\documentclass[12pt,a4paper,draft,reqno]{amsart} \usepackage{amsmath,amsthm} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} %\documentclass[12pt,draft,a4paper]{amsart} %\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr} %\usepackage{srctex} \tolerance 5200 \renewcommand*{\proofname}{Доказательство} \DeclareMathOperator*{\infp}{inf\vphantom p} \DeclareMathOperator{\co}{co} \DeclareMathOperator{\mes}{mes} \DeclareMathOperator*{\vraisup}{vraisup} \DeclareMathOperator*{\intt}{int} \newcommand*{\bbbone}{{\mathchoice {\rm 1\mskip-4mu l} {\rm 1\mskip-4mu l} {\rm 1\mskip-4.5mu l} {\rm 1\mskip-5mu l}}} \newcommand*{\cd}{(\cdot)} \newcommand*{\lt}{L_2(\mathbb R^d)} \newcommand*{\li}{L_\infty(\mathbb R^d)} \newcommand*{\ld}{L_2(\mathbb R^d)} \newcommand*{\lo}{L_2(\Omega)} \newcommand*{\Hr}{\mathcal H_2^r(\mathbb R^d)} \newcommand*{\hr}{H_2^r(\mathbb R^d)} \newcommand*{\Wi}{W_\infty^{\mathcal A}(\mathbb R^d,\gamma)} \newcommand*{\wa}{\widehat a} \newcommand*{\wA}{\widehat A} \newcommand*{\la}{\langle} \newcommand*{\ra}{\rangle} \newcommand*{\wxi}{\widehat\xi} \newcommand*{\sk}{\sum_{k=1}^s} \newcommand*{\sj}{\sum_{j=1}^N} \newcommand*{\wta}{\widehat\tau} \newcommand*{\IR}{\int_{\mathbb R^d}} \newcommand*{\ov}{\overline} \newcommand*{\LL}{\mathcal L} \newcommand*{\sgn}{\rm sgn} \newcommand*{\wl}{\widehat\lambda} \newcommand*{\wmu}{\widehat\mu} \newcommand*{\wm}{\widehat m} \newcommand*{\wu}{\widehat u} \newcommand*{\wt}{\widehat \xi} \newcommand*{\ww}{\widetilde t} \newcommand*{\ws}{\widehat s} \newcommand*{\ty}{\widetilde y} \newcommand*{\wc}{\widehat c} \newcommand*{\Cp}{C_p^n} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{corollary}{Следствие} \begin{document} \begin{flushleft} УДК 517.984.64 \end{flushleft} \title[О наилучших методах восстановления]{О наилучших методах восстановления производных на соболевских классах} \author{Г.~Г.~Магарил-Ильяев, К.~Ю.~Осипенко} \thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант \No13-01-12447)} \address{Московский государственный университет имени М.~В.~Ломоносова} \address{Институт проблем передачи информации им. А.~А.~Харкевича РАН} \address{МАТИ --- Российский государственный технологический университет им.\ К.~Э.~Циолковского} \maketitle Работа посвящена построению наилучших (оптимальных) методов восстановления производных функций из обобщенного соболевского класса функций на $\mathbb R^d$ при условии, что о каждой такой функции известно точно или приближенно ее преобразование Фурье на произвольном измеримом множестве $A\subset\mathbb R^d$. В обоих случаях построены семейства оптимальных методов. Эти методы используют не весь объем информации о преобразовании Фурье, а тот, который используют, подвергают некоторой фильтрации. Рассмотрена также задача о нахождении наилучшего множества для восстановления данной производной среди всех множеств фиксированной меры. Библиография: 19 названий. \vskip7pt {\bf Ключевые слова:} оптимальное восстановление, соболевский класс, экстремальная задача, преобразование Фурье \section{Постановки задач и формулировки результатов} Пусть $d$ --- натуральное число и $F$ --- преобразование Фурье в $\lt$. Если $x\cd\in \lt$, то удобно считать, что функция $Fx\cd$ определена на $\mathbb R^d$ с мерой Лебега, деленной на $(2\pi)^d$. Норму $y\cd$ в пространстве суммируемых с квадратом функций на $\mathbb R^d$ с такой мерой обозначаем $\|y\cd\|_{{\widehat L}_2(\mathbb R^d)}$, т.~е. $$ \|y\cd\|_{{\widehat L}_2(\mathbb R^d)}=\left(\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|y(\xi)|^2\,d\xi\right)^{1/2}. $$ Для каждого $r>0$ обобщенное соболевское пространство (или пространство бесселевых потенциалов) $\Hr$ определяется как совокупность функций $x\cd\in\lt$, для которых $$\|x\cd\|_{\Hr}=\left(\frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|(Fx)(\xi)|^2 \,d\xi\right)^{1/2}<\infty,$$ где $\|\xi\|^2=\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2$. Соответствующим обобщенным соболевским классом назовем множество $$\hr=\{\,x\cd\in\Hr\mid\|x\cd\|_{\Hr}\le1\,\}.$$ Если $r$ --- натуральное, то функция $x\cd$ (переменных $t_1,\ldots t_d$) принадлежит $\Hr$ тогда и только тогда, когда все ее обобщенные производные $\partial^{\alpha_1+\ldots+\alpha_d}x/\partial t_1^{\alpha_1}\ldots\partial t_d^{\alpha_d}$, где $(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in \mathbb Z_+^d$ и $\alpha_1+\ldots+\alpha_d\le r$, принадлежат $\ld$, и в этом случае норма $$ \sum_{\alpha_1+\ldots+\alpha_d\le r}\left\|\frac{\partial^{\alpha_1+\ldots+\alpha_d}x\cd}{\partial t_1^{\alpha_1}\ldots\partial t_d^{\alpha_d}}\right\|_{\ld} $$ эквивалентна норме в $\Hr$. Таким образом, если $r$ натурально, то $\Hr$ --- классическое соболевское пространство функций на $\mathbb R^d$. Дадим теперь определение дробной производной. Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_d)\in\mathbb R^d_+$, $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d$, $(i\xi)^\alpha=(i\xi_1)^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot(i\xi_d)^{\alpha_d}$, где $(i\xi_j)^{\alpha_j}=|\xi_j|^{\alpha_j}\exp{\{\frac12\pi i \ \sgn \xi_j\}}$, $j=1,\ldots,d$ ($\sgn 0=0$, $0^0=1$) и $\mathcal E^\alpha$ --- оператор умножения на функцию $\xi\mapsto (i\xi)^{\alpha}$ в ${\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Если функция $x\cd\in\lt$ такова, что $(\mathcal E^\alpha\circ F)x\cd\in{\widehat L}_2(\mathbb R^d)$, то определена функция $D^\alpha x\cd=(F^{-1}\circ\mathcal E^\alpha\circ F)x\cd\in\lt$, где $F^{-1}$ --- обратное преобразования Фурье, которая называется {\it $\alpha$-ой производной} (по Вейлю) функции $x\cd$. Ясно, что если $x\cd$ достаточно гладкая и быстро убывающая функция на $\mathbb R^d$ и $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in\mathbb Z^d_+$, то $D^\alpha x(t)=\partial x^{\alpha_1+\ldots+\alpha_d}(t)/\partial t_1^{\alpha_1}\ldots\partial t_d^{\alpha_d}$. Нас интересуют следующие вопросы, которые на содержательном уровне звучат так. 1) Пусть о каждой функции $x\cd\in\hr$ известно (точно или приближенно) ее преобразование Фурье на некотором подмножестве $\mathbb R^d$. Как по этой информации наилучшим образом восстановить $D^\alpha x\cd$? 2) Пусть имеется возможность измерить (точно или приближенно) преобразование Фурье функций $x\cd\in\hr$ на любом множестве, мера которого не превосходит некоторого числа $\sigma>0$, т.~е. имеется возможность измерить фиксированное ``число гармоник''. Какие гармоники лучше всего взять для восстановления $D^\alpha x\cd$? Приведем точные постановки сформулированных задач. Пусть $A$ --- произвольное измеримое подмножество $\mathbb R^d$ и про каждую функцию $x\cd\in\hr$ известно ее преобразование Фурье на $A$ либо точно, либо с точностью до $\delta>0$ в метрике ${\widehat L}_2(A)$, т.~е. известна функция $y\cd\in {\widehat L}_2(A)$ такая, что $\|(Fx)\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta$. По этой информации мы хотим восстановить $D^\alpha x\cd$, $\alpha\in\mathbb R^d_+$, в метрике $\ld$. Понимается это следующим образом. Пусть $I^\delta(A)\colon \hr\to {\widehat L}_2(A)$ --- отображение, сопоставляющее $x\cd\in\hr$ множество $I^\delta(A) x\cd=\{\,y\cd\in {\widehat L}_2(A)\mid \|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta\,\}$ ($I^0(A)$ --- обычное отображение, которое сопоставляет $x\cd$ функцию $Fx\cd|_A$ --- сужение $Fx\cd$ на $A$). Обозначим через ${\rm Im}\,I^\delta(A)$ образ этого отображения. Всякий метод восстановления должен по функции (наблюдению) $y\cd\in {\rm Im}\,I^\delta(A)$ указать функцию из $\ld$, которая является приближением к $\alpha$-ой производной функции из $\hr$. Таким образом, всякий метод есть некоторое отображение $\varphi\colon {\rm Im}\,I^\delta(A)\to\ld$. Погрешностью этого метода назовем величину \begin{equation*} e(D^\alpha,\hr, A,\delta,\varphi)=\sup_{\substack{x\cd\in \hr \\[3pt]y\cd\in \,{\rm Im}\,I^\delta(A)}} \|D^\alpha x\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\ld}. \end{equation*} При $\delta=0$ это можно записать короче $$e(D^\alpha,\hr, A,0,\varphi)=\sup_{x\cd\in \hr} \|D^\alpha x\cd-\varphi(Fx\cd|_A)\cd\|_{\ld}.$$ Нас интересует величина $$ E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=\inf_{\varphi} e(D^\alpha,\hr, A,\delta,\varphi), $$ где нижняя грань берется по всем методам $\varphi\colon {\rm Im}\,I^\delta(A)\to\ld$, называемая {\it погрешностью оптимального восстановления} и те методы $\widehat \varphi$, на которых нижняя грань достигается, т.~е. $$ E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=e(D^\alpha,\hr, A,\delta,\widehat\varphi). $$ Такие методы будем называть {\it оптимальными методами восстановления}. Вопрос о нахождении погрешности оптимального восстановления и оптимальных методов восстановления и составляет точную постановку первого из сформулированных выше вопросов. Пусть теперь $\sigma>0$ и $\mathcal A_\sigma$ --- совокупность всех измеримых подмножеств $\mathbb R^d$, мера Лебега которых не больше $\sigma$. Нас будет интересовать также величина \begin{equation}\label{Em} E_\sigma(D^\alpha,\hr,\delta)=\inf_{A_\sigma\in\mathcal A_\sigma}E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta) \end{equation} и те множества, на которых нижняя грань достигается, которые мы называем {\it оптимальными множествами}. Задача о нахождении величины \eqref{Em} и оптимальных множеств есть точная постановка второго из сформулированных выше вопросов. Первоначальные идеи, связанные с данными постановками, принадлежат А.Н.Колмогорову, который в работе \cite{K} ввел понятие поперечника --- величину, характеризующую наилучшее приближение класса функций подпространствами фиксированной размерности. Затем в пятидесятые годы стали изучать наилучшие квадратуры на классах функций (первые исследования здесь принадлежат А.