta_0$ и $\|T^nx-y_n\|\le\delta_n$, где $\|\cdot\|$ --- евклидова норма, $\delta_0,\delta_n>0$. По этой информации мы хотим восстановить (по возможности, наилучшим образом) значение $T^kx$, $00$ и $\delta_n/\delta_0\in\Delta_0$. Тогда $u_0=0$ и тем самым $\beta_i=\lambda_i^{-(n-k)}$, $1\le i\le d$, т.~е. $B=T^{-(n-k)}$. Следовательно, действие оптимального метода $\widehat \varphi$ таково $$ \widehat \varphi(\xi,\eta)=T^k(T^{-n}\eta). $$ Метод использует только измерение $\eta$, а именно, находится элемент $x$ из условия $T^nx=\eta$ и берется от него $k$-ая степень оператора $T$. Пусть теперь $\delta_n/\delta_0\in\Delta_r$. Тогда $v_0=0$ и значит, $\beta_i=0$, $1\le i\le d$, т.~е. $B$ --- нулевой оператор. В этом случае метод использует только измерение $\xi$: $$ \widehat \varphi(\xi,\eta)=T^k\xi. $$ \begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T1}$] Оценим снизу погрешность оптима\-льного восстановления $E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)$. Покажем, что она не меньше значения (т.~е. величины верхней грани максимизируемого функционала) следующей задачи \begin{equation}\label{1} \|T^kx\|\to \max, \quad \|x\|\le\delta_0,\quad \|T^nx\|\le\delta_n,\quad x\in\mathbb C^d. \end{equation} Действительно, пусть $x_0$ --- допустимый вектор в \eqref{1}. Тогда, очевидно, вектор $-x_0$ также допустим и мы имеем для любого $\varphi\colon \mathbb C^d\times\mathbb C^d\to\mathbb C^d$ \begin{multline*} 2\|T^kx_0\|=\|T^kx_0-\varphi(0,0)-(T^k(-x_0)-\varphi(0,0))\| \\\le\|T^kx_0-\varphi(0,0)\|+ \|T^k(-x_0)-\varphi(0,0)\|\\ \le 2\sup_{\substack{x\in \mathbb C^d\\ \|x\|\le\delta_0, \ \|T^nx\|\le\delta_n}}\|T^kx-\varphi(0,0)\|\\\le2 \sup_{\substack{x,y_0,y_n\in \mathbb C^d\\ \|x-y_0\|\le\delta_0,\ \|T^nx-y_n\|\le\delta_n}}\|T^kx-\varphi(y_0,y_n)\|. \end{multline*} Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{1}, а справа к нижней грани по всем методам $\varphi$, получаем требуемое. Пусть $e_1,\ldots,e_d$ --- ортонормированный базис в $\mathbb C^d$ из собственных векторов оператора $T$ и $x=x_1e_1+\ldots+x_de_d$. Тогда квадрат значения задачи \eqref{1} равен значению такой задачи \begin{equation}\label{2} \sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|x_j|^2\to\max,\quad\sum_{j=1}^d|x_j|^2\le\delta_0^2,\quad \sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2n}|x_j|^2\le\delta_n^2. \end{equation} Оценим снизу ее значение. Рассмотрим отдельно несколько случаев. 1) $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in \Delta_0$. Определим $\wx=(\wx_1,\ldots,\wx_d)$ по правилу: $\wx_1=\delta_n/\mu_1^n$ и $\wx_j=0$, $2\le j\le d$. Так как $\delta_n/\delta_0\le\mu_1^n$, то $\wx_1^2\le\delta_0^2$ и значит, элемент $\wx$ допустим в задаче \eqref{2}. Следовательно, ее значение не меньше величины \begin{equation*} \sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|\wx_j|^2=\mu_1^{2k}\frac{\delta_n^2}{\mu_1^{2n}}= \delta_n^2\mu_1^{-(n-k)}=\delta_0^2u_0+\delta_n^2v_0. \end{equation*} 2) $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in \Delta_j$, $1\le j\le r-1$. Пусть $k_1$ и $k_2$ такие числа, что $|\lambda_{k_1}|=\mu_j$, а $|\lambda_{k_2}|=\mu_{j+1}$. Выберем $\wx_{k_1}$ и $\wx_{k_2}$ из условий $$\wx_{k_1}^2+\wx_{k_2}^2=\delta_0^2,\quad \mu_{j}^{2n}\wx_{k_1}^2+\mu_{j+1}^{2n}\wx_{k_2}^2=\delta_n^2,$$ т.