~Сарду \cite{Sa} и С.~М.~Никольскому \cite{Nik}). В 1965 г С.А.Смоляк \cite{S} поставил общую задачу об оптимальном восстановлении линейного функционала на классе элементов по неточной информации о самих элементах и доказал, что если класс --- выпуклое центрально симметричное множество, то среди оптимальных методов есть линейный. Впоследствии была поставлена более общая задача о восстановлении линейных операторов и тематика оптимального восстановления получила достаточно интенсивное развитие. Определенное представление об этом можно получить из обзоров и монографий \cite{MR}--\cite{MT2}. В работах \cite{MOf}--\cite{TS} изучались задачи оптимального восстановления, по духу близкие к тому, что рассматривается в данной статье. Отдельно отметим работу авторов \cite{MOV}, в которой исследуется та же задача, что и здесь, но множество $A$ есть все пространство $\mathbb R^d$. Перед формулировкой основных утверждений приведем некоторые определения и обозначения. Пусть $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)\in \mathbb Z^d_+$ и $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d$. Положим $$ \ov\alpha=\sum_{j=1}^d\alpha_j,\qquad \alpha^\alpha=\prod_{j=1}^d\alpha_j^{\alpha_j},\qquad |\xi|^\alpha=\prod_{j=1}^d|\xi_j|^{\alpha_j}.$$ Пусть $0<\ov\alpha0\mid\mes(A\cap \Omega_\lambda)=\mes\Omega_\lambda\,\}. $$ Равенство $\mes(A\cap \Omega_{\wl})=\mes\Omega_{\wl}$ тривиальным образом выполняется, поскольку $\mes\Omega_{\wl}=0$, а если $A$ совпадает п.~в. с $\mathbb R^d$, то $\lambda(A)=0$. Таким образом, $0\le\lambda(A)\le\wl$. Если $\delta=0$ и $\lambda(A)=0$, то мы располагаем полной информацией о функции и задача восстановления становится тривиальной. По этой причине случай $\delta+\lambda(A)=0$ далее исключен из рассмотрения. Для каждого $\delta\ge0$ и каждого измеримого подмножества $A$ в $\mathbb R^d$ таких, что $\delta+\lambda(A)\ne0$ положим $$ \Delta=\Delta(\delta,A)=\begin{cases} \delta,&0<\delta<\widehat\delta,\,\,\,\,\lambda(A)\le h(\delta),\\[12pt] h^{-1}(\lambda(A)),&0\le\delta<\widehat\delta,\,\,\,\,\lambda(A)> h(\delta),\\[12pt] \widehat\delta,&\delta\ge\widehat\delta \end{cases} $$ и определим числа $$ \lambda_1=\lambda_1(\delta,A)=\frac {r}{\ov\alpha\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right) h(\Delta)\quad\text{и}\quad \lambda_2=\lambda_2(\delta,A)=h(\Delta). $$ Заметим, что $h(\Delta)=\max\{\lambda(A),h(\delta)\}$. Наконец, через $\la\cdot,\cdot\ra$ обозначим скалярное произведение в $\mathbb R^d$. \begin{theorem}\label{T1} Пусть $\alpha\in\mathbb R^d_+$, \ $0<\ov\alpha0$, то для каждой измеримой функции $a\cd$ на $A$ такой, что для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$ \begin{multline}\label{**} \left|a(\xi)-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|\xi\|^2\right)^r}\right|\\ \le\frac{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}\left(1+\|\xi\|^2\right)^{r/2}} {|\xi|^\alpha(\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|\xi\|^2\right)^r)}\sqrt{-|\xi|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|\xi\|^2\right)^r}\,, \end{multline} метод $\widehat\varphi_a$, действующий для п.~в. $t\in\mathbb R^d$ по правилу $$ \widehat\varphi_a(y\cd)(t)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A} (i\xi)^\alpha a(\xi)y(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}\,d\xi, $$ является оптимальным. \end{theorem} \vskip20pt \noindent{\bf Комментарии} \vskip5pt \noindent 1. Если $\delta=0$, то из выражения для оптимальной погрешности восстановления следует, что $$ E(D^\alpha,\hr, A,0)=\sqrt{\lambda(A)}\,, $$ т.~е. преобразование Фурье функций из $\hr$ достаточно знать только на множестве $A'\subset A$ (включение понимается с точностью до множества меры нуль), для которого $\lambda(A')=\lambda(A)$. Минимальным среди них является множество $\Omega_{\lambda(A)}$. Оптимальный метод представляет собой $\alpha$-ую производную функции, преобразование Фурье которой вне $A$ равно нулю, а на $A$ есть наше наблюдение, ``сглаженное'' с помощью функции $a\cd$. В силу \eqref{*} функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi)Fx(\xi)$ принадлежит ${\widehat L}_2(A)$, и если она принадлежит еще и $L_1(A)$ (например, мера $A$ конечна), то выражение для оптимального метода есть формула обращения преобразования Фурье. Если нет, то интеграл в выражении для оптимального метода при каждом $t\in \mathbb R^d$ надо понимать в смысле главного значения. На множестве $A\setminus \Omega_{\lambda(A)}$ функция $f\cd$ не превосходит $\lambda(A)$. Поэтому согласно \eqref* на этом множестве можно положить $a\cd=0$ и значит, достаточно брать интеграл только по множеству $\Omega_{\lambda(A)}$. Если положить $a\cd=1$ на $A$, то формула \eqref* тривиальным образом выполняется, т.~е. наблюдаемое преобразование Фурье можно совсем не сглаживать. Наконец, если $\lambda(A)=\wl$, то $f(\xi)\le\wl$ для всех $\xi\in\mathbb R^d$. Неравенство \eqref* выполняется при $a\cd=0$ на $A$ и поэтому в данном случае нулевой метод является оптимальным. Суммируя сказанное, можно утверждать, что наиболее ``разумным'' является следующий оптимальный метод $$ \widehat\varphi(Fx\cd|_{A})(t)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\Omega_{\lambda(A)}}(i\xi)^\alpha Fx(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}\,d\xi, $$ так как он использует минимальный объем информации о преобразовании Фурье и не требует его обработки (кроме того, в случае $\lambda(A)=\wl$ интеграл берется по множеству меры нуль и тем самым $\widehat\varphi=0$). \noindent 2. Если $\delta>0$, то непосредственные (но довольно рутинные) вычисления показывают, что погрешность оптимального восстановления, как функция от $\lambda(A)$, убывает при убывании $\lambda(A)$ от $\wl$ до $h(\delta)$, а затем (что уже легко следует из определения $\Delta$) стабилизируется на уровне $$\sqrt{\left(\dfrac {r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right) +1\right)h(\delta)}\,. $$ Таким образом, информация о преобразовании Фурье за пределами множества, для которого $\lambda(A)\le h(\delta)$ оказывается лишней. Минимальным из таких множеств является множество $\Omega_{h(\delta)}$. В теореме представлено семейство оптимальных методов, каждый из которых есть $\alpha$-ая производная функции, преобразование Фурье которой вне $A$ равно нулю, а на $A$ есть наблюдения $y\cd$, ``сглаженное'' с помощью функции $a\cd$. На множестве $A\setminus \Omega_{h(\Delta)}$ (напомним $h(\Delta)=\max\{\lambda(A),h(\delta)\}$) можно положить $a\cd=0$. Действительно, в этом случае из неравенства \eqref{in}, равносильного соотношению \eqref{**}, следует, что на этом множестве должно выполняться условие $f(\xi)\le\lambda_2$, которое верно, поскольку $\lambda_2=h(\Delta)$. Таким образом, для каждого $a\cd$, удовлетворяющего \eqref{**}, наиболее экономный оптимальный метод имеет вид $$ \widehat\varphi_a(y\cd)(t)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\Omega_{h(\Delta)}} (i\xi)^\alpha a(\xi)y(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}\,d\xi. $$ Приведем в конце еще явное выражение для оптимального метода, соответствующего функции $a\cd$, обращающей левую часть \eqref{**} в ноль: \begin{multline*} \widehat\varphi(y\cd)(t)\\=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\Omega_{h(\Delta)}}\!\! (i\xi)^\alpha \left(1+\frac{\ov\alpha\Delta^2}{r}\,\frac{1}{\widehat\delta^{2/r}-\Delta^{2/r}} (1+\|\xi\|^2)^r\right)^{-1}\!y(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}d\xi. \end{multline*} \vskip10pt Перед формулировкой второй теоремы приведем еще некоторые определения. Понятно, что функция $m\colon \lambda\mapsto \mes\Omega_\lambda$ монотонно убывает на $(0,\wl\,]$, $m(\lambda)\to\infty$ при $\lambda\to0$ и $m(\wl)=0$. Для любого $\sigma>0$ обозначим через $\lambda(\sigma)$ единственное решение уравнения $m(\lambda)=\sigma$. \begin{theorem}\label{T2} Пусть $\alpha\in\mathbb R^d_+$, \ $0<\ov\alpha0$ и $\lambda(\sigma,\delta)=\max(\lambda(\sigma),h(\delta))$. Тогда любое множество, совпадающее с $\Omega_{\lambda(\sigma,\delta)}$ с точностью до множества меры нуль, является оптимальным. \end{theorem} Отметим, что если $\delta=0$, то $\lambda(\sigma,\delta)=\lambda(\sigma)$, поскольку $h(0)=0$ и тем самым $\Omega_{\lambda(\sigma)}$ --- оптимальное множество, и чем больше $\sigma$, тем меньше погрешность оптимального восстановления, равная $\sqrt{\lambda(\sigma)}$. Если же $\delta>0$ и $\sigma>0$ таковы, что $\lambda(\sigma)\le h(\delta)$, то информация о преобразовании Фурье за пределами множества $\Omega_{h(\delta)}$ оказывается лишней --- погрешность оптимального восстановления не уменьшается. \section{Доказательства} \begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T1}$] Покажем прежде всего, что если $x\cd\in\Hr$, то $D^\alpha x\cd\in\lt$. Действительно, согласно определениям $\wl$ и пространства $\Hr$ \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac 1{(2\pi)^d}\IR\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\\\le\wl\frac 1{(2\pi)^d}\IR(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi<\infty. \end{multline*} Далее, по определению $\alpha$-ой производной и теореме Планшереля $$ \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi=\IR|D^\alpha x(t)|^2\,dt, $$ т.~е. $D^\alpha x\cd\in\lt$. Теперь оценим снизу величину погрешности оптимального восстановления $E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)$. Покажем, что она не меньше значения экстремальной задачи \begin{equation}\label{*11} \|D^\alpha x\cd\|_{\lt}\to\max,\quad\|Fx\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta,\quad\|x\cd \|_{\Hr}\le1, \end{equation} т.~е. верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях (при этом, если $\delta=0$, то первое ограничение задачи имеет вид $Fx\cd=0$ для п.~в. $\xi\in A$). Пусть $x_0\cd$ --- допустимая функция в \eqref{*11} (т.~е. $x_0\cd$ удовлетворяет ограничениям задачи), тогда, очевидно, функция $-x_0\cd$ также допустима и мы имеем для любого $\varphi\colon {\widehat L}_2(A)\to\ld$ ($\varphi(0)\cd$ --- значение отображения $\varphi$ на нулевой функции) \begin{multline*} 2\|D^{\alpha}x_0\cd\|_{\ld} \le\|D^\alpha x_0\cd-\varphi(0)\cd\|_{\ld}\\+ \|D^\alpha (-x_0)\cd-\varphi(0)\cd\|_{\ld}\\ \le 2\sup_{\substack{x\cd\in H_2^r(\mathbb R^d)\\\|Fx\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta }}\|D^\alpha x\cd-\varphi(0)\cd\|_{\ld}\\\le2 \sup_{\substack{x\cd\in H_2^r(\mathbb R^d), \ y\cd\in {\widehat L}_2(A)\\\|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta }}\|D^\alpha x\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\ld}. \end{multline*} Переходя слева к верхней грани по всем допустимым функциям в \eqref{*11}, а справа к нижней грани по всем методам $\varphi$, получаем требуемое. Теперь оценим снизу значение задачи \eqref{*11}. Для этого удобно переписать задачу в образах Фурье. Согласно теореме Планшереля квадрат значения задачи \eqref{*11} равен значению такой задачи \begin{multline}\label{u1} \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\quad\frac 1{(2\pi)^d} \int_{A}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\\ \quad\frac 1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1. \end{multline} Если $\delta=0$, то первое ограничение в этой задаче имеет вид $Fx\cd=0$ для п.~в. $\xi\in A$. Рассмотрим отдельно несколько случаев. 1) $\delta\ge\widehat\delta$. Положим $$ \wxi=\left(\sqrt{\frac{\alpha_1}{r-\ov\alpha}},\ldots, \sqrt{\frac{\alpha_d}{r-\ov\alpha}}\,\right), $$ где, напомним, $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)$. Для каждого $\varepsilon>0$ обозначим $$ \wxi_\varepsilon=\left(1+\frac\varepsilon{\|\widehat \xi\|}\right)\wt, $$ рассмотрим шар $B_\varepsilon=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid \|\xi-\wxi_\varepsilon\|\le\varepsilon\,\}$ и определим на $\mathbb R^d$ функции $$z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases} (2\pi)^{d/2}\biggl(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1/2},&\xi\in B_\varepsilon,\\[15pt] 0,&\xi\notin B_\varepsilon. \end{cases}$$ Очевидно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим $x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$ и покажем, что функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Второе ограничение в этой задаче, очевидно, выполнено. Если $A\cap B_\varepsilon=\emptyset$, то первое ограничение тривиальным образом верно. Пусть $A\cap B_\varepsilon\ne\emptyset$. Легко проверить, что $(1+\|\wxi\,\|^2)^{-r}=\widehat\delta^2$ и что $\|\xi\|\ge\|\wxi\|$ для всех $\xi\in B_\varepsilon$. Учитывая это, будем иметь \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d} \int_{A}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi= \frac 1{(2\pi)^d} \int_{A\cap B_\varepsilon}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi\\\le \left(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}\mes B_\varepsilon\le\left(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\wxi\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}\mes B_\varepsilon\\=(1+\|\wxi\,\|^2)^{-r}=\widehat\delta^2\le\delta^2. \end{multline*} Итак, для любого $\varepsilon>0$ функция $x_\varepsilon\cd$ допустима в задаче \eqref{*11} и значит, значение этой задачи не меньше $$ \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi= \left(\int_{B_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1}\int_{B_\varepsilon} |\xi|^{2\alpha}\,d\xi. $$ При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится (по теореме о среднем) к величине $$ f(\wxi\,)=\frac{|\wxi\,|^{2\alpha}}{(1+\|\wxi\,\|^2)^r}\,, $$ которая равна $\wl$, поскольку в точке $\wxi$ достигается максимум функции $f$ (что отмечено перед формулировкой теоремы). Поскольку квадрат погрешности оптимального восстановления не меньше значения задачи \eqref{*11}, то при $\delta\ge\widehat\delta$ получена оценка \begin{equation}\label{otc} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\wl}\,. \end{equation} Величина справа совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления, указанной в теореме, так как в рассматриваемом случае $\Delta=\widehat\delta$ и $h(\widehat\delta\,)=\wl$. 2) $0<\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)\le h(\delta)$. Пусть $$ \widetilde \xi=\left(\sqrt{\frac{\alpha_1(1-\delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\delta^{2/r}}},\ldots, \sqrt{\frac{\alpha_d(1-\delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\delta^{2/r}}}\,\right). $$ Для каждого $\varepsilon>0$ обозначим $$ \widetilde\xi_\varepsilon=\left(1-\frac\varepsilon{\|\widetilde \xi\,\|}\right)\widetilde\xi $$ и рассмотрим шар $\widetilde B_\varepsilon=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid \|\xi-\widetilde\xi_\varepsilon\|\le\varepsilon\,\}$. Поскольку $\delta<\widehat\delta$ и тем самым $r (1-\delta^{2/r})/\ov\alpha>1$, то \begin{multline*} f(\widetilde\xi\,)=\frac{|\widetilde\xi\,|^{2\alpha}}{(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r}= \frac{\alpha^\alpha}{r{\ov\alpha}^{\ov\alpha-1}} \left(1-\delta^{2/r}\right)^{\ov\alpha-1}\delta^{2(1-\ov\alpha/r)}\\=\frac{r}{\ov\alpha} (1-\delta^{2/r})h(\delta)>h(\delta)\ge\lambda(A). \end{multline*} Следовательно, $\widetilde\xi\in\intt\Omega_{\lambda(A)}$, поэтому $B_\varepsilon\subset \intt\Omega_{\lambda(A)}$ для достаточно малых $\varepsilon$ и значит, $\mes (A\cap \widetilde B_\varepsilon)=\mes \widetilde B_\varepsilon$ для таких $\varepsilon$. Определим на $\mathbb R^d$ функции $$z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases} (2\pi)^{d/2}\dfrac{\delta}{\sqrt{\mes \widetilde B_\varepsilon}},&\xi\in \widetilde B_\varepsilon,\\[18pt] 0,&\xi\notin \widetilde B_\varepsilon. \end{cases}$$ Ясно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим $x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$ и покажем, что функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Первое ограничение в задаче выполняется очевидным образом. Далее элементарно проверяется, что $\|\xi\|\le\|\widetilde\xi\,\|$, если $\xi\in\widetilde B_\varepsilon$, а $\delta^2(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r=1$ и поэтому \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=\frac{\delta^2}{\mes \widetilde B_\varepsilon}\int_{\widetilde B_\varepsilon}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi\\ \le\frac{\delta^2}{\mes \widetilde B_\varepsilon}(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r\mes \widetilde B_\varepsilon=\delta^2(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r=1. \end{multline*} Итак, функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{*11} и значит, для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ значение этой задачи не меньше \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi= \frac{\delta^2}{\mes \widetilde B_\varepsilon}\int_{\widetilde B_\varepsilon} |\xi|^{2\alpha}\,d\xi\\=\frac 1{(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^{r}\mes \widetilde B_\varepsilon}\int_{\widetilde B_\varepsilon} |\xi|^{2\alpha}\,d\xi. \end{multline*} При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится (по теореме о среднем) к числу $$ \frac{|\widetilde\xi\,|^{2\alpha}}{(1+\|\widetilde\xi\,\|^2)^r}=\dfrac{\alpha^\alpha} {{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\dfrac{(1-\delta^{2/r})^{\ov\alpha}}{\delta^{2\ov\alpha/r}}\, \delta^2=\left(\dfrac {r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right)+1\right)h(\delta). $$ Тогда, по тем же соображениям, что и выше, для рассматриваемого случая доказана оценка \begin{equation}\label{otc2} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\left(\dfrac {r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right)+1\right)h(\delta)}\,, \end{equation} правая часть которой совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления, указанной в теореме, поскольку в рассматриваемом случае $\Delta=\delta$. 3) $0\le\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)>h(\delta)$. Пусть сначала $\lambda(A)=\wl$. Тогда для каждого $0<\lambda<\wl$ справедливо неравенство $\mes(A\cap\Omega_\lambda)<\mes\Omega_\lambda$ и значит, для таких $\lambda$ \begin{equation*} \mes(\Omega_\lambda\cap(\mathbb R^d\setminus A))=\mes(\Omega_\lambda\setminus A)= \mes\Omega_\lambda-\mes(A\cap\Omega_\lambda)>0. \end{equation*} Обозначим $G_\lambda=\Omega_\lambda\cap(\mathbb R^d\setminus A)$ и определим функции на $\mathbb R^d$ по правилу $$z_\lambda(\xi)=\begin{cases}(2\pi)^{d/2}\biggl (\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1/2}, &\xi\in G_\lambda,\\[10pt] 0,&\xi\notin G_\lambda.\end{cases} $$ Ясно, что $z_\lambda\cd\in{\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим $x_\lambda\cd=F^{-1}z_\lambda\cd$. Элементарно проверяется, что функции $x_\lambda\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Тогда для всех указанных $\lambda$ (учитывая, что $f(\xi)\ge\lambda$, если $\xi\in\Omega_\lambda$) имеем \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\xi|^{2\alpha}|Fx_\lambda(\xi)|^2\,d\xi= \biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1} \int_{G_\lambda}|\xi|^{2\alpha}\,d\xi\\ =\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1} \int_{G_\lambda}\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi\\ \ge\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\biggr)^{-1}\lambda \int_{G_\lambda}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi=\lambda \end{multline*} и тем самым значение задачи \eqref{u1} не меньше $\lambda$. Переходя к пределу при $\lambda\to\wl$, получаем, что значение этой задачи не меньше $\wl$. Снова, поскольку квадрат погрешности оптимального восстановления не меньше значения задачи \eqref{u1}, то для случая $\lambda(A)=\wl$ доказана оценка \begin{equation}\label{otc0} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\wl}\,, \end{equation} где, снова величина справа совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления из формулировки теоремы, так как в рассматриваемой ситуации $\Delta=\widehat\delta$. Пусть теперь $\lambda(A)<\wl$. Покажем сначала, что для всех $0<\varepsilon<\lambda(A)$ мера множества $$ F_\varepsilon=(\mathbb R^d\setminus A)\cap(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus \Omega_{\lambda(A)}) $$ положительна. %Заметим сначала, что $\mes(\mathbb R^d\setminus A)\ne0$, так как %$\lambda(A)>h(\delta)>0$ и значит, $A$ не совпадает с $\mathbb R^d$ п.