~е. $$ \wx_{k_1}=\sqrt{\frac{\delta_0^2\mu_{j+1}^{2n}-\delta_n^2}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}},\quad \wx_{k_2}=\sqrt{\frac{\delta_n^2-\delta_0^2\mu_{j}^{2n}}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}}. $$ Положим $\wx=(\wx_1,\ldots,\wx_d)$, где $\wx_{k_1}$ и $\wx_{k_2}$ только что определены, а остальные компоненты нулевые. Тогда легко видеть, что $\wx$ --- допустимый элемент в задаче \eqref{2} и поэтому ее значение не меньше величины \begin{multline*} \sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|\wx_j|^2=\mu_{j}^{2k}\wx_{k_1}^2+\mu_{j+1}^{2k}\wx_{k_2}^2=\\= \mu_{j}^{2k} \frac{\delta_0^2\mu_{j+1}^{2n}-\delta_n^2}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}+ \mu_{j+1}^{2k}\frac{\delta_n^2-\delta_0^2\mu_{j}^{2n}}{\mu_{j+1}^{2n}-\mu_{j}^{2n}}= \delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j. \end{multline*} 3) $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in \Delta_r$. Положим $\wx=(\wx_1,\ldots,\wx_d)$, где $\wx_d=\delta_0$ и $\wx_j=0$, $1\le j\le d-1$. Так как $\mu_r^{2n}|\wx_d|^2=\mu_r^{2n}\delta_0^2<\delta_n^2$, то вектор $\wx$ допустим в задаче \eqref{2} и следовательно, ее значение не меньше величины $$ \sum_{j=1}^d|\lambda_j|^{2k}|\wx_j|^2=\mu_r^{2k}\delta_0^2=\delta_0^2u_r+\delta_n^2v_r. $$ 4) Если $\mu_1=0$, то фактически дословно повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что если $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, $1\le j\le r$, то значение задачи \eqref{2} не меньше величины $\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j$. Согласно установленному выше, погрешность оптимального восстановления не меньше значения задачи \eqref{1} и значит, если $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, $j=0,1,\ldots,r$, то доказано, что \begin{equation}\label{3} E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)\ge\sqrt{\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j}. \end{equation} Перейдем теперь к оценке сверху величины $E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)$ и построению оптимальных методов восстановления. Оптимальные методы будем искать среди линейных операторов из $\mathbb C^d\times\mathbb C^d$ в $\mathbb C^d$, т.~е. среди операторов, действующих по правилу: $(\xi,\eta)\mapsto A\xi+B\eta$, где $A$ и $B$ --- линейные операторы из $\mathbb C^d$ в $\mathbb C^d$. Оптимальность такого метода означает, что его погрешность, т.~е. значение задачи \begin{multline}\label{4} \|T^kx-Ay_0-By_n\|\to\max,\quad \|x-y_0\|\le\delta_0,\quad \|T^nx-y_n\|\le\delta_n,\\ x, \ y_0, \ y_n\in\mathbb C^d \end{multline} равно $E(T^k,T^n,\delta_0,\delta_n)$. Обозначим $\xi=x-y_0$ и $\eta=T^nx-y_n$. Тогда данная задача перепишется так \begin{multline*} \|T^kx-Ax-BT^nx+A\xi+B\eta\|\to\max,\quad \|\xi\|\le\delta_0,\quad \|\eta\|\le\delta_n,\\ x, \ \xi, \ \eta\in\mathbb C^d. \end{multline*} Заметим, что если $T^k-A-BT^n$ --- ненулевой оператор, то значение этой задачи равно бесконечности. В самом деле, если существует такое $x_0\in\mathbb C^d$, что $T^kx_0-Ax_0-BT^nx_0\ne0$, то за счет выбора константы $C>0$ на допустимых элементах $Cx_0$, $\xi=0$ и $\eta=0$ максимизируемый функционал может быть сделан сколь угодно большим. Далее считаем, что $A=T^k-BT^n$ и, кроме того, будем предполагать, что собственные векторы $e_1,\ldots,e_d$ оператора $T$ являются и собственными векторами оператора $B$. Но тогда они являются собственными векторами и оператора $A$. Если $\alpha_i$ и $\beta_i$, $1\le i\le d$, --- соответствующие собственные числа операторов $A$ и $B$, то ясно, что \begin{equation}\label{s} \alpha_i=\lambda_i^k-\beta_i\lambda_i^n,\quad 1\le i\le d. \end{equation} Учитывая сделанные предположения и разложения $\xi=\xi_1e_1+\ldots+\xi_de_d$ и $\eta=\eta_1e_1+\ldots+\eta_de_d$, ясно, что квадрат значения задачи \eqref{4} равен значению такой задачи \begin{equation}\label{5} \sum_{i=1}^d|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2\to\max,\quad \sum_{i=1}^d|\xi_i|^2\le \delta_0^2,\quad\sum_{i=1}^d|\eta_i|^2\le \delta_n^2. \end{equation} Пусть $\delta_n/\delta_0\in \Delta_j$ и при этом $\mu_1>0$ и $1\le j\le r-1$ или $\mu_1=0$ и $2\le j\le r-1$, В этом случае числа $u_j$ и $v_j$ положительны. Оценим в данной ситуации слагаемые под знаком суммы в максимизируемом функционале в \eqref{5} по неравенству Коши--Буняковского \begin{equation}\label{6} |\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2\le\left(\frac{|\alpha_i|^2}{u_j}+ \frac{|\beta_i|^2}{v_j}\right)(|\xi_i|^2u_j+|\eta_i|^2v_j),\quad 1\le i\le d. \end{equation} Если (см. \eqref{s}) \begin{equation}\label{7} \frac{|\alpha_i|^2}{u_j}+ \frac{|\beta_i|^2}{v_j}=\frac{|\lambda_i^k-\beta_i\lambda_i^n|^2}{u_j}+ \frac{|\beta_i|^2}{v_j}\le1,\quad 1\le i\le d, \end{equation} то складывая неравенства \eqref{6}, получаем, что значение задачи \eqref{5} не превосходит величины $\delta_0^2u_j+\delta_n^2v_j$ и значит, согласно \eqref{3}, совпадает с ней, а метод из теоремы с оператором $B$, определяемым данными $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, оптимален. Перепишем левые части неравенств \eqref{7} в другой форме (выделяя полный квадрат) \begin{multline*} \frac{|\lambda_i^k-\beta_i\lambda_i^n|^2}{u_j}+ \frac{|\beta_i|^2}{v_j}=\\ %\\=\frac{|\lambda_i|^{2n}|\lambda_i|^{-2(n-k)}}{u_j}- %\frac{|\lambda_i|^{2n}}{u_j} 2\,{\rm %Re}\,\lambda_i^{-(n-k)}\beta_i+\frac{|\lambda_i|^{2n}|\beta_i|^2}{u_j}+ %\frac{|\beta_i|^2}{v_j}=\\=\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}{u_jv_j}\bigg(|\beta_i|^2- %\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}}{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}2\,{\rm %Re}\,\lambda_i^{-(n-k)}\beta_i\bigg)+\frac{|\lambda_i|^{2k}}{u_j}=\\= %\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}{u_jv_j}\bigg(\bigg|\beta_i- %\frac{v_j|\lambda_i|^{2n}\lambda_i^{-(n-k)}}{v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j}\bigg|^2- %\frac{v^2_j|\lambda_i|^{2(n+k)}}{(v_j|\lambda_i|^{2n}+u_j)^2}\bigg)+\\ %+\frac{|\lambda_i|^{2k}}{u_j}= =\frac{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}{u_jv_j}\bigg|\beta_i- \frac{v_j\ov\lambda_i^n\lambda_i^k}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}\bigg|^2+ \frac{|\lambda_i|^{2k}}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}. \end{multline*} Требование, чтобы эти выражения не превосходили единицы равносильно неравенствам \begin{equation}\label{8} \left|\beta_i-\frac{v_j\ov\lambda_i^n\lambda_i^k}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}\right|\le \frac{\sqrt{u_jv_j}}{u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j} \sqrt{-|\lambda_i|^{2k}+u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j}, \end{equation} $1\le i\le d$, которые, в свою очередь, эквивалентны выражениям для $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, из формулировки теоремы (для рассматриваемых сейчас случаев, когда $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, а $j$ таково, что $u_j$ и $v_j$ одновременно отличны от нуля). При этом, выражения под знаком корня в \eqref{8} неотрицательны. Действительно, точки $(\mu_j^{2n},\mu_j^{2k})$ и $(\mu_{j+1}^{2n},\mu_{j+1}^{2k})$ лежат на вогнутой кривой $y=x^{k/n}$ и через них проходит прямая $y=u_j+v_jx$. Следовательно, для всех $\mu_i$ справедливо неравенство $\mu_i^{2k}\le u_j+v_j\mu_i^{2n}$ и значит $-|\lambda_i|^{2k}+u_j+|\lambda_i|^{2n}v_j\ge0$. Из \eqref{8}, в частности, следует, что числа $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, удовлетворяющие \eqref{7} существуют. Итак, если $\delta_n/\delta_0\in\Delta_j$, а $j$ такое, что $u_j$ и $v_j$ одновременно отличны от нуля, то числа $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, удовлетворяющие условиям теоремы, дают нужное выражение для погрешности оптимального восстановления и оптимальность указанного в теореме метода. Докажем, что и в остальных случаях, найденные из \eqref{8} выражения для $\beta_i$, $i=1,\ldots,d$, обладают тем же свойством. Действительно, пусть $\mu_1>0$ и $\delta_n/\delta_0\in\Delta_0$. Тогда, по определению, $u_0=0$ и $v_0=\mu_1^{-2(n-k)}$. Из \eqref{8} следует, что $\beta_i=\lambda_i^{-(n-k)}$ и значит, согласно \eqref{s}, $\alpha_i=0$, $i=1,\ldots,d$, и мы получаем (учитывая, что $\mu_1\le|\lambda_i|$, $i=1,\ldots,d$) оценку сверху для значения задачи \eqref{5} \begin{multline*} \sum_{i=1}^d|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2=\sum_{i=1}^d|\lambda_i|^{-2(n-k)}|\eta_i|^2\le \mu_1^{-2(n-k)}\sum_{i=1}^d|\eta_i|^2\le\\\le\delta_n^2v_0=\delta_0^2u_0+\delta_n^2v_0. \end{multline*} Отсюда вытекает, что утверждения теоремы справедливы, когда $\mu_1>0$, а $\delta_n/\delta_0\in\Delta_0$. Пусть теперь $\delta_n/\delta_0\in\Delta_r$. Тогда, по определению, $u_r=\mu_r^{2k}$ и $v_r=0$. Из \eqref{8} получаем, что $\beta_i=0$ и вследствие \eqref{s} $\alpha_i=\lambda_i^k$, $i=1,\ldots,d$. Следовательно (учитывая, что $|\lambda_i|\le\mu_r$, $i=1,\ldots,d$) \begin{multline*} \sum_{i=1}^d|\xi_i\alpha_i+\eta_i\beta_i|^2=\sum_{i=1}^d|\lambda_i|^{2k}|\xi_i|^2\le \mu_r^{2k}\sum_{i=1}^d|\xi_i|^2\le\delta_0^2u_r=\\=\delta_0^2u_r+\delta_n^2v_r, \end{multline*} т.~е. и в этом случае утверждения теоремы справедливы. \end{proof} \section{Оптимальное восстановление температуры по неточным дискретным данным} Рассмотрим уравнение теплопроводности на окружности, задаваемое неявной разностной схемой \begin{equation}\label{tp} \frac{u_{s+1,j}-u_{sj}}\tau=\frac{u_{s+1,j+1}-2u_{s+1,j}+u_{s+1,j-1}}{h^2}. \end{equation} Здесь $\tau$ и $h$ --- положительные числа, $(s,j)\in\mathbb Z_+\times\mathbb Z_{m}$, где $\mathbb Z_m$ --- группа вычетов по модулю $m\ge1$, которую будем реализовывать как набор чисел $\{0,1,\ldots,m-1\}$ со сложение по модулю $m$, $u_{s,j}$ --- температура тела в момент времени $s\tau$ в точке $jh$. Обозначим через $l_2^m$ пространство функций (векторов) $x=(x_0,x_1,\ldots,x_{m-1})$ на $\mathbb Z_m$ с нормой $$ \|x\|_{l_2^m}=\left(\sum_{j=0}^{m-1}|x_j|^2\right)^{1/2}. $$ Предположим, что приближенно измерена температура тела в нулевой момент времени и в момент времени $n\tau$, т.~е. приближенно известны векторы $u_{0}=(u_{0,0},\ldots,u_{0,m-1})$ и $u_{n}=(u_{n,0},\ldots,u_{n,m-1})$, или, точнее говоря, нам известны векторы $y_{0}=(y_{0,0},\ldots,y_{0,m-1})$ и $y_{n}=(y_{n,0},\ldots,y_{n,m-1})$ такие, что $$ \|u_q-y_q\|_{l_2^m}\le\delta_q,\ q=0,n, $$ где $\delta_q>0$, $q=0,n$. По этой информации требуется восстановить вектор $u_{k}=(u_{k,0},\ldots,u_{k,m-1})$, где $00$ и $A$ --- квадратная матрица порядка $d$ с постоянными коэффициентами. Предположим, что известны векторы $y_0,y_n\in\mathbb C^d$ такие, что $\|x_0-y_0\|\le\delta_0$ и $\|x_n-y_n\|\le\delta_n$, где $\|\cdot\|$ --- евклидова норма, $\delta_0,\delta_n>0$. По этой информации мы хотим восстановить значение $x_k$, $0