~в. Предположим, что $\mes F_\varepsilon=0$ для некоторого $\varepsilon$. Тогда отсюда, учитывая, что $\Omega_{\lambda(A)}\subset\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}$, получим \begin{multline*} \mes(A\cap(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus \Omega_{\lambda(A)}))=\mes(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus \Omega_{\lambda})=\mes \Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\\-\mes(\Omega_{\lambda(A)}\cap \Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})=\mes\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}- \mes\Omega_{\lambda(A)}. \end{multline*} С другой стороны, \begin{multline*} \mes (A\cap(\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}\setminus \Omega_{\lambda(A)}))= \mes((A\cap\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})\setminus\Omega_{\lambda(A)})\\ =\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})-\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)}). \end{multline*} Из определения $\lambda(A)$ легко вытекает, что $\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)})=\mes\Omega_{\lambda(A)}$. Тогда из полученных выражений следует равенство $\mes(A\cap\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon})=\mes\Omega_{\lambda(A)-\varepsilon}$, которое противоречит определению $\lambda(A)$. Итак, $\mes F_\varepsilon\ne0$ для всех $0<\varepsilon<\lambda(A)$. Пусть сначала $\delta=0$. Для указанных $\varepsilon$ определим функции на $\mathbb R^d$ по правилу $$ z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases} (2\pi)^{d/2}\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1/2}, &\xi\in F_\varepsilon,\\[15pt] 0,&\xi\notin F_\varepsilon. \end{cases} $$ Ясно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим $x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$. Элементарно проверяется, что функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Те же рассуждения, что и в начале этого пункта показывают, что $$ \frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi\ge\lambda(A)-\varepsilon, $$ откуда, как и раньше, следует, что \begin{equation}\label{otc00} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,0)\ge\sqrt{\lambda(A)}\,. \end{equation} Величина справа совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления из формулировки теоремы, так как в рассматриваемом случае $\delta=0$ и $h(\Delta)=\lambda(A)$. Пусть теперь $\delta>0$. Положим $$ \xi'=\left(\sqrt{\frac{\alpha_1(1-\Delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\Delta^{2/r}}},\ldots, \sqrt{\frac{\alpha_d(1-\Delta^{2/r})}{\ov\alpha\,\Delta^{2/r}}}\,\right). $$ Для каждого $\varepsilon>0$ обозначим $$ \xi'_\varepsilon=\left(1-\frac\varepsilon{\|\xi'\|}\right)\xi' $$ и рассмотрим шар $B'_\varepsilon=\{\,\xi\in\mathbb R^d\mid \|\xi-\xi'_\varepsilon\|\le\varepsilon\,\}$. Так как $\lambda(A)<\widehat\lambda$, то $\Delta=h^{-1}(\lambda(A))h(\Delta)=\lambda(A). \end{multline*} Это означает, что $\xi'\in\intt \Omega_{\lambda(A)}$. Следовательно, для достаточно малых $\varepsilon>0$ шар $B'_\varepsilon$ принадлежит $\Omega_{\lambda(A)}$ и тем самым $B'_\varepsilon\cap F_\varepsilon=\emptyset$. Простая проверка показывает, что $\|\xi\|\le\|\xi'\|$, если $\xi\in B'_\varepsilon$ и $(1+\|\xi'\|^2)^r=1/\Delta^2$. Далее, поскольку $\lambda(A)>h(\delta)$, то $\Delta=h^{-1}(\lambda(A))>\delta$ и поэтому \begin{multline*} \frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon} \left(1+\|\xi\|^2\right)^r\,d\xi\le\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon} \left(1+\|\xi'\|^2\right)^r\,d\xi\\=\delta^2\left(1+\|\xi'\|^2\right)^r= \frac{\delta^2}{\Delta^2}<1. \end{multline*} Обозначим через $C_\varepsilon$ левую часть этого неравенства и для указанных выше $\varepsilon$ определим функции на $\mathbb R^d$ по правилу $$ z_\varepsilon(\xi)=\begin{cases} (2\pi)^{d/2}\dfrac{\delta}{\sqrt{\mes B'_\varepsilon}},&\xi\in B'_\varepsilon,\\[18pt] (2\pi)^{d/2}\sqrt{1-C_\varepsilon}\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1/2}, &\xi\in F_\varepsilon,\\[15pt] 0,&\xi\notin B'_\varepsilon\cup F_\varepsilon. \end{cases}$$ Ясно, что $z_\varepsilon\cd\in {\widehat L}_2(\mathbb R^d)$. Положим $x_\varepsilon\cd=F^{-1}z_\varepsilon\cd$ и покажем, что функции $x_\varepsilon\cd$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Действительно, так как $B'_\varepsilon\subset\Omega_{\lambda(A)}$, то $\mes B'_\varepsilon=\mes(A\cap B'_\varepsilon)$ и следовательно, \begin{equation*} \frac 1{(2\pi)^d}\int_A|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi= \frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{A\cap B'_\varepsilon} d\xi=\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\mes(A\cap B'_\varepsilon)=\delta^2. \end{equation*} Далее \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi\\ +(1-C_\varepsilon)\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1} \int_{F_\varepsilon}(1+\|\xi\|^2)^r\,d\xi=C_\varepsilon+1-C_\varepsilon=1 \end{multline*} и таким образом, функции $x_\varepsilon\cd$ для достаточно малых $\varepsilon$ допустимы в задаче \eqref{u1}. Тогда для всех таких $\varepsilon$ ее значение не меньше \begin{multline}\label{ps} \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx_\varepsilon(\xi)|^2\,d\xi=\frac{\delta^2}{\mes B'_\varepsilon}\int_{B'_\varepsilon}|\xi|^{2\alpha}\,d\xi\\ +(1-C_\varepsilon)\left(\int_{F_\varepsilon}(1+\|\eta\|^2)^r\,d\eta\right)^{-1} \int_{F_\varepsilon}|\xi|^{2\alpha}\,d\xi. \end{multline} Поступая также как и выше, получаем, что произведение двух последних сомножителей во втором слагаемом справа не меньше $\lambda(A)-\varepsilon$. Оценивая первое слагаемое и $C_\varepsilon$ по теореме о среднем, получаем, что при $\varepsilon\to0$ все выражение справа в \eqref{ps} стремится к величине \begin{multline*} \delta^2|\xi'|^{2\alpha}+(1-\delta^2(1+\|\xi'\|^{2})^r)\lambda(A)=\dfrac{\alpha^\alpha} {{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\dfrac{(1-\Delta^{2/r})^{\ov\alpha}}{\Delta^{2\ov\alpha/r}}\, \delta^2\,\\+\left(1-\frac{\delta^2}{\Delta^2}\right)\lambda(A)=\left(\frac {r\delta^2}{{\ov\alpha}\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right) +1\right)\lambda(A). \end{multline*} Следовательно, для случая $0\le\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)>h(\delta)$ получена оценка \begin{equation}\label{otc3} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\left(\frac {r\delta^2}{{\ov\alpha}\Delta^2}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\Delta^{2/r}\right) +1\right)\lambda(A)}\, \end{equation} правая часть которой совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления из формулировки теоремы, так как в рассматриваемом случае $h(\Delta)=\lambda(A)$. \vskip10pt Итак, для всех $\delta\ge0$ и измеримых множеств $A\subset\mathbb R^d$ таких, что $\delta+\lambda(A)\ne0$ получена оценка снизу для погрешности оптимального восстановления (см. \eqref{otc} -- \eqref{otc00} и \eqref{otc3}), которая совпадает с величиной погрешности оптимального восстановления приведенной в формулировке теоремы. Займемся теперь оценкой сверху этой величины и построением оптимальных методов. Пусть $\delta\ge0$ и $A\subset\mathbb R^d$ фиксированы и $\delta+\lambda(A)\ne0$. Оптимальность метода $\varphi\colon {\rm Im}\,I^\alpha(A)\to\ld$ означает, что его погрешность, т.~е. значение задачи \begin{multline}\label{bb2} \|D^\alpha x\cd-\varphi(y\cd)\cd\|_{\ld}\to\max,\quad x\cd\in\hr,\\ \|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta,\quad y\cd\in {\widehat L}_2(A), \end{multline} совпадает с $E(D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)$. Если $\delta=0$, то задача переписывается так \begin{equation}\label{bb0} \|D^\alpha x\cd-\varphi(Fx\cd|_A)\cd\|_{\ld}\to\max,\quad x\cd\in\hr. \end{equation} Рассмотрим отдельно несколько случаев. $(a)$ $\delta=0$. Поскольку отображение $x\cd\mapsto D^\alpha x\cd$ в образах Фурье есть умножение функции $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha$ на $Fx\cd$, то и оптимальные методы естественно искать среди подобных отображений. Каждой измеримой функции $a\cd$ на $A$ такой, что $a\cd\sqrt{f\cd}\in L_\infty(A)$ сопоставим отображение $\varphi_a\colon {\rm Im}\,I^0(A)\to\ld$, действующее в образах Фурье по правилу: $F\varphi_a(y\cd)(\xi)=(i\xi)^\alpha \widetilde a(\xi)\widetilde y(\xi)$ для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$, где $\widetilde a\cd=a\cd$, $\widetilde y\cd=y\cd$ на $A$ и $\widetilde a\cd=0$, $\widetilde y\cd=0$ вне $A$. Определение корректно, так как если $y\cd\in {\rm Im}\,I^0(A)$, то $y\cd=Fx\cd|_A$ для некоторого $x\cd\in \Hr$ и тогда \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\int_A|F\varphi_a(y\cd)(\xi)|^2\,d\xi= \frac1{(2\pi)^d}\int_A|\xi|^{2\alpha}|a(\xi)|^2|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\= \frac 1{(2\pi)^d}\int_A|a(\xi)|^2\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\\\||a\cd|^2 f\cd\|_{L_\infty(A)}\,\frac 1{(2\pi)^d}\int_A(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi<\infty. \end{multline*} Таким образом, согласно теореме Планшереля, $\varphi_a(y\cd)\cd\in\ld$. Пусть $\varphi_a$ --- такое отображение. Оценим квадрат максимизируемого функционала в \eqref{bb0} с $\varphi=\varphi_a$, переходя по теореме Планшереля к образам Фурье ($f(\xi)\le\lambda(A)$, если $\xi\in\mathbb R^d\setminus A$) \begin{multline}\label{nn} \frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d}|(i\xi)^\alpha Fx(\xi)-\varphi_a(Fx\cd|_A)(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}|(i\xi)^\alpha Fx(\xi)-(i\xi)^\alpha a(\xi)Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+ \frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus A}|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}|1-a(\xi)|^2\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus A}\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\\ \le\vraisup_{\xi\in A}|1-a(\xi)|^2f(\xi)\,\frac1{(2\pi)^d}\int_{A}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\\+\lambda(A)\,\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus A}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi. \end{multline} Отсюда видно, что если \begin{equation}\label{vr} |1-a(\xi)|^2f(\xi)\le\lambda(A) \end{equation} для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$, то величина справа в \eqref{nn} не превосходит $\lambda(A)$ и значит, погрешность метода $\varphi_a$ не превосходит $\sqrt{\lambda(A)}$. Тогда, с учетом \eqref{otc00} имеем $$ \sqrt{\lambda(A)}\le E(D^\alpha,\hr, A,0)\le e(D^\alpha,\hr, A,0,\varphi_a)\le\sqrt{\lambda(A)}, $$ т.~е. $E(D^\alpha,\hr, A,0)=\sqrt{\lambda(A)}$, а $\varphi_a$ --- оптимальный метод. Существование таких функций $a\cd$ очевидно. Например, подходит функция, равная тождественно единице. Если $\lambda(A)=\wl$, то $f(\xi)\le\wl$ для любого $\xi\in\mathbb R^d$ и \eqref{vr} выполняется с $a\cd=0$, т.~е. нулевой метод оптимален в данном случае. Если функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi) Fx(\xi)$ принадлежит $L_1(A)$ (например, если мера $A$ конечна), то выражение для оптимального метода, приведенное в теореме есть формула обращения преобразования Фурье. В противном случае интеграл для каждого $t \in\mathbb R^d$ надо понимать в смысле главного значения. $b)$ $\delta>0$, \ $\lambda(A)=\wl$. Покажем, что в этой ситуации нулевой метод является оптимальным. В самом деле, \begin{multline}\label{d0} E(D^\alpha,\hr, A,\delta)\le e(D^\alpha,\hr, A,\delta,0)\\=\sup_{\substack{x\cd\in \hr, \ y\cd\in{\widehat L}_2(A) \\[3pt]\|Fx\cd-y\cd\|_{{\widehat L}_2(A)}\le\delta}} \|D^\alpha x\cd\|_{\ld}\le\sup_{x\cd\in \hr}\|D^\alpha x\cd\|_{\ld}. \end{multline} Согласно теореме Планшереля квадрат величины справа равен значению такой задачи \begin{multline}\label{d1} \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\\\frac 1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi\le1. \end{multline} Отсюда, в силу определения $\wl$, \begin{multline*} \frac 1{(2\pi)^d}\IR|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\\=\frac 1{(2\pi)^d}\IR\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\le\wl, \end{multline*} т.~е. значение задачи \eqref{d1} не превосходит $\wl$. Следовательно, для случаев $\delta\ge\widehat\delta$ и $0\le\delta<\widehat\delta$, \ $\lambda(A)=\wl$ (см. \eqref{otc} и \eqref{otc0}) имеем $$ \sqrt{\wl}\le E(D^\alpha,\hr, A,\delta)\le e(D^\alpha,\hr, A,\delta,0)\le\sqrt{\wl}\,, $$ т.~е. $E(D^\alpha,\hr, A,\delta)=\sqrt{\wl}$ и $\widehat\varphi=0$ --- оптимальный метод. $c)$ $0<\delta<\widehat\delta$, \ $0\le\lambda(A)<\wl$. Для этих случаев выше были получены оценки снизу для погрешности оптимального восстановления (см. \eqref{otc2} и \eqref{otc3}), которые, как нетрудно проверить, можно записать в виде одной формулы: \begin{equation}\label{otc4} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A,\delta)\ge\sqrt{\lambda_1\delta^2+\lambda_2}\,, \end{equation} причем $\lambda_i>0$, $i=1,2$. Пусть $a\cd$ --- измеримая функция на $A$ такая, что функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi)$ принадлежит $L_\infty(A)$. Оптимальные методы, как и выше, будем искать среди таких отображений $\varphi_a\colon {\rm Im}\,I^\delta(A)\to\ld$, которые в образах Фурье действуют по правилу $F\varphi_a(y\cd)(\xi)=(i\xi)^\alpha \widetilde a(\xi)\widetilde y(\xi)$ для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$, где $\widetilde a\cd=a\cd$, $\widetilde y\cd=y\cd$ на $A$ и $\widetilde a\cd=0$, $\widetilde y\cd=0$ вне $A$. Ясно, что $\varphi_a\cd\in\ld$. Пусть $\varphi_a$ --- такой метод. Оценим значение задачи \eqref{bb2} в этой ситуации. Переходя по теореме Планшереля к образам Фурье, получаем, что квадрат ее значения равен значению следующей задачи \begin{multline}\label{bbg} \frac1{(2\pi)^d}\int_{A}|(i\xi)^\alpha Fx(\xi)-(i\xi)^\alpha a(\xi)y(\xi)|^2\,d\xi\\+ \frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus A}|\xi|^{2\alpha}|Fx(\xi)|^2\,d\xi\to\max,\\ \frac1{(2\pi)^d}\int_{A}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\le\delta^2,\\ \frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2 \,d\xi\le1, \,\,\, x\cd\in\Hr,\,\,\, y\cd \in{\widehat L}_2(A). \end{multline} Теперь оценим по неравенству Коши--Буняковского для каждого $\xi\in A$ выражение под знаком первого интеграла в максимизируемом функционале: \begin{multline*} |(i\xi)^\alpha Fx(\xi)-(i\xi)^\alpha a(\xi)y(\xi)|^2\\=|\xi|^{2\alpha}|(1-a(\xi))Fx(\xi)+ a(\xi)(Fx(\xi)-y(\xi))|^2\\ \le|\xi|^{2\alpha}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2} {\lambda_2\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}+\frac{|a(\xi)|^2}{\lambda_1}\right) \left(\lambda_2(1+\|\xi\|^2\right)^r|Fx(\xi)|^2\\+\lambda_1|Fx(\xi)-y(\xi)|^2). \end{multline*} Обозначим $$ S_a=\vraisup_{\xi\in A}|\xi|^{2\alpha}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2} {\lambda_2\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}+\frac{|\alpha(\xi)|^2} {\lambda_1}\right). $$ Если предположить, что $S_a\le1$, то интегрируя по $A$ последнее неравенство и учитывая, что $f(\xi)\le\lambda(A)$ за пределами $A$, получаем следующую оценку для максимизируемого функционала в \eqref{bbg} \begin{multline*} \lambda_2\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}(1+\|\xi\|^2)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi+\lambda_1\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\\+\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus A}\frac{|\xi|^{2\alpha}}{(1+\|\xi\|^2)^r}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi\\\le\lambda_2\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A} (1+\|\xi\|^2)^r|Fx(\xi)|^2\,d\xi+\lambda_1\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}|Fx(\xi)-y(\xi)|^2\,d\xi\\+\lambda(A)\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus A}(1+\|\xi\|^2)^r |Fx(\xi)|^2\,d\xi. \end{multline*} Если $\lambda(A)\le h(\delta)$, то $\Delta=\delta$ и тем самым $\lambda(A)\le h(\Delta)=\lambda_2$. Если же $\lambda(A)\ge h(\delta)$, то $\lambda_2=h(\Delta)=\lambda(A)$. Итак, всегда $\lambda(A)\le\lambda_2$, и поэтому из последней оценки, учитывая ограничения в задаче \eqref{bbg}, получаем, что максимизируемый функционал в этой задаче не превосходит величины $\lambda_2+\lambda_1\delta^2$, т.~е. погрешность метода $\varphi_a$ не превосходит $\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\delta^2}$. Вместе с \eqref{otc4} это означает, что метод $\varphi_a$ оптимален. Теперь покажем, что указанные функции $a\cd$, для которых $S_a\le1$, существуют. Если для п.~в. $\xi\in\mathbb R^d$ выполняется неравенство \begin{equation}\label{in} |\xi|^{2\alpha}\left(\frac{|1-a(\xi)|^2} {\lambda_2\left(1+\|\xi\|^2\right)^r}+\frac{|\alpha(\xi)|^2} {\lambda_1}\right)\le1, \end{equation} то $S_a\le1$. Далее, если \begin{equation}\label{ineq} -|\xi|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|\xi\|^2\right)^r\ge0,\,\,\,\forall\,\xi\in\mathbb R^d, \end{equation} то нетрудно проверить (выделяя полный квадрат), что \eqref{in} равносильно соотношению, приведенному в теореме. Из него следует, что для любой измеримой функция $a\cd$ ему удовлетворяющей, функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi)$ принадлежит $L_\infty(A)$ и таким образом оптимальных методов ``достаточно много''. Осталось доказать неравенство \eqref{ineq}. Для этого рассмотрим функцию $g\cd$ на полупрямой $[0,\infty)$, определенную формулой $$ g(x)=\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\left(x^{1/r}-1\right)^{\ov\alpha}. $$ Простая проверка показывает, что эта функция вогнута на $[x_0,\infty)$, где $x_0=(r/(r-\ov\alpha))^r$. В нашем случае $\Delta<\widehat\delta$, или равносильно, $\Delta^{-2}>x_0$. Непосредственный подсчет показывает, что прямая $x\mapsto \lambda_1+\lambda_2x$ является касательной к графику функции $g\cd$ в точке $\Delta^{-2}$ и поэтому в силу вогнутости $g\cd$ $$ g(x)\le\lambda_1+\lambda_2x,\quad \forall\,x\ge x_0. $$ Пусть $\xi\in\mathbb R^d$. Положим $x_\xi=(1+\|\xi\|^2)^{r}$. Тогда $$ g(x_\xi)=\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,\|\xi\|^{2\ov\alpha}. $$ Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом (см. \cite{H}, стр. 29) легко следует, что $$ |\xi|^{2\alpha}\le\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,\|\xi\|^{2\ov\alpha}. $$ Объединяя последние соотношения, учитывая, что $x_\varepsilon>x_0$, получаем $$ |\xi|^{2\alpha}\le\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,\|\xi\|^{2\ov\alpha}= g(x_\xi)\le\lambda_1+\lambda_2x_\xi=\lambda_1+\lambda_2(1+\|\xi\|^2)^r, $$ что и доказывает \eqref{ineq}, а значит, и выражение для функций $a\cd$ из формулировки теоремы. Как и в случае $\delta=0$, если функция $\xi\mapsto (i\xi)^\alpha a(\xi) Fx(\xi)$ принадлежит $L_1(A)$ (например, если мера $A$ конечна), то выражение для оптимального метода, приведенное в теореме есть формула обращения преобразования Фурье. В противном случае интеграл для каждого $t \in\mathbb R^d$ надо понимать в смысле главного значения. \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы $\ref{T2}$] Пусть $A_\sigma\in\mathcal A_\sigma$. Покажем, что $\lambda(A_\sigma)\ge\lambda(\sigma)$. Действительно, если $\lambda(A_\sigma)<\lambda(\sigma)$, то существует такое $\lambda<\lambda(\sigma)$, что $\mes(A_\sigma\cap\Omega_\lambda)=\mes\Omega_\lambda$ и так как $\mes\Omega_\lambda>\mes\Omega_{\lambda(\sigma)}=\sigma$, то $\mes A_\sigma>\sigma$, что абсурдно. Пусть $\delta=0$. Из теоремы \ref{T1} вытекает, что \begin{equation*} E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A_\sigma,0)=\sqrt{\lambda(A_\sigma)}\ge\sqrt{\lambda(\sigma)}\,. \end{equation*} Но поскольку $\mes\Omega_{\lambda(\sigma)}=\sigma$ и $\lambda(\Omega_{\lambda(\sigma)})=\lambda(\sigma)$, то $\Omega_{\lambda(\sigma)}$ --- оптимальное множество и, очевидно, что любое множество, отличающееся от $\Omega_{\lambda(\sigma)}$ лишь на множестве меры нуль, также оптимально. Если $\delta\ge\widehat\delta$, то для любого множества и, в частности, для любого $A_\sigma$ $$E( D^{\alpha},H_{2}^r(\mathbb R^d), A_\sigma,0)=\sqrt{\widehat\lambda}.$$ Следовательно, в этом случае любое множество является оптимальным. Пусть теперь $0<\delta<\widehat\delta$ и $A_\sigma\in\mathcal A_\sigma$. Если $\lambda(\sigma)\ge h(\delta)$, то $\lambda(\sigma,\delta)=\lambda(\sigma)$. Чуть выше показано, что $\lambda(A_\sigma)\ge\lambda(\sigma)$ и тем самым $\lambda(A_\sigma)\ge h(\delta)$. В этом случае погрешность оптимального восстановления, как отмечено в комментарии к теореме \ref{T1}, убывает с убыванием $\lambda(A)$, и поскольку $\lambda(A_\sigma)\ge\lambda(\sigma)=\lambda(\Omega_{\lambda(\sigma)})$, то $$ E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta)\ge E(D^\alpha,\hr,\Omega_{\lambda(\sigma)},\delta). $$ Следовательно, $\Omega_{\lambda(\sigma)}$ --- оптимальное множество. Пусть $\lambda(\sigma)\le h(\delta)$, тогда $\lambda(\sigma,\delta)=h(\delta)$. Если $\lambda(A_\sigma)\ge h(\delta)$, то по тем же соображениям, что и а предыдущем случае, получаем $$ E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta)\ge E(D^\alpha,\hr,\Omega_{h(\delta)},\delta). $$ Если же $\lambda(A_\sigma)\le h(\delta)$, то согласно теореме \ref{T1} \begin{multline*} E(D^\alpha,\hr, A_\sigma,\delta)=\sqrt{\left(\dfrac {r}{\ov\alpha}\left({\widehat\delta}^{2/r}-\delta^{2/r}\right) +1\right)h(\delta)}\\=E(D^\alpha,\hr,\Omega_{h(\delta)},\delta), \end{multline*} т.~е. $\Omega_{h(\delta)}$ --- оптимальное множество. Итак, при $\delta>0$ множество $\Omega_{\lambda(\sigma,\delta)}$ и любое множество, отличающееся от $\Omega_{\lambda(\sigma,\delta)}$ на множестве меры нуль, оптимальны. \end{proof} Рассмотрим теперь один пример. Пусть $\alpha=(1,0,\ldots,0)$ и $r=2$. Иными словами, рассматривается задача восстановления частной производной $x_{t_1}(\cdot)$ на классе $H_2^2(\mathbb R^d)$. В этом случае $$\wl=\frac14\,,\quad\widehat\delta=\frac12\,,$$ а $$ \Omega_\lambda=\left\{\,(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d \mid\frac{\xi_1^2}{(1+\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2)^2}\ge\lambda\,\right\}.$$ Нетрудно убедиться, что $\Omega_\lambda$ при $\lambda<1/4$ представляет собой два шара: $$\Omega_\lambda=\left\{\,(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d\mid\left(|\xi_1|-\frac1{2\sqrt\lambda}\right)^2+\xi_2^2+\ldots+\xi_d^2\le \frac1{4\lambda}-1\,\right\}.$$ Из теоремы \ref{T1} получаем, что $E(D^\alpha,H_2^2(\mathbb R^d), A,\delta)=1/2$ при $\delta\ge1/2$, а при $\delta<1/2$ $$E(D^\alpha,H_2^2(\mathbb R^d), A,\delta)=\begin{cases} \sqrt{(1-\delta)\delta},&\lambda(A)\le\delta/2,\\[12pt] \sqrt{\left(\dfrac{1-4\lambda(A)} {4\lambda(A)}\right)\delta^2+\lambda(A)},&\lambda(A)>\delta/2. \end{cases}$$ Семейство оптимальных методов для рассматриваемого случая также может быть легко получено из теоремы \ref{T1}. В частности, при $0<\delta<1/2$ метод $$ \widehat\varphi(Fx\cd|_{A})(t)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{A}\frac{i\xi_1}{1+\dfrac{\Delta^2} {1-2\Delta}(1+\xi_1^2+\ldots+\xi_d^2)^2}Fx(\xi)e^{ \la\xi,t\ra}\,d\xi,$$ где $$\Delta=\begin{cases} \delta,&\lambda(A)\le\delta/2,\\ 2\lambda(A),&\lambda(A)>\delta/2,\end{cases}$$ является оптимальным. В силу известной формулы для объема $d$-мерного шара имеем $$\mes\Omega_\lambda=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}\left(\frac1{4\lambda} -1\right)^{d/2}$$ и тем самым $$\lambda(\sigma)=\frac14\left(1+\frac1\pi\left(\frac\sigma2\Gamma(d/2+1)\right)^{2/d} \right)^{-1}.$$ Как отмечалось в доказательстве теоремы \ref{T2}, при $\delta\ge1/2$ любое множество оптимально. При $\delta<1/2$ из той же теоремы вытекает, что шары $$\left\{\,(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d\mid\left(|\xi_1|-\sqrt{R^2+1}\right)^2 +\xi_2^2+\ldots+\xi_d^2\le R^2 \,\right\},$$ где $$R=\begin{cases}\dfrac1{\sqrt\pi}\left(\dfrac\sigma2\Gamma(d/2+1)\right)^{1/d},& \sigma<\dfrac2{\pi^{d/2}\Gamma(d/2+1)}\left(\dfrac1{2\delta}-1\right)^{d/2},\\[12pt] \sqrt{\dfrac1{2\delta}-1},& \sigma\ge\dfrac2{\pi^{d/2}\Gamma(d/2+1)}\left(\dfrac1{2\delta}-1\right)^{d/2}, \end{cases}$$ являются оптимальным множеством. \begin{thebibliography}{11} \bibitem{K}{\it Kolmogorov~A.~N.} \"Uber die beste Ann\"aherung von Functionen einer gegebenen Functionenklasse // Ann. of Math. 1936, 37, 107--110. \bibitem{Sa}{\it Sard~A.} Best approximate integration formulas: best approximation formulas // Amer. J. Math. 1949, 71, 80--91. \bibitem{Nik}{\it Никольский~С.~М.} К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // УМН, 1950, 5, № 2, 165--177. \bibitem{S}{\it Смоляк~С.~А.} Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них. Канд. дисс. Москва: МГУ, 1965. \bibitem{MR} {\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} A survey of optimal recovery. In: Optimal Estimation in Approximation Theory (C.~A.~Micchelli and T.~J.~Rivlin, Eds.). P.~1--54. New York: Plenum Press, 1977. \bibitem{TW}{\it Traub J.~F., Wo\'zniakowski H.} A General Theory of Optimal Algorithms. New York: Academic Press, 1980. \bibitem{MR1}{\it Micchelli~C.~A., Rivlin~T.~J.} Lectures on Optimal Recovery. Lecture Notes in Mathematics. V.~1129. P.~21--93. Berlin: Springer--Verlag, 1985. \bibitem{Ar}{\it Арестов~В.~В.} Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. Т.~189. С.~3--20. \bibitem{Os1}{\it Osipenko~K.~Yu.} Optimal Recovery of Analytic Functions, Nova Science Publ., Inc., Huntington, New York 2000. \bibitem{MT1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Тихомиров~В.~М.} Выпуклый анализ и его приложения, М.: Эдиториал УРСС, 2011 (3-е изд). \bibitem{MT2}{\it Magaril-Il'yaev~G.~G., Tichomirov~V.~M.} Convex Analysis: Theory and Applications, Translations of Math. Monographs, vol. 222, AMS, Providence, RI, 2003. %\bibitem{MOs}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном %восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки. 1991. Т.~50. \No6. %С.~85--93. \bibitem{MOf}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функ. анализ и его прил. 2003. T.~37. С.~51--64. \bibitem{MOTr}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации // Тр. МИАН, 2010, 269, 181--192. \bibitem{MOf1}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функ. анализ и его прил. 2010. T.~44. С.~76--79. \bibitem{MOv}{\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} О наилучшем выборе информации в задаче восстановления функции по спектру, Математический форум. Т.1. Исследования по математическому анализу. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008, 142--150.   \bibitem{MO6} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру?, {\it Мат. заметки}, {\bf92}:1 (2012), 59–-67. \bibitem{TS} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Сивкова~Е.~О.} Наилучшее восстановление оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру, {\it Матем. сб.} {\bf203}:4 (2012), 119--130. \bibitem{MOV} {\it Магарил-Ильяев~Г.~Г., Осипенко~К.~Ю.} Оптимальное восстановление производных на соболевских классах // {\it Владикавказский мат. журнал}, {\bf5}:1 (2003), 39–-47. \bibitem{H} {\it Харди~Г.~Г., Литтльвуд~Д.~Е., Полиа.~Г.} Неравенства. М.: Иностранная литература, 1948. \end{thebibliography} \end{document} %Для этого сначала найдем значение следующей экстремальной задачи %\begin{equation}\label{z} %|\xi|^{2\alpha}\to\max, \quad \|\xi\|=1,\quad %\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_d)\in\mathbb R^d. %\end{equation} %Обозначим через $\xi^*=(\xi_1^*,\ldots,\xi_d^*)$ ее решение, %которое, очевидно, существует. %Согласно правилу множителей Лагранжа найдутся такие множители %Лагранжа $\mu_0$ и $\mu_1$, не равные одновременно нулю, что функция %Лагранжа задачи \eqref{z} %$$ %\mathcal L(\xi,\mu_0,\mu_1)=\mu_0|\xi|^{2\alpha}+\mu_1(\|\xi\|^2-1) %$$ %удовлетворяет необходимому условию экстремума в точке $\xi^*$, т.~е. %\begin{equation}\label{L} %\mu_02\alpha_j{\xi^*_j}^{2\alpha_j-1}\prod_{\substack{k=1\\k\ne %j}}^d {\xi^*_k}^{2\alpha_k}+\mu_12\xi^*_j=0,\quad 1\le j\le d, %\end{equation} %где первое слагаемое отсутствует, если $\alpha_j=0$. Если же %$\alpha_j\ne0$, то $\xi_j^*\ne0$, поскольку ясно, что значение %задачи \eqref{z} отлично от нуля. Отсюда следует, что $\mu_0$ и %$\mu_1$ отличны от нуля, откуда, в свою очередь, следует, что %$\xi_j^*=0$, если $\alpha_j=0$ и %$$ %{\xi_j^*}^2=-\alpha_j\,\frac{\mu_0}{\mu_1}\,\prod_{k=1}^d %{\xi^*_k}^{2\alpha_k}, %$$ %если $\alpha_j\ne0$. Из соотношения $\|\xi^*\|=1$, находим выражение %для $\mu_0/\mu_1$, из которого и предыдущей формулы вытекает, что %$$ %{\xi_j^*}^2=\frac{\alpha_j}{\ov\alpha},\quad j=1,\ldots,d. %$$ %Следовательно, значение задачи \eqref{z} таково %$$ %|\xi^*|^{2\alpha}=\frac{\alpha^\alpha}{{\ov\alpha}^{\ov\alpha}}\,. %$$ \vskip50pt в силу того, что $\mes(\mathbb R^d\setminus M_\mu)\cap\Omega_{\ov\lambda}=0$, а при $t\in\mathbb R^d\setminus\Omega_{\ov\lambda}$ $$\frac{|t|^{2\alpha}}{(1+\|t\|^2)^r}\le\ov\lambda\le\lambda_2,$$ значение задачи \eqref{bb1} оценивается величиной \begin{multline*} S_\gamma\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}\left(\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2+ \lambda_1|z(t)|^2\right)\,dt\\+\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt\\ \le\frac{\lambda_2}{(2\pi)^d} \IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt+\frac{\lambda_1}{(2\pi)^d}\int_{M_\mu} |z(t)|^2\,dt\le\lambda_2+\lambda_1\Delta^2. \end{multline*} Таким образом, в этом случае $$e(\alpha,\mu,\delta,m)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$ Следовательно, $$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$ Нетрудно убедиться, что эта оценка совпадает с оценками снизу \eqref{E1} и \eqref{E2}. Остается доказать непустоту множества функций $\gamma\cd$, для которых при почти всех $t\in M_\mu$ выполнено неравенство $$\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2} {\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2} {\lambda_1}\le1.$$ Это неравенство может быть переписано в виде \begin{multline*} \left|\gamma(t)-\frac{\lambda_1(it)^\alpha}{\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r}\right|^2\\ \le\frac{\lambda_1\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r} {(\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r)^2}(-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r). \end{multline*} Теперь достаточно доказать, что при всех $t\in\mathbb R^d$ $$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$ Множество точек вида \eqref{gr} лежит под кривой \eqref{kr}. Эта кривая вогнута при $x\ge x_0$. Поэтому для любой касательной к кривой \eqref{kr} $y=c_1+c_2x$, проведенной в точке, принадлежащей множеству $[x_0,+\infty)$, выполняется неравенство $$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$ Остается только заметить, что $y=\lambda_1+\lambda_2x$ --- касательная к кривой \eqref{kr} в точке $x=\omega^{-2}$ при $\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\ov\lambda)$ и в точке $x=\Delta^{-2}$ при $\ov\lambda\in(0,\lambda_\Delta)$. \end{proof} %\end{document} \vskip70pt На плоскости $(x,y)$ рассмотрим множество точек вида \begin{equation}\label{gr} \begin{cases}y=|t|^{ 2\alpha},&\\ x=(1+\|t\|^2)^r,&\end{cases} \end{equation} при всех $t\in\mathbb R^d$. Найдем значение следующей экстремальной задачи $$|t|^{2\alpha}\to\max,\quad\|t\|^2\le R^2.$$ Положив $u_j=|t_j|^2$, эта задача перепишется в виде $$\prod_{j=1}^du_j^{\alpha_j}\to\max,\quad u_1+\ldots+u_d\le R^2\quad u_j\ge0,\ j=1,\ldots,d.$$ Если при некотором $j$ \ $\alpha_j=0$, то соответствующую переменную можно отбросить. Поэтому без ограничения общности можно считать, что $\alpha_j>0$ для всех $j$. Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид $$\LL(u,\lambda_0,\lambda_1)=-\lambda_0\prod_{j=1}^du_j^{\alpha_j} +\lambda_1(u_1+\ldots+u_d-R^2).$$ Применяя необходимые условия для экстремума, получаем равенства $$-\lambda_0\alpha_ju_j^{\alpha_j-1}\prod_{\substack{k=1\\k\ne j}}^du_k^{\alpha_k}+\lambda_1=0.$$ Очевидно, что $\lambda_0\ne0$. Поэтому $u_j=c\alpha_j$, $j=1,\ldots,d$, где положительная константа $c$ находится из условия дополняющей нежесткости $u_1+\ldots+u_d=R^2$. Тем самым значение рассматриваемой задачи равно $pR^{2\sigma}\sigma^{-\sigma}$, где $$p=\prod_{j=1}^d\alpha_j^{\alpha_j},\quad\sigma=\sum_{j=1}^d\alpha_j.$$ Достигается это значение на точках $$t_j=\pm R\sqrt{\frac{\alpha_j}\sigma},\quad j=1,\ldots,d.$$ В случае, если какие-то из чисел $\alpha_j$ равны нулю, полученное выражение для значения экстремальной задачи остается верным, считая, что соответствующие величины $\alpha_j^{\alpha_j}$ равны 1. Таким образом, множество точек \eqref{gr} лежит в первом квадранте под кривой, задаваемой равенствами \begin{equation}\label{kr} \begin{cases}y=pR^{2\sigma}\sigma^{-\sigma},&\\ x=(1+R^2)^r,&\end{cases}. \end{equation} Пусть $r>1$ и $\sigma0$ и $M_\mu$ $$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\wl}.$$ Имеем $$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le e(\alpha,M_\mu,\delta,0)=\sup_{x\cd\in \hr} \|D^\alpha x\cd\|_{\ld}.$$ В образах Фурье последняя задача записывается в виде (мы снова переходим к квадратам значений) \begin{multline*} \IR|t|^{2\alpha}u(t)\,dt\to\max,\\ \IR\left(1+\|t\|^2\right)^ru(t)\,dt\le1,\ u(t)\ge0\ \mbox{п.\ в.}, \end{multline*} В силу \eqref{ll} получаем $$\IR|t|^{2\alpha}u(t)\,dt\le\wl \IR\left(1+\|t\|^2\right)^ru(t)\,dt\le\wl.$$ Следовательно, \begin{equation}\label{lm} E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\wl}. \end{equation} Пусть $\Delta\ge\Delta_0$. Рассмотрим шар $$B_\varepsilon=\{\,t\in\mathbb R^d:\|t-\ww\|\le\varepsilon\,\},$$ где $\varepsilon>0$, $$\ww=\left(1+\frac\varepsilon{\|\wt\|}\right)\wt,\quad\wt=(\wt_1,\ldots,\wt_d), \quad\wt_j=\sqrt{\frac{\alpha_j}{r-\sigma}},\ j=1,\ldots,d.$$ Положим в задаче \eqref{u} $$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in B_\varepsilon,\\ 0,&t\notin B_\varepsilon,\end{cases}$$ где $$A=\biggl(\int_{B_\varepsilon}(1+\|t\|^2)^r\,dt\biggr)^{-1}.$$ Тогда при достаточно малых $\varepsilon$ \ $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция. Действительно, $$\int_{B_\varepsilon\cap M_\mu}\wu(t)\,dt\le A\mes(B_\varepsilon).$$ В силу того, что при всех $t\in B_\varepsilon$ \ $\|t\|\ge\|\wt\|$, имеем $$A\mes(B_\varepsilon)\le(1+\|\wt\|^2)^{-r}=\Delta_0^2 \le\Delta^2.$$ Тем самым значение задачи \eqref{u} не менее, чем $$A\int_{B_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt.$$ При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится к $$\frac{|\wt|^{2\alpha}}{(1+\|\wt\|^2)^r}=\wl.$$ Отсюда вытекает, что при $\Delta\ge\Delta_0$ \begin{equation}\label{lo} E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\sqrt{\wl}. \end{equation} Учитывая \eqref{lm}, получаем, что $$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\sqrt{\wl},$$ а метод $\wm(y\cd)\cd=0$ является оптимальным. Покажем, что если $\ov\lambda=\wl$, то $$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\sqrt{\wl}.$$ Действительно, если $\ov\lambda=\wl$, то для каждого $0<\lambda<\wl$ имеем $\mes(M_\mu\cap\Omega_\lambda)<\mes\Omega_\lambda$ и значит, мера множества $G_\lambda=(\mathbb R^d\setminus M_\mu)\cap\Omega_\lambda$ положительна. Положим в задаче \eqref{u} $$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in G_\lambda,\\ 0,&t\notin G_\lambda,\end{cases}$$ где $$A=\biggl(\int_{G_\lambda}(1+\|t\|^2)^r\,dt\biggr)^{-1}.$$ Тогда очевидно $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция и тем самым значение задачи \eqref{u} не менее, чем $$A\int_{G_\lambda}|t|^{2\alpha}\,dt.$$ При $\lambda\to\wl$ эта величина стремится к $$\frac{|\wt|^{2\alpha}}{(1+\|\wt\|^2)^r}=\wl.$$ Учитывая \eqref{lm}, получаем доказываемое равенство. Пусть теперь $\ov\lambda<\wl$ и $\Delta<\Delta_0$. Рассмотрим сначала случай, когда $\ov\lambda\le\lambda_\Delta$. Положим $$s=(s_1,\ldots,s_d),\quad s_j=\sqrt{\frac{\alpha_j(1-\Delta^{2/r})} {\sigma\Delta^{2/r}}},\ j=1,\ldots,d.$$ Для $0<\varepsilon<\|s\|$ рассмотрим множество $$C_\varepsilon=\{\,t\in\mathbb R^d:\|t-\ws\|\le\varepsilon\,\},$$ где $$\ws=\left(1-\frac\varepsilon{\|s\|}\right)s.$$ Так как \begin{equation}\label{s} \frac{|s|^{2\alpha}}{(1+\|s\|^2)^r}=\frac p{\sigma^\sigma}(1-\Delta^{2/r})^\sigma\Delta^{2(1-\sigma/r)}>\lambda_\Delta\ge\ov\lambda, \end{equation} то при всех достаточно малых $\varepsilon$ \ $\mes(M_\mu\cap C_\varepsilon)=\mes(C_\varepsilon)$. Положим в задаче \eqref{u} $$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in C_\varepsilon,\\ 0,&t\notin C_\varepsilon,\end{cases}$$ где $$A=\frac{\Delta^2}{\mes(C_\varepsilon)}.$$ В силу того, что $$A\int_{C_\varepsilon}(1+\|t\|^2)^r\,dt\le A(1+\|s\|^2)^r\mes(C_\varepsilon)=\Delta^2(1+\|s\|^2)^r=1,$$ $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция и тем самым значение задачи \eqref{u} не менее, чем $$A\int_{C_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt.$$ При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится к $$\frac{|s|^{2\alpha}}{(1+\|s\|^2)^r}=\frac p{\sigma^\sigma}(1-\Delta^{2/r})^\sigma\Delta^{2(1-\sigma/r)}.$$ Тем самым доказано, что при $\ov\lambda\le\lambda_\Delta$ \begin{equation}\label{E1} E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}(1-\Delta^{2/r})^{\sigma/2}\Delta^{1-\sigma/r}. \end{equation} Пусть теперь по-прежнему $\Delta<\Delta_0$, но $\wl>\ov\lambda>\lambda_\Delta$. Положим $$c=(c_1,\ldots,c_d),\quad c_j=\sqrt{\frac{\alpha_j(1-\omega^{2/r})} {\sigma\omega^{2/r}}},\ j=1,\ldots,d.$$ Для $0<\varepsilon<\|c\|$ рассмотрим множество $$D_\varepsilon=\{\,t\in\mathbb R^d:\|t-\wc\|\le\varepsilon\,\},$$ где $$\wc=\left(1-\frac\varepsilon{\|c\|}\right)c.$$ В силу определения величины $\ov\lambda$, для любого $\varepsilon>0$ \ $\mes(M_\mu\cap \Omega_{\ov\lambda-\varepsilon})<\mes\Omega_{\ov\lambda-\varepsilon}$. Поэтому мера множества $$F_{\varepsilon}=(\mathbb R^d\setminus M_\mu)\cap(\Omega_{\ov\lambda-\varepsilon}\setminus\Omega_{\ov\lambda})$$ положительна при всех $\varepsilon>0$. Выберем $\varepsilon$ достаточно малым так, чтобы $D_\varepsilon\subset\Omega_{\ov\lambda}$. Тогда $D_\varepsilon\cap F_\varepsilon=\emptyset$. Положим в задаче \eqref{u} $$\wu(t)=\begin{cases}A,&t\in D_\varepsilon,\\ B,&t\in F_\varepsilon,\\ 0,&t\notin C_\varepsilon\cup F_\varepsilon,\end{cases}$$ где $$A=\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)},$$ а $B$ определено из условия $$\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r\wu(t)\,dt=1.$$ Покажем, что такое $B$ всегда найдется. Имеем \begin{multline*} \IR\left(1+\|t\|^2\right)^r\wu(t)\,dt= \frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)}\int_{D_\varepsilon} \left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt\\ +B\int_{F_\varepsilon} \left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt. \end{multline*} Так как $$\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)}\int_{D_\varepsilon} \left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt\le\Delta^2\left(1+\|c\|^2\right)^r= \frac{\Delta^2}{\omega^2}<1,$$ то $$B=\biggl(1-\frac{\Delta^2}{\mes(D_\varepsilon)}\int_{D_\varepsilon} \left(1+\|t\|^2\right)^r\,dt\biggr)\biggl(\int_{F_\varepsilon}(1+\|t\|^2)^r \,dt\biggr)^{-1}.$$ Следовательно, $\wu\cd$ --- допустимая в задаче \eqref{u} функция и значение задачи \eqref{u} не менее, чем $$A\int_{D_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt+B\int_{F_\varepsilon}|t|^{2\alpha}\,dt.$$ При $\varepsilon\to0$ эта величина стремится к \begin{multline*} \Delta^2|c|^{2\alpha}+(1-\Delta^2(1+\|c\|^2)^r)\ov\lambda\\ =\frac p{\sigma^\sigma}\frac{(1-\omega^{2/r})^{\sigma-1}}{\omega^{2\sigma/r}} \left(\Delta^2(1-\omega^{2/r})+\frac\sigma r(\omega^2-\Delta^2)\right). \end{multline*} Тем самым доказано, что при $\ov\lambda>\lambda_\Delta$ \begin{equation}\label{E2} E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge\frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}\frac{(1-\omega^{2/r})^{(\sigma-1)/2}}{\omega^{\sigma/r}} \sqrt{\Delta^2(1-\omega^{2/r})+\frac\sigma r(\omega^2-\Delta^2)}. \end{equation} Займемся теперь оценкой сверху. Будем считать, что $\Delta<\Delta_0$, а $\ov\lambda\in(0,\wl)$. Для оценки сверху погрешности метода $m(y\cd)\cd$ надо оценить значение экстремальной задачи \begin{multline}\label{bb} \|D^\alpha x\cd-m(y\cd)\cd\|_{\ld}\to\max,\quad x\cd\in\hr,\\ \|Fx\cd-y\cd\|_{L_2(M_\mu)}\le\delta,\quad y\cd\in L_2(M_\mu). \end{multline} Будем искать оптимальные методы среди методов, для которых $Fm(y\cd)(t)=\gamma(t)y(t)$, где $\gamma\cd$ --- некоторая ограниченная функция. Тогда переходя в задаче \eqref{bb} к образам Фурье и рассматривая для удобства квадраты, получаем следующую задачу \begin{multline*} \frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}|(it)^\alpha Fx(t)-\gamma(t)y(t)|^2\,dt\\+ \frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}|t|^{2\alpha}|Fx(t)|^2\,dt\to\max,\\ \int_{M_\mu}|Fx(t)-y(t)|^2\,dt\le\delta^2,\quad \frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2 \,dt\le1. \end{multline*} Положив $z\cd=Fx\cd-y\cd$, приходим к задаче \begin{multline}\label{bb1} \frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}|((it)^\alpha-\gamma(t))Fx(t)+ \gamma(t)z(t)|^2\,dt\\+ \frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}|t|^{2\alpha}|Fx(t)|^2\,dt\to\max,\\ \frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}|z(t)|^2\,dt\le\Delta^2,\quad \frac1{(2\pi)^d}\IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2 \,dt\le1. \end{multline} Используя неравенство Коши--Буняковского, получаем \begin{multline*} |((it)^\alpha-\gamma(t))Fx(t)+\gamma(t)z(t)|^2\\ \le\left(\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2} {\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2}{\lambda_1}\right) \left(\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2+\lambda_1|z(t)|^2\right). \end{multline*} Положим $$S_\gamma=\vraisup_{t\in M_\mu}\left(\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2} {\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2} {\lambda_1}\right).$$ Предположим, что нашлась функция $\gamma\cd$, для которой $S_\gamma\le1$. Тогда в силу того, что $\mes(\mathbb R^d\setminus M_\mu)\cap\Omega_{\ov\lambda}=0$, а при $t\in\mathbb R^d\setminus\Omega_{\ov\lambda}$ $$\frac{|t|^{2\alpha}}{(1+\|t\|^2)^r}\le\ov\lambda\le\lambda_2,$$ значение задачи \eqref{bb1} оценивается величиной \begin{multline*} S_\gamma\frac1{(2\pi)^d}\int_{M_\mu}\left(\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2+ \lambda_1|z(t)|^2\right)\,dt\\+\frac1{(2\pi)^d}\int_{\mathbb R^d\setminus M_\mu}\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt\\ \le\frac{\lambda_2}{(2\pi)^d} \IR\left(1+\|t\|^2\right)^r|Fx(t)|^2\,dt+\frac{\lambda_1}{(2\pi)^d}\int_{M_\mu} |z(t)|^2\,dt\le\lambda_2+\lambda_1\Delta^2. \end{multline*} Таким образом, в этом случае $$e(\alpha,\mu,\delta,m)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$ Следовательно, $$E(\alpha,M_\mu,\delta)\le\sqrt{\lambda_2+\lambda_1\Delta^2}.$$ Нетрудно убедиться, что эта оценка совпадает с оценками снизу \eqref{E1} и \eqref{E2}. Остается доказать непустоту множества функций $\gamma\cd$, для которых при почти всех $t\in M_\mu$ выполнено неравенство $$\frac{|(it)^\alpha-\gamma(t)|^2} {\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r}+\frac{|\gamma(t)|^2} {\lambda_1}\le1.$$ Это неравенство может быть переписано в виде \begin{multline*} \left|\gamma(t)-\frac{\lambda_1(it)^\alpha}{\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r}\right|^2\\ \le\frac{\lambda_1\lambda_2\left(1+\|t\|^2\right)^r} {(\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r)^2}(-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r). \end{multline*} Теперь достаточно доказать, что при всех $t\in\mathbb R^d$ $$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$ Множество точек вида \eqref{gr} лежит под кривой \eqref{kr}. Эта кривая вогнута при $x\ge x_0$. Поэтому для любой касательной к кривой \eqref{kr} $y=c_1+c_2x$, проведенной в точке, принадлежащей множеству $[x_0,+\infty)$, выполняется неравенство $$-|t|^{2\alpha}+\lambda_1+\lambda_2 \left(1+\|t\|^2\right)^r\ge0.$$ Остается только заметить, что $y=\lambda_1+\lambda_2x$ --- касательная к кривой \eqref{kr} в точке $x=\omega^{-2}$ при $\ov\lambda\in(\lambda_\Delta,\ov\lambda)$ и в точке $x=\Delta^{-2}$ при $\ov\lambda\in(0,\lambda_\Delta)$. \end{proof} Если $\Delta\ge\Delta_0$, то из доказанной теоремы вытекает, что $$E_\mu(\alpha,\delta)=\sqrt{\wl},$$ а оптимальным является любое множество (в этом случае никакая информация не влияет на погрешность оптимального восстановления). Будем рассматривать задачу \eqref{Em} при $\Delta<\Delta_0$. Положим $$g(\lambda)=\mes(\Omega_\lambda).$$ Функция $g(\lambda)$ при $\lambda\in(0,\wl]$ является непрерывной и монотонно убывает, изменяясь от $+\infty$ до $0$. Поэтому для любого $\mu>0$ уравнение $g(\lambda)=\mu$ имеет единственное решение, которое обозначим через $\lambda_\mu$. Положим $\wl_\mu=\max\{\lambda_\Delta,\lambda_\mu\}$, а через $\omega_\mu$ обозначим решение уравнения $f(\omega_\mu)=\wl_\mu$. Положим $$\lambda_1=\frac p{\sigma^\sigma}\frac{(1-\omega_\mu^{2/r})^\sigma}{\omega_\mu^{2\sigma/r}}- \frac{\lambda_\mu}{\omega_\mu^2},\quad\lambda_2=\lambda_\mu.$$ \begin{theorem}\label{T2} При $\Delta<\Delta_0$ $$E_\mu(\alpha,\delta)=\sqrt{\lambda_1\Delta^2+\lambda_2},$$ а $\Omega_{\wl_\mu}$ --- оптимальное множество. \end{theorem} \begin{proof} Из теоремы \ref{T1} вытекает, что \begin{multline*} E(\alpha,M_\mu,\delta)=E(\alpha,\Omega_{\ov\lambda},\delta)=\\ \frac{\sqrt p}{\sigma^{\sigma/2}}\frac{(1-\omega^{2/r})^{(\sigma-1)/2}}{\omega^{\sigma/r}} \sqrt{\Delta^2(1-\omega^{2/r})+\frac\sigma r(\omega^2-\Delta^2)}, \end{multline*} если $\ov\lambda>\lambda_\Delta$. Нетрудно показать, что эта величина как функция $\omega$ монотонно возрастает при $\omega\in[\Delta,\Delta_0]$. Тем самым, если $\lambda_\mu>\lambda_\Delta$, то $$E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge E(\alpha,\Omega_{\lambda_\mu},\delta).$$ Если же $\lambda_\mu\le\lambda_\Delta$, то $\mes(\Omega_{\lambda_\Delta})\le\mu$ и $$E(\alpha,M_\mu,\delta)\ge E(\alpha,\Omega_{\lambda_\Delta},\delta).$$ \end{proof} Рассмотрим теперь один пример для случая $d=2$. Пусть $\alpha=(1,0)$ и $r=2$. Иными словами, рассматривается задача восстановления частной производной $x_{t_1}(\cdot,\cdot)$ на классе $H_2^2(\mathbb R^2)$. В этом случае $$\Delta=\frac\delta{2\pi},\quad\Delta_0=\frac12,\quad\wl=\frac14,\quad \lambda_\Delta=\frac\Delta2,\quad\omega=2\ov\lambda,$$ а $$\Omega_\lambda=\left\{\,(t_1,t_2)\in\mathbb R^2:\frac{t_1^2}{(1+t_1^2+t_2^2)^2}\ge\lambda\,\right\}.$$ Нетрудно убедиться, что $\Omega_\lambda$ представляет из себя два круга $$\Omega_\lambda=\left\{\,(t_1,t_2)\in\mathbb R^2:\left(|t_1|-\frac1{2\sqrt\lambda}\right)^2+t_2^2\le \frac1{4\lambda}-1\,\right\}.$$ Из теоремы \ref{T1} получаем, что при $\delta\ge1/2$ \ $E(D^\alpha,H_2^2(\mathbb R^d), A,\delta)=\dfrac12$, а при $\Delta<\dfrac12$ $$E(\alpha,M_\mu,\delta)=\begin{cases}\sqrt{\left(\dfrac{1-4\ov\lambda} {4\ov\lambda}\right)\Delta^2+\ov\lambda},&\ov\lambda\in \left(\dfrac\Delta2,\dfrac14\right),\\[12pt] \sqrt{(1-\Delta)\Delta},&\ov\lambda\in\left(0,\dfrac\Delta2\right).\end{cases}$$ Семейство оптимальных методов для рассматриваемого случая также может быть легко получено из теоремы \ref{T1}. В частности, метод $$\wm(y\cd)(t)=\frac1{4\pi^2}\int_{M_\mu}\frac{i\tau_1}{1+\dfrac{4\ov\lambda^2} {1-4\ov\lambda}(1+\tau_1^2+\tau_2^2)^2} y(\tau)e^{i\la\tau,t\ra}\,d\tau$$ является оптимальным. Из того, что $$\mes(\Omega_\lambda)=2\pi\left(\frac1{4\lambda}-1\right),$$ получаем $$\lambda_\mu=\frac\pi{2\mu+4\pi}.$$ Из теоремы \ref{T2} находим, что при $\Delta<\dfrac12$ $$E_\mu(\alpha,\delta)=\begin{cases} \sqrt{\dfrac\mu{4\pi}\Delta^2+\dfrac\pi{2\mu+4\pi}},& 0<\mu<\dfrac{\pi(1-2\Delta)}\Delta,\\ \sqrt{(1-\Delta)\Delta},&\mu\ge\dfrac{\pi(1-2\Delta)}\Delta.\end{cases}$$ При этом, если $0<\mu<\dfrac{\pi(1-2\Delta)}\Delta$, то оптимальное множество имеет вид $$\Omega_{\lambda_\mu}=\left\{\,(t_1,t_2)\in\mathbb R^2:\left(|t_1|-\sqrt{\frac\mu{2\pi}+1}\right)^2+t_2^2\le \frac\mu{2\pi}\,\right\}.$$ \end